コミットメントとゲーム均衡

(1)

コミットメントとゲーム均衡

村田省三

Abstract

In this paper, we concider the conditions which determine the unique- ness of the equilibria in extended duopoly games when they have a preplay stage deciding whether to select actions at the first or to wait in the basic quantity setting duopoly competition．In the extended game with action commitment, the two Stackelberg equilibria are the pure strategy equilibria in undominated strategies, if there is no external economy．

If there is external economy and additional production is available in the later stage, only one Stackelberg equilibria is to be the pure strategy equilibria．In this case we can examine which duopolist move first．

Keywords:action commitment,duopoly game,extended game,external economy

１はしがき

完全情報の数量戦略複占ゲームにおいては，通常，同時手番のクールノー

＝ナッシュ均衡がゲーム均衡となる。これにたいして，

Hamilton

=

Slutsky

(1990)(以下，

H

・

S

(1990))では，数量戦略を選択する以前に，先手・後手の選択ステージがあるゲームを考案し，同時手番均衡以外に２つの先手後手均衡もゲーム均衡になりうることを示した。

H

・

S

(1990)は，さらに，先手・

(2)

後手の選択に加えて，待機戦略（

Wait

）をも選択可能とするゲームを検討している。この場合，同時手番均衡が排除されることを定理８で示している。

この結果，実現しうるゲーム均衡の種類が次第に特定化される可能性が示されたともいえるが，それでも，２つのシュタッケルベルグ均衡（先手後手均衡）のうちどちらになるか特定できない。

本稿では，

H

・

S

(1990)のゲームモデルに基本的には依拠しながら，完全情報の数量戦略複占ゲームの均衡が，コミットメント戦略等によってどの程度まで限定できるかを確認する。また，事前のゲーム均衡と事後のゲーム結果を区別して把握するなかで，外部経済効果があるゲームにおいては，追加生産可能な状況であれば，ゲーム結果が唯一になる可能性を示唆する。

２モデル

本稿を通じて，完全情報のもとでの数量戦略複占ゲームを仮定する。ゲームの定義域は

R

_＋²として，同時手番均衡および各複占企業先手によるシュタッケルベルグ均衡は定義域内部に唯一存在するものと仮定する。両企業による手番選択ステージ（図表１参照）があるケースを含むが，このステージは必ず存在するわけではない。手番選択は，同時手番で実行され，１回限りの選択であると仮定する。ここで，手番選択ステージがある場合，同ステージ

図表１：手番選択ステージあるゲーム

(3)

で選択されるのは，先手（

F

）あるいは後手（

S

）であるが，これに加えて，

待機（

Wait

）という選択を含むことがある^*1。この場合，

Wait

戦略の選択は１回限りであると仮定する。同戦略がとられる場合には，図表１のどこかに，

Wait

戦略が（各企業にとって最大１箇所，両企業合計で最大で２箇所）

追加されることになる。

Wait

戦略がまったく含まれない樹形図経路もある。

先手・後手の選択ステージ後に，この結果を知るものとする。すなわち，

同ステージの後に手番選択観察ステージがある。手番選択ステージの前あるいは後に，各複占企業は，相手生産量を指定するタイプのコミットメントをおこなう場合がある。その後，数量戦略ゲームへと移行する。この数量戦略ステージにおける，各企業の利潤関数は，もっとも一般的な形式では，

π1(

x

₁,

x

₂)=(

a

−

b

(

x

₁＋

x

₂))

x

₁−

C

₁(

x

₁,

x

₂) (1) π2(

x

₁,

x

₂)=(

a

−

b

(

x

₁＋

x

₂))

x

₂−

C

₂(

x

₂) (2)

である。第１企業は第２企業からの外部経済効果を，費用水準にたいして受けることがある。外部経済効果がない場合の費用関数は

C

₁(

x

₁,

x

₂)＝

C

₁(

x

₁) となる。

この数量戦略ステージでは，生産数量の計画（事前値）をおこなう。各企業の生産能力に上限はないと仮定する。したがって，生産数量の計画段階で調整不可能な生産量水準は存在しない。このステージ終了後に，計画された

*1 待機（Wait）という戦略は，H・S(1990)によれば，Dowrick(1986)の着想による。先手または後手を選択するゲームはgame with observable delayといわれ，これに加えて Wait戦略をも選択可能なゲームはgame with action commitmentといわれる。広い意味では，どちらもコミットメントゲームである。また，どちらのゲームにおいても，手番選択ステージ終了後には，確定した手番を観察可能（observable）ではあるが，後者のゲームにあっては，両企業による各１回のアナウンス直後の段階では手番順序を確認することはできない。

先手・後手のいずれかが確実に選択されるゲームでは，事後的に手番順序を確認できるが，待機（Wait）が選択されたときには，手番順序について態度保留の状況をもたらす。

(4)

生産数量（事前値）の実行を観察する。生産水準を生産済水準以下に減少させることはできないものとする。ただし，追加的な生産は可能なこと（追加生産ステージ）がある。

３手番戦略ないゲーム

ここでは，先手・後手の手番選択ステージのない複占ゲームを考察する。

H

・

S

(1990)では，先手・後手決定ステージのある複占ゲームの均衡戦略を考察しているが，むしろ，このステージをもつ複占ゲームモデルは異例である。通例は，手番選択機会のないゲームであり，両企業ともに先手有利となり，特段の手番順序が形成される理由はなく，両企業の最適反応曲線の交点で与えられるクールノー＝ナッシュ均衡がゲーム均衡とみられることが多い。クールノー＝ナッシュ均衡以外では，逸脱が発生するからである。たしかに，生産開始以前の逸脱を仮定すれば，クールノー＝ナッシュ（同時手番）

均衡をゲーム均衡とみることができる。ただし，模索ステージが必要になる。

通常は，このステージが暗黙裡に想定されていると思われる。

追加生産ない場合

各複占企業は，一括して生産をおこない，追加的な生産はないものと仮定する。生産開始以前の模索過程は存在しないものとする。さらに，各企業は，

コミットメント戦略をとらないと仮定する。この仮定の下では，正生産量であれば，どこでもゲーム結果となる可能性がある。このゲーム構造では，事実上，数量確認ステージが存在するのみである。いかなるコミットメントも有効にならない。ゲーム結果は観察可能と仮定するが，このこともゲーム結果に影響を与えることはない。第１象限内のすべての点がゲーム結果候補となりうる（図表２参照）。

(5)

図表２：手番戦略ないゲームのナッシュ均衡（１）

追加生産ある場合

各複占企業は，一度に生産をおこなう必要はなく，（１回限りのゲームのなかで）複数回に分割して生産をおこなうことができるものとする。すなわち，事後的な追加生産ステージがある。また，数量観察ステージは存在するものと仮定する。このとき，両企業の最適反応曲線の右側に広がる領域（最適反応曲線上を含む）のうちのどこかにゲーム均衡は存在しなければならない。左側領域では，常に，事後的な追加生産の誘引が働く。このとき，同時手番ナッシュ均衡（クールノー＝ナッシュ均衡）はゲーム均衡の有力な候補となる。

Dowick

(1986)がいう

Stackelberg Walfare

は起こりうる^*2。ゲーム均衡あるいはゲーム結果は，図表３における最適反応曲線の実線部分の右側

*2 このStackelberg Walfareという概念について，H・S(1990)は批判的である。その理由は，両企業が相互に最適反応を行なっていないということであり，仮に，このような結果が得られるならば，それは何らかのエラーによると指摘している。この論点については，ゲームの均衡戦略を意図しているか，あるいはゲームの結果（理論的な均衡が出現するとは限らない）を意図しているかの相違が大きく影響しているのではないかと推定される。模索過程の有無が関連するともいえる。

(6)

領域（境界含む）になる。追加生産可能なため，ゲーム結果が位置する可能性のある領域は，前節モデルに比して狭くなる。このゲーム構造では，いわゆるコミットメントは有効でない。

図表３：手番戦略ないゲームのナッシュ均衡（２）

追加縮小生産可能な場合

各複占企業は，複数回に分割して生産をおこなうことができるものとする。

また，本項モデルに限って，事後的な生産縮小も可能とする。１回かぎりのゲームである。数量観察ステージは存在するものとする。このとき，追加生産可能であるから，両企業の最適反応曲線の左側領域にゲーム均衡は存在しない。また，縮小生産可能であるから，両企業の最適反応曲線の右側領域にゲーム均衡は存在しない。したがって，同時手番ナッシュ均衡（クールノー

＝ナッシュ均衡）のみがゲーム均衡となる。これ以外に均衡は存在しない。

事後的な追加生産および縮小生産を可能とすることにより，ゲーム結果が位置する可能性のある領域は完全に限定される^*3。通例の複占ゲームでは，唯

*3 追加生産および縮小生産の両方が可能である場合には，一方の企業による任意の正値生産量を始点として，相互に最適反応を繰り返すことにより，両企業の最適反応曲線交点に収斂していく（収束）過程を検討することも可能になる。

(7)

一のナッシュ均衡が存在するというとき，この状況を念頭に置いているとも考えられる。事後的な追加縮小生産可能な場合が，事前の生産計画段階での模索過程と同等な効果を発揮する。このゲーム構造では，いわゆるコミットメントが有効となる可能性はない。

外部経済と均衡戦略

ここでは，外部経済があると仮定する。このために，２つのシュタッケルベルグ均衡点が，両企業の最適反応曲線の交点からみて同じ側に位置するものとし，両企業ともに後手有利であると仮定する^*4。このケースでも，追加的な生産が可能であれば，各企業の最適反応曲線より左側には，ゲーム均衡点およびゲーム結果のいずれも位置していないことは前節と同様である^*5。ただし，クールノー点より右側では第２企業の最適反応曲線上において，クールノー点より左側では第１企業の最適反応曲線上において，第２企業先手のシュタッケルベルグ均衡点に至るまで，第２企業の利潤は単調増加となり，

第２企業先手のシュタッケルベルグ均衡点のみが，唯一のゲーム均衡となる可能性がある。

このことは，外部経済効果を受ける企業（たとえば第１企業）が，第２企業にたいして，以下のコミットメントを実施するときに起こりうる。もちろ

*4 外部経済効果が第１企業後手の場合にのみ発生して，第１企業先手の場合には発生しないならば，ゲーム均衡は唯一になる可能性がある。この仮定を満足する具体的数値例モデルを構築するならば，外部経済効果を発生させている第２企業にはしばしば支配戦略（先手）が発生し，そのため，外部経済効果を受ける第１企業に支配戦略（後手）を発生させることがある。この結果を発生させるには，複雑な外部経済項の設定は必要でなく，たとえば１次の外部経済項を第１企業利潤関数に追加するだけでも十分である。

*5 外部経済効果が第１企業後手の場合にのみ発生して，第１企業先手の場合には発生しないならば，ゲーム均衡は唯一になる可能性があることを既に指摘した。この結果を得るのに，模索ステージの存在は必要でない。一方，模索ステージがある場合，そこに無限繰り返し（模索）ゲームの存在を仮定すれば，やはり，ゲーム均衡を唯一化することが可能な場合もある。このとき，パレート優位なシュタッケルベルグ均衡をゲーム結果とするためには，パレート劣位なクールノー＝ナッシュ均衡を罰則経路とするトリガー戦略を想定すればよい。

(8)

ん，このコミットメントを何時アナウンスするかについて疑問は残るが，どちらにしろ，このことは事前に予想され，結局，このコミットメントの有無にかかわらず，

E

_S2点は実現されることになる。

コミットメント：自企業（第１企業）は，最適反応戦略に従って追加生産する。

図表４：手番戦略のないゲームの均衡（３）

４手番戦略あるゲーム

本節では，各複占企業は，数量戦略選択ステージの前に，手番選択ステージをもつと仮定する。このゲームは，

H

・

S

(1990)により考案された。この場合，手番ステージの結果を観察したうえで，数量戦略を決定するから，２つのシュタッケルベルグ均衡（先手後手均衡）かクールノー＝ナッシュ均衡

（同時手番均衡）以外のゲーム均衡は出現しにくいが，クールノー＝ナッシュ均衡（同時手番均衡）以外の均衡が出現しない場合に比べれば，均衡のタイプは拡大している。このゲームで考慮すべきは，先手か後手かという二者択一問題である。このため，僅かな数量的逸脱が本来的にありえないことが

(9)

特徴的である。

Wait

戦略ないゲーム

各複占企業は，数量戦略を決定するステージの前に，手番選択ステージをもつものと仮定する（図表５参照）。そこでは，先手または後手という戦略の選択がおこなわれる。手番選択は，同時手番で実行され，かつ１回限りの選択であると仮定する。手番選択ステージ終了後，各企業はこのステージの結果を観察可能であると仮定する^*6。ここで，複占企業の一方が選択する手番順序（たとえば先手）と他方が選択する手番順序（たとえば後手）が異なっている場合には問題はないが，両企業ともに同種類の手番（たとえば両企業とも先手）を選択したときには，

H

・

S

(1990)にしたがって，同時手番になるものとする。このことについて，

H

・

S

(1990)での説明はないが，先手選択が，たとえばゲーム第１日目における生産を意味しており，後手の選択は，ゲーム第２日目における生産を意味していると解釈するのが相当である。

図表５：手番選択ステージあるゲーム

*6 図表５では，手番選択ステージが同時手番で実行されると仮定されている。第２企業は，第１企業の手番選択結果を知らないまま，手番を選択する。この場合，図表４の樹形図下端（４つの節からなる）が共通の情報集合に含まれるのを通例とするが，本節モデルでは，手番選択ステージ終了後に，各企業は同ステージの結果を観察可能であると想定しているため，各々，異なった情報集合に属する形式で表現されていることに注意が必要である。

(10)

すなわち，相手の出方に無関係に生産日を決定する構造である。このとき，

先手戦略の選択は，先手を必ずとるという強い意思決定を意味しない。

このケースでは，同時手番クールノー＝ナッシュ均衡と２つのシュタッケルベルグ均衡のいずれもゲーム均衡になる可能性がある。また，これ以外の純戦略均衡は存在しない。手番選択ステージ終了後，各企業は手番順序を確認するのであって，その後，数量戦略ステージに移行することを考えれば，

これ以外の純戦略均衡が出現する理由はない。これが，

H

・

S

(1990)定理７の意味するところである。

Wait

戦略あるゲーム

各複占企業は，数量戦略を決定するステージの前に，手番選択ステージをもつものと仮定する。ただし，そこでは，先手または後手という戦略の他に，

Wait

戦略をとることができると仮定する。前節と同様に，先手後手の手番選択は１回限りであると仮定する。また，

Wait

戦略の選択も１回限りであると仮定する。本項ゲームにおける手番選択ステージも，前節と類似の樹形図（図表５）によって記述することが出来るため，記述は省略するが，同図表のどこかには，

Wait

戦略が（各企業にとって最大１箇所，両企業合計で最大で２箇所）追加される。もちろん，

Wait

戦略がまったく含まれない樹形も一部には存在することになる。

このケースでは，同時手番クールノー＝ナッシュ均衡は排除され，２つのシュタッケルベルグ均衡がゲーム均衡になる可能性をもつ。同時手番が均衡から排除されるのは，結局，逸脱が起こるからである。同時手番に対応する生産量が，手番選択ステージのなかの第１ステージ，第２ステージのいずれにあると想定したところで逸脱が発生する。他方の企業が，選択ステージのなかの第１ステージで待機（

Wait

），第２ステージで最適反応（

best Reply

）をとるという戦略への逸脱である。これが，

H

・

S

(1990)定理８の意味するところである。

(11)

外部経済と

Wait

戦略

外部経済がある場合，２つのシュタッケルベルグ均衡点が，両企業の最適反応曲線の交点（同時手番クールノー＝ナッシュ均衡）からみて同じ側にあり，２つのシュタッケルベルグ均衡が，共に，同時手番均衡（クールノー＝

ナッシュ均衡）より，利得水準の意味でパレート優位になっていると仮定する。さらに，一方のシュタッケルベルグ均衡が他方のシュタッケルベルグ均衡より，利得水準の意味でパレート優位になっていると仮定する。各複占企業が数量戦略を決定するステージの前に手番選択ステージをもち，先手，後手または

Wait

戦略をとることができると仮定するならば，２つのシュタッケルベルグ均衡のうちいずれか一方のみがゲーム均衡となるように思われるが，確実に一方のシュタッケルベルグ均衡に誘導できない。

５コミットメントとゲーム均衡

前節の

Wait

戦略は，

H

・

S

(1990)によれば，ひとつのコミットメントと考えられている。本節では，より強力なコミットメントをともなう数量戦略複占ゲームにおいて，ゲーム均衡がひとつに確定することがあるかどうかを検討する。

無限

Wait

戦略

H

・

S

(1990)のゲームでは，両企業がともに先手戦略を選択した場合には，

ゲーム結果は同時手番になるとされている。両企業がともに後手を選択した場合も同様である。ただし，どうしても先手をとるという戦略的コミットメントはありうる。たとえば，一方の企業（たとえば第２企業）が後手を選択したい場合には，相手企業（たとえば第１企業）が先手を選択するまで待機

（

Wait

）するという戦略である。このような戦略は，外部経済効果のない通常の数量戦略複占ゲームでは奏功しない。この場合，両企業が選択したい手番順序は同一になるから，両企業ともに無限

Wait

戦略をとれば，ゲーム

(12)

は終わらない。しかし，外部経済効果により，両企業が選択したい手番順序が異なる場合には，奏功する可能性がある。

例えば，第１企業のみが外部経済による生産費用逓減効果を受けており，

そのため，どちらの企業が先手であれシュタッケルベルグ均衡が同時手番均衡よりパレート優位になっているとする。また，第２企業先手のシュタッケルベルグ均衡が，利潤の意味で，第１企業先手のシュタッケルベルグ均衡よりパレート優位であるとする。さらに，ゲーム均衡は，クールノー＝ナッシュ均衡か２つのシュタッケルベルグ均衡のいずれかになることが分かっていると仮定する。このような特殊状況のもとでは，無限

Wait

戦略が有効である。

手番決定戦略

両企業がともに先手戦略を選択した場合には，次の数量戦略決定ステージにゲームが移行しないゲームもありうる。もちろん，完全対称な両企業が，

ともに先手を主張すれば，永遠にゲームは進行しないから，その点では無意味な自己主張であるが，対象性が崩れているゲームにあっては，このような戦略がむしろゲーム均衡をもたらすことがある。これが有効となるゲーム状況は，直前の項（無限

Wait

戦略）が参考になる。

追加生産とゲーム均衡

コミットメント戦略は，ゲーム均衡を特定化するうえで有力な概念のように思われるが，外部経済効果により一方のシュタッケルベルグ均衡利得が他方のシュタッケルベルグ均衡利得よりパレート優位である場合でも，決定的な解決手段とはならない。これにたいして，本項では，追加生産ステージをもつゲームの場合，外部経済効果の影響によっては，ゲーム均衡がひとつに確定する可能性を確認する。

ここでは，基本的には，

H

・

S

(1990)のゲームに従うものとするが，事後的な追加生産（増産に限る）が可能であり，また，外部経済効果により第２企業先手のシュタッケルベルグ均衡（

E

_S2）が第１企業先手のシュタッケルベルグ均衡（

E

_S1）および同時手番のクールノー＝ナッシュ均衡（

E

_c）より，

(13)

利得の意味でパレート優位であると仮定する。このとき，少なくとも同時手番均衡をもたらす手番順序である（

F

,

F

）および(

S

,

S

)では，逸脱が発生する（図表６参照）。この段階での逸脱は，計画段階での逸脱である。模索ステージにおける逸脱であるといってもよい。したがって，事前の意味での純戦略ゲーム均衡は，（

F

,

S

）あるいは（

S

,

F

）のいずれかの手番順序のときに実現され，その均衡点は

E

_S2あるいは

E

_S1になる。

図表６：手番の一覧

ところが，事後的な追加生産を可能とみれば，ふたつのシュタッケルベルグ均衡点の配置が図表８のとき，第１企業先手のシュタッケルベルグ均衡

（

E

_S1）は事後的に排除される。ここで，第１企業のみが追加生産可能なら，

同企業は増産する。これは，ゲームの手番選択ステージで予想されるから，

第１企業先手のシュタッケルベルグ均衡（

E

_S1）は，例えば図表７における

（

E

_S1）^*7等として，最初から認識される。この利得表（図表７）に支配戦略があれば，そして，第２企業先手のシュタッケルベルグ均衡（

E

_S2）が選択

図表７：追加生産ある場合の利得表

*7 必ずE_S1になるとは限らない。ただし，BR₁上になることは明らかである。

(14)

されれば，これが唯一のゲーム均衡になり^*8，手番順序は確定する。コミットメントあるいは手番選択ステージがあるかどうかはそれほど重要でない。

罰則経路の付随しないコミットメントに威力はない。第２企業のみ追加生産可能な場合でも，類似の結果を指摘できる^*9。

図表８：シュタッケルベルグ均衡の配置

６あとがき

本稿では，基本的には

H

・

S

(1990)の手番形成ゲームを拡張することによって，手番が確定するのはどのような場合であるかを検討した。結果的には，

何らの非対称性もない場合に，先手後手が確定することを論証できない。この結論は，すでに

H

・

S

(1990)によって予想されている。ただし，外部経済による費用逓減効果を一方の企業が受けるときには，事後的な生産追加可能

*8 この条件を満たす数値例を考案することは容易である。なお，先手第１企業の最適反応戦略にともなう事後的増産が発生することを，ゲームの手番選択ステージで予測できる後手第２企業は，最初から第２企業先手の均衡（ES2）に対応する生産量が最適生産になる可能性は高い。この結果がもたらされるかどうかは，設定されるゲームモデルの数値に依存する。

*9 両企業ともに追加生産可能なときでも，両企業の増産にともなって，事後的に最適反応曲線から離れてしまうことはない。どちらのシュタッケルベルグ均衡にしても，一方の企業の最適反応曲線上にあるため，両企業が共に逸脱（増産）する状況は起こらない。

(15)

な状況のもとで，同企業の均衡生産量がより少ない側のシュタッケルベルグ均衡は，ゲーム均衡から排除できることを論証した。また，外部経済効果があるとき，特殊なコミットメントを実施可能であればゲーム均衡を特定化できる可能性をめぐっては疑念がもたれる。各複占企業によるコミットメントのタイミングに先手後手関係が認められれば問題はないが，それが同時手番で実行される場合を排除できなければ，結局のところ，ゲーム均衡の特定化にいたらない。とはいえ，本稿で検討したコミットメント戦略がすべてではない。これ以外の種類の戦略によって，特定手番順序によるゲーム均衡のみがゲーム均衡となりうる場合を本稿は排除できたわけではない。

外部経済等の効果によって，先手・後手にもとづく利得表に，もともと支配戦略が存在していれば，追加的仮定なしに自働的に，

E

_S2点は達成される。

また，原初的には支配戦略がなく，したがって，相手企業の行動をコントロールなしには

E

_S2の達成困難なときでも，外部経済を受ける企業が相手企業にたいして（事前に）給付をおこなえば，支配戦略が出現することがありうる。

さらに，本稿における無限

Wait

戦略が合理的なときにも，やはり支配戦略の出現はありうる。ただし，原初的に支配戦略がなく，給付などの自企業行動のみによっては，支配戦略を出現させることが困難なとき，

E

_S2点を実現しようとすれば，結局，次の２要素を想定しなければならない。ひとつは，

何らかの態度表明（コミットメント）または事実（既知または実現可能）である。これは，相手企業の行動を誘導する要素である。もうひとつは，この要素について，それを実現させる実行力である。これは，結局のところ，合理的な罰則経路（

punishment path

）の構築可能性を意味する。ここで合理的というのは，この罰則経路の実行によって自企業利潤を低下させることがないという意味である。これがなければ，態度表明は強制力を持ち得ない。

本稿での追加生産可能性をめぐる仮定はこれに対応するものになっている。

なお，

Wait

戦略型のコミットメント導入は，同時手番均衡を成立しにくくする性質がある。

(16)

参考文献

[1] Amir,R.(1995). Endogenous Timing Two-Player Games:A Counter Example, Games and Economic Behavior.９.234‑237．

[2]Dowrick,S.(1986). von Stackelberg and Cournot Duopoly:Choosing Roles, Rand Journal of Economics.17.251‑260．

[3]Gal-Or,E.(1985). First Mover and Second Mover Advantages, International Eco- nomic Review.26.649‑652．

[4]Hamilton,J.and S.Slutsky.(1990). Endogenious Timing in Duopoly Games:Stack- elberg or Cournot Equilibria, Games and Economic Behavior.2.29‑46．

[5] 村田省三(2008).「外部経済と複占ゲームの均衡」応用経済学研究．第２巻.30‑43．

[6] 村田省三(2008).「Amir条件と等利潤線の形状」九州経済学会報告論文．