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6 独立な確率変数の和とたたみ込み 問題演習解答
基本演習6.1
(f∗f)(x) =
1
4(1−x)ex x≤0
1
4(1 +x)e−x 0≤x.
基本演習6.2 変数変換するだけ。
基本演習6.3 略。
基本演習6.4 【前半】例えば112,121,211,222と書かれた４枚のカードが入った袋を考 えてこの袋の中から１枚のカードを引いた時に次の３つの事象を考えれば良い：
事象A 一番左の数字が1である 事象B 真ん中の数字が1である 事象C 一番右の数字が1である
【後半】例えば赤、青２つのサイコロを振った時に次の３つの事象を考えれば：
事象A 赤サイコロの出目が１、２、３のいずれか 事象B 赤サイコロの出目が３、４、５のいずれか 事象C ２つのサイコロの出目の和が９
題意を満たすでしょう。
発展演習6.5 それぞれの区間上の一様分布の密度関数になる。
発展演習6.6 Xの密度関数は √1
2πe−12x2、Y の密度関数は√1
2πe−12y2。独立。
発展演習6.7
(w∗w)(x) =
0 x≤ −2
1
6x3+x2+ 2x+43 −2≤x≤ −1
−12x3−x2+23 −1≤x≤0
1
2x3−x2+23 0≤x≤1
−16x3+x2−2x+43 1≤x≤2
0 2≤x
.
発展演習6.8 ２次元確率変数X= (X, Y)は独立な成分をもち、各成分はいずれも標 準正規分布に従っているとします。２次元の同時密度関数は成分の周辺密度の積ですか らXの密度関数は
1 2πe−x
2 2 · 1
2πe−y
2
2 = 1
2πe−x2+y
2 2
となります。このとき派生確率変数X
Y の密度を計算します（分母が０になる事もある わけですがその確率は０ですから気にしない事にします）。
t >0のとき、
P
∑X Y ≤t
∏
=P
∑X
Y ≤t, Y >0
∏ +P
∑X
Y ≤t, Y <0
∏
=P[X≤tY, Y >0] +P[X≥tY, Y <0]
= Z 1
0
Z ty
−1
1 2πe−x2+y
2 2 dxdy+
Z 0
−1
Z 1
ty
1 2πe−x2+y
2 2 dxdy
= Z 1
0
Z t
−1
1
2πe−(yz)2+y
2
2 ydzdy+ Z 0
−1
Z −1
t
1
2πe−(yz)2+y
2 2 ydzdy
= 1 2π
Z 1
0
Z t
−1
e−(z2+1)y
2
2 ydzdy− 1 2π
Z 0
−1
Z t
−1
e−(z2+1)y
2 2 ydzdy
= 1 2π
Z t
−1
Z 1
0
e−(z2+1)2 y2ydydz− 1 2π
Z t
−1
Z 0
−1
e−(z2+1)2 y2ydydz
= 1 2π
Z t
−1
∑
− 1
z2+ 1e−z2+12 y2
∏1
0
dz− 1 2π
Z t
−1
∑
− 1
z2+ 1e−z2+12 y2
∏0
−1
dz
= 1 2π
Z t
−1
1
z2+ 1dz− 1 2π
Z t
−1
µ
− 1 z2+ 1
∂ dz
= Z t
−1
1 π
1 z2+ 1dz
となっており、t <0の時も同様の結果が得られますのでこの被積分関数が求める密度 関数である事が分かります。これはCauchy分布です。
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課題 6.1 （１）
X : j 0 1
P[X =j] 12 12 Y : j 0 1
P[Y =j] 12 12 Z: j 0 1 P[Z=j] 12 12
(X, Y) : j (1,1) (1,0) (0,1) (0,0) P[(X, Y) =j] 14 14 14 14 (Y, Z) : j (1,1) (1,0) (0,1) (0,0)
P[(Y, Z) =j] 14 14 14 14 (Z, X) : j (1,1) (1,0) (0,1) (0,0)
P[(Z, X) =j] 14 14 14 14
(X, Y, Z) : j (1,1,0) (1,0,1) (0,1,1) (0,0,0) P[(X, Y, Z) =j] 14 14 14 14
（２）略。
（３）P[(X, Y, Z) = (1,1,0)]6=P[X = 1]P[Y = 1]P[Z= 0]など。
課題 6.2
0 5≤x
1
2(5−x) 4≤x≤5
1
2 3≤x≤4
1
2(x−2) 2≤x≤3
0 x≤2
