JAXA Repository AIREX: 圧縮性Euler方程式の有限体積法計算における流れと格子の斜交による影響について

宇宙航空研究開発機構研究開発報告

JAXA Research and Development Report

圧縮性Euler方程式の有限体積法計算における流れと格子の

斜交による影響について

A Discussion on the Effect of Computational Mesh Oblique to Stream

相曽 秀昭

Hideaki AISO

2018年3月

૬ી लত

Keywords: Conservation Law, Compressible Euler Equations, Finite Volume Method, Numerical

Viscosity, Computational Grid

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* _平成

30年2月6日受付（Received February 6, 2018） *1 _{航空技術部門 数値解析技術研究ユニット}

（Numerical Simulation Research Unit, Aeronautical Technology Directorate）

ABSTRACT

A Discussion on the Effect of Computational Mesh Oblique to Stream

相曽秀昭

by

Hideaki AISO

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U−=

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ρmVmcosθ

ρmVmsinθ

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, U+=

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ρm+1Vm+1sinθ

em+1

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5

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ρmVm

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   ρ ρu e   =   

ρm+1

ρm+1Vm+1

em+1   , x >0.

(13)

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F

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  

ˆ

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ρuˆ2_{+ ˆp}

ˆ

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 (14)

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͸੔਺

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લઅͷ༷ʹ ࣍ݩͰྲྀΕʹࣼަ͢Δ֨ࢠΛ༻͍ͯ ๏Ͱ ࣍ݩܭࢉ͢Δ৔߹

ʹ͍ͭͯൺֱ͢Δ͜ͱͰɺྲྀΕ͕֨ࢠʹࣼަ͢ΔࣄʹΑΔ਺஋ܭࢉ΁ͷӨڹΛߟ࡯͢Δɻ

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ͷղͷ ʹ͓͚Δ ͷ஋Λ ͱͯ͠

ͱఆΊΔɻ

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∂ ∂t       ρ ρu ρv e       + ∂ ∂x       ρu ρu2_+p

ρuv u(e+p)

     

, p= (γ−1) {

e−1 2ρ(u

2

+v2

) }       ρ ρu ρv e       =       ρm

ρmVmcosθ

ρmVmsinθ

em      

, x <0,

      ρ ρu ρv e       =      

ρm+1

ρm+1Vm+1cosθ ρm+1Vm+1sinθ

em+1

     

, x >0.

(15)

ͷղͷx/t= 0ʹ͓͚Δρ,u,v,e,pͷ஋Λρ¯,¯u,¯v,¯e,¯pͱͯ͠

1 cosθ    ¯

ρu¯

(¯ρu¯2_{+ ¯p) cosθ+ ¯ρu¯¯vsinθ}

¯

u(¯e+ ¯p)





 (16)

ͱఆΊΔɻ

(B)ʹग़ݱ͢ΔRiemann໰୊͸ۭؒ2࣍ݩͰ͋Δ͕ɺvΛൈ͍ͨैଐม਺ρ, u, p͸Riemann໰୊ʹ͓ ͚ΔͦΕΒͷॳظ஋Ͱ͋Δρ₋, u₋, p₋ʢx < 0Ͱͷॳظ஋ʣͱρ+, u+, p+ʢx < 0Ͱͷॳظ஋ʣ͔Βɺ1

࣍ݩͷѹॖੑEulerํఔࣜͷRiemann໰୊ͱશ͘ಉ͡Α͏ʹղΛಘΔɻvʹ͍ͭͯ͸ρ, u, pͷΈͰղ͔Ε

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[1] H. Aiso. Admissibility of difference approximation for scalar conservation laws. Hiroshima Math. J., Vol. 23, No. 1, pp. 15–61, 1993.

[2] S. K. Godunov. Finite difference method for numerical computation of discontinuous solutions of the equations of fluid dynamics (in Russian). Mat. Sb. (N.S.), Vol. 47, pp. 251–306, 1959.

[3] J. Smoller. Shock waves and reaction-diffusion equations. Springer-Verlag, NewYork, 1982.

[4] E. Tadmor. Numerical viscosity and the entropy condition for conservative difference schemes.

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平成30年3月9日 松枝印刷株式会社

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