Lens spaces obtainable by surgery on knots
市原 一裕 (大阪産業大学教養部)
斎藤 敏夫 (大阪大学大学院理学研究科)
3次元球面S3 内の結び目をK とし，E(K)でK の外部空間を表す．∂E(K) 上の本質的単純閉曲線のイソトピー類をslope という．∂E(K)上のslope r は
p/q ∈ Q∪ {1/0}に(ごく自然に)対応することが知られている．ここで，E(K)
にトーラス体V を次のように貼り合わせる操作を考える：V のメリディアンを
∂E(K)のsloperに対応させる．このような操作をp/q-デーン手術（あるいは単
にデーン手術）といい，これにより生成された多様体をK(p/q)で表す．特に，K が自明な結び目のときK(p/q)を レンズ空間 といい，記号L(p, q)で表す．レン ズ空間は非自明な結び目のデーン手術によっても稀に得られることが知られてい る．そこで，次のような問題が自然に考えられる．
Problem 1 どのようなレンズ空間が(S3内の)どのような非自明結び目のデー ン手術によって得られるのだろうか．
この問題に関しては，Gordonにより「レンズ空間を生むようなデーン手術を許 容する(非自明な)結び目はdoubly primitiveであり，その手術はsurface slopeで実 現されるであろう」と予想されている[2, Problem 1.78]．ここで，doubly primitive な結び目とは以下のような結び目をいう：S3内に標準的に埋め込まれた種数2の 向き付け可能閉曲面をSとする．このとき，SはS3を2つの(種数2の)ハンド ル体H，H0に分解する．閉曲面S内に埋め込まれた非自明な結び目Kがπ1(H)，
π1(H0)それぞれの自由生成元を表すとき，Kはdoubly primitiveであるという．
この概念はBergeによって導入されたものである．また，surface slopeとは次の ようなslopeをいう：KをS3内のdoubly primitiveな結び目とする．特に，Kは S上にあると仮定する．このとき，S∩∂N(K)はS内の2本の本質的単純閉曲 線から成る．ここで，N(K)はKの正則近傍を表す．この2本の閉曲線のイソト ピー類γは(S, K)に関するsurface slopeとよばれている．doubly primitiveな結
び目のsurface slope γに沿ったデーン手術によりレンズ空間が生成されることを
示したのがBergeである[1]．
上述のdoubly primitiveな結び目に対して，次の結果を得た．
Theorem 2 doubly primitiveな結び目Kのsurface slopeに沿ったデーン手術が クラインボトルを含むレンズ空間を生むためには，Kが(±5,3)，(±7,3)-トーラ ス結び目であることが必要十分である．
この定理の証明には，以下に紹介する双対結び目を用いる．Kをdoubly primi- tiveな結び目とし，レンズ空間L(p, q) (0 < q < p)がsurface slopeγで実現される デーン手術で生成されると仮定する．ここで，V をトーラス体とすれば，L(p, q) = cl(S3\N(K))∪V と表せる．V の中心線(core loop)K∗を(S, K)に関する双対結び目 という．このとき，K∗は，ある整数u(1≤u < p)を用いて以下に定義される結び 目K(L(p, q);u)にイソトピックであることがBergeによって示されている．レン ズ空間L(p, q)の種数1のへガード分解を(V1, V2)とし，D1，D2をそれぞれV1，V2 のメリディアン円板とする．∂V1には自然な向きが入っているものとし，便宜上，
∂D2は∂V1上における(p, q)-曲線であることを仮定する．このとき，∂D1∩∂D2 はp個の点から成ることに注意する．このk個の点に対して，∂D1の正の方向に 沿ってP0, P1, . . . , Pp−1と順にラベルを付ける．u ∈ {1,2, . . . , p−1} とi = 1,2 に対し，tui をP0とPuをDi内で結ぶ単純な弧とする．このとき，結び目tu1 ∪tu2 をK(L(p, q);u)という記号で表す．これらの結び目については[3]で詳細な研究 をした．
また，この双対結び目を利用して次の定理も得られた．
Theorem 3 p, qを互いに素な非負整数とする．このとき，doubly primitiveな結 び目Kのsurface slopeに沿ったデーン手術がレンズ空間L(p, q)を生むか否かを 判定するアルゴリズムが存在する．
参考文献
[1] J. Berge, Some knots with surgeries yielding lens spaces, unpublished manuscript.
[2] R. Kirby, Problems in low-dimensional topology, Geometric topology, AMS/IP Stud. Adv. Math., 2.2, (Athens, GA, 1993), (Amer. Math. Soc., Prov- idence, RI, 1997), 35–473.
[3] T. Saito, Dehn surgery and (1,1)-knots in lens spaces, preprint.
