()1 PP  kj  ()2 PP  () P  P JPP ()[1()] 

(1)

The New Prime theorems（841）-（890）

Jiang, Chun-Xuan (蒋春暄)

Institute for Basic Research, Palm Harbor, FL34682-1577, USA

And: P. O. Box 3924, Beijing 100854, China (蒋春暄，北京3924信箱，100854)

jiangchunxuan@sohu.com, cxjiang@mail.bcf.net.cn, jcxuan@sina.com, Jiangchunxuan@vip.sohu.com, jcxxxx@163.com

Abstract: Using Jiang function we are able to prove almost all prime problems in prime distribution. This is the Book proof. No great mathematicians study prime problems and prove Riemann hypothesis in AIM, CLAYMI, IAS, THES, MPIM, MSRI. In this paper using Jiang function J²( )

we prove that the new prime theorems (841)-（890) contain infinitely many prime solutions and no prime solutions. From (6) we are able to find the smallest solution

( 0, 2) 1

k N

 

. This is the Book theorem.

[Jiang, Chun-Xuan (蒋春暄). The New Prime theorems（841）（890）- . Academ Arena 2016;8(1s): 627-697]. (ISSN 1553-992X). http://www.sciencepub.net/academia. 13. doi:10.7537/marsaaj0801s1613.

Keywords: new; prime theorem; Jiang Chunxuan

It will be another million years, at least, before we understand the primes.

Paul Erdos (1913-1996) The New Prime theorem（841）

, 1602 ( 1, , 1)

P jP  k j j  k

Chun-Xuan Jiang

Jiangchunxuan@vip.sohu.com Abstract

Using Jiang function we prove that

jP1602 k j

contain infinitely many prime solutions and no prime solutions.

Theorem. Let k be a given odd prime.

, 1602 ( 1, , 1)

P jP  k j j  k . （1）

Proof. We have Jiang function [1,2]

2( ) 2[ 1 ( )]

P

J  P  P



   

（2）

where  ^P P

，( )P is the number of solutions of congruence

1 1602

1 0 (mod ), 1, , 1

k

j jq k j P q P





 

      

（3）

If ( )P P2 then from (2) and (3) we have

2( ) 0

J  

（4）

We prove that (1) contain infinitely many prime solutions that is for any k there are infinitely many primes P such that each of

jp1602₊k j

is a prime.

Using Fermat’s little theorem from (3) we have ( )P P1

. Substituting it into (2) we have

2( ) 0

J  

（5）

(2)

We prove that (1) contain no prime solutions [1,2]

If J²( ) 0

then we have asymptotic formula [1,2]

 ¹⁶⁰²  ² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(1602) ( ) log

k

k k k k

J N

N P N jP k j prime

N

  

 



     

（6）

where ( ) ( 1)

P P

    

.

From (6) we are able to find the smallest solution _k(N⁰, 2) 1

. Example 1. Let k 3, 7,19,179

. From (2) and(3) we have

2( ) 0

J  

（7）

we prove that for k 3, 7,19,179

(1) contain no prime solutions. 1 is not a prime.

Example 2. Let k3, 7,19,179_.

From (2) and (3) we have

2( ) 0

J  

（8）

We prove that for k3, 7,19,179_，

(1) contain infinitely many prime solutions

The New Prime theorem（842）

, 1604 ( 1, , 1)

P jP  k j j  k

Chun-Xuan Jiang

jP1604 k j

, 1604 ( 1, , 1)

P jP  k j j  k . （1）

2( ) 2[ 1 ( )]

P

J  P  P



   

（2）

1 1604

1 0 (mod ), 1, , 1

k

j jq k j P q P





 

      

（3）

2( ) 0

J  

（4）

jp1604₊k j is a prime.

Using Fermat’s little theorem from (3) we have ( )P P1. Substituting it into (2) we have

(3)

2( ) 0 J  

（5）

If J²( ) 0

 ¹⁶⁰⁴  ² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(1604) ( ) log

k

k k k k

J N

N

  

 



     

（6）

where ( ) ( 1)

P P

    

.

. Example 1. Let k 3,5. From (2) and(3) we have

2( ) 0

J  

（7）

we prove that for k 3,5

,

Example 2. Let k3,5

. From (2) and (3) we have

2( ) 0

J  

（8）

We prove that for k3,5_，

, 1606 ( 1, , 1)

P jP  k j j  k

Chun-Xuan Jiang

jP1606 k j

, 1606 ( 1, , 1)

P jP  k j j  k

. （1）

2( ) 2[ 1 ( )]

P

J  P  P



   

（2）

1 1606

1 0 (mod ), 1, , 1

k

j jq k j P q P



  

      

（3）

If ( )P P2

then from (2) and (3) we have

2( ) 0

J  

（4）

We prove that (1) contain infinitely many prime solutions that is for any k there are infinitely many primes

(4)

P such that each of

2( ) 0

J  

（5）

If J²( ) 0

 ¹⁶⁰⁶  ² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(1606) ( ) log

k

k k k k

J N

N

  

 



     

（6）

where ( ) ( 1)

P P

    

.

. Example 1. Let k 3, 23,1607

2( ) 0

J  

（7）

we prove that for k 3, 23,1607

,

Example 2. Let k3, 23,1607

2( ) 0

J  

（8）

We prove that for k3, 23,1607_，

, 1608 ( 1, , 1)

P jP  k j j  k

Chun-Xuan Jiang

jP1608 k j

, 1608 ( 1, , 1)

P jP  k j j  k . （1）

2( ) 2[ 1 ( )]

P

J  P  P



   

（2）

1 1608

1 0 (mod ), 1, , 1

k

j jq k j P q P





 

      

（3）

2( ) 0

J  

（4）

(5)

2( ) 0

J  

（5）

If J²( ) 0

 ¹⁶⁰⁸  ² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(1608) ( ) log

k

k k k k

J N

N

  

 



     

（6）

where ( ) ( 1)

P P

    

.

. Example 1. Let k 3, 5, 7,13, 269,1609. From (2) and(3) we have

2( ) 0

J  

（7）

we prove that for k 3, 5, 7,13, 269,1609

, (1) contain no prime solutions. 1 is not a prime.

Example 2. Let k3,5, 7,13, 269,1609_.

2( ) 0

J  

（8）

We prove that for k3,5, 7,13, 269,1609_，

, 1610 ( 1, , 1)

P jP  k j j  k

Chun-Xuan Jiang

jP1610 k j contain infinitely many prime solutions and no prime solutions.

, 1610 ( 1, , 1)

P jP  k j j  k . （1）

2( ) 2[ 1 ( )]

J  P P  P

   

（2）

1 1610

1 0 (mod ), 1, , 1

k

j jq k j P q P





 

      

（3）

(6)

2( ) 0 J  

（4）

jp1610

+k j

is a prime.

2( ) 0

J  

（5）

If J²( ) 0

 ¹⁶¹⁰  ² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(1610) ( ) log

k

k k k k

J N

N

  

 



     

（6）

where ( ) ( 1)

P P

    

.

. Example 1. Let k 3,11, 47, 71. From (2) and(3) we have

2( ) 0

J  

（7）

we prove that for k 3,11, 47, 71_,

Example 2. Let k3,11, 47, 71

2( ) 0

J  

（8）

We prove that for k3,11, 47, 71_，

, 1612 ( 1, , 1)

P jP  k j j  k

Chun-Xuan Jiang

, 1612 ( 1, , 1)

P jP  k j j  k . （1）

2( ) 2[ 1 ( )]

P

J  P  P



   

（2）

，( )P

is the number of solutions of congruence

1 1612

1 0 (mod ), 1, , 1

k

j jq k j P q P



  

      

（3）

(7)

If ( )P P2

2( ) 0

J  

（4）

jp1612

+k j

is a prime.

2( ) 0

J  

（5）

If J²( ) 0

 ¹⁶¹²  ² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(1612) ( ) log

k

k k k k

J N

N

  

 



     

（6）

where ( ) ( 1)

P P

    

.

. Example 1. Let k 3,5,53,1613

2( ) 0

J  

（7）

we prove that for k 3,5,53,1613

,

Example 2. Let k3,5,53,1613

2( ) 0

J  

（8）

We prove that for k3,5,53,1613_，

, 1614 ( 1, , 1)

P jP  k j j  k

Chun-Xuan Jiang

jP1614 k j

, 1614 ( 1, , 1)

P jP  k j j  k . （1）

2( ) 2[ 1 ( )]

P

J  P  P



   

（2）

，( )P

(8)

1 1614

1 0 (mod ), 1, , 1

k

j jq k j P q P





 

      

（3）

2( ) 0

J  

（4）

2( ) 0

J  

（5）

If J²( ) 0

 ¹⁶¹⁴  ² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(1614) ( ) log

k

k k k k

J N

N

  

 



     

（6）

where ( ) ( 1)

P P

    

.

. Example 1. Let k 3, 7. From (2) and(3) we have

2( ) 0

J  

（7）

we prove that for k 3, 7

,

Example 2. Let k3, 7_.

2( ) 0

J  

（8）

We prove that for k3, 7_，

, 1616 ( 1, , 1)

P jP  k j j  k

Chun-Xuan Jiang

, 1616 ( 1, , 1)

P jP  k j j  k . （1）

2( ) 2[ 1 ( )]

J  P P  P

   

（2）

(9)

1 1616

1 0 (mod ), 1, , 1

k

j jq k j P q P





 

      

（3）

2( ) 0

J  

（4）

jp1616

+k j

is a prime.

2( ) 0

J  

（5）

If J²( ) 0

 ¹⁶¹⁶  ² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(1616) ( ) log

k

k k k k

J N

N

  

 



     

（6）

where ( ) ( 1)

P P

    

.

. Example 1. Let k 3,5,17,809. From (2) and(3) we have

2( ) 0

J  

（7）

we prove that for k 3,5,17,809_,

Example 2. Let k3,5,17,809_.

2( ) 0

J  

（8）

We prove that for k3,5,17,809_，

, 1618 ( 1, , 1)

P jP  k j j  k

Chun-Xuan Jiang

jP1618 k j

, 1618 ( 1, , 1)

P jP  k j j  k . （1）

(10)

2( ) 2[ 1 ( )]

P

J  P  P



   

（2）

，( )P

1 1618

1 0 (mod ), 1, , 1

k

j jq k j P q P





 

      

（3）

2( ) 0

J  

（4）

2( ) 0

J  

（5）

If J²( ) 0

 ¹⁶¹⁸  ² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(1618) ( ) log

k

k k k k

J N

N

  

 



     

（6）

where ( ) ( 1)

P P

    

.

. Example 1. Let k 3,1619

2( ) 0

J  

（7）

we prove that for k 3,1619

,

Example 2. Let k3,1619

2( ) 0

J  

（8）

We prove that for k3,1619_，

(1) contain infinitely many prime solutions The New Prime theorem（850）

, 1620 ( 1, , 1)

P jP  k j j  k

Chun-Xuan Jiang

jP1620 k j

, 1620 ( 1, , 1)

P jP  k j j  k . （1）

(11)

2( ) 2[ 1 ( )]

J  P P  P

   

（2）

1 1620

1 0 (mod ), 1, , 1

k

j jq k j P q P





 

      

（3）

2( ) 0

J  

（4）

2( ) 0

J  

（5）

If J²( ) 0

 ¹⁶²⁰  ² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(1620) ( ) log

k

k k k k

J N

N

  

 



     

（6）

where ( ) ( 1)

P P

    

.

Example 1. Let k 3,5, 7,11,13,19,31, 37, 61,109,163, 271,811,1621

2( ) 0

J  

（7）

we prove that for k 3,5, 7,11,13,19,31, 37, 61,109,163, 271,811,1621_,

Example 2. Let k3,5, 7,11,13,19, 31,37, 61,109,163, 271,811,1621

2( ) 0

J  

（8）

We prove that for k3,5, 7,11,13,19, 31,37, 61,109,163, 271,811,1621_，

, 1622 ( 1, , 1)

P jP  k j j  k

Chun-Xuan Jiang

jP1622 k j

(12)

, 1622 ( 1, , 1)

P jP  k j j  k

. （1）

2( ) 2[ 1 ( )]

P

J  P  P



   

（2）

1 1622

1 0 (mod ), 1, , 1

k

j jq k j P q P



  

      

（3）

If ( )P P2

2( ) 0

J  

（4）

jp1622

+k j

is a prime.

2( ) 0

J  

（5）

If J²( ) 0

 ¹⁶²²  ² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(1622) ( ) log

k

k k k k

J N

N

  

 



     

（6）

where ( ) ( 1)

P P

    

.

. Example 1. Let k 3. From (2) and(3) we have

2( ) 0

J  

（7）

we prove that for k 3_,

Example 2. Let k3_. From (2) and (3) we have

2( ) 0

J  

（8）

We prove that for k3_，

, 1624 ( 1, , 1)

P jP  k j j  k

Chun-Xuan Jiang

jP1624 k j contain infinitely many prime solutions and no prime