Instructions for use
T itle
S E L F S IMIL A R E X PA ND ING S OL UT IONS IN A S E C T OR F OR A C R Y S T A L L INE F L OW
A uthor(s )
Giga,Y oshikazu; Giga,Mi-Ho; Hontani,Hidekata
C itation
Hokkaido University Preprint S eries in Mathematics, 649: 1-19
Is s ue D ate
2004
D O I
10.14943/83802
D oc UR L
http://hdl.handle.net/2115/69456
T ype
bulletin (article)
F ile Information
pre649.pdf
½
¾
¿
!"
# $% %" & '# ( % &
& ' "# $%
& % & & )'#
$% !" &
&#
!"
*+,, -.*/ 0.12+ ,.23
!" & % &
4*/℄4*,℄ 4*+℄# !"
!"% # "& 6# $
4*3℄ & # # 4*℄ # 7
!" '
¾ 8
9**: ;9: < =
% % < %
; "% % 9: "%% %
¾
= % # 9:; % 9*#*: % &
% % '# " % 9*#*: %
& )'# $% "%
!"# $ 9*#*: <
"%% >&? 4*3℄4*℄# $% & % @) %
; ¾
= 9 :
¾
& 9 :# "% 9:
' * A "# $%
%
% & % < ; ½¾
>? 9*#*:# @ %
< % % 9: %
% B % & B
# @ % <
< & % <
½
# 7
9: % < # $% 9*#*: % 8
9*/:
9:;C
9:
9:
!
½
" #$%# &'&&()&#* + ----. /
¾
" #$%# &'&&()&#* + .----. /
0 1# -)23&2))#
-)4'52&(#* 6 +*6/ ¿
C
9:;
D9
:
9:
9: %
9: %
= %
9: %
%
9:
% & 9 /:# $% ' D9
: % %
%
"% '
# $% "% ' 9%
E -: " % E 9-#*: ) '
9FG: "%% & # $% !" < !"#
% &
< ¼
9*#/: 9% : % % %
& H# @'# 91 %
%@)%
4*-℄%"#: $% % # 8
9: "% & =
9&: 9*#*: "% <
% % & % "% & #
( %" &" !"
!" "% % # "% "
'#
9: !" & !" "% % I
9: !""% % & !" "% " I
!" % 9*#*:#
% & Æ & "= 4.℄ 4J℄ 43℄ 9: 4.℄ 4**℄ 4*2℄ 4J℄ 43℄ 9:# 4.℄ 4J℄ 43℄ >? 9*#*: &
# %" % % >? %
&#
%9:# K
& % % & & # "
"% !" %% >?
A" & 4.℄ 4+℄ 43℄# & 4-℄ "% <
% & ' # % % &
% B
' H# %
&"
%
# $% %
" 9"% % : # %
9"% "%
: % %
" # 9 ' %
43℄# G %
H
% % " # @
% % "& % #: E
" " 9 "%
:
%"% & # @ %
4*-℄ % #
@% %A 9* : % %
9*#/: % "% % 4J℄ 43℄
9& : "%A
# 4*.℄4/℄ %
&% # @ % % %#
1 % ) %A
4*J℄ 4*0℄#
7 &! % % % # $% ' &
% 9 /: L 4*3℄ 4,℄# $
ÆEFG"%
9:;
"%
2# $%&
E
? &'"
?# %&
" % # "
&# $% '
? %
* # # # *
;
# # #
; 9
: = 9-#/:# @ % ' &
% & ; 2
; *
; * "% 9-#/:# @ ) "% FG# @ % FG ; 2 ; * & &% #
% #
& 7 .#/ #
& @) %# 1% % %
& "
? & % FG #
$% H "# / "
'# -"%FG%&'9-#*:# @
% &% .
"%% % % #
!"
$ " &# 7 & % &
% ;
"%
%
% A" /#*# % "
%
;9
: & %
; "%
# 7 & # 7 M ;
= ; * "%
9#
:
9#
:# @ M
# @ % M ;2#
@
% ;
"%
"%
%
;9
: *
;
%
# @ %
? & A" #
/#*%" # /#/%" &
@ % 9:
¾
&
9: & %
)& "% # $% % %
%9: #
% " 9:
¾
& C
9:8;
9:D
9:
D
29 ;
*: "% 9: ;
9:
9:
9:
9: % %
9:# $%
'
9: & "%
9:8;
* 9:
9:
* 9:
9: 2 %"
9 /#-:# @% #
9:
9*#/: % &
"% %%
9/*: 9:;
;
=
2 =
9//:
9:;C
9: 2 ;*
"% 9: % 9:;
9:
9:
9:
9: %
9:# @ % 9:
% & '
##
9:;*9# *:
9#
: ;* 2#
% '
& # "#
M ;
= ;
* D
; * 9:
9N2:
! ! "#
9:
9N2:;
@% $% /#* - & A %" .# % % " % $% /#/& #
$ "" 79:
9:
&%
% 9N2: 9N2: "% % & # @ %
##
% # @ % *# $% &
9: 9: *# 7 9: 9# 9:: & % 9:;
9:
9:
9:
9# 9:;
9:
9:
9: & 9: 2=
9: % %
& & 9:9 /#.:# 7 O
9: & % O 9: ;
9:#
" %
9: 9:
% # @ %
O
9*:
9*: ; # ( %
92*: %
8;
O
9:
9*: ; #
O
92:
9*
: ; % Æ 2 % %
O
9Æ:
9 : ; "% 8; *
# @
E % Æ#
8; ! 2= O
9" NÆ:
9"N : ; " 92!: " % 2
#
O
9"NÆ:%
9"N :E" ;
%
9
NÆ:
O 9
NÆ:
9
N : 9
N : % % %
9
NÆ:
"% %
9
N : " %
9
NÆ:
9
N :; % % %
9
NÆ: ' % %
9
N :# ( % %
9
NÆ:
% % %
9
N : % % "%
9
NÆ:
% %
9
N : 9# 4*3℄ 4,℄:# %
9
NÆ:
% %
9
N : "%% 2
#
% &# 9:$%'9/#/:&" !"' 9*#*: 9 9*#/:: "% & @) %#
%
% % % % %
?"% * %%"%
'D
%
; 9: ;
9
:# @ %
% # $%
8 9:;=
# $%
& " #
n
B
n
A
p
A
p
B
n
B
n
A
-p
A
-p
B
~
~
9:"% @)%%% %%' #D
% #9:%
9*#/: "% D
& #D
"% 9: E & 9/#*:"% 9/#/:#
9: E
%
" ) "% E @) % % % A %
# /#+ /#J /#0# @ 1" "%%
FG 9-#.: E
?#
n
B
n
A
p
A
p
B
S(t)
$ ) 9:
p
A
p
B
n
B
n
A
S(t)
~
~
% ) 9:
# $" % " &%"!& "& % "'" !
@ % %" % % 9$% /#*:# @% ; 2 9: ¼
"% 9:;
½¾
9: % # % " " *# 7
9:
¼
& # $% "% ' 9: ¼
8
$
9: $
;9%
N% ·½
:
9: * %
½ 9:
* %
·½
·½
9: 2
;* "% %
8;
½
;* N*# " ¼
8;
·½
8;
¼
8; 2 ·½
8; 2 # K % "
9: ; C
9: ; * " % FG 8
9-*:
$
9: $
; * /
9:
N &
½
½ 9:
N '
·½
·½ 9:
;/
D
9%
N%
: %
%
;*
&
;/
D
* %
;**
'
;/
D
* %
;/
&
;2 '
;2# " %
N%
; 9%
N%
: %
%
#
( %
/ " %
%
;
# @%
9# : ##
9#
: % %
2 9# %
2: ; * N*
2 9#
2: ; *# " %
2
;* &
2 ;** '
2 ;/ #
9:
% FG
9-#*:
9: %
9:;(
"% & (
9-#*: ;*#
$% /#* & & %"
9:
* +#
@% ;* ' 9-#*: FG8
$ 9: $
; / 9:
2
9$$: 9:
; 2 " & 9: ;
2 % $% /#* % ;*#
% " " % /# $% -#* "# &
9:;(
9-#*: "%
9-/:
* * # # # *
;
# # #
"% A"
;*(
"%
;
' &
'
2 #
# #
# #
# #
# # &
' 2 &
;
' &
" % FA? %#
2 )9:8
)9:; ' ¼ & ' # # # # # # # # # & ' ¼ &
" &'8
9--: ** 9: ** 9: # # # ** 9: ;)9: * 9: * 9: # # # * 9:
"% 2*9: 2# G *
92:;*
)92:#
% & ;* % *
9*: 9-#/: )9*: ;#
F) 9-#-: "% " %
# # # * ¼ 9:* 9: # # # ;)9: # # # * ¼ 9: # # # # # # * 9: # # # "%%
9-.: +9
*9:: # # # * ¼ 9: # # # ; # # # * 9: # # # ## +9 *9:: * ¼ 9:;
* 9: "%
*9:;
9* 9: * 9:: "% ; 2 ' & 2 '
2 # # # # # # # # # # # # # # # # # # 2 & 2 ' & 2 +9
,:;)9:N9*, *, : "% ,;
9, ,
:
¼
$$ ) "% # % + 9-#.:
9-+:
* ¼
9:;-9
*9::
" -9,:;+ 9,: # @ FG 9-#+: 2"%
9-J:
*92:;
,
,
8; 9*
*
:
7'
* 9:9-#+: 9-#J: + % +;2 92
,
: % + % 92
,
:#
" % 7 -#/ %
* 9: & ' ; *N! "% ! 2 9& $% .#*:# $%
8; *
9*: 9 ; * :
9-#/: %
9:
"%
9: ;
*
9*: 2 ; * 9-#*: "%% $% -#*#
& ! '( )'* !+ ;* ,
*9:
* 9:
2 * +- +. 42*N!℄/ !
0#
".9#.:; 9
: .; 9. .
:
.
9#
.
: ;*
$ ++ 7
& %
9-#+: 9-#J: 8; 9
*N!:# @ % -9
*9:: "E 42 : & 7 -#-# 9-#+: " %
* 9:
* 92:;
-9/
*9/::
*9/:$/ 42 :
"%%
*9:
*92:N
-9/
*9/::
*9/:$/ 42 :
% G
%
#
7-#- % % % %
2 -9
*9::
42 :
% # " %
*9:
*92:N
*9/:$/ 42 :
"?7
*9:
*92:9 :
,
9 :;8
42 :
%
*N!# $% 7 -#-9:
*
*
9:
42
: ;*
"%% % E % # $% "%
* +- +. ) 8; 9
*N!:/ !
0#
* 9: +- +.
1
* 9: / /
* ¼
9:
2 01' 42 : 11 1 /
* 9:
, £
9
2: 01' 92 :
111
2
2% +
9
*9::
01' 42 :
$ $% % % H
$% .#*# %
*9: 2 42 : " %
*9:
2# @ " & % 9: 9: $% .#*
* ¼
9: ; -9
*9::
*9: 2 42 :# 9-#J: 9: 9:# $% .#*
9: 9:#
( ) "! " % ! "
" + 1
!
,
+9
,:
92: 42*N!℄
,9
:
11 +9
,: 42*N!℄ , 9
:
*
+
9
,: 42*N!℄9
:
111
, ℄
9
:
, ℄
2
2
, :
2 +
9
,:
42*N!℄ , 9
:
, , ℄
"
8; 92: % 9
:
;
92:92:# $ % % " % %" % " # $ %" %
+ " 2
9:8
2
9:8;
* '
¼ &
* '
&
* '
#
# #
# #
#
# #
# #
# #
# #
#
# #
#
¼ &
* '
&
*
2 3 ;* "% 3#
2
9:;
*
2 3 ;*
2
9:;
* '
&
*
@ % 2 9: & & % % )9: &
?# @ O
2
;2
9*:#
O 2
&# 1% ;
O 2
& " 2 3 ;* 3/
9.*:
O 2
;
%
4
%
9./: 4
8;%
N%
;
9%
N%
: %
%
$ P&
'
2
9:&"8
&
;
* 4
%
'
;
* 4
%
@ % 3 ;*"% # @% 9.#*: & # 7
% %% 9.#*: "% 3 ;*# 9: ' 9.#/: " %
;
9% N%
: 9%
N% :% %
;*; O 2
"%% 9.#*:"% 3 ;*;#
9:1 " % %"9.#*: "% 3 ;* ;/# @ %
O 2
;* * 4 %
* 4
%
;
$ 4 4
%
%
%
9.#-:
"%$
;94 4
%
*:% %
# G' 9.#/: $
;9% N%
:9%
N%
: % %
%
9..: (5; 9(N5:9(5:/
" %
$
; 9% N/%
N%
:9% N%
:/
( %
9.+: (5 ;/
(N5 /
(5
/
" % $
;9% N%
N%
:%
& % 9.#-: " &
O 2
;
9% N%
N%
: 4 4
% %
%
;
9:@ % - 9.#*: % O 2
O 2
O 2
@ %
O 2
;
O 2
'
&
O 2
O 2
;
2 O
2
# # # 2 '
2 2 &
*
6;/
$% %
O 2
;
%
4
%
* 4
%
* 4
%
%
4
%
G
9.J:
O 2
;
$
4
%
%
"%
$
;
%
9%
N%
:
%
%
$% 9.#.:
$
; *
/
%
N%
%
N%
% 9.#+:
$
;
%
%
&%9.#J:"&9.#*: O 2
$ $ 2 9: ; & ' 2
9:2
9: N & ' 2
9:2
9: 9.#J: N/ & ' 2
9:N/ & ' 2 9:
2 3;* 3N/ 3
$ $ 2 9:
;2 2 3 ;* =
$ $ 2 9: ;/ & '
2 3 ;**=
$ $ 2 9: ;/ & ' N & '
2 3 ;*/
$ @ &% 2 3;* "% 3N/
$ $ 2 9: ; 2 # # # 2
9: 2 2
'
2 2 &
2 '
2 2 &
2 2 2
9: # # # 2 N 2 '
2 2 & 2 2 9: # # # 2 N 2 # # # 2 9: 2 ' 2 2 &
2 ; & 2 2 9: # # # 2 2 2 2 &
'
2 2 &
2 2 2
&
2
2
9:
# # # 2 2 2 &
'
'
2 # # # 2
9: 2 2
'
2 2 &
'
2 2 2
2
# #
# 2
9: 2
'
&
'
22 2
# #
# 2
9: 2
&
'
2
9: '
&
2
9:
"%% 9.#J:# % 3N/#
,+ ""
1 2 3;* 3 2
9*:; O 2
2
11 ! 2
$ $
2
9:2 2
9:2
9*N!:2
42*N!℄ 3 ;* 3
$ 9: ; *N* " % %
2 9# %
2: %
9# :# % /
%
;
9.#*: 7 .#/ 9:# 9: @ % & #
9: 3;* 2
9:;* % 9$$:2
9:;2 # 9: 3 ; * * 9$$:2
9: 2 2 & K .#-# ( 9: "% ;3N* % !
2 % % 2
9:2 42*N!
℄ 9:1 ""% - 7 &/-* "E # % 3 ; */ 9 *: 6 ; 2* * % !
2 % %
2
9:2 42*N!
℄ 3 ;*/ 9.#J:K .#-"% ;3N 9$$:2
9:2 42*N!Q
℄ "% !Q
; !
= ;3N*3N/3N /!
= ;3N/3N- 3N *
2 9 ; *:&
2 9 ; **: '
2 9 ;/ : ( 9: "% ;3N % !
2 % % 2
9:2 42*N!
, 8;2 9:N * , * , * , 2 , ; 9, , ,
:9
:
3;* "% 3 " %
+ , ; , + , 8;)
9:N *, *, *, ! ) 9:8; ) 9: "% ) 9:
% )9: E -# K .#. 9: %
% ! 2 % % 2
9:
42*N!℄ & ; * "% & "%
8;2
9*N!: 2# " % %" K .#+ " %
, 2
9: 42*N!℄ , 9 :
2 9 ; *:
9.0: +
, 92:
42*N!℄ , 9 :
9: K 9: " 9: "% 3 ;* ; % E +# 9:@%;*+9
,:'9 N*,
:%2+ 9
,:;9 N*,
:
* @ % / +9
,: & 42*N!℄ , 9
:
& 9: % 9&: % +9
,: ' D
9
,:+9 ,: &;* "%D
9
,: %9&:+9
,:# "%& K .#J " %
D
9
,:;9*: & + 9 ,:+ 9
,: &=
D
9
,:;9*: ' + 9 ,:+ 9
,: &=
D 9 ,:;+ 9 ,:+ 9 ,: 2 , 9
:
" +
9 ,:; * ;+ 9 ,: &
2 9 ; * *: '
2 9 ; /: ' 9.#0: D
9
,: 2 42*N!℄
,9
:
& ;* "%% "
9&: + 9 ,: # ; D 9
,:+9
,: 2 & 9:# % % % D
9
42*N!℄
, ; 9, ,
: 9
: "% ,
, D
9
,:
*,
*,
# $%9: %%
2%%D
9
,:+9
,:
42*N!℄
,9
:
"% ,
, ℄
&;*
1 " % %" ' "%% % $% .#*# 7
29 ;* :
9 ;* *: 8
9 ;/: "
8;
N97
7
7
:
8;
* 8
¼
* 8
* 8 #
# #
# #
# #
# # #
# #
# #
# #
# #
* 8
¼
* 8
*
3;* "% 3 #
8;
*
3;* =
8;
* 8
*
3;* * "% /
,+ "# 3 * 3 1
2 & ; 33N* &
$ 3 ;* "% 3 "
9':8;
N' 97
7
: ' 2
"%%
92: ;
9*: ;
# @ % & 3 ; 2*/ *# 2 3 * 9$$':
9': 2 '2"%%
9':
2 '2# @ % 3 ;* "% 3N/ # % 9$$':
9': 2 ' 2 & ;33N* "% &N3*#
$ $'
9': ; 7
9':N
9':7
N
9':7
9':
2 '2
9':
92: ;
2 ' 2 & ; 33 N* "% &N3* & % % # $% " &
;
9*:
92:;
$% .#*# #
9 ; * :
9 ; /: 8
9 ; **:"
9
8;
#
8
#
¼ 8
#
#
# #
# #
# #
# # #
# #
# #
# #
# # 8
#
¼ 8
#
8
#
3;* "% 3
9
8;
#
3 ;* =
9
8;
#
8 8
#
3 ;* * "% /
7
&%9&:9
&;* $%&
& #
,+ "$ 2 &;* 1 ' &
;9*:
8
9
9
11 ' &
;9*:
9
9
111
;9
9
4 9
;*;9
% "
4*℄ #(# # G# % %%"%
/#G % %# R %# # 9*,3,: -/--,*
4/℄ #7# S% 6# # # %A " & &
'&'
4-℄ S# # G # R# R# %T H S !" % # # %# # # 9*,,3:./+.J2
4.℄ $# A # % & % "% # 8 @
?,/ 9# U# 7A%A%: @ (
%# # 9*,,3: **0*,3
4J℄ ## # & % & "%
S# K F)G' 9*,,,: *2,*3.
40℄ ## # S !" S
% !" % # & &8
% 9# 1# %:A # %# # #
9/222:J.0,
43℄ ## # H & % %#
R# %# # 9/22*:
/,+---4,℄ # # % %
P# # %# 9*,,J:0/00-0
4*2℄ K# # O S % %
& "% 6# 1# # 9*,,+: 33J3,,
4**℄ K# #OR#U#%S %%%'
% % & "% 1# %# !
9*,,.:.*02
4*/℄ # G# $%% G K% ( % K
S K 9*,,-:
4*-℄ # ## # # F% !"
& **%
S FS /22- 71S /33J 1 9/22-: .J+.0.#
G !" "% E
AA # K %# 9/22.:
4*.℄ # %A & & ' & ' "% E & 1 9/22*: 3J+3,.
4*+℄ # KF)G' S&
K /22*
4*J℄ # ' !" # %#
6# 9*,,J:**+0**0.
4*0℄ # &% !" AA %# 6# !
9*,,3:-2--/2
4*3℄ 6#$ S B ) K
% S F) K 79*,,*: -/*--J
4*,℄ 6# $ "% # 9*,,/: *.0+
