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ヌーソロジー理解のための 物理学入門

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Academic year: 2021

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(1)

ヌーソロジー理解のための 物理学入門 I

2011年3月

現代物理学の概観

Overview of modern physics

(2)

観察と図形

点→線分→三角形→点

空間→Maxwell方程式(電磁場)

モノ→運動方程式

対化を観察

等化(結果)

等化を観察

対化(結果)

1+1(複素数)→量子論 3+1(実数)→相対論 3→1

(3)

2×2 = 3+1

正四面体

2元論のウラには別の2元論が潜む

→4元論的

電場(+、-)と磁場(N、S)など

三次元空間+観察者(時間)

陽子(クォーク3つ)+電子 1対多の概念→階層構造を作る 複素数平面

実軸 虚軸

意識(観念)の世界 現実(物質)=実数の世界 観察(等化)

観察(対化)

観察(3→1)

等化の結果を受け取る→対化 対化の結果を受け取る→等化

回転により等化

(4)

イデアと現実世界

• イデアに言葉をつける → 物質化(物理量)

• 物理学とは → 物質世界の多様な現象の中に 潜む普遍性を見いだし、数学の言葉(方程式)

を用いて記述

• 方程式とは → 対化を等化する精神

物質世界 3+1

数学(物理法則)2x2 技術 科学

イデア

(5)

イデア(円)→数(直線)

• S

-{∞} = ℝ

円の1カ所を切る 切った場所に自分

(観察者)を入れる

直線(または点)

に見える

位相同型

(同相)

(6)

意識・観念の世界(数学)

直線(

)や座標平面(

2

∼ ℂ

)によっ てイデア(円、三角形など)を理解する

𝑒

𝑖𝜃

= cos𝜃 + 𝑖sin𝜃

Re Im

1

-1

-i O

i

+と-、実数と虚数 オイラーの公式

解析(微分) 幾何

(7)

イデアと物理学

物理量(対化)を等化する精神→方程式

直角三角形(三平方の定理)→相対論の分散関係

正四面体(2x2)→マクセル方程式、運動方程式

E

エネルギー

p 運動量

m 質量

2 2

2

p m

E  

𝐸(電場)

𝐵 (磁場)

t(時間)

x(空間)

または p(運動量)

E(エネルギー)

または

(8)

物理学の分類

• 電磁気学、古典力学、相対論 - 実数が基本(複素数は波(サ イン、コサイン)として現れる)

(2x2の微分方程式で複素数があらわに出ない形に)

内面量: 3次元空間(x)+1次元時間(t)

外面量: 空間→電場(E)と磁場(B)(電磁気学)

物質→運動量(p)、エネルギー(E)、質量(m) 古典力学(v  0)、相対論(v  c)

• 量子論 - 複素数を用いる(SU(2))

量子化→物理量(例:運動量)を波動関数  e

ipx

の微分で置き

換える

(9)

量子論と古典論

• 量子論 複素数(線形)。ディラック方程式。

• 古典論(相対論) 実数の2次式(非線形)。

分散関係E

2

=p

2

+m

2

𝑒𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑥2 + 𝑦2 = 1 1つの複素数 または

2つの実数 m

p E

2 2

2

p m

E  

(10)

相対論、量子論、古典論

2 2

2

p m

E   

m p

E       

線形化 p<<m(静止)の極限

m m p

E 2

2

2 2

2 2

z y

x

p p

p

p    

ディラック方程式(量子論)

運動エネルギー(古典論)

相対論

シュレディンガー方程式 量子化

(11)

線形方程式→量子論的

2つの相反する事象が同時に存在する。→実数と虚数

「線形」、「重ね合わせ」、「シュレディンガーの猫」

ディラック方程式



b a

b a

iy x z

iy x z

| 2 |

| 1 2 |

| 1

*

実数と虚数の等化(和の起源) → +と-の対化(中和)

z=x+iy

z*=x-iy

Re Im

逆回転 ψ5

(12)

パウリ行列(2x2)

1

1 0

0 , 1

0 , 0

0 1

1 0

3 3 2

2 2

1

1 2

3 3

2

3 1

2 2

1

2 3

1 1

3

3 2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i i i

i

i

σ2 σ1

σ3

• σ

2

だけiがつく。

• 2つの反転(σ

3

, σ

1

)の積が回転(iσ

2

)になる

の生成子と同じ関係 とおくと、

) 3 ( ] , [

2 1

2 ] , [

3

1 3

1

SO

s i

s s s

i

l

l jkl k

j

j j

l

l jkl k

j

(13)

ガンマ行列(4x4)

“わたし”(単位行列)を世界に投げ込む→テンソル積

単位行列と3つのパウリ行列の等化→ γ0とγ5の取り方が対化

(パウリ・ディラック表示とWeyl表示)。

σ

1

σ

2

σ

3

I(単位行列)

γ

i

(i=1,2,3)

=iσ

2

σ

i

γ

0

= σ

3

 I

γ

5

= σ

1

 I

テンソル積によって単 位行列を埋め込む



 





 

 



 

 

0 , 0

0 , 0

0

0 5

0

I I I

I

i

i i

 

パウリ・ディラック表示

(14)

ディラック方程式とガンマ行列

 

( ) 0 ( , )

0 , 0

p

0 , 0

0 0

0 0

0

3 1

2 2

2

x p i i

t E i i

x m

i

m p

E E

I I I

m p

E m

p E

i i i

i

i

i i

i

i

i i

i

 

 

 

 



 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

つまり、

とおくと、

を共変化するため

直交関係を表す

(15)

非線形(2次)方程式

• 複素数z=x+iyとその対化z

*

=x-iyの等化 → |z|

2

=x

2

+y

2

(実数化)

• 円の方程式、三平方の定理、相対論的粒子のエネルギーと運 動量の関係E

2

=p

2

+m

2

• 中和はz

2

= x

2

– y

2

(双曲線、ローレンツ変換 m

2

=E

2

-p

2

-1.0 -0.5 O 0.5 1.0 1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

x y

-1.0 -0.5 O 0.5 1.0 1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

x y

-1.0 -0.5 O 0.5 1.0 1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

x y

-3 -2 -1 O 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

x y

-3 -2 -1 O 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

x y

-3 -2 -1 O 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

x y

(16)

シュレディンガー方程式

) , ( )

, (

) , ( )

, (

) , (

) 2 (

ˆ ˆ

2 1 2

1 1

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 2

t x H t t x i

ih t E

t x H t x E

t x

x m V

H p

H E p

p

m m p

m m p

m p

m m p

m p E

p p m

p E

 



シュレディンガー方程

)と、

と置き換える(量子化 をくっつける。

波動関数

ギー)

(ポテンシャルエネル 質量一定のとき、

(ハミルトニアン)

(量子化)によって

(運動エネルギー)

(静止質量)

のとき)

次元で考える(

簡単のため、



 

 



 



 

 

行列 固有ベクトル 固有値

xx

x

2 1 1

~

1 2

1

ー展開により、

が小さいとき、テイラ

非相対論的エネルギーを量子化

(17)

エネルギー、運動量、質量

E(エネルギー)

p(運動量)

m(質量)

t(時間)

x(位置)

v c

m-p平面

m

p E

2 2

2

p m

E  

m=p-E平面=時空(素粒子)

E=m-p平面=意識(外面)?

p=E-m平面=人間(意識と肉体)?

基本方程式 等化された結果→位置(運動

量のウラ)に押し込める

(3→1)

(18)

(静)電磁場

𝐸

0

 

  E

球面を平面で表す

ρ

0 ∞

場=Ψ4

モノの内部=Ψ3

Ψ1 Ψ2

j B  

0

3(空間)+1(時間) 2(平面)+2(直線運動)

下次元へ射影

𝐵

𝑗

アンペールの法則 ガウスの法則

2(平面)+1(直線)+1(時間)

静電場 静磁場

参照

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