ヌーソロジー理解のための 物理学入門 I
2011年3月
現代物理学の概観
Overview of modern physics
観察と図形
点→線分→三角形→点
空間→Maxwell方程式(電磁場)
モノ→運動方程式
対化を観察
等化(結果)
等化を観察
対化(結果)
1+1(複素数)→量子論 3+1(実数)→相対論 3→1
2×2 = 3+1
正四面体
2元論のウラには別の2元論が潜む
→4元論的
電場(+、-)と磁場(N、S)など
三次元空間+観察者(時間)
陽子(クォーク3つ)+電子 1対多の概念→階層構造を作る 複素数平面
実軸 虚軸
意識(観念)の世界 現実(物質)=実数の世界 観察(等化)
観察(対化)
観察(3→1)
等化の結果を受け取る→対化 対化の結果を受け取る→等化
回転により等化
イデアと現実世界
• イデアに言葉をつける → 物質化(物理量)
• 物理学とは → 物質世界の多様な現象の中に 潜む普遍性を見いだし、数学の言葉(方程式)
を用いて記述
• 方程式とは → 対化を等化する精神
物質世界 3+1
数学(物理法則)2x2 技術 科学
イデア
イデア(円)→数(直線)
• S
1-{∞} = ℝ
円の1カ所を切る 切った場所に自分
(観察者)を入れる
直線(または点)
に見える
位相同型
(同相)
意識・観念の世界(数学)
•
直線(ℝ
)や座標平面(ℝ
2∼ ℂ
)によっ てイデア(円、三角形など)を理解する
𝑒
𝑖𝜃= cos𝜃 + 𝑖sin𝜃
Re Im
1
-1
-i O
i
+と-、実数と虚数 オイラーの公式
解析(微分) 幾何
イデアと物理学
•
物理量(対化)を等化する精神→方程式•
直角三角形(三平方の定理)→相対論の分散関係•
正四面体(2x2)→マクセル方程式、運動方程式E
エネルギー
p 運動量
m 質量
2 2
2
p m
E
𝐸(電場)
𝐵 (磁場)
t(時間)
x(空間)
または p(運動量)
E(エネルギー)
または
物理学の分類
• 電磁気学、古典力学、相対論 - 実数が基本(複素数は波(サ イン、コサイン)として現れる)
(2x2の微分方程式で複素数があらわに出ない形に)
内面量: 3次元空間(x)+1次元時間(t)
外面量: 空間→電場(E)と磁場(B)(電磁気学)
物質→運動量(p)、エネルギー(E)、質量(m) 古典力学(v 0)、相対論(v c)
• 量子論 - 複素数を用いる(SU(2))
量子化→物理量(例:運動量)を波動関数 e
ipxの微分で置き
換える
量子論と古典論
• 量子論 複素数(線形)。ディラック方程式。
• 古典論(相対論) 実数の2次式(非線形)。
分散関係E
2=p
2+m
2𝑒𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑥2 + 𝑦2 = 1 1つの複素数 または
2つの実数 m
p E
2 2
2
p m
E
相対論、量子論、古典論
2 2
2
p m
E
m p
E
線形化 p<<m(静止)の極限
m m p
E 2
2
2 2
2 2
z y
x
p p
p
p
ディラック方程式(量子論)
運動エネルギー(古典論)
相対論
シュレディンガー方程式 量子化
線形方程式→量子論的
• 2つの相反する事象が同時に存在する。→実数と虚数
• 「線形」、「重ね合わせ」、「シュレディンガーの猫」
• ディラック方程式
b a
b a
iy x z
iy x z
| 2 |
| 1 2 |
| 1
*
実数と虚数の等化(和の起源) → +と-の対化(中和)
z=x+iy
z*=x-iy
Re Im
逆回転 ψ5?
パウリ行列(2x2)
1
1 0
0 , 1
0 , 0
0 1
1 0
3 3 2
2 2
1
1 2
3 3
2
3 1
2 2
1
2 3
1 1
3
3 2
1
i i i
i
i
σ2 σ1σ3
• σ
2だけiがつく。
• 2つの反転(σ
3, σ
1)の積が回転(iσ
2)になる
の生成子と同じ関係 とおくと、
) 3 ( ] , [
2 1
2 ] , [
3
1 3
1
SO
s i
s s s
i
l
l jkl k
j
j j
l
l jkl k
j
ガンマ行列(4x4)
•
“わたし”(単位行列)を世界に投げ込む→テンソル積•
単位行列と3つのパウリ行列の等化→ γ0とγ5の取り方が対化(パウリ・ディラック表示とWeyl表示)。
σ
1σ
2σ
3I(単位行列)
γ
i(i=1,2,3)
=iσ
2σ
iγ
0= σ
3 I
γ
5= σ
1 I
テンソル積によって単 位行列を埋め込む
0 , 0
0 , 0
0
0 5
0
I I I
I
i
i i
パウリ・ディラック表示
ディラック方程式とガンマ行列
( ) 0 ( , )0 , 0
p
0 , 0
0 0
0 0
0
3 1
2 2
2
x p i i
t E i i
x m
i
m p
E E
I I I
m p
E m
p E
i i i
i
i
i i
i
i
i i
i
つまり、
とおくと、
を共変化するため と
・
直交関係を表す
非線形(2次)方程式
• 複素数z=x+iyとその対化z
*=x-iyの等化 → |z|
2=x
2+y
2(実数化)
• 円の方程式、三平方の定理、相対論的粒子のエネルギーと運 動量の関係E
2=p
2+m
2• 中和はz
2= x
2– y
2(双曲線、ローレンツ変換 m
2=E
2-p
2)
-1.0 -0.5 O 0.5 1.0 1.5
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5
x y
-1.0 -0.5 O 0.5 1.0 1.5
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5
x y
-1.0 -0.5 O 0.5 1.0 1.5
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5
x y
-3 -2 -1 O 1 2 3
-3 -2 -1 1 2 3
x y
-3 -2 -1 O 1 2 3
-3 -2 -1 1 2 3
x y
-3 -2 -1 O 1 2 3
-3 -2 -1 1 2 3
x y
シュレディンガー方程式
) , ( )
, (
) , ( )
, (
) , (
) 2 (
ˆ ˆ
2 1 2
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
t x H t t x i
ih t E
t x H t x E
t x
x m V
H p
H E p
p
m m p
m m p
m p
m m p
m p E
p p m
p E
式 シュレディンガー方程
)と、
と置き換える(量子化 をくっつける。
波動関数
ギー)
(ポテンシャルエネル 質量一定のとき、
(ハミルトニアン)
(量子化)によって
(運動エネルギー)
(静止質量)
のとき)
(
) 次元で考える(
簡単のため、
行列 固有ベクトル 固有値
x x
x
2 1 1
~
1 2
1
ー展開により、
が小さいとき、テイラ
非相対論的エネルギーを量子化
エネルギー、運動量、質量
E(エネルギー)
p(運動量)
m(質量)
t(時間)
x(位置)
v c
m-p平面
m
p E
2 2
2
p m
E
m=p-E平面=時空(素粒子)
E=m-p平面=意識(外面)?
p=E-m平面=人間(意識と肉体)?
基本方程式 等化された結果→位置(運動
量のウラ)に押し込める
(3→1)
(静)電磁場
𝐸
0
E
球面を平面で表す
ρ
0 ∞場=Ψ4
モノの内部=Ψ3
Ψ1 Ψ2
j B
0
3(空間)+1(時間) 2(平面)+2(直線運動)
下次元へ射影
𝐵
𝑗
アンペールの法則 ガウスの法則
2(平面)+1(直線)+1(時間)
静電場 静磁場