ロジスティック写像とカオス理論
Logistic Map and Chaos Theory
非線形解析研究室
BV14021
片野 大輔 指導教員：竹内慎吾 教授1
はじめにロジスティック微分方程式の解は時間を無限大にする と初期値に依存せずある定数に漸近する．しかしロジス ティック微分方程式を差分近似して得られるロジスティッ ク写像の解は必ずしもある定数に漸近するとは限らず，初 期値を変える毎にその挙動は複雑に変化する．この挙動は カオスと呼ばれる．
本研究ではロジスティック写像とカオス理論について説 明する．研究を行うにあたり，第
2
節は[1]
，[4]
，[5]
を，第3
節は[1]
，[2]
，[3]
，[6]
を主に参考にした．以下では
f
を写像とし，D(f )
をf
の定義域，R(f )
をf
の値域とする．ただしD(f ) ⊃ R(f )
である．また，f k (x)
はx
をf
でk
回移した像を表す．特にf 0 (x) = x
とする．2
一般論2.1
不動点p ∈ D(f )
とする．f(p) = p
のときp
をf
の不動点と いう．また，p
をf
の不動点，ε
を小さい正の数とし，N ε (p) = { x ∈ R : | x − p | < ε }
とする．∃ ε > 0 s.t. ∀ x ∈ D(f ) ∩ N ε (p), lim
k →∞ f k (x) = p
が成り立つとき，p
をf
の吸引的不動点という．一方，∃ ε > 0 s.t. ∀ x ∈ D(f ) ∩ N ε (p), x ̸ = p ⇒ | f (x) − p | > | x − p |
が成り立つとき，p
をf
の反発的不動点という．不動点の吸引・反発について次の定理が成り立つ．
定理
1. f : R → R
を滑らかな関数とし，p
をf
の不動点 とする．このとき（
1
）| f ′ (p) | < 1 ⇒ p
はf
の吸引的不動点．（
2
）| f ′ (p) | > 1 ⇒ p
はf
の反発的不動点．この定理は不等式評価と上極限・下極限の性質を用いて 示される．
2.2
周期点x 0 ∈ D(f)
に 対 し ，f n (x 0 ) = x 0
で あ り ，さ ら にx 0 , f(x 0 ), f 2 (x 0 ), . . . , f n − 1 (x 0 )
がすべて異なるとき，x 0
はn
周期点であるという（n = 1
のときは単に不動 点のことである）．x 0
がn
周期点であるとき，x 0
の軌道 は{ x 0 , f (x 0 ), f 2 (x 0 ), . . . , f n − 1 (x 0 ) }
が繰り返し現れ る周期軌道になる．この繰り返されるn
個の点の集合をn
サイクルという．また，x 0
をf
に対するn
周期点と し，k = 0, 1, . . . , n − 1
に対しf k (x 0 )
がf n
の吸引的（反発的）不動点のとき
x 0
をf
の吸引的（反発的）n
周 期点という．さらに，f
がn
周期点x 0
で連続であるとす る．x 0
が吸引的（反発的）ならば、このときn
サイクル{ x 0 , f (x 0 ), f 2 (x 0 ), . . . , f n − 1 (x 0 ) }
は吸引的（反発的）であるという．
周期点についても定理
1
と同様の定理が成り立つ．定理
2. { x 0 , x 1 , . . . , x n − 1 }
をf
のn
サイクルとする．た だしf (x 0 ) = x 1 , f (x 1 ) = x 2 , . . . , f (x n − 1 ) = x 0
とする．このとき
（
1
）| f ′ (x 0 )f ′ (x 1 ) · · · f ′ (x n − 1 ) | < 1 ⇒ n
サイクルは吸引 的．（
2
）| f ′ (x 0 )f ′ (x 1 ) · · · f ′ (x n − 1 ) | > 1 ⇒ n
サイクルは反 発的．この定理は定理
1
と合成関数の微分公式を用いて示すこ とができる．2.3
分岐パラメータ表示された関数族
{ f µ }
の不動点・周期点の個 数や性質（吸引的か反発的か）が，µ
がµ 0
を通過するとき に変化するならば，{ f µ }
はµ 0
で分岐を持つ（µ 0
で分岐す る）という．µ 0
をこの関数族に対する分岐点という．2.4
リャプノフ指数とカオスの定義定義
3. f : R → R
をC 1
級とする．各点x 0 ∈ R
に対し て，その極限が存在するときλ(x 0 )
を次のように定義する．ただし，
j = 1, 2, . . .
に対してx j = f j (x 0 )
である．λ(x 0 ) = lim
n →∞
1
n log | (f n ) ′ (x 0 ) | = lim
n →∞
1 n
n − 1
∑
j=0
log | f ′ (x j ) | .
このとき
λ(x 0 )
を点x 0
におけるf
のリャプノフ指数とい う．また，λ(x 0 )
がx 0
に依存しないとき，λ(x 0 )
をλ
と書 きf
のリャプノフ指数という．関数
f
によって初期値のわずかな差が時間経過とともに 指数関数的に増大するとき，f
は初期値鋭敏性を持つとい う．また，ある正の整数n
が存在し，f n (x 0 )
がf
の不動点 となるとき，このx 0
をf
の最終的不動点という．定義
4. f : R → R
をC 1
級とする．f
が定義域内の最終的 不動点でない全ての初期値に対して正のリャプノフ指数を 持つとき，f
はカオスであるという．3
ロジスティック写像3.1
ロジスティック写像の導出r
，K
を定数，∆t
を時間t
のひとつの刻み幅とする．微 分方程式dN
dt = rN (K − N) K
はロジスティック微分方程式と呼ばれている．微分係数
dN/dt
を差分商N (t + ∆t) − N(t)
∆t
でおきかえて近似すると，ロジスティック微分方程式は差 分近似され
x n+1 = Q µ (x n ) (1)
となる．ただし
Q µ (x) = µ(1 − x)x
となる．この
Q µ
をロジスティック写像という．そして，初 期値をロジスティック写像で繰り返し移すために0 ≤ x ≤ 1 , 0 < µ ≤ 4
を仮定する．このように
x
とµ
をとると，D(Q µ ) ⊃ R(Q µ )
となるため，繰り返しロジスティック写像を用いることが できる．3.2
ロジスティック写像の厳密解µ = 2
とµ = 4
のとき，ロジスティック写像(1)
の厳密 解x n
を求めることができる（[6]
）：初期値をx 0
とするとx n = 1 2
{
1 − (1 − 2x 0 ) 2
n}
(µ = 2) x n = sin 2 (
2 n sin − 1 √ x 0
) (µ = 4)
である．3.3
ロジスティック写像の挙動0 < µ ≤ 1
のとき0 < Q µ (x) = µx(1 − x) < µx ≤ x (0 < x < 1) .
よって{ Q n µ (x) } ∞ n=0
は正の単調減少数列であり，不動点0
に収束する．よって不動点0
の吸引域は[0, 1]
である．1 < µ ≤ 2
のとき，Q µ (x) = x
を解くとx = 0
とx = p µ = 1 − 1/µ
が不動点であることがわかる．また，Q ′ µ (x) = µ(1 − 2x)
だから| Q ′ µ (0) | = | µ | > 1
かつ| Q ′ µ (p µ ) | = | 2 − µ | < 1
．よって定理1
より0
は反発的不動点であり，p µ
は 吸引的不動点である．p µ
の吸引域は(0, 1)
である．2 < µ ≤ 3
のとき，1 < µ ≤ 2
のときと同様に定理1
より0
が反発的不動点，p µ
が吸引的不動点となる．p µ
の吸引域 は(0, 1)
である．以上より，
0 < µ ≤ 3
のとき，(0, 1)
の初期値は全て吸引 的不動点に収束するので，初期値に鋭敏な挙動とはいえず，このとき
Q µ
はカオスではないことがわかる．3 < µ ≤ 4
のとき，定理1
より0
は反発的不動点，p µ
も 反発的不動点となるが．このとき，2
周期点q µ
，r µ
が現れ る．ただしq µ = µ + 1 − √
(µ + 1)(µ − 3)
2µ ,
r µ = µ + 1 + √
(µ + 1)(µ − 3) 2µ
(2)
である．特に
3 < µ < 1 + √
6
のとき，2
サイクル{ q µ , r µ }
は吸引的である．µ > 1 + √
6
のとき，2
サイクル{ q µ , r µ }
は反発的となり，新たに吸引的4(= 2 2 )
サイクルが現れる．さらに
µ
が増加し，ある値を超えると4
サイクルは反発 的となり新たに吸引的8(= 2 3 )
サイクルが現れる．ここでk = 0, 1, 2, . . .
に対してµ k
をQ µ
が吸引的2 k
サイクルを持 つ最大値と定義した分岐点とすると，一般にµ n − 1 < µ ≤ µ n
のとき
Q µ
は不動点0
とk = 0, 1, 2, . . . , n
に対して1
つの2 k
サイクルを持つということが知られている．さらにこのµ k
には極限µ ∞ = 3.5699456 · · ·
が存在する．ここまでの議論から，
µ
の値が3
からµ ∞
までのとき，吸引域がどこまでかはわからないが，少なくとも吸引的周期 点が存在するので，「任意の初期値に対して鋭敏である」と はいえない．つまりこのときカオスとはいえないと考えら れる．
3.4
ロジスティック写像のリャプノフ指数まずロジスティック写像
Q µ (x) = µx(1 − x)
の0 < µ < 1
におけるリャプノフ指数はlog | µ | < 0
である．よって0 < µ < 1
のときロジスティック写像Q µ
は初期値鋭敏性 を持たず，カオスでない．次に
1 < µ < 3
かつµ ̸ = 2
におけるリャプノフ指数はlog | 2 − µ | < 0
である．よって1 < µ < 3
かつµ ̸ = 2
のと きロジスティック写像Q µ
は初期値鋭敏性を持たず，カオ スでない．次に
µ > 3
のときを考える．3 < µ < 1 + √
6
（2
サイク ルが吸引的）のとき，十分大きいj
に対してx j = Q j µ (x 0 )
の値は(2)
のq µ
あるいはr µ
に近いので，リャプノフ指数の 式においてlog | Q ′ µ (x j ) |
はlog | Q ′ µ (q µ ) |
とlog | Q ′ µ (r µ ) |
を 交互にとると考えられる．さらにn → ∞
の極限では大き いj
に対する項の値だけが重要なので，このときリャプノ フ指数はλ = 1
2 { log | Q ′ µ (q µ ) | + log | Q ′ µ (r µ ) |}
と考えられる．よって
λ = 1
2 log | µ 2 (1 − 2q µ )(1 − 2r µ ) |
= 1
2 log | − µ 2 + 2µ + 4 |
となる．同様の議論で
µ 1 < µ < µ 2
のとき（4
サイクルが吸引 的），µ 2 < µ < µ 3
のとき（8
サイクルが吸引的），…とリャ プノフ指数が求められると考えられる．参考文献[3]
による と，Q µ
のリャプノフ指数λ
は，µ
がµ ∞
を超えるまでは非 正であるという．µ
がµ ∞
を超えると正のλ
が現れる．つ まり，ロジスティック写像Q µ
は，µ
の値がµ ∞
を超える と，カオスが現れるのである．ちなみに，µ > µ ∞
のときで もλ
が負の値を取るときがある．また，µ
がµ ∞
を超えた 後，解がカオスになる正のλ
は，µ
の増加とともに増大し ていく傾向がある．以上のことから，リャプノフ指数によるロジスティック 写像のカオス判定は，ロジスティック写像の挙動解析と対 応していることがわかる．
参考文献
