数学2および演習 (B クラス ) 問題集2

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数学2および演習 (B クラス ) 問題集2

令和元年

5

20

日 田地

問12:次の偏微分方程式を座標変換し,ラプラスの方程式,波動方程式,熱伝導方程式 のいずれかの形式で表せ.

1. 3u

xx

+ 2u

xy

+ 3u

yy

= 0

2. 4u

xx

4u

xy

+ u

yy

u

x

2u

y

= 0

問13:長さ

l

の細い棒の温度分布について以下の境界条件と初期条件を与えた.その後 の任意の時刻

t

における棒の任意の位置

x

における温度

u(x, t)

を求めよ.ただし,この棒 の熱伝導方程式は次式で表される.

u

t

= a

2

u

xx

(t > 0, 0 < x < l)

【境界条件】棒の両端

x = 0

および

x = l

では断熱されている.すなわち,

∂u

∂x

x=0

= ∂u

∂x

x=l

= 0

【初期条件】

t = 0

における温度分布は次式で与えられる.

u(x, 0) = kx(l x)

問14:点

(0, 0)

から点

(l, 0)

の間に張られた弦が以下の境界条件と初期条件のもとで放 たれる.その後の変位

y(x, t)

を求めよ.ここで,弦の振動の方程式は次式で表わされる.

y

tt

= v

2

y

xx

(t > 0, 0 < x < l)

【境界条件】弦の両端は点

(0, 0)

と点

(l, 0)

に固定される.

y(0, t) = y(l, t) = 0

【初期条件】

t = 0

において,弦の変位と速度は次式で与えられる.

y(x, 0) = 0

∂y

∂t

t=0

=

{

x (0 < x

2l

)

l x (

2l

< x < l)

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