§5 高次偏導関数 , 微分の順序交換 , Taylor の定理 演習問題 3 解答

§5 ^{高次偏導関数} , ^{微分の順序交換} , Taylor ^{の定理 演習問題} 3 ^解答

問題の難易度の目安【基礎】

899

^【標準】

889

^【発展】

888

1

⁽899)(Maclaurin

の定理

)

次の関数の

Maclaurin

展開を

2

次の項まで書き表せ．

(1) f(x, y) =e^x+2y (2) f(x, y) =e^x−y

解

(1)

記号の簡素化のため，

D_x := ∂

∂x

とおく．

f(x, y) = e^x+2y

に対して各偏導関数を計算 しておこう．

f

はなめらかだから，偏微分の順序交換が可能である．

D_xf =D²_xf =e^x+2y

D_yf = 2e^x+2y, D_y²f = 4e^x+2y

D_xD_yf = 2e^x+2y

である．ゆえに，

(hD_x+kD_y)⁰f(x, y) = e^x+2y

(hD_x+kD_y)¹f(x, y) = (h+ 2k)e^x+2y

(hD_x+kD_y)²f(x, y) = (h²D_x²+ 2hkD_xD_y +k²D²_y)f

= (h²+ 4hk+ 4k²)e^x+2y.

したがって，

Maclaurin

の定理より，ある

θ ∈(0,1)

が存在して

e^h+2k =

1

X

j=0

1

j!(hD_x+kD_y)^jf(0,0) + 1

2!(hD_x+kD_y)²f(θh, θk) (0.1)

= 1 +h+ 2k+ 1

2(h²+ 4hk+ 4k²)e^θh+2θk (0.2)

すなわち

e^x+2y =1 +x+ 2y+1

2(x²+ 4xy+ 4y²)e^{θx+ 2θy}.

(2)

同様にして，f

(x, y) = e^x−y

に対し

Dxf =D²_xf =e^x−y

Dyf =−e^x−y, D_y²f =e^x−y

D_xD_yf =−e^x−y

である．ゆえに，

(hD_x+kD_y)¹f(x, y) = (h−k)e^x−y

(hD_x+kD_y)²f(x, y) = (h²D_x²+ 2hkD_xD_y +k²D²_y)f

= (h²−2hk+k²)e^x−y.

したがって，

Maclaurin

の定理より，ある

θ ∈(0,1)

が存在して

e^h−k =

1

X

j=0

1

j!(hD_x+kD_y)^jf(0,0) + 1

2!(hD_x+kD_y)²f(θh, θk)

= 1 +h−k+1

2(h²−2hk+k²)e^θh−θk

すなわち，

e^x−y =1 +x−y+1

2(x² −2xy+y²)e^θx−θy.

2

⁽899)(Taylor

の定理の応用

)

z =f(x, y)

を

x, y

の

C²

級関数で，

fxx = fxy =fyy = 0

を満たすとする．このとき，

z =ax+by+c(a, b, c

は定数

)

と表せることを示せ．

解

z = f(x, y)

は

C²

級であるから，偏微分の順序交換が可能である．

2

次の項までの

Taylor

の定理

(Maclaurin

の定理

)

および仮定の

f_xx =f_xy =f_yy = 0

を用いると

z =f(0,0) +xf_x(0,0) +yf_y(0,0) + 1

2 x²f_xx(θx, θy) + 2xyf_xy(θx, θy) +y²f_yy(θx, θy)

=f(0,0) +xf_x(0,0) +yf_y(0,0).

したがって，

a=f_x(0,0)

，

b =f_y(0,0)

，

c=f(0,0)

とおくと

z =ax+by+c

と表される．

3

⁽889)(

ラプラシアン

) n

変数

x₁, . . . , x_n

に対し，

∆ := ∂²

∂x²₁ +· · ·+ ∂²

∂x²_n

をラプラシアンという．

C²

級関数

f(x₁, . . . , x_n)

が

∆f = 0

を満たすとき，

f

は調和 関数という．次の関数は調和関数であることを確かめよ．

(1) f(x, y) = logp

x²+y² ((x, y)6= (0,0)) (2) f(x, y) = Arctany

x (x6= 0)

解

(1) f(x, y) = logp

x²+y² ((x, y)6= (0,0))

に対し，

fx = x

x²+y², fxx = −x²+y² (x²+y²)².

同様に，

f_y = y

x²+y², f_yy = −y²+x²

(x²+y²)²

であるから，

∆f = −x²+y²

(x²+y²)² + −y²+x² (x²+y²)² = 0.

(2) f(x, y) = Arctany

x (x6= 0)

に対し，

f_x =

y x

x

1 + ^y_x2 =− y

x²+y², f_xx = −2xy (x²+y²)².

同様に

f_y =

y x

y

1 + _x^y2 = x

x²+y², f_yy = 2xy

(x² +y²)²

であるから，

∆f = −2xy

(x²+y²)² + 2xy

(x²+y²)² = 0.

(3) f(x₁, . . . , x_n) = (x²₁+· · ·+x²_n)²⁻ⁿ² ((x₁, . . . , x_n)6= (0, . . . ,0))

について，各

k= 1, . . . , n

に対し

fx_k = 2−n

2 x²₁+· · ·+x²_n²⁻ⁿ₂ −1

·2xk

= (2−n) x²₁+· · ·+x²_n−ⁿ₂

xk · · ·¹

したがって，

より1

f_xkxk = (2−n)h

−n

2 x²₁+· · ·+x²_n−ⁿ₂−1

2x²_k+ x²₁+· · ·+x²_n−ⁿ₂i

= (2−n) x²₁+· · ·+x²_n−ⁿ₂−1

−nx²_k+ x²₁+· · ·+x²_n .

ゆえに，

∆f =

n

X

k=1

f_xkxk = (2−n) x²₁+· · ·+x²_n−ⁿ₂−1

"

−n

n

X

k=1

x²_k+ x²₁+· · ·+x²_n

·n

#

| {z }

=0

= 0.

4

⁽888)(3

次元極座標によるラプラシアンの表示

)

3

次元極座標

x = rsinθcosϕ, y = rsinθsinϕ, z = rcosθ (

ただし，

r = 0

，

05θ5π

，

05ϕ <2π)

において，

3

次元ラプラシアン

∆ = ∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z²

が

∆ = ∂²

∂r² +2 r

∂

∂r + 1 r²

∂²

∂θ² + 1 tanθ

∂

∂θ + 1 sin²θ

∂²

∂ϕ²

· · ·?

で与えられることを示したい．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)

円柱座標：x

=ρcosϕ, y =ρsinϕ, z =z (

ただし，ρ

=0，05 ϕ <2π)

で のラプラシアンの表示が

∆ = ∂²

∂ρ² +1 ρ

∂

∂ρ + 1 ρ²

∂²

∂ϕ² + ∂²

∂z² · · ·^a

で与えられることを右辺から左辺への変形によって示せ．

(2)

円柱座標系において，

z =rcosθ, ρ= rsinθ, ϕ= ϕ· · ·¹

とおくことによ り，円柱座標から極座標へ変換する．

(i) の変換のもと，¹ ∂²

∂ρ² + ∂²

∂z²

を

∂²

∂r²

，

∂

∂r

および

∂²

∂θ²

を用いて表せ．

(ii) r_ρ, θ_ρ

を求めることにより，

Chain rule

を用いて

∂

∂ρ

を

∂

∂r

および

∂

∂θ

を用 いて表せ．

(iii) (i), (ii)

の結果および

を用いて，所望の等式a ?

を示せ．

解 記号の簡略化のため，

∂r = ∂

∂r

，

∂rr = ∂²

∂r²

などと表す．

(1)

円柱座標

x = ρcosϕ, y = ρsinϕ, z = z

（ただし，

ρ = 0

，

0 5 ϕ < 2π

）において，

x_ρ=cosϕ

，

y_ρ=sinϕ

，

z_ρ = 0

および

x_ϕ =−ρsinϕ

，

y_ϕ =ρcosϕ

，

z_ϕ = 0

となる．する と

Chain rule

から

∂_ρ=∂_xx_ρ+∂_yy_ρ+∂_zz_ρ= (cosϕ)∂_x+ (sinϕ)∂_y · · ·^あ

∂_ϕ =∂_xx_ϕ+∂_yy_ϕ+∂_zz_ϕ = (−ρsinϕ)∂_x+ (ρcosϕ)∂_y · · ·^い

∂_ρρ = (cosϕ)∂_xρ+ (sinϕ)∂_yρ

= (cosϕ) (∂_xxx_ρ+∂_xyy_ρ+∂_xzz_ρ) + (sinϕ) (∂_yxx_ρ+∂_yyy_ρ+∂_yzz_ρ)

= (cosϕ){(cosϕ)∂_xx+ (sinϕ)∂_xy}+ (sinϕ){(cosϕ)∂_xy+ (sinϕ)∂_yy}

= (cos²ϕ)∂_xx+ (sin²ϕ)∂_yy+ (2sinϕcosϕ)∂_xy · · ·^う

∂_ϕϕ= (−ρcosϕ)∂_x+ (−ρsinϕ)∂_y

+ (−ρsinϕ) (∂ x +∂ y +∂ +z )

= (−ρcosϕ)∂x+ (−ρsinϕ)∂y

+ (−ρsinϕ){(−ρsinϕ)∂_xx+ (ρcosϕ)∂_xy} + (ρcosϕ){(−ρsinϕ)∂_xy + (ρcosϕ)∂_yy}

= (ρ²sin²ϕ)∂xx+ (ρ²cos²ϕ)∂yy+ −2ρ²sinϕcosϕ

∂xy

+ (−ρcosϕ)∂x+ (−ρsinϕ)∂y · · ·^え.

ゆえに，

^あ ∼^え

を用いて

∂_ρρ+ 1

ρ∂_ρ+ 1

ρ²∂_ϕϕ+∂_zz =(cos²ϕ)∂_xx+ (sin²ϕ)∂_yy+ (2sinϕcosϕ)∂_xy +

1

ρcosϕ

∂_x+

1

ρsinϕ

∂_y

+(sin²ϕ)∂_xx+ (cos²ϕ)∂_yy+ (−2sinϕcosϕ)∂_xy +

−1 ρcosϕ

∂x+

−1 ρsinϕ

∂y

+∂_zz

=∂_xx+∂_yy+∂_zz = ∆.

(2) (i)

円柱座標において，

z = rcosθ, ρ = rsinθ, ϕ = ϕ· · ·¹

とおくと，

(1)

の計算

あ ∼^え

をそのまま踏襲すれば

∂rr+1

r∂r+ 1

r²∂θθ =∂zz +∂ρρ

i.e.,

∂²

∂ρ² + ∂²

∂z² = ∂²

∂r² +1 r

∂

∂r+ 1 r²

∂²

∂θ² · · ·^b.

変換

のもと1 z=rcosθ, ρ=rsinθ

ゆえ

rρ=sinθ

．さらに

ρ

z =tanθ

であるから，両辺 を

ρ

で偏微分して

1

z = θ_ρ

cos²ρ ⇐⇒ θ_θ = 1 r cosθ.

よって，

Chain rule

によって

∂

∂ρ = ∂

∂rr_ρ+ ∂

∂θθ_ρ

=(sinθ) ∂

∂r+ 1

r cosθ ∂

∂θ · · ·^c .

(iii) の変換のもと，¹ ρ² =r²sin²θ

だから，

をb へ代入すれば，a

∆ = ∂²

∂r² + 1 r

∂

∂r + 1 r²

∂²

∂θ² +1 ρ

∂

∂ρ + 1 r²sin²θ

∂²

∂ϕ² · · ·^d

したがって，

よりc 1

ρ

∂

∂ρ = 1 r

∂

∂r +

1 r²tanθ

∂

∂θ

．これを

へ代入すれば所望の等式d ?

を得る．