コンピュータグラフィクス論

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コンピュータグラフィクス論

– モデリング (3) –

2016年4月28日高山健志

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ソリッドモデリング

(3)

ソリッドモデルとは

• 3D 空間の任意の位置で、モデルの “内側” と “外側” が定義できるもの • 主な用途 3 3D プリント _{物理シミュレーション} 穴が空いている自己交差している一枚のポリゴンで薄い形状を表現向き付け不可能ソリッドでないケース Klein bottle

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ソリッドモデルの

predicate 関数

• 3D 座標 𝐩 ∈ ℝ3 _{がソリッドモデルの内部であれば} true を、そうでな

ければ false を返す関数 𝑓 𝐩 : ℝ3 _{↦ true, false}

• モデル内部全体を表す集合： 𝐩 𝑓 𝐩 = true } ⊂ ℝ3

• 例：

4

最小と最大の対角コーナーがそれぞれ 𝑥_min, 𝑦_min, 𝑧_min と 𝑥_max, 𝑦_max, 𝑧_max

であるような直方体点 𝐜 を中心とした半径 𝑟 の球 𝑓 𝐩 ≔ 𝐩 − 𝐜 < 𝑟 _{𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≔ 𝑥} min < 𝑥 < 𝑥max ∧ 𝑦_min < 𝑦 < 𝑦_max ∧ 𝑧_min < 𝑧 < 𝑧_max c r 𝐩_max 𝐩_min

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Constructive Solid Geometry (Boolean演算)

5 和 𝑓_𝐴∪𝐵 𝐩 ≔ 𝑓_𝐴(𝐩) ∨ 𝑓_𝐵(𝐩) 𝑓_𝐴∩𝐵 𝐩 ≔ 𝑓_𝐴(𝐩) ∧ 𝑓_𝐵(𝐩) 𝑓_𝐴∖𝐵 𝐩 ≔ 𝑓_𝐴(𝐩) ∧ ¬𝑓_𝐵(𝐩) 積差 CSG Tree A B C D E 𝐴 ∩ 𝐵 ∖ 𝐶 ∪ 𝐷 ∪ 𝐸

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符号付き距離場によるソリッドモデル表現

• 各点からモデル表面までの最短距離を表す関数 𝑑 𝐩 : ℝ3 _{↦ ℝ} • 符号付き：内側では負、外側では正 • 対応する predicate: 𝑓 𝐩 ≔ 𝑑(𝐩) < 0 • ゼロ等値面はモデル表面を表す：{𝐩 | 𝑑(𝐩) = 0} ⊂ ℝ3 • 「陰関数表現」「ボリューム表現」 • 勾配 𝛁𝑑(𝐩) は法線方向と一致 6 c r 点 𝐜 を中心とした半径 𝑟 の球 𝑑 𝐩 ≔ 𝐩 − 𝐜 − 𝑟

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陰関数のデザイン例

7

大半径 R, 小半径 a のトーラス

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陰関数のデザイン例：等電位面

(Metaball)

8 𝑑 𝐩 = 𝑑₁ 𝐩 − 𝑑₂(𝐩) 𝑑 𝐩 = 𝑑₁ 𝐩 + 𝑑₂(𝐩) 𝑑_𝑖 𝐩 = 𝑞𝑖 𝐩 − 𝐜_𝑖 − 𝑟𝑖 c1 𝑑 𝐩 = 𝑑1 𝐩 + 𝑑2 𝐩 + 𝑑3 𝐩 + 𝑑4 𝐩 c₄ c₃ c₂

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陰関数の線形補間によるモーフィング

9 𝑑₁ 𝒑 = 0 2 3 𝑑1 𝒑 + 1 3 𝑑2 𝒑 = 0 1 3 𝑑1 𝒑 + 2 3𝑑2 𝒑 = 0 𝑑2 𝒑 = 0

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複数の陰関数を組み合わせたモデリング

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陰関数の表示方法：

Marching Cubes

• 等値面を三角形メッシュとして抽出 • 立方体格子の各セルに対し、 (1) 立方体の 8 頂点で関数値を計算 (2) その正負のパターンから、生成する面のタイプを決定 • 対称性から 15 通りに分類 (3) 関数値の線形補間から面の位置を決定 • 最も有名 (特許問題でも ) 11

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Marching Cubes の曖昧性

12

The asymptotic decider: resolving the ambiguity in marching cubes [Nielson VIS91]

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Marching Tetrahedra

• 立方体の代わりに四面体を使う • パターンが少なく、曖昧性が無い  実装が簡単 • 各立方体セルを、6 個の四面体に分割 • (隣接セル間で分割の向きを合わせることに注意) • きれいな三角形メッシュを取り出す工夫 13 http://paulbourke.net/geometry/polygonise/

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シャープなエッジを保持した等値面抽出

14

Feature Sensitive Surface Extraction from Volume Data [Kobbelt SIGGRAPH01] Dual Contouring of Hermite Data [Ju SIGGRAPH02]

http://www.graphics.rwth-aachen.de/IsoEx/

格子サイズ：65×65×65

Marching Cubes 改善版 _{Marching Cubes (陰関数の値のみ考慮)}

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サーフェスメッシュ表現のみに基づく

CSG

• ボリューム表現 (=Marching Cubesによる等値面抽出)  近似精度が格子の向きや解像度に依存  • サーフェスメッシュ表現による CSG  元のメッシュの形状を確実に保持  • ロバストで効率的な実装が難しい  • 浮動小数の丸め誤差 • 厳密に同じ位置で重複する複数の三角形 • ここ数年で著しく進化 15

Fast, exact, linear booleans [Bernstein SGP09]

Exact and Robust (Self-)Intersections for Polygonal Meshes [Campen EG10] Mesh Arrangements for Solid Geometry [Zhou SIGGRAPH16]

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メッシュの補修

(mesh repair)

16

Simplification and Repair of Polygonal Models Using Volumetric Techniques [Nooruddin TVCG03] Robust Inside-Outside Segmentation using Generalized Winding Numbers [Jacobson SIGGRAPH13]

定義を拡張した winding number に基づいて内外を判定四方八方から飛ばしたレイとの交差に基づいて内外を判定ボリューム表現サーフェス表現

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点群からのサーフェス再構成

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3D 形状の計測

• 得られるデータ：点群 • 3D座標 • 法線 (面の向き) • 得られない場合もある • ノイズが多すぎる場合もある 18 Range Scanner (LIDAR) Structured Light Multi-View Stereo Depth Camera

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点群からのサーフェス形状再構成

• 入力：N 個の点群データ • 座標 𝐱_𝑖 = 𝑥_𝑖, 𝑦_𝑖, 𝑧_𝑖 と法線 𝐧_𝑖 = 𝑛_𝑖x, 𝑛_𝑖y, 𝑛_𝑖z , 𝑖 ∈ 1, … , 𝑁 • 出力：関数 𝑓(𝐱) で、値と勾配の制約を満たすもの • 𝑓 𝐱_𝑖 = 0 • 𝛁𝑓 𝐱_𝑖 = 𝐧_𝑖 • 等値面 𝑓 𝐱 = 0 が出力サーフェス形状

• “Scattered Data Interpolation” と呼ばれる問題

• Moving Least Squares • Radial Basis Function

CG以外の分野 (e.g. 機械学習) でも重要

19

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勾配を制約する二通りの方法

• 法線方向にオフセットした位置に値の制約を追加 • 簡単 • 数学表現そのものに勾配制約を取り入れる (エルミート補間) • 高品質 20

Modelling with implicit surfaces that interpolate [Turk TOG02] Hermite Radial Basis Functions Implicits [Macedo CGF10]

(21)

Moving Least Squares による補間

(移動最小二乗)

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出発点：

Least SQuares (最小二乗)

• 求めたい関数が線形だと仮定する：𝑓 𝐱 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 • 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 が未知係数 • データ点における値の制約 • (勾配制約は今は考えない) 22 𝐱 ≔ (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑥₁ 𝑦₁ 𝑧₁ 1 𝑥₂ 𝑦₂ 𝑧₂ 1 𝑥_𝑁 𝑦_𝑁 𝑧_𝑁 1 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓₁ 𝑓₂ 𝑓_𝑁 ・・・・・・ = 𝐴 𝐜 𝐟 𝑓 𝐱₁ = 𝑎𝑥₁ + 𝑏𝑦₁ + 𝑐𝑧₁ + 𝑑 = 𝑓₁ 𝑓 𝐱₂ = 𝑎𝑥₂ + 𝑏𝑦₂ + 𝑐𝑧₂ + 𝑑 = 𝑓₂ 𝑓 𝐱_𝑁 = 𝑎𝑥_𝑁 + 𝑏𝑦_𝑁 + 𝑐𝑧_𝑁 + 𝑑 = 𝑓_𝑁 ・・・

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Overconstrained System

• #未知数 < #制約 (i.e. 縦長の行列)  全ての制約を同時に満たせない • fitting の誤差を最小化： 23 𝐴 𝐜 𝐟 _𝐴 _𝐜 𝐟 𝐜 𝐴⊺𝐴 −1 _𝐟 𝐴⊺ 𝐴⊺ 𝐴⊺ = = = 𝑨 𝐜 − 𝐟 2 = 𝑖=1 𝑁 𝑓 𝐱_𝑖 − 𝑓_𝑖 2

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LSQ の幾何的な解釈

• 𝐩 と 𝐪 が張る空間中で 𝐫 に最も近い点を求める (投影する) ことに相当 • fitting 誤差は投影距離に相当： 𝑑2 = 𝛼𝐩 + 𝛽𝐪 − 𝐫 2 24 𝑝_x 𝑝_y 𝑝_z = 𝛼 𝛽 𝑞_x 𝑞_y 𝑞_z 𝑟_x 𝑟_y 𝑟_z 𝐪 𝐩 𝐫 𝛼 𝛽 𝑑

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Weighted Least Squares (重み付き最小二乗)

• 各データ点ごとの誤差に、重み 𝑤_𝑖 をつける • 重要度、確信度 • 以下の誤差を最小化： 𝑖=1 𝑁 𝑤_𝑖 𝑓 𝐱_𝑖 − 𝑓_𝑖 2 25 𝑥₁ 𝑦₁ 𝑧₁ 1 𝑥₂ 𝑦₂ 𝑧₂ 1 𝑥_𝑁 𝑦_𝑁 𝑧_𝑁 1 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓₁ 𝑓₂ 𝑓_𝑁 ・・・・・・ = 𝑤₁ 𝑤₂ 𝑤_𝑁 𝑤₁ 𝑤₂ 𝑤_𝑁 𝐴 𝐜 𝐟 𝑊 𝑊

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Weighted Least Squares (重み付き最小二乗)

26 𝐴 𝐜 𝐟 𝐜 𝐴⊺𝑊2𝐴 −1 𝐴⊺𝑊2 𝐟 = = 𝑊 𝑊

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Moving Least Squares (移動最小二乗)

• 重み 𝑤_𝑖 が、評価位置 𝐱 に依存： 𝑤_𝑖 𝐱 = 𝑤( 𝐱 − 𝐱_𝑖 ) • よく使われる関数 (Kernel)： • 𝑤 𝑟 = 𝑒−𝑟2/𝜎2 • 𝑤 𝑟 = 1 𝑟2+𝜖2 • 重み行列 𝑊 が 𝐱 に依存  係数 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 が 𝐱 に依存 27 𝑓 𝐱 = 𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑎(𝐱) 𝑏(𝐱) 𝑐(𝐱) 𝑑(𝐱) 𝐴⊺𝑊 𝐱 2𝐴 −1 𝐴⊺𝑊 𝐱 2 𝐟 評価位置に近いほど大きな重み

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法線制約の導入

• 各データ点が表す 1 次式を考える： 𝑔_𝑖 𝐱 = 𝑓_𝑖 + 𝐱 − 𝐱_𝑖 ⊺𝐧_𝑖 • 各 𝑔_𝑖 を現在位置で評価したときの誤差を最小化： 𝑖=1 𝑁 𝑤_𝑖 𝐱 𝑓 𝐱 − 𝑔_𝑖 𝐱 2 28 𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑔₁ 𝐱 𝑔₂ 𝐱 𝑔_𝑁 𝐱 ・・・・・・ = 𝑤₁(𝐱) 𝑤₂(𝐱) 𝑤_𝑁(𝐱) 𝑤₁(𝐱) 𝑤₂(𝐱) 𝑤_𝑁(𝐱)

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法線制約の導入

29

法線制約を利用法線方向にオフセットして値を制約

Interpolating and Approximating Implicit Surfaces from Polygon Soup [Shen SIGGRAPH04]

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Radial Basis Function による補間

(放射基底関数)

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基本的な考え方

• 関数 𝑓(𝐱) を、基底関数 𝜙(𝐱) の重み付き和として定義： 𝑓 𝐱 = 𝑖=1 𝑁 𝑤_𝑖𝜙(𝐱 − 𝐱_𝑖) • 放射基底関数 𝜙(𝐱)：𝐱 の長さのみに依存 • 𝜙 𝐱 = 𝑒− 𝐱 2/𝜎2 (Gaussian) • 𝜙 𝐱 = 1 𝐱 2+𝑐2 (Inverse Multiquadric) • 各データ点における制約 𝑓 𝐱_𝑖 = 𝑓_𝑖 から、重み係数 𝑤_𝑖 を求める 31 基底関数をデータ位置 𝐱_𝑖 に平行移動

(32)

基本的な考え方

32 𝑓 𝐱₁ = 𝑤₁𝜙_1,1 + 𝑤₂𝜙_1,2 + ⋯ + 𝑤_𝑁𝜙_1,𝑁 = 𝑓₁ 𝑓 𝐱₂ = 𝑤₁𝜙_2,1 + 𝑤₂𝜙_2,2 + ⋯ + 𝑤_𝑁𝜙_2,𝑁 = 𝑓₂ 𝑓 𝐱_𝑁 = 𝑤₁𝜙_𝑁,1 + 𝑤₂𝜙_𝑁,2 + ⋯ + 𝑤_𝑁𝜙_𝑁,𝑁 = 𝑓_𝑁 𝜙_𝑖,𝑗 = 𝜙 𝐱_𝑖 − 𝐱_𝑗 と表記する・・・これを解けば良い 𝜙_1,1 𝜙_1,2 𝜙_1,𝑁 𝜙_2,1 𝜙_2,2 𝜙_2,𝑁 𝜙_𝑁,1 𝜙_𝑁,2 𝜙_𝑁,𝑁 𝑤₁ 𝑤₂ 𝑤_𝑁 𝑓₁ 𝑓₂ 𝑓_𝑁 ・・・ = ・・・ Φ 𝐰 𝐟

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Gaussian 基底関数を使う場合

• パラメタ 𝜎 の選び方によって、結果が大きく変わる！

• なるべく滑らかな結果を得るには？

33

𝜙 𝐱 = 𝑒− 𝐱 2/𝜎2

Scattered Data Interpolation for Computer Graphics [Anjyo SIGGRAPH14 Course]

𝜎

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関数の

“曲がり具合” の尺度 (Thin-Plate Energy)

• 2 階微分 (＝曲率) の大きさを空間全体で積分したもの： 𝐸₂ 𝑓 = 𝐱∈ℝ𝑑 Δ𝑓(𝐱) 2𝑑𝐱 • 1 次元空間の場合： 𝐸₂ 𝑓 = 𝑥∈ℝ 𝑓′′ 𝑥 2𝑑𝑥 • 2 次元空間の場合： 𝐸₂ 𝑓 = 𝐱∈ℝ2 𝑓_xx 𝐱 2 + 2𝑓_xy 𝐱 2 + 𝑓_yy 𝐱 2 𝑑𝐱 • 3 次元空間の場合： 𝐸₂ 𝑓 = 𝐱∈ℝ3 𝑓_xx 𝐱 2 + 𝑓_yy 𝐱 2 + 𝑓_zz 𝐱 2 + 2𝑓_xy 𝐱 2 + 2𝑓_yz 𝐱 2 + 2𝑓_zx 𝐱 2 𝑑𝐱 34

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数学分野の知見

• 制約 𝑓 𝐱_𝑖 = 𝑓_𝑖 を満たす関数全体のうち、𝐸₂ を最小化する関数は以下の基底を使った RBF として表せる： • 1 次元空間の場合：𝜙 𝑥 = 𝑥 3 • 2 次元空間の場合：𝜙 𝐱 = 𝐱 2 _{log 𝐱} • 3 次元空間の場合：𝜙 𝐱 = 𝐱 • 参考 • 有限要素法の場合：離散化した領域上で 𝐸₂ を最小化する 𝑓 を近似的に求める • RBF の場合：グリーン関数を使って 𝐸₂ を最小化する 𝑓 を解析的に求める 35

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線形項の追加

• 𝐸₂[𝑓] は 2 階微分を使って定義される  任意の線形項 𝑝 𝐱 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 を加えても不変： 𝐸₂ 𝑓 + 𝑝 = 𝐸₂[𝑓] • 線形項を未知数に含めることで、関数を一意に定める： 𝑓 𝐱 = 𝑖=1 𝑁 𝑤_𝑖 𝜙 𝐱 − 𝐱_𝑖 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 36

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線形項の追加

37 𝑓 𝐱₁ = 𝑤₁𝜙_1,1 + 𝑤₂𝜙_1,2 + ⋯ + 𝑤_𝑁𝜙_1,𝑁 + 𝑎𝑥₁ + 𝑏𝑦₁ + 𝑐𝑧₁ + 𝑑 = 𝑓₁ 𝑓 𝐱₂ = 𝑤₁𝜙_2,1 + 𝑤₂𝜙_2,2 + ⋯ + 𝑤_𝑁𝜙_2,𝑁 + 𝑎𝑥₂ + 𝑏𝑦₂ + 𝑐𝑧₂ + 𝑑 = 𝑓₂ 𝑓 𝐱_𝑁 = 𝑤₁𝜙_𝑁,1 + 𝑤₂𝜙_𝑁,2 + ⋯ + 𝑤_𝑁𝜙_𝑁,𝑁 + 𝑎𝑥_𝑁 + 𝑏𝑦_𝑁 + 𝑐𝑧_𝑁 + 𝑑 = 𝑓_𝑁 ・・・ 𝜙_1,1 𝜙_1,2 𝜙_1,𝑁 𝑥₁ 𝑦₁ 𝑧₁ 1 𝜙_2,1 𝜙_2,2 𝜙_2,𝑁 𝑥₂ 𝑦₂ 𝑧₂ 1 𝜙_𝑁,1 𝜙_𝑁,2 𝜙_𝑁,𝑁 𝑥_𝑁 𝑦_𝑁 𝑧_𝑁 1 𝑤₁ 𝑤₂ 𝑤_𝑁 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓₁ 𝑓₂ 𝑓_𝑁 ・・・・・・ = ・・・ Φ 𝐰 𝐟 P 𝐜 4 個の未知数 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 が追加されたので、 4 個の制約を追加する必要がある

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追加の制約条件：線形関数の再現性

• 「全てのデータ点の制約 𝐱_𝑖, 𝑓_𝑖 がある線形関数からのサンプリングであるとき、RBF による補間結果はその線形関数と一致する」 • これを満たすための条件： • _𝑖=1𝑁 𝑤_𝑖 = 0 • _𝑖=1𝑁 _𝑥 𝑖𝑤𝑖 = 0 • _𝑖=1𝑁 _𝑦 𝑖𝑤𝑖 = 0 • _𝑖=1𝑁 𝑧_𝑖𝑤_𝑖 = 0 38 𝜙_1,1 𝜙_1,2 𝜙_1,𝑁 𝑥₁ 𝑦₁ 𝑧₁ 1 𝜙_2,1 𝜙_2,2 𝜙_2,𝑁 𝑥₂ 𝑦₂ 𝑧₂ 1 𝜙_𝑁,1 𝜙_𝑁,2 𝜙_𝑁,𝑁 𝑥_𝑁 𝑦_𝑁 𝑧_𝑁 1 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥_𝑁 0 0 0 0 𝑦₁ 𝑦₂ 𝑦_𝑁 0 0 0 0 𝑧₁ 𝑧₂ 𝑦_𝑁 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 𝑤₁ 𝑤₂ 𝑤_𝑁 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓₁ 𝑓₂ 𝑓_𝑁 0 0 0 0 ・・・・・・ = ・・・・・・ Φ P 𝐰 𝐟 𝐜 P⊺

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勾配制約の導入

• 基底関数の勾配 𝛁𝜙 の重み付き和を導入： 𝑓 𝐱 = 𝑖=1 𝑁 𝑤_𝑖𝜙 𝐱 − 𝐱_𝑖 + 𝐯_𝑖⊺𝛁𝜙 𝐱 − 𝐱_𝑖 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 • 𝑓 の勾配： 𝛁𝑓 𝐱 = 𝑖=1 𝑁 𝑤_𝑖𝛁𝜙 𝐱 − 𝐱_𝑖 + H𝜙 𝐱 − 𝐱_𝑖 𝐯_𝑖 + 𝑎 𝑏 𝑐 • 勾配の制約 𝛁𝑓 𝐱_𝑖 = 𝐧_𝑖 を追加 39 H𝜙 = 𝜙_xx 𝜙_xy 𝜙_xz 𝜙_yx 𝜙_yy 𝜙_yz 𝜙_zx 𝜙_zy 𝜙_zz

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勾配の制約： 𝛁𝑓 𝐱₁ = 𝑤₁𝛁𝜙_1,1 + H𝜙_1,1𝐯₁ + 𝑤₂𝛁𝜙_1,2 + H𝜙_1,2𝐯₂ + ⋯ + 𝑤_𝑁𝛁𝜙_1,𝑁 + H𝜙_1,𝑁𝐯_𝑁 + 𝑎 𝑏 𝑐 = 𝐧₁ 値の制約： 𝑓 𝐱₁ = 𝑤₁𝜙_1,1 + 𝐯₁⊺𝛁𝜙_1,1 + 𝑤₂𝜙_1,2 + 𝐯₂⊺𝛁𝜙_1,2 + ⋯ + 𝑤_𝑁𝜙_1,𝑁 + 𝐯_𝑁⊺ 𝛁𝜙_1,𝑁 + 𝑎𝑥₁ + 𝑏𝑦₁ + 𝑐𝑧₁ + 𝑑 = 𝑓₁

勾配制約の導入

• 1 番目のデータ点について： 40

Hermite Radial Basis Functions Implicits [Macedo CGF10]

𝐧₁ 𝑓₁ 𝜙_1,1 _𝛁𝜙_1,1 ⊺ H𝜙_1,1 𝛁 𝜙 1 ,1 𝜙_1,2 _𝛁𝜙_1,2 ⊺ H𝜙_1,2 𝛁 𝜙 1 ,2 𝜙_1,𝑁 _𝛁𝜙_1,𝑁 ⊺ H𝜙_1,𝑁 𝛁 𝜙 1 ,𝑁 𝑥₁ 𝑦₁ 𝑧₁ 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ・・・ P ₌ 1 𝑤₁ 𝐯₁ 𝐯₂ 𝑤₂ ・・・ 𝐯_𝑁 𝑤_𝑁 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 Φ_1,1 Φ_1,2 Φ_1,𝑁

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41 𝐧₁ 𝑓₁ = 𝑤₁ 𝐯₁ 𝐯₂ 𝑤₂ ・・・ 𝐯_𝑁 𝑤_𝑁 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 P₁ Φ_1,1 Φ_1,2 Φ_1,𝑁 ・・・・・・ P₂ Φ_2,1 Φ_2,2 Φ_2,𝑁 P_𝑁 Φ_𝑁,1 Φ_𝑁,2 Φ_𝑁,𝑁 ・・・ 𝑃₁⊺ 𝑃₂⊺ 𝑃_𝑁⊺ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐧₂ 𝑓₂ 𝐧_𝑁 𝑓_𝑁 ・・・・・・

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比較

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参考サーベイ等

• State of the Art in Surface Reconstruction from Point Clouds [Berger EG14 STAR]

• A survey of methods for moving least squares surfaces [Cheng PBG08] • Scattered Data Interpolation for Computer Graphics [Anjyo

SIGGRAPH14 Course]

• An as-short-as-possible introduction to the least squares, weighted least squares and moving least squares for scattered data

approximation and interpolation [Nealen TechRep04]

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参考ページ

• http://en.wikipedia.org/wiki/Implicit_surface • http://en.wikipedia.org/wiki/Radial_basis_function • http://en.wikipedia.org/wiki/Thin_plate_spline • http://en.wikipedia.org/wiki/Polyharmonic_spline 44