確率波高 に対 す る推定 の可否 を決定づ ける新 たな指標の提案
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(2) 142. 海. 岸. 工. 学. 論. 文. 集. 第55巻(2008). (15). (8) と な り,式(2)の こ れ を 変 数xで 微 分 す る こ と に よ り,上 位j番 目 の 極 大. ポ ア ソ ン分 布 の 特 性 を 用 い て,年. 平均. 生 起 数 λxの推 定 誤 差 分 散 は次 の よ うに 与 え られ る.. 波 高 の確 率 密 度 関数 は,. (16) (9). こえ る高 波 の 個 数 が ち ょ う. で あ る.た と え,閾 値xを こ え る波 高 の情 報 を 用 い て, 一 般 化 パ レー ト分 布 の 母 数(こ の場 合 ,閾 値xに 対 す る. 谷,2004).ま. た,閾. 値xを. と な る 確 率f(j‑1)に,j番. 区 間(x‑dx,x]に. よ る λx. の 推 定 に は,生 起 回 数 とい う情 報 しか 用 いて い な い こ と. え ば,David・Nagaraja,2003;高. ど(j‑1)個. こ こで 注 意 しな け れ ば な ら な い の は,式(15)に. 橋 ・渋. と 得 ら れ る(例. 目 の極 大 波 高 が. 入 る確 率 密 度. 尺 度 母 数 σx)を 推 定 して も,式(11)あ にu=xを. る い は(12)の 右 辺. 代 入 して,次 式 の 自明 の関 係 式. (10) を 乗 じ れ ば,式(9)の. (17). 確 率 密 度 が 得 られ る と い う解 釈 も. 可 能 で あ る.極 値 分 布 を 直 接 的 に扱 うの で は な く,生 起. を 得 る に過 ぎな い.そ の た め,波 高xを. 強 度 と ポ ア ソ ン分 布 に分 解 す れ ば,柔 軟 な 取 扱 い が可 能. 起 数 の 推 定 に,波 高xを こえ る波 高 の大 き さの 情 報 は, 一 切 役 に立 た な い こ と に注 意 しな け れ ば な ら な い .. とな る こ とが わ か る.本 研 究 は,こ の よ う な ポ イ ン トプ ロセ ス の考 え に基 づ く もの で あ る. 高 波 標 本 を 用 いて 極 値 分 布 の 母 数 推 定 を 行 う こ と は, ポ ア ソ ン分 布 の 母 数 λxを推 定 す る た め に 必 要 な 媒 介 量. こえ る年 平 均 生. 4. 年 平 均 生 起 数 の 誤 差 分 散(そ の2) 前 述 の議 論 か らわ か る と お り,波 高(の 大 き さ)の 情. μ,σ お よ び ξを 推 定 して い る と考 え るべ きで あ る.し. 報 を 用 い る た め に は,式(11)あ. る い は(12)の 右 辺 に お い. た が って,年. て,u<x(一. あ れ ば 波 高 の 情 報 を利 用. 波高uを. 最 大 値 分 布 の 母 数 の組(μ,σ,ξ)で. は な く,. 閾 値 とす る年 平 均 生 起 数 と母 数 の組(λu,σu,ξ). を 媒 介 量 に 用 い る こ と もで き る.す. な わ ち,式(3)の. 代. わ り に,次 式 を 用 い る こ とが で き る.. 般 に は,u≠xで. で き るが,推 閾 値uを. 定 精 度 の 観 点 か らu>xは. す な わ ち,波. 高xを. た め に,波 高xよ. (11). 無 意 味)と な る. こえ る極 大 波 高 を対 象 に しな け れ ば な ら な い. こえ る 年 平 均 生 起 数 λxを推 定 す る. り低 い 閾 値uを. こえ る極 大 波 の 情 報 も. 利 用 す るの で あ る.こ れ は,極 値 解 析 は外 挿 で あ る と言 わ れ る根 拠 で あ り,外 挿 す る こ とが極 値 解 析 の本 質 とな っ. ま た,式(6)の. 代 わ り に,次. 式 を 用 い る こ と が で き る.. て い る こ とを 明 示 して い る.し ば しば,外 挿 す る こ と そ の もの が 極 値 解 析 の 問 題 点 と み な され る こ と もあ るが,. (12). そ うで は な い.外 挿 しな けれ ば,3.で. の 議 論 の とお り,. 波 高 の情 報 を 活 用 で きな い の で あ る.問 題 は外 挿 の 程 度 た だ し,形. 状 母 数 ξ は 式(3)と(11)で. 数(μ,σ)と. 母 数(λu,σu)は. 同 一 の 値 を も ち,母. 次 式 の 関 係 が あ る.. で あ り,そ の 程 度 の良 否 を ど の よ うに 表 現 して判 断 す る か につ い て,本 研 究 で検 討 す る の で あ る. 式(12)で 推 定 さ れ る年 平 均 生 起 数 λxに は,推. (13) 一 般 に ,閾 値uお ら,閾 値uを. よ びxに 対 す る平 均 生 起 数 の 定 義 か. 定 量 λu. お よ び δuが含 ま れ る.し た が って,λxの 誤 差 分 散V2は, デ ル タ法 に よ り,次 式 の よ う に分 解 で き る.. こ え る極 大 波 高xの 累 積 確 率 は,. (18). (14) と表 現 で き る.上 式 に,式(11)あ. る い は(12)の 生 起 強 度. こ こ で,母. 数 λuと δuの 誤 差 分 散 は,. を 代 入 す れ ば,一 般 化 パ レ ー ト分 布 が 得 られ る.. (19). 3. 年 平 均 生 起 数 の 誤 差 分 散(そ の1). とな るの で,誤 差 分 散V2は 次 式 の よ う に整 理 で き る. 標 本 平 均 の 分 散 は,標 本 サ イ ズ に逆 比 例 し,そ の係 数 は母 分 散 で あ る.す な わ ち,N年 波 高xを. 間 の高 波 資 料 に お い て,. こえ る生 起 回 数 を各 年 でki(i=1〜N)と. 年 生 起 数 の標 本 平 均 は,. (20). す る. 式(17)と 比 較 して分 か る とお り,上 式 の左 辺 は誤 差 分 散.
(3) 確 率波 高 に対 す る推定 の可 否 を決定 づ け る新 た な指標 の提案 の 比V2/V1を. 表 す.波. 高xを. こ え る頻 度 λxの推 定 に 対. して,波 高xを. こえ る デ ー タの み を用 い る場 合 を基 準 に,. 波 高u(<x)を. こ え る デ ー タ を 用 い て 外 挿 す る場 合 の. 誤 差 分 散 の減 少 を 検 討 で き る.. V3/V1は 約6/5と 一 定 とな る.ま た,λu〓7付. 近 でV2/V3. とな って い る. 誤 差 分 散 の逆 数 は情 報 とみ な せ,V1/Vi=2,3は,本. 来 デー. タが 有 す る情 報 に対 して,極 値 解 析 で 外 挿 す る こ と に よ. 式(11)に よ る λxの誤 差 分 散V3も,同. 様 に考 え て,. り追 加 さ れ る情 報 の 比 率 を 示 して い る.ま λxの逆 数 は,再. (21) と 得 ら れ る.た. 143. 現 期 間 を 表 す.し. 起数. 間 あた. り λu(>1)個. の 高 波 資 料 を 用 い る こ と に よ り,再 現 期 間. 1年(λx=1)に. 対 す る情 報 は増 加 し,形 状 母 数 ξが 未 知. で あ れ ば,情 報 の増 加 量 は20%程. だ し,. た,生. た が って,年. 状 母 数 が ξ=0と. 度 で あ る の に 対 し,形. 確 定 す れ ば情 報 の 増 加 量 は33%と. なる. こ とが わ か る. 図‑2は,横 (22). 軸 に λu/λxをと り,分 散 比Vi=2,3/V1の. 化 を 描 い た もの で あ る.横 た の は,λx=0.01(再. 現 期 間100年)と. で あ る.な お,誘 導 に あた って,次 式 に示 す一 般 化 パ レー. 図‑1と 同様 に,λu=1〜100の. ト分 布 の母 数 推 定 の分 散 共 分 散 を利 用 して い る.. た め で あ る.λx=0.01に に小 さ い.す. (23) 固 定 して,年. 間 あ た り λu個 の高 波. 範 囲 を 見 る こ と を意 図 した. 確 定 で き れ ば,再. 十分 現期 間. 100年 の情 報 は,極 値 解 析 で外 挿 す る こ と に よ り追 加 さ れ る 比 率 は,約10倍. 図‑1で は,λx=1と. し. 固 定 した場 合 に は,. 対 す る誤 差 分 散 比V2/V1は. な わ ち,ξ=0と. 変. 軸 の 範 囲 を100〜10000と. =2〜5の. に 増 大 す る こ と を 示 し て い る(λu. 範 囲 に お い て) .こ. こで 生 じ るパ ラ ドッ ク ス に. 資 料 を極 値 解 析 に使 用 で き る 場 合 の誤 差 分 散 比V2/V1お. 注 意 され た い.再 現 期 間 が 長 くな れ ば な る ほ ど,極 値 解. よ びV3/V1(ξ=0,±0.1,±0.2の5種. 類)を 示 す(横 軸 λu. 析 で 外 挿 す る こ とに よ り追 加 さ れ る比 率 が激 増 して お り,. は対 数 目盛 り で あ る こ と に 注 意).な. お,図 か ら確 認 で. 再 現 期 間 を 長 く とれ ば,極 値 解 析 の 意 義 が激 増 す る よ う. き る と お り,ξ=0の 異 な る.な ξ=0と. 場 合 に得 ら れ るV3/V1とV2/V1は. ぜ な ら,ξ=0の. 場 合 に 得 られ るV3/V1は,. して 推 定 さ れ る場 合 を 意 味 し,そ の統 計 誤 差 を. に思 え る(が,我. 々 の 感 覚 は納 得 で き な い).そ. の 理 由 は,. 誤 差 分 散 あ る い は 情 報 の比 を用 い て 相 対 的 に 議 論 して い る た め で あ る.極. 値 理 論 で 外 挿 して 得 られ る情 報. 考 慮 して い る た め で あ る.類 似 し た観 点 か ら,式(18)に. 1/Vi=2 ,3が 激 増 した の で は な く,再 現 期 間 を非 常 に長 く. お い て,母. 設 定 した た め に,高. 数 σuも 既 知 で あ れ ば,右. 辺 の 第2項. はゼ ロ. と な り,こ の場 合 の 誤 差 分 散V2'は,. 波 資 料 そ の も の の 情 報1/V1が. 急激. に減 少 した と考 え る方 が 納 得 で き る.し た が って,分 散 比 の よ う な情 報 の 相 対 量 で は,極 値 解 析 に よ る推 定 の 限. (24). 界 を 示 す こ と は で きな い こ とが わ か る.な お,確 率 波 高 の信 頼 区 間 は誤 差 分 散 に基 づ い て 算 出 さ れ る.そ の た め,. と な り,年 間 あ た り に 使 用 で き る デ ー タ数 λuに単 純 に 反 比 例 で 減 少 す る(図 中 の 灰 色 線).λu=λxで,い の 誤 差 分 散 比 も1と. ずれ. な る こ と は 明 らか で あ り,λuで. V2/V1は 約3/4と 一 定 に な って い るの に対 し,λu=2〜3で. 図‑1. 再 現期 間1年 の確率 波高 に対 す る誤差分 散 の比. 信 頼 区 間 の大 小 も当 然,相 対 的 にな る. 5. 経 験 度 の 導 入 ポ ア ソ ン分 布 の 超 過 確 率 は,ガ. 図‑2. ンマ分 布 の 累 積 確 率 と. 任 意 の再現 期間 の確率 波高 に対 す る誤差 分散 の比.
(4) 海. 144. 岸. 工. 学. 論. 次 式 の よ う に結 び付 け られ る(例 え ば,稲 垣,2003).. 文. 集. 第55巻(2008). 起 す る期 待 生 起 数 に相 当 す る.V(λ)に. 式(20)あ る い は. (21)で表 され る誤 差 分 散Vi=2,3を 代 入 す れ ば,式(29)を. (25) (31) こ こで,年. 間 に お け る 総 生 起 数vお よ びKの 扱 い が 両 辺. で 異 な る こ と に注 意 しな け れ ば な らな い.左 辺 で は母 数. に 変 形 で き る.経. vの ポ ア ソ ン分 布 の確 率 変 数 と してKが 用 い られ て い る. にN年. の に対 し,右 辺 の ガ ンマ分 布 で は平 均 生 起 数v/Nが. も の と な っ て い る.推. 変 数 で,Kは. 母 数 で あ る.し た が って,N年. 確率. 間 にK回 生. 験 度Kは,分. 散 比 と い う相 対 的 な 量. 間 に生 起 す る期 待 値 と い う絶 対 的 な量 を乗 じた. Ij(=Vj‑1)を. 定 量 の誤 差 分 散 の逆 数 は情 報. 表 す こ とか ら,上 式 を 整 理 す れ ば,. 起 した 時,推 定 さ れ る平 均 生 起 率 λ は,. (32) (26) とな る.情 報 を 経 験 度 で 除 した も の は常 に一 定 に な る と で 表 さ れ る ガ ンマ分 布 に従 うと い え る.ま た,ベ イ ズ統 計 学 に お い て,式(26)は. 自 然 共 役 分 布 で あ り,総 生 起 回. 数Kは 経 験 の 度 合 い と解 釈 で き る.. 言 え る.そ の 一 定 値Ieは,ポ. ア ソ ン分 布 の み か ら得 られ. る生 起 数1個 分 の 基 本 情 報 量I1/(Nλx)に 相 当 す る.ま た, 波 高 の大 き さ も活 用 して極 値 解 析 に よ り割 増 さ れ た情 報. 式(26)に 示 さ れ るガ ンマ分 布 の 期 待 値 は,. (27). Ii=2,3を 基 本 情 報 量Ieで 除 した も の が,経 と見 る こ と もで き る.. 験 度Kで. こ の よ う に して 得 られ る経 験 度Kが,図‑3に で あ る.図‑3お 示)に. よ び4は,期. と り,K=2〜10で. 待 値E(λ)を. 一 定(0.1で 例. 増 加 させ た場 合 とK=2〜0.1で. 減 少 さ せ た 場 合 に推 定 され る生 起 率 の 分 布 を 図 示 した も ので あ る.生 起 数Kの. 増 加 と と も に,期 待 値E(λ)に 集. 中 す る様 子 が 示 され る(経 験 の増 加 に応 じて,推 定 値 λ の ば らっ き が 減 少 して い る と解 釈 で き る).ま に示 さ れ る よ うに,生 起 数Kが1以. た,図‑4. 下 の ガ ンマ分 布 に は,. 最 頻 値 が 存 在 しな い.そ の よ うな分 布 は,推 定 値 の 分 布 と して適 して い る とは 言 え な い.. お り,2以. 最 頻 値 す ら存 在 しな い.こ. 式 の 関 係 式 を 得 る.. (29) こ こ で,期 待 値E(λ)に λxを,分 散V(λ)に. 波 高xを. こえ る年 平 均 生 起 数 λx. 誤 差 分 散V(λx)を 代 入 す れ ば,推 定. 値 λxが従 う ガ ンマ 分 布 の 形 状 母 数Kが. 得 られ る.こ れ. を経 験 度 と名 付 け る. V(λ)に 式(16)で 表 さ れ る誤 差 分 散V1を. い う格 言 が 的 確 に表 現 して い る と考 え る.す な わ ち,2 度 あ る こ と は3度 あ る か も しれ な い と考 え,検 討 の対 象 に す る 一 方 で,1度. しか 無 い こ と は2度 め が あ るか ど う. か の 検 討 を保 留 にす る とい う判 断 で あ る.こ れ に な らえ 験 度Kが2未. 満 の 時,情 報 不 足 と して,極. 図‑5お よ び6は,式(20)お. 値解 析. 代 入 す れ ば,. を得 る.こ れ は,年 平 均 生 起 率 λxの事 象 がN年. 平均生 起 率 の推 定値 分布(K≧2). 間 に生. よ び(21)のViを. 式(31)に 代. つ い て 図 示 した もの で あ る.. 横 軸 に年 間 あ た り に極 値 解 析 に使 用 で き る極 大 波 高 の 平 均 数 λuを,縦 軸 に 対 象 とす る 再 現 期 間R(=λ‑1x)を り,K/Nの 均 λu=3個. の 極 大 波 高 を 用 い て 極 値 解 析 を 行 い,R=. 100年 確 率 波 高 を 検 討 す る 際 に,極 ξ=0を. 値 分布 の形状 母 数. 推 定 しな け れ ば な らな い 場 合 は,図‑5を な る.こ. 見ると. の 場 合 に は,N=100. (=2/0.02)年 程 度 の高 波 資 料 を 用 い て は じ め て,経 Kは2を. と. 等 高 線 図 と して 表 現 して い る.例 え ば,年 平. お り,K/N=0.02と. (30). 図‑3. あ るこ とは. 3度 あ る」 と 「1度 あ って も2度 あ る と は限 らな い」 と. 入 して 得 られ る経 験 度Kに 用 い て,次. 下 で あ れ ば,. の こ と は,「2度. の 推 定 結 果 を 保 留 す べ き と考 え る.. (28) で あ る.式(27)と(28)を. 見ると. ン マ分 布 の最 頻 値 が存 在 し,. 期 待 値 の周 辺 に確 率 が 集 中 す る.他 方,1以. ば,経. 式(26)に 示 さ れ るガ ンマ分 布 の 分 散 は,. 上 で あ れ ば,ガ. ある. 験度. 上 ま わ り,検 討 に値 す る と い え る.一 方,形. 母 数 ξ=0を. 確 定 で き る場 合 に は,図‑6を. 図‑4. 状. 見 る と お り,. 平 均生 起率 の推 定値分 布(K<2).
(5) 145. 確 率波 高 に対す る推 定 の可 否 を決定 づ け る新 た な指標 の提案. 図‑5. λu=3お. 観測 年数 に対 す る経 験度 の比(ξ=0が. よ びR=100の. 条 件 で,K/N=0.09と. こ の場 合 は,N=23(=2/0.09)年. な る.. 程度 の高波 資料 を用 い. れ ば,確 率 波 高 の 検 討 を して よ い と判 断 で き る.さ λu=20の. 図‑6. 未知). ら に,. 既知). むすび. 本 研 究 で 提 案 す る経 験 度 は,高 波 資 料 か ら算 出 さ れ る 確 率 波 高 に対 して,検 討 に値 す る も のか,検 討 を 保 留 す べ き もの か を判 断 で き る指 標 で あ る.ま た,経 験 度 を利. 極 大 波 高 を極 値 解 析 に 使 用 で き る な ら ば,わ. ず か にN=6(=2/0.35)年. 7.. 観 測年 数 に対す る経験 度 の比(ξ=0が. 間 の高 波 資 料 で も検 討 可 能 とな. る.た だ し,極 値 解 析 に 使 用 で き る極 大 波 高 の年 平 均 数. 用 して,北. 野(2007,2008)で. 提 案 す るベ キ 乗 量 を 対 象 と. した 極 値 解 析 法 の 利 点 を明 らか に した.. λuは,閾 値uを ど の程 度 ま で 下 げ て も よい か と い う極 値. 低 頻 度 の 限 界 と して,経 験 度 の 基 準 値 を2に と る こ と. の統 計 的 特 性 の検 討 で 決 ま る もの で あ り,単 純 に 記 録 さ. と,観 測 で き る高 周 波 の限 界 を 示 す ナ イ キ ス ト周 波 数 と. れ て い るデ ー タ の有 無 に よ る もの で は な い.. の 両 者 に は,興 味 深 い類 似 点 を 見 い 出 す こ とが で き る. そ れ は,波 形 に は 峰 谷 の2点 が 最 低 限 必 要 で あ り,区 間. 6. ベ キ 乗 量 を 対 象 に した 極 値 解 析 法 の 利 点 ワイ ブル 分 布 に 従 う極 大 波 高 に 対 して,ベ. (再現 期 間)に は起 結 の2点 が不 可 欠 と な る点 で あ る.. キ乗 量 を と. る こ と に よ り,急 速 に ガ ンベ ル分 布 に収 束 す る こ と を応. 謝 辞:本 研 究 は,科 学 研 究 費(代 表:高. 用 し,北 野(2007,2008)に. 題 名:古. 母 数 の 値 と してGoda. よ れ ば,ワ. イ ブ ル分 布 の 形 状. (2000)で 推 奨 さ れ る値 に追 加 した. k=0.75,1.0,1.4,2.0,2.6,3.3を. ベ キ 数 と して,高. 波 の特. 橋 倫 也 教 授,課. 典 的 な 極 値 デ ー タ解 析 法 の 改 良)お よ び名 古 屋. 工 業 大 学 とJR東 海 コ ン サ ル タ ン ツ(株)の 共 同 研 究 の 成 果 の一 部 で あ る.. 性 を 表 す 物 理 量 に 相 当 す る ベ キ 乗 量 を対 象 に した極 値 解 参. 析 が 提 案 さ れ て い る. 観 測 期 間N=20年 の 場 合,ベ. のKodiak沖 の 高 波 資 料(Goda,2000). キ 乗 量 を用 い た 解 析 で は,閾 値u=6mを. え る 波 高(全 資 料78)を 使 用 で き る(λu=3.9).こ 再 現 期 間R=100に 度K=2.2(>2)を る場 合 に は,ガ. 対 して,K/N=0.11と 得 る.他 方,波. の 時,. 算 出 さ れ,経 験. 高 そ の もので解析 す. ン ベ ル 分 布 へ の 収 束 は遅 く,ξ=0を. 定 す る 必 要 も あ り,閾. こ. 推. 値u=9m(λu=0.5)で,K/N=. 0.02と 算 出 さ れ る.そ の場 合 に は,さ 資 料 を 追 加 し,経 験 度 が2を. ら に80年 分 の 高 波. こえ る ま で,100年. 高 の検 討 は保 留 さ れ る こ と に な る.. 確 率波. 考. 文. 献. 稲 垣宣 生 (2003): 数理 統計 学 (改訂 版), 裳華房, 328p. 北 野利 一 (2007): 高 波 の頻 度解 析 に用 い られ る ワイ ブル分 布 の形状母 数, 海工 論 文集, 第54巻, pp.121‑125. 北 野利 一 (2008): 高 波 の極 値 解析 に相 応 しい物理 量, 統計 数 理 研究 所共 同研 究 リポ ー ト212, pp.55‑63. 高 橋 倫也 ・渋谷 正 昭 (2004): 上 位r個 の観 測値 に基 づ く確 率 点 の推定, 統 計数 理, 第52巻, pp.93‑116.. Castillo, E., Hadi, A. S., Balakrishnan, N. and J. M. Sarabia (2005): ExtremeValue and RelatedModels with Applications in Engineeringand Science,Wiley, 362p. Coles, S (2001): An Introduction to Statisitcal Modeling of Extreme Values, Springer,208p. David, H. A. and H.N. Nagaraja (2003): Order Statistics,3rd ed., Wiley, 458p. Goda, Y. (2000): Random Seas and Design of MaritimeStructures, World Scientific, 443p..
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