1 / 6 Square roots and real numbers（平方根と実数）
原文 タイム 日本語音声
I have here a bunch of radical expressions, or square root expressions. And what I'm going to do is go through all of them and simplify them. And we'll talk about whether these are rational or irrational numbers.
0:00 根号、つまり平方根を含む計算を練習しましょう。
ここに用意したａからｊの式を計算して、簡単にするこ とが目標です。
さらに、これらが有理数か無理数かについても説明しま す
So let's start with A.
A is equal to the square root of 25.
0:13 では早速、ａから始めましょう。
ａの問題はルート 25（√25）です Well that's the same thing as the square root
of 5 times 5, 00:20 ルート 25 はルート 5 かける 5（√25=√(5*5)）と書いても同じになります
which is a clearly going to be 5. 00:26 だからこの問題の答えは 5 です
We're focusing on the positive square root
here. 00:30 なお、ここでは正の平方根を扱っています
Now let's do B.
B I'll do in a different color, for the principal root, when we say positive square root.
00:34 次にｂの問題に進みます。
ペンの色を変えましょう。主要根と言えば、正の平方根 を指します
B, we have the square root of 24. So what you want to do, is you want to get the prime factorization of this number right here.
00:42 ｂの問題はルート 24（√24）です。
こうした計算では、根号の中の数の素因数分解をする といいでしょう
So 24, let's do its prime factorization. 00:50 では、24 の素因数分解をします This is 2 times 12. 12 is 2 times 6. 6 is 2 times 3. 00:53 24 は 2 かける 12（2*12）です。 12 は 2 かける 6（2*6）です。 6 は 2 かける 3（2*3）です So the square root of 24, this is the same
thing as the square root of 2 times 2 times 2 times 3.
1:03 よって、ルート 24（√24）がどうなるかというと、ルート 2
かける 2 かける 2 かける 3（√(2*2*2*3)）と表せま す
That's the same thing as 24. 1:15 24 はこのように書いても同じです
Well, we see here, we have one perfect square right there.
1:18 見て分かるように、ここに完全平方が 1 つあります
So we could rewrite this.
This is the same thing as the square root of 2 times 2 times the square root of 2 times 3.
1:22 したがって、これは書き換えられます。
ル ー ト 2 か け る 2 、 か け る ル ー ト 2 か け る 3 （√(2*2)*√(2*3)）です
Now this is clearly 2. This is the square root of 4. The square root of 4 is 2.
1:34 ルート 2 かける 2（√(2*2)）は 2 ですね。
4 の平方根ですから 2 になります And then this we can't simplify anymore.
We don't see two numbers multiplied by itself here.
1:39 ルート 2 かける 3（√(2*3)）は、簡単にできません。
同じ数を 2 回かけていませんからね So this is going to be times the square root of
6. 1:44 したがって、答えは 2 ルート 6（2√6）になります
Or we could even wright this as the square
root of 2 times the square root of 3. 1:48 ルート 2 かけるルート 3（√2*√3）と書いても同じです Now I said I would talk about whether things 1:51 さて、これらが有理数か否かを説明しましょう
2 / 6 are rational or not.
This is rational.
This part A can be expressed as the ratio of 2 integers. 1:54 ａの答えは有理数です。 なぜかと言うと、a で求められた 5 は 2 つの整数の比で 表すことができるからです Namely 5/1. This is rational. 2:03 5 は分子が 5、分母が 1 なので、有理数です
This is irrational. This is irrational. I'm not going to prove it in this video.
2:07 一方で、ｂの 2 ルート 6（2√6）は無理数です。
無理数ですが、このビデオでは証明はしません。 But anything that is the product of irrational
numbers. 2:14 証明しませんが、無理数の積は必ず無理数になります。
And the square root of any prime, any prime number is irrational.
I'm not proving it here.
2:19 また、素数の平方根は、どんな素数でも無理数です。
それについても、ここでは証明しません This is the square root of 2 times the square
root of 3. That's what the square root of 6 is. And that's what makes this irrational.
2:26 ルート 2 かけるルート 3（√2*√3）がルート 6（√6）
になっています。
だからルート 6（√6）は無理数なのです。 I cannot express this as any type of fraction. 2:32 これを分数の形に表すことはできません I can't express this as some integer over
some other integer like I did there. And I'm not proving it here.
I'm just giving you a little bit of practice.
2:36 分子と分母を整数にすることができないのです。
ａの答えと違います。
証明はせず、計算の練習だけにとどめておきます And a quicker way to do this. You could say,
hey, 4 goes into this. 4 is a perfect square. Let me take a 4 out. This is 4 times 6. The square root of 4 is 2, leave the 6 in, and you would have gotten the 2 square roots of 6.
2:46 素早く解くなら、24 は完全平方の 4 で割り切れて 4 か
ける 6（4*6）、ルート 4（√4）は 2 で 6 が残り、2 ルート 6（2√6）と求められます
Which you will get the hang of it eventually, but I want to do it systematically first.
2:56 いずれは、こうして解けるようになりますが、最初のうちは 手順に従って計算してください Let's do part C. Square root of 20. 3:01 ｃの問題に進みましょう。 ルート 20（√20）を計算します Once again, 20 is 2 times 10, which is 2
times 5.
3:06 同じ方法で求めます。20 は 2 かける 10（2*10）で、
10 は 2 かける 5（2*5）です So this is the same thing as the square root
of 2 times 2, right, times 5. 3:12 そうするとこの問題は、ルート 2 かける 2、2 かける 2 はかっこでくくって、かける 5（√((2*2)*5)）となります Now, the square root of 2 times 2, that's
clearly just going to be 2, just going to be2.
3:21 ルート 2 かける 2（√(2*2)）が 2 であることは、すぐに
分かるでしょう It's going to be the square root of this times
square root of that. 2 times the square root of 5.
3:25 ルート 2 かける 2、かけるルート 5（√(2*2)*√5）なの
で、2 ルート 5（2√5）です And once again, you could probably do that
in your head with a little practice. The square root of the 20 is 4 times 5. The square root of 4 is 2.
3:29 これも頭の中で計算する練習をしておきましょう。
20 は 4 かける 5（4*5）で、ルート 4（√4）は 2、根 号の中に残るのは 5 となります
3 / 6 You leave the 5 in the radical.
So let's do part D. Part D.
We have to do the square root of 200. Square root of 200.
3:39 で は 、 次 の 問 題 に 進 み ま す 。 ｄ は ル ー ト 200 （√200）を計算しなければなりません。ルート 200 （√200）です
Same process.
Let's take the prime factors of it. 3:47 やり方は同じで、まず素因数分解をします
So it's 2 times 100, which is 2 times 50,
which is 2 times 25, which is 5 times 5. 3:50 200 は 2 かける 100（2*100）です。100 は 2 かける 50（2*50）、50 は 2 かける 25（2*25）です ね。25 は 5 かける 5（5*5）となります
So this right here, we can rewrite it. Let me scroll to the right a little bit.
4:01 これでルート 200（√200）を書き換えられます。
画面を少しずらしましょう This is equal to the square root of 2 times 2,
2 times 2 times 2 times 5 times 5. 4:05 ｄの式を書き換えると、ルート 200 はルート 2 かける 2か け る 2 か け る 5 か け る 5 （√200=√(2*2*2*5*5)）となります
Well we have one perfect square there, and we have another perfect square there.
4:18 完全平方が 1 つあります。そして、もう 1 つありますね
So if I just want to write out all the steps, this would be the square root of 2 times 2 times the square root of 2 times the square root of 5 times 5.
4:23 飛ばさずに、段階を踏んで計算していきましょう。
ルート 2 かける 2、かけるルート 2、かけるルート 5 かける 5（√(2*2)*√2*√(5*5)）、と書き換えられます The square root of 2 times 2 is 2.
The square root of 2 is just the square root of 2. The square root of 5 times 5, that's the square root of 25, that's just going to be 5.
4:35 ルート 2 かける 2（√(2*2)）は 2 です。
ルート 2（√2）は、そのままにします。
ルート 5 かける 5（√(5*5)）はルート 25（√25）な ので 5 です
So you can rearrange these. 2 times 5 is 10.
10 square roots of 2.
4:45 もう少し計算できます
2 かける 5（2*5）は 10 ですから、10 ルート 2 （10√2）です
And once again, this it is irrational.
You can't express it as a fraction with an integer and a numerator and the denominator.
4:51 これも無理数なのがわかりますか？
なぜなら、分数で表そうとしても、分子も整数にできず、 分母も整数にはできないからです
And if you were to actually try to express this number, it will just keep going on and on and on, and never repeating.
5:01 この数を小数で表そうとすると、無限に続き、数字は循
環しません Well let's do part E.
The square root of 2000. 5:08 それでは、続いてｅの問題に移りましょう。 次の問題はルート 2000（√2000）です
I'll do it down here. 5:13 下にずらします
Part E, the square root of 2000.
Same exact process that we've been doing so far. Let's do the prime factorization.
5:16 ｅの問題はルート 2000（√2000）ですね。
ここまでの問題と同じ手順で計算していきます。 つまり、初めにやることは素因数分解です That is 2 times 1000, which is 2 times 500,
which is 2 times 250, which is 2 times 125, which is 5 times 25, which is 5 times 5.
5:25 2000 は 2 かける 1000（2*1000）です。1000 は
2 かける 500（2*500）です。500 は 2 かける 250 （ 2*250 ） に な り ま す 。 250 は 2 か け る 125
4 / 6
And we're done. （2*125）です。125 は 5 かける 25（5*25）で
す。25 は 5 かける 5（5*5）となります。 できました
So this is going to be equal to the square root of 2 times 2-- I'll put it in parentheses-- 2 times 2, times 2 times 2, times 2 times 2, times 5 times 5, times 5 times 5, right?
5:50 すると、この問題の根号の中は書き換えることができま
す。まず、2 かける 2（2*2）と書いてかっこでくくりま す。かっこ 2 かける 2、かける、かっこ 2 かける 2、かける、 かっこ 5 かける 5（(2*2)*(2*2)*(5*5)）。 We have 1, 2, 3, 4, 2's, and then 3, 5's, times
5. 6:09 2 が 4 つで、5 が 3 つなので、最後にかける 5（*5）を書きます
Now what is this going to be equal to? 6:15 さて、計算するとどうなるでしょうか？ Well, one thing you might see is, hey, I could
write this as, this is a 4, this is a 4. So we're going to have a 4 repeated.
6:18 これを見るとすぐに気づくと思いますが、2 かける 2
（2*2）は 4 です。もう 1 つ、2 かける 2（2*2）があ って 4 です。だから、4 を 2 回かけています
And so this the same thing as the square root of 4 times 4 times the square root of 5 times 5 times the square root of 5.
6:27 すると書き直すことができて、ルート 4 かける 4、かけるル
ー ト 5 か け る 5 、 か け る ル ー ト 5 （√(4*4)*√(5*5)*√5）となります
So this right here is obviously 4. This right here is 5.
And then times the square root of 5.
6:39 ルート 4 かける 4（√(4*4)）は 4、 ルート 5 かける 5（√(5*5)）は 5、 そして、最後にルート 5（√5）をかけます。
So 4 times 5 is 20 square roots of 5. 6:47 4 かける 5（4*5）は 20 で、答えは 20 ルート 5 （20√5）となりました
And once again, this is irrational, irrational. 6:52 これも無理数ですね Well, let's do F.
The square root of 1/4, F, square root of 1/4, F is the square root of 1/4,
6:58 続いてｆの問題に進みましょう。
ｆの問題は何かというと、ルート 4 分の 1（√(1/4)） です。すなわち、4 分の 1（1/4）の平方根を求めよと いう問題です
so F is the square root of 1/4, 7:12 では書きましょう。ルート 4 分の 1（√(1/4)）ですね
which we can view this is the same thing as the square root of 1 over the square root of 4, which is equal to 1/2.
7:15 これは、分子をルート 1（√1）、分母をルート 4
（√4）と書いても同じです。つまり、分子は 1 で分母は 2 になります
Which is clearly rational.
It can be expressed as a fraction. So that's clearly rational.
7:24 これは有理数です。
分数で表すことができているので、有理数であると言え るわけです
Part G, part G is the square root of 9/4,
square root of 9/4. 7:33 次はｇの問題を見てみましょう。ｇはルート 4 分の 9（√(9/4)）という問題ですね
Same logic. This is equal to the square root of 9 over the square root of 4, which is equal to 3/2.
7:44 やり方は同じです。分子がルート 9（√9）で、分母が
ルート 4（√4）と書けるので、分子は 3、分母は 2 です Let's do part H. Part H.
The square root of 0.16.
7:53 次はｈの問題です。
ｈの問題では、ルート 0.16（√0.16）を求めます Now you could do this in your head if you
immediately recognize that, gee, if I multiply 0.4 times 0.4, I'll get this.
8:02 0.4 かける 0.4（0.4*0.4）が 0.16 になると分かれ
5 / 6 But I'll show you a more systematic way of
doing it, if that wasn't obvious to you.
8:10 しかし、すぐに分からないときのために、順序立てて計算
する方法を示します So this is the same thing as the square root
of 16/100, right? That's what 0.16 is.
8:16 ルート 0.16（√0.16）は、ルート 100 分の 16
（√(16/100)）と書いても同じであることが分かるでし ょうか？ 0.16 を分数で表しました
So this is equal to the square root of 16 over the square root of 100, which is equal to 4/10, which is equal to 0.4.
8:25 これは、分子がルート 16（√16）で、分母がルート
100（√100）となり、分子は 4 で分母は 10 になるの で、計算すると 0.4 です
Let's do a couple more like that. OK. Part I was the square root of 0.1,
8:37 もう少し練習しましょう。
次 の 問 題 に 進 み ま す よ 。 ｉ の 問 題 は ル ー ト 0.1 （√0.1）です
which is equal to the square root of 1/10, which is equal to the square root of 1 over the square root of 10, which is equal to 1 over--
8:45 これは、ルート 10 分の 1（√(1/10)）です。だから、
分子がルート 1（√1）で、分母がルート 10（√10） と書いても同じです。すると、分子は 1 ですね
now, the square root of 10-- 10 is just 2 times 5. So that doesn't really help us much. So that's just the square root of 10 like that.
8:56 分母のルート 10（√10）は、10 が 2 かける 5
（2*5）なので、これ以上はどうしようもなく、ルート 10 （√10）のままにしておくしかありません
A lot of math teachers don't like you leaving that radical in the denominator. But I can already tell you that this is irrational.
9:05 数学の先生方は、分母に根号を残しておくことを嫌がり
ます。しかし、これは無理数だとすでに言いましたね Irrational. You'll just keep getting numbers.
You can try it on your calculator, and it will never repeat.
Your calculator will just give you an approximation. Because in order to give the exact value, you'd have to have an infinite number of digits.
9:12 無理数を電卓で計算すると、循環しない数字が続き、
近似値しか分かりません。
正確な値を出そうにも、小数点以下の位が無限にある のです
But if you wanted to rationalize this, just to
show you. 9:23 念のため、有理化する方法を示しておきましょう
If you want to get rid of the radical in the denominator, you can multiply this times the square root of 10 over the square root of 10, right? This is just 1.
9:27 分母から根号をなくすには、分子がルート 10（√10）
で分母がルート 10（√10）の分数をかけます。この分 数は 1 です。
So you get the square root of 10/10. These are equivalent statements, but both of them are irrational.
9:34 すると、分子がルート 10（√10）で分母が 10 になりま
す。これらは等しく、どちらも無理数です You take an irrational number, divide it by
10, you still have an irrational number.
9:41 無理数を 10 で割っても、やはり無理数です
Let's do J.
J, We have the square root of 0.01.
9:45 ｊの問題に進みます。
ｊはルート 0.01（√0.01）を求めよという問題です This is the same thing as the square root of 9:54 これはルート 100 分の 1（√(1/100)）に等しいです
6 / 6
1/100. ね
Which is equal to the square root of 1 over the square root of 100, which is equal to 1/10, or 0.1.
9:57 さらに、分子がルート 1（√1）で分母がルート 100
（√100）と書き換えられ、分子は 1、分母は 10 にな るので、答えは 0.1 と出ます
Clearly once again this is rational.
It's being written as a fraction. 10:07 明らかに、これは有理数です。 分数で表すことができますからね This one up here was also rational.
It can be written expressed as a fraction.
10:13 ｊも有理数でした。
なぜなら、分数の形になるからです
Translator: Seiko Tachi 【Khan Academy 元映像】
https://www.khanacademy.org/math/arithmetic/exponents-radicals/radical-radicals/v/square-roots -and-real-numbers
【KhanAcademyJapanese】 http://youtu.be/cMTW_OQ7Qxg
