UNIVERSITE DE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

UNIVERSITE DE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

DIPLOME: Maˆıtrise de Math´ematiques SUJET D’EXAMEN:

Epreuve de: ANALYSE HARMONIQUE Dur´ee du sujet: 3 heures

Session de: Juin 1991 Nom du r´edacteur: T. NOMURA

Date: 05.06.1991 Documents non autoris´es

Horaire: 9H ` a 12H

NOTATIONS:

— Pour x = (x

, . . . , x

) ∈ R

on d´esignera par k x k la norme euclidienne de x:

kxk := p

x

+ · · · + x

.

— S

= la sph`ere unit´e de R

.

— D(R

) = l’espace vectoriel des fonctions C

sur R

` a support compact.

— D

( R

) = l’espace des distributions sur R

.

— On notera σ la mesure bor´elienne sur S

telle que Z

Rⁿ

f(x) dx = Z

0

r

dr Z

Sⁿ⁻¹

f (ru) dσ(u) pour toute fonction bor´elienne int´egrable f sur R

.

1

2

[ 1 ] Soit f une fonction d´efinie et continue sur R

\ { 0 } . Supposons que f v´erifie f(rx) = r

f(x) quels que soient r > 0 et x ∈ R

\ { 0 } . Si

Z

Sⁿ⁻¹

f (u) dσ(u) = 0, alors montrer que la limite lim

ε→0

Z

kxk≥ε

f(x)ϕ(x) dx existe pour toute ϕ ∈ D ( R

) et qu’elle d´efinit une distribution, not´ee par vp f, homog`ene de degr´e − n.

[ 2 ] Soit D

( R ) :=

½

ϕ ∈ D ( R ) ; Z

−∞

ϕ(x) dx = 0

¾ .

(1) Montrer que ϕ ∈ D

( R ) si et seulement si ϕ est d´eriv´ee d’une fonction de D ( R ).

(2) Soit T ∈ D

( R ) telle que dT dx = 0.

(a) Montrer que h T, ϕ i = 0 pour toute ϕ ∈ D

( R ).

(b) Montrer que T est une distribution associ´ee ` a une fonction constante (on dira que T est constante).

[ 3 ] On se propose de d´eterminer toutes les distributions homog`enes de degr´e −1 sur R .

(1) Montrer que la mesure δ de Dirac au point x = 0 et la distribution vp 1 sont homog`enes de degr´e − 1. Montrer d’ailleurs qu’elles sont lin´eairement x ind´ependentes.

(2) Soit T ∈ D

( R ) une distribution homeg`ene de degr´e − 1. Donc on a x dT dx =

− T (on l’utilisera sans d´emonstration). Montrer que la distribution xT esr constante.

(3) Soit c

la constante telle que xT = c

. Consid´erons la distribution S d´efinie par S := T − c

· vp 1

x . Montrer que xS = 0.

(4) D´eduire du (3) qu’il existe une constante c

telle que S = c

· δ. On notera que si θ ∈ D ( R ) est une fonction telle que θ(0) = 1, alors pour chaque ϕ ∈ D ( R ), la fonction x 7→ ϕ(x) − ϕ(0)θ(x)

x appartient ` a D ( R ). Ainsi, l’espace vectoriel des distributions homog`enes de degr´e − 1 sur R est de dimension 2, et δ, vp 1

x en forment une base.

(A SUIVRE)

3

[ 4 ] Soient P l’espace vectoriel des fonctions polynomiales sur R

et P

(j = 0, 1, 2, . . . ) le sous-espace de P form´e par les polynˆ omes homog`enes de degr´e j.

On d´efinit une transformation W sur P par W P (x) := 1

(2π)

Z

Rⁿ

e

P (x + iy) dy (P ∈ P ).

(1) Montrer que, si P ∈ P

, alors W P − P ∈ L

t=1

P

, o` u l = [j/2].

(2) Montrer que W (x

P )(x) = x

W P (x) − ∂

∂x

W P (x) pour P ∈ P et k = 1, 2, . . . , n.

(3) Montrer que W P (x) = e

P ( − D) e

pour P ∈ P , o` u P (D) signifie l’op´erateur diff´erentiel associ´e au polynˆ ome P (x).

FIN