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1
論 文1
UDC ：624．
073 ：624．
04 日本 建 築 学 会 構 造 系 論文 報告 集 第 367 号・
昭 和 61 年 9 月2
次
元
高 次理 論
に
よ
る
厚 板
の
解析
§ 正 会 員松
永
裕
之＊1．
序 薄 板を 解 析の対 象 とした古 典 理 論は，
い わ ゆ る Kir−
chhoff−Love
の仮 定の導入に より非 常に簡 潔な理論 的 構 成 をし て お り，
数 多 くの問 題の解 析に応 用 され発 展して きた。 しか し，
こ の古 典 理 論 も導入 さ れ た仮 定の ゆ え に，●
当然の ことながら適 用 範 囲に限 界が あり，
厚い板な どを 解 析の対 象 と する場 合には，
より適 切な新しい理 論が必 要 とな る。Reissneri
）は，
古 典 理 論と同一
レ ベ ル の変位分布 を仮 定し， せ ん断 変 形の影 響 を 考 慮しつ つ 古 典 理
論
の一
般化を行っ た。
板表 面の応 力 境 界 条 件 を 満 足する よ う応 力 分 布 を仮 定し， 変 分 原 理 を用い てつ り合い式な ど の基 礎 式 を導い て い る。
Mindlin21は Reissnerと同 じ変 位 成 分の表 現 を用い，
応 力 分 布につ いて の仮 定を導入 す る こと な く支配 方 程 式を導い て い る。 し か し，
面外せ ん 断応 力は板厚方 向に一
様と な り，
板の表 面に お け る応力 境界条 件を満足 す る こ とが で き な い。
Reissner もMindlin
も せ ん断 変 形の影 響は考 慮して い るが，
板 厚 方 向の直ひずみ の影 響は無 視しており，
板 厚 方 向に線 形 分 布する面 内垂 直 応 力 を 仮 定し て い る点におい て は，
古 典 理 論 と同 程 度の近 似 理 論で ある。Reissner3
〕は ， 本 報に おける面 外 （曲 げ ）問 題の 2次 近似の場合と同じ変位分布に対し て， 板の 2次 元 理 論 を 展 開し， 円孔の あ る板の曲 げ 問 題を解 析し，3
次 元 弾 性 解との比較を行っ て い る。
こ の理論は古 典理論に対し て， 曲げ変形お よび せ ん断変形による最 小限の補正 を加え た もので， 面 内 （伸 縮 〉変 形に よる影 響は含ま れてお らず，
板の表 面の任 意の応 力 境 界 条 件に対 応でき るもので は な い。 Lo et aLi ） は，
3）と 同 程度の 面 内 変 形の影 響 を も 考 慮し た 2次 元 高 次 近 似理論を発表し た。
す な わ ち， 本 報に お け る面内 （伸縮 ）問 題の2
次 近 似の場 合 を合わ せ 考え ることによっ て， 板の表 面の任 意の応 力 境 界 条 件に も対応で きる近似理論である。
そ し て， 例 題とし てLit−
tleS） が扱い，
また本報におい ても扱っ て い る問題 を解き，
中央 面 た わ み と 面内 垂 直応 力につ い て，
3次元弾 性 論に 基づ い た5
）の厳密解との比較を行っ て い る。Little
は， §本 論 文の一
部は文 献14＞において発表し た。 寧 摂 南大 学 教 授・
工 博 （昭 和61年2月4日 原稿受理） この問 題 をは り と し て考え， は り幅方向に は平面 応 力状 態を仮定 し てい るの に対 し，Lo
et al．
は』
一
方 向 無 限 長 の板 と して扱っ て お り，
平 面ひずみ （変 形 ）状 態を仮 定 し てい るので， 変 位 成 分につ いて比 較 する場 合に は，
こ の点 を考 慮す る必 要がある。 また，
Lo et al．
61 において は，
4）の近 似 理 論の結 果に基づい て ほ かの応力成分，
す な わ ち面 外せん断 応 力および板 厚 方 向垂 直 応 力につ い て，3
次 元 連続
体のつ り合い微 分 方 程 式 を板 表 面の応 力 境 界条件を満 足させつ つ順 次積 分して求める手 法を提案 し，
4）の例題につ い て これ らの応 力 成 分 を求め， 5〕の 厳 密解と の比 較を行っ ている。
以 上の ように，
変 位 成 分 を 板 厚 方 向 座 標の べ キ 級 数で 表 現 した理 論 に対 し，
Ambartsumyan7 ）は ， 応 力 成 分を板 厚 方 向座標の べ キ 級 数で表 現し た理 論を提 示して い る が，
面 内垂直応 力につ い ては若 干の補正 は見ら れ る も の の，
変位成 分につ いて は1）の 結果 と 変 わ ら ない。
著者らS） は， 弾性の板や殻につ いて， 構 成 式の非 線 形 性と幾 何 学 的 非 線 形 性 を考 慮し た2次 元 高 次 理 論 を発 表 し た。
これは板や殻の変 位 成 分 を厚さ方 向 座 標の無 限ベ キ級数に展開し， 変 分 原 理 を用い て高 次 断 面 力成 分を導 入 す ることによ り， 2次 元 化 し た支 配 方 程 式 を誘 導し た も ので あ る。 本報の基 礎 式は，8
＞の手法と結 果 を線 形 弾 性 平 板の 幾 何 学的線形 問 題に適 用し た もので ある。
こ の基 礎 式は，
変位成 分につ い ての無 限個の展 開係数を未 知 量 と す る 形 と な り， 解の収 束 性に 関 する数 学的証 明は 困難であ る。
ま た， 得られ た基 礎 式が複 雑な ために， 実 際には級 数 を有 限項で打 ち切っ た形の近 似 理 論 として使 うこ と に な り，
解の収 束 性につ い て は具 体 的な問題に適 用し た結 果か ら明ら かに さ れ な け ればな ら ない。
一
方，
最 近に なっ てIgarashi
et aL 9，は， 表面に任意 の分布圧 力 を受け る 厚板の た わ み を求め る た めの理 論 を 展 開 し，3
次 元弾性 体のつ り合い条 件 式 を 満足 する 6個 の独 立な未知 関 数 を導入 す ること に よ り， 変 位お よび応 力 成 分 をこれ らの 関数で表す と と もに，
板の上下表 面の 応 力境 界 条 件か ら，
これ ら未知 関 数 を決 定す る方 法 を提 示して いる。 理 論的に は，
この6
個の条件式を解くこと にな り，
非 常に簡 潔な形 式とな るが，
板 中央面 上の境界 条 件 を導入 する際に， 再び境 界 値 問 題を解か なけれ ば な一
48
一
N工 工一
Eleotronio Libraryらず
，
特 定の境 界 条 件の場合
など を除いて非常に複雑に なる。 また，
こ の場 合の近 似 理 論は， 6個の条 件 式の係 数を板 厚 方 向座標のべ キ級 数に展 開し，・
その有限項を採 用 する形に なるが，
こ の基 礎 式も か な り複 雑で あ る。
し か し，
中 央 面 上の た わ み に関す る微分方 程式 は，
既往の 種々の理論との 関 係 が 明解で あり興 味 深い。
ま た， Iga・
rashi et al．
iO｝は，9
）の成 果に基づい て，
4），
5）お よ び本報の例題と同 じ問題を解析し，
既 往の結 果と比 較 し てい る。一
方 向 無 限 長の板を考え，
そ の方 向の変 位 成 分 を0 と仮 定し， 中央 面 上の た わ み お よ び面 内 垂 直 応 力に つ い て，
厳 密 解お よび種々 のオー
ダー
の近似 解の結 果を 不 し て い る。
本 報の 目的は， 導か れ た2
次元高次理論に基づい て，
種々 の近 似 段 階における基 礎 式の精 度 を 明ら かに し、
そ の適用範囲を確 認する ために， 厳 密 解の存 在す る 既往の 問 題 を 解き，
結 果 を直 接 比 較す ることに よっ て， この理 論の有 用 性 を示 すことにある。 また，
変 位 成分のみでな く，
従来の板や殻の 2次 元 理 論で は扱わ れ てい な かっ た 応 力 成 分につ い ても，
板の中 央 面 上に お け る2
次元境 界 値 問 題 を 解くことに よっ て得た変位成 分を用い て，
板の 表 面に お ける任 意の応 力 境界条 件を 満 足 さ せつ つ，3
次 元 連 続 体のつり合
い微 分 方 程 式 を積分 す る手法に よ り一
般的に応 力 成 分の定 式 化 を行い，
板 厚 方 向の分 布 状 態に 対 し精 度の良い解が得ら れ る ことを示す。
本 報で扱っ た 例 題は，
x 方 向 単 純 支 持，
y
方 向 無 限 長の平 板の問題で， y方 向変位 v＝0
と して解い て いる。 荷 重 状 態につ いて，
2つ の場 合を考慮 し た。
第 1の場 合は，
板の上表 面に の’
み正弦 波形の直圧 力 が作 用し てい る問 題である。 こ れ は 既に 4）， 10 ）で同一
条 件の下に扱わ れ，
ま た 5 ）では は りの問 題 と して Ψ方 向 面 内垂 直応 力 Syy＝ 0と して厳 密 解な らびに近 似解が示され てい る問 題で あ る。 4）の 結 果は， 本報にお け る2
次近似
の結果と一
致して いる。 比 較の対 象 とす る厳 密 解に つ いて は，
z 方向変位 成分 W は 10）の結果と，
x 方 向面 内 垂 直 応 力Sxx につ い て は，
5）お よび10
）の結果と， ま た面外
せ ん断 応 力 Sxx およ び板 厚 方 向 垂 直応 力 StZにつ い ては 5）の結 果とそれぞ れ比 較し，
良く一
致してい る こと が確認 さ れ た。 第2の場 合は，
板の上 表 面に の み等 分 布の 直圧 力が作 用してい る問題であ る。
こ の問 題におい て は，
比 較の対 象 と な る 厳 密 解 が ない の で，
せん断 変 形や板 厚 方 向ひず み の影 響 を最小 限考慮に入 れ た近 似 解12＞，
13｝と中 央 面の最 大た わ み につ い て 比較し た。 本 報で は，
等 分 布 荷 重をフー
リエ 無 限 級 数に展 開 し，
変 位や 応力 成 分な どの 諸 量も境界 条件を満足 す る形の フー
リエ 無 限 級 数で表し た解 を求め ている。
実 際に は，
解を有限 項 数で近 似す る ことにな り，
こ の 場合の 解の収 束性
につ い て検 討し，
同 時に板 厚 方 向ベ キ 級 数 展 開につ い て も有 限 項 数で打 ち 切っ た 近似 解にお け る収 束 性につい て も示す。
2．
平板の2
次元 高 次理 論 基 礎 式平 板の中央面上に直 交 直線 座 標 系 （xl ，ゴ
，
ゴ）を考え る。 x3 は板 厚 方 向 座 標と し， 板 厚は一
様でt
と す る 。 本 報に お け る数 式 表 示は，
テ ン ソ ル表 記 法に従う。
添字 のギ リ シャ文 字は （1，
2） を表す。・
平 板 内にお け る変位 成分は，
板 厚 方 向 座 標 ゴ の べ キ 級 数と して， 次 式の よ うに表さ れると仮 定す る。
m
コ m ln｝Va
＝
Σ v。げ ） ”，
v、＝
Σ の，（コc3尸……・
…・
…
（1 ） n＝
O n＝
0 同 様に ひずみ成 分につ い ても， げ の ベキ級 数で表しm
ロ
m tn）7aP
＝
Σ】γα
e（xs）n，
7a3
＝
Σ1
γα3（x3） n n＝
e n！
o．
。
t。）……
（2） r33富 Σ γ 33（xar ： niO とす る。
3次元連 続 体の ひ ず み一
変 位 関 係 式 （線 形）を 用い る と，
（2）式に お け る ひずみ成 分は次式の よ うに （1｝式の変 位 成 分で表せ る。
〔n十 4n〕 俄 〕 1・・ β一
壱
ω。轟 ∂CYZ・
一
；
l
l
（n＋1鰐
＋ 1湘
｛n ） ［n＋1 ） γ，3＝
（n十1
）Vs こ こ で，
（・姻
一
五
、， s・p ｛・・｝e・ガ一
∫：
1
：
s・3 （xe）・dxs窄
一
∫
：
1
：
ss3（げ腰 は断面 力 成 分の定 義 式であり tn｝．
tn）・
…・
…・
………・
（3＞ ）．
a ca xa につ い て の偏 微 分 を表す。
平 板 内の応 力 成分 を saS
，
sα3，
s33 と し， ひ ずみ成 分 （2）式との間に仮 想 仕 事 式を書く。・
呵
（・… ）・。 ・＋s…1
・，，3＋臨 ）・・一
∫
（s；・・．・・：av
、）・∫一
・一・
…・
……
川 ここにdV
は体 積 要素を，
dS は外 側 表面の 面 積要 素を 表 し，
謡 お よび 謡 は表 面上で与え られ た応 力 成 分で あ り，
次 式の よ うに書くこと がで き る。8窪
；
VB 8呈β十 均8呈3，
s毒
＝
Vs 8藍3十駿38挈・
・
…
一
（5
） こ こ で Vfi
，
h は表 面上にお ける外 向き法線単位ざク トル の各々 ゴ，ゴ 方向成分であ る。 （4）式に （1
）一
（3
） 式 を用い て計算す れ ば，
つ り合い式は次式で与え ら れ る。δ
蟹
、 ・融
一
瀞
＋摎
・一
。ua）
ln）
（n
＿
、｝〔n）
’
”9’
…
一・
・
・
・
・
…
（
6
） ：Q
急一
ηT
十P3
＝
O δv， こ こ に「
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（7）P” ＝ ［・撃（x’）
嬲
，，
P3； ［・ 3 （x3）・ ］t
・i
／， ∴……
（8 ） は荷 重 項を表
す。 平 板の上 下 表 面におけ る応 力境界条 件は 8α3＝
8象3，
s3s． ．S碧・
…
tt・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（9）一
49
一
NII-Electronic Library Service と表さ れ
，
また平 板 中 央 面上にお け る境 界条件につ いて も次 式の よ うに書 ける。蟹
。一留
ま 。D ，鐸
・β一 吻踟
…………
（10
）tBi 、一 ｛
凄
。r レβる
・一 。，Q
” 峯 こ こに梅
一
∫：
；
：
・禦（xSTdx3・
…・
………・
（ll
＞覆
皐一
∫
：
1
：
・鼻3（x3）・dxs
で あり，
＊印の付いた 量はすべて境 界 条 件とし て規定さ れ る。次に構 成 式につ い て は
，
平 板の材 料を等 方性 線形 弾 性i
鐸
・・一
烈与
… δ艦 圃
・）＋E
，δ ・・｛
（・ ＋1
）點
一
蹴 ・ v・，
・）》
一烈
穿
・aA・1
（m ＋1
酷
撕
］
・
∫（n ＋ m ＋1）鷺
［
（・。・跏 ＋1酷
与
・鴨
＋叫
∫（禰 ＋1
） こ こ に・鯛 ・瑚
蝋
e
）
n ・1−
・− 1
・・魂
。．
、：
：
：
：
：
：
諜 鰲
…・
・
…一 ・
・
…・
・
…一
………・
・
……・
…・
…
・・5・ 以上の基 礎 式を用い て，
平板の境界値問題 を取り扱う際に．
変 位 成 分 を未 知 量と して考え，
構成 式 （14
）を用いてっ り合い式 を変 位成 分で表現ずると次式とな る。
翫
烈 弖
（・・δ ・・ δ・ ＋・・δ ・・ δ・職 曲
・E
，… ＃ 〈m ＋1
）剛
。伽 柵1
）−
9
・ ・δ ・ ［（m ＋1
）〔隈
｝＋跏
∫（n＋ m ）｝
・s
”一
・・
…………・
…・
・
・
…
（16）鉱
：烈
与
測 （m ＋1
〕脚
掘
山・
∫（n＋ m ＋1）−
n［
（D
。。＋E
」（m ＋1鰐
＋与
測凱
＋臨
）］
・
f
（n＋m ）1
＋拠
o
また，
境 界 条 件 式につ い ても， （10 ）式におい て適 宜 （14 ＞式 を用い る ことにより，
すべ て変位成 分で表す こと がで き る。線 形 弾 性 問 題で は
，
上記の よ うに変位 成分で表 したつ り合い 式 （16）は，
以 下の よ うに中 央 面に関し，
荷重お よ び 変 位 成 分の対 称，
逆対称 性に対 応して面 内 （伸 縮 ）問題 と面 外 （曲げ）問題 とに分 離 す ること がで きる。
（
1
）面内 （伸 縮）問 題 （x3；
±t／2で，
see＝
：
±すα ／2，
sls− − p
／2 ）鵬
・急
｛
［
S
（… δ・ ・pv＋E
，・ ・ …b
（1孔
＋伽
・・δ ・・ （・ノ・ ・）12観
1］
，
a 、i．1
ノ． 、・
（
者）
！s＋2J’
1−
・D
・… ［（・ブ・ ・脇
黝
・
、i＋l
」＋1・
（
差
）
…1
・す”W
−
・…・
……
（17
）塊
割
誓
・・ ［（・ノ・ ・階
1＋ 〔跏
、i
．1
、． 、・
（
者）
2‘” J’s−
・・i
＋1
）［
（D
…El
）（・ノ・ ・〉°甜
P・
艶
・撒
凋
・
2i．1
ノ＋1（
t2
）
…｝
うW
（［）面 外 （曲 げ ） 問 題 （げ
；
±t／2
で，
8集』 デ／2，
s琴；
±P
／2
＞蹴
甍
1
［
弖
（・・δ ・ λ δ・ ・ ＋E
・δ ・ ・ δ・ ・ ）（ 1ぢ
二
職
ll
｝＋E
，δ ・・ （・ゴ・ ・）劉
，
。・
、i
．1
ノ． 、・
（
音
）
〜一
〔2
‘才
1）・・δ ・ ［（・ノ＋1）1駕
｝ ＋跏
，i
．1
ノ＋1・
（
者）
2‘＋2「
・・S・
（
9
）
2 ’＋ 且一
・−
50 一
体と すると，
次式で表され る。
sαP；
DooδaλcrSv7 λレ十Ei
δ a β （73s十δ入”
rXv） 8α3ニDoo
δα入 γ員s33＝ Doo733十Ei（γ33十 δλレみの
・
…………・
……・
………・
・
…
（12 ）ここ に
，
δaβ は ク ロ ネッ カー
の デル タ （crae
は α＝
βの時に
1，
αキβの時に 0）で ある。 ま た，E
を弾性係 数 v をボア ソン比と する と次 式の関 係が ある。D・・
−
1羣
グE1
「
1＋。語
．
，の…………・
・
（・3）i
（12 ）式に （2
），
（3
）式を用い ， （7 ）式に代入 すれ ば，
i
断 面 力 成 分は次 式の よ うに変 位 成 分で表 すこと ができ 1 る。i
（”lcm 〕
｝
］
・
f
（n＋ m ＋1）・
…
t…
−s・
tS・
・
…
（14
） N工 工一
Eleotronio Library鉱
・急
r
・・ ［（・ノ＋1
階 臨
・
2i．1
、．1・
（
t
百）
2ゆ 1−
・・の［
・垢
・且）（・ ノ・ ・鰐
・
艶
飆
・糊
，、．1
プ＋1
・
（
t2）
…｝
…（
書
γ
‘ 一 ・ こ こで，i，
ノ高0，1，2，…，
QQ で あ る。
つ り合い式 以 外の 基 礎 式に つ い て も，
変位 成 分の 中 央 面に関す る対 称，
逆対 称 性に対応して，
同様に面内，
面 外問 題に分離すること がで き る が，
こ こ では省略す る。3．
応 力 成 分の決 定 変 位 成 分で表し たつ り合い式 （16）ま た は （17），
（18 ） 式を与え ら れ た荷重条 件の下で境 界 条 件 （10 ）を用い て 解くこ とにより，
変 位成分を決 定す るこ と がで き る。
さ ら に，
これ を用い て （3
）式よ り ひずみ成 分を，
（14） 式 よ り断 面力成分 を計算す るこ と がで き る。 ま た，
応 力 成 分 につ いては，
構 成 式 （12
） よ りひずみ 成 分 を 用い て 計算す ること がで き る （例え ば，
6 ）， 12 ））。 この際に， 面 内 垂 直 応 力 saP につ い て は 問題はないが，
saS，
ss3 に……・
…
（18） っ いて は，一
般に平 板の 上下 表 面における応 力 境 界 条 件 を満た して いない。そ こ で本 報で は，sα
β につ い て は （12 ） 式より求め，
こ れ を用い て 3次 元 連 続 体のつ り合い微 分 方程 式 を積 分 することに よりsa3，
s33を次のよ う に決 定 す る。 ま ず， 物 体 力の無い場合のつ り合い微分方 程式は 8暫十 8竃3＝O
， 8響十8翌＝0・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（19
） で与え ら れ る。
（12） 式 より求め た s“
fiを （19）1式に 代 入 し て xS で積 分す る ことによ りs”
！ が 求め られ る。
次 に これ を （19
）2式に代 入 して再びガ で積 分す ることに よ りs33が求め．
ら れ る。
こ の際に生 ずる xe に関する未 知 関 数 は，
8α3，
s33 に関する平 板の上下 表 面に おける応 力境界条件 （9
）式に より決 め られ る。 こ の よ うに して 得ら れ た応 力 成分の一
般的表現は次の よ う に な る。 （1
） 面内 （伸縮 〉問 題 （ゴー
±t
／2
で，，
8ぎ＝
±ず／2，
sl3・
＝
− P
／2） cofW ） 8αβ
＝
Σ8αβ・
げ ）2丿 ’＝
o ・・一一
鷏
雛
・
2
ゴ琴
1
・
（x3） ’」＋1 ・・一
灘
・
（ 12 ノ十1）（2
ノ十2
）［
（x3） w＋2一
”
「
一
吾
・
……・
・
…
（20） こ こ に艶
一
豈
（D
・・・… sv ・腓 醐伽
伽
且 評 （・j
＋1）柳
・
・
一 一 ・
一 一 ・
一 ・
・
一 ・
・
…・
一 ・
・
…
（・・） （H
） 面 外 （曲 げ ） 問 題 （ガ＝
± t／2で，
8望＝一
す“
／2， 8蓼＝
±p
／2
） OP （2ノ ＋1 ） saβ＝
Σ saβ・
（ゴ）：川 ノ目
0 ・・ 一一
灘
・
、ノ、
［
（・ ・ ）・」・
・
一
（
音
）
跳1
ぞ
・”署
鐺
・
（、ノ．、1
（、ゴ．、）［
（x3） w ＋2−
（・ノ・・〕（
音
）
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2］
・
x ’ ・Saf
・
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・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
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・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（22 ） こ こに讐
一
壱
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一 一…・
…・
………・
……・
…・
…………一 …
（・・） 上の応 力 成 分につ い て、
（20），式お．
S
び （22
）3式の表 現 は，
平板の上下 表 面にお け る応 力境 界 条 件 を満た して い ることは見か け上分か ら ない。
しか し， こ れ ら の式にお い て xs＝
±t／2
と お くことに より，
つ り合い式 （17 ） または （18 ）を介して各々 の境 界 条 件を満た し ているこ と が分か る。 す なわ ち， （20）t式につ い て は，
（17 ）1 式 の う ちi
＝o
に対す る式 を用い，
（22
）3式につ い ては，（18） 式C6う ちi
＝0
とした 2つの式を用いればよい。
、
4．
基 礎 式の近似化前 節まで に導い た基 礎 式は， （1）式において変位成
、
一
幽
一
一
一
一
一
一
一
．
一
一
一
一
一
．
一
一
．
一
一
一
tt’
t−t冒
−1
，
i
分 を無限項のべ キ 級数で表してい るた め に，
非常に複雑…
な式になっ て いる。
実用上 は 平板の板 厚の程 度に応 じ て，i
（・拭 の項 数 鮪 限 項 採 肌 た近 似 式 を用いる・とに なる。
有 限 項 数の採り方の組み合わ せ は種々あるが （例 え ば，
ll）），
こ こ で は （1）式の変 位 成 分につ い て面 内，
面 外 問 題に対 して，
それぞれ次の よ う な組み合わ せの有 限 項を採ることにする。
これ は （3）式の ひずみ成 分の ゆ） う ち γas の表 現か ら， こ の よ うな組み合わ せ に よ る近 似 化が解の精 度 を良くする上で都 合がよい か らで ある。
一
51
一
NII-Electronic Library Service （
1
） 面内 （伸 縮 〉問 題 （M 次近 似m
＝
O，
1，
2，
…，
M−
1） 〔2m ］ 〔Ol ηβ・
Vp r3m＋1） v3M＝
1 〔且｝ v3 c2） かβ M＝
2 13） v3 Vp M＝
・3 〔5） v3 砺 M＝
4 （皿 ） 面 外 （曲 げ ）問 題 （M 次 近 似m
＝
O，
L2 ，…，
M −
1 ） 【tm†
1〕 ひβ t2m）卩
［o ］ v3・
v3 ［1） Vn M ＝1
【2） Vs 〔3 ｝ vβM
＝2
（5） Vn ｛T） Vs 工4 ） VsM
＝3
tG） v3 〔7） vβ 〕 β 侶 以 下におい て用い る近 似 式は，
上 記の よ うな組み合わ せ の有限項に対し，M 次 近 似 式と よぶ。1次 近 似式 は（1
＞， （E
）の場 合 と もに （3）式か ら明ら か な よ うに平面ひ ずみ の場 合に対 応す る。 ま た，
（H
）の場合の1
次 近 似 式におい て は，
構 成 式 （12
）に おい て s33＝ Oと する こ とからrSl
−
。為
・：…・
…・
…・
・
………・
・
・
・
…
（・4） と な り， これ を （12
）1 式に用い るこ とに よっ て （14
） 式に対 応 する断 面 力を求め，
これ をつ り合い式 （6
）に用 い
，
さ ら に ra3＝
o （sat＝
o）を考 慮す れ ば，
Kir−
chhoff
−
Love の仮 定を 基に し た従 来の薄 板理 論 （平面 応 力の場 合 ）の基 礎式 と な る。2
次よ り高 次の 近似 基 礎式 の組は，
そ れ ぞれ の近 似の程 度に応 じて， せん断 変 形や 板 厚 変 化 等の高 次の影 響 を考 慮 し た理論とな る。
Lo et al．
4｝の 結 果は， 本 報に おける 2次 近 似 式 と一
致 する。5．一
方 向 無 限 長 板の解 析 平板の 2次 元高 次理論によ る基礎式の適 用性と有用性 を調べる ための例 題と して，一
方 向 無 限 長，
他方 向有 限 長 （長さの 単 純 支 持の板を解 析 する。 座 標系は直交 直 線 座 標 系で ゴ→ x，
xZ→ y，
げ→ z と表す 。 y 方向に 無 限 長である と する。 板に作 用 する荷 重 分 布は，
板の上 下 麺 （。一
、t9−
±t
／2
）で殖 方 鹹 分のP
。み とし一
接 線 方 向成 分の すa＝
0とする。
また，P
の分 布につ い て 1−
一
一
一
一
一
一
一
一
一
一
一
一
．
一
，
一
一
一
一
一
一
一
一
一
一
一
一
一
一
一
！
M＝
5 工8〕 v3 凹 砺M
＝ 4M
；5
は次 式で表 され る とする。P
一加
・i
・甼
一
鶏
・・
S・・ r・ξ・
t・
・
一 ・
（・・） 板の 中 央 面 上の X＝1
ξ＝
O，1
における境界 条件は，
薄 板 理 論に おける単 純 支 持 条 件に対応 す る もの と して次 式で表 す。秘
≡践
一
〇，
鐸
。 。≡簿
1・−
0…・
・
………一 …・
・
（Z6
） こ こで， 断 面 力につ い て は （14），式に よ り，
次の よ う に変位成 分で表 され る。 tn） m im＋
1） （m ）Nxx
＝
Σ ［（D。。＋EI）u，
x＋E
、（肌 ＋1）ω ］ 皿鼻
o●
丿广（n十m 十1）・
・
…
7・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（27 ） （n ） rn） こ こ に UfiV1 と す る。
荷重分布 （25 ）式に対 し， 境 界 条 件 式 〔26） を満 足 す る 三角 級 数で表され る解 析 解 を求める。
こ の た め変 位 成 分 を次の よ うに表す。
tO tn） Cn） m ln ） Ln］ U；
ΣtirCOS
rπξ， ω＝ ΣWrsin 7πξ 7＝
1 r＝
1・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（28） 荷 重分布 （25
）式と変位成分の解 （28 ）式 と をつ り合い 式 （17），
（18 ）に代 入し て書き か え れば次の よ うにな る。
この 際に y 方向無限長と す ることか ら v＝
Oとし， また 諸 量の y 方向微分 項は すべ て0
と す る 。 以下， 変位 成 分につ い て次 式で定 義する無 次元 量 を用い る。
臼τF tn） ［n） tn）Ur；tn
−
）●
Ur，
Wf＝
tn−
1・
Wr’
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
：…
（29
） （1
） 面 内 （伸 縮 ｝問題瓰
・揖
［
（D
・・＋EI
）醐
・・か穿
一
（・ノ＋1
・・，
｝
欄
＋（・・（・」・…与
騾
］
・
9（・）一 ・蹴
猩
［
一
〔・i
＋脚跳
・
・（・）・｛
墾
・
・（1）・（・i＋1）（・
j
・ ・）（・．．・E、）・
・〔・）陽
（・j
・ ・）・
穿
韻
・
・（1）ト
・r・
（
S
）
2 ’”
・
…・
……
（30） （m
面外 （曲 げ〉問 題灘
・翼［
〔・i
＋1
）・
与
・躍
・
・（・）・｛
〔D
… E，）・・
g（1
） ・（・i
＋1）（・ノ・ ・｝・
与
・
・（・）｝
ほ謬
L
（・ノ・ ・）・1λ 〔躍
・
・（1）］
一
・一
52
一
N工 工一
Eleotronio Library鏃
・箋［
穿
戴
・1
（・ノ＋1＞与
一
（・副
灘
1・（・
i
）（・j
・ ・）（・・＋ ・1膠
］
・
・〔・）一
・・（
5
）
2’・
…・
……・
…・
・
…・
…・
…・
……・
・
……一
（31｝ こ こ に9（s）
一
（，i
．、」．、．
1
）．
2・
i … 一・
・一
（
f
）
（rπ）・
・
…・
・
一 ……一 …・
…一 …………・
・
…・
…・
・
……・
…・
・
…
（・・） である。 また，
応 力成 分につ い て は，
（29 ）式の無 次元 量を考 慮して変 位 成 分 （28）式 を （20），
（22）式に用い る ことに よっ て次 式の よ うに与え ら れ る。
（1
） 面 内 （伸 縮 ） 問 題 an M−
1〔2JP Sxx＝
Σ Σ］Sヂζz’sin 7πξ r＝
1jiD s・
z一肅
留
・
2
斧
1
・
ζ’u ’c・s ・ ・ξ ・一一
象｛
揖
9
・
（、葡
ぎ
ノ．、）匿
・ ・一
（
12）
「
一
争｝
・・… ξ…一 …………・
・
…………・
…・
…・
……
（33 ） こ こ に ltj） ［IJ ） ［2j＋1） Sr＝
（1
）oo十EL
）（一
λ）Ur
十EI
（2j
十1
）Wr…
一・
…
（H
）面 外 （曲 げ 〉問 題 pa M−
1（u＋1 ） Sxx＝
Σ Σ Sヂ ζ2’ ＋i sin rπξ 7＝
1’＝
O娠 一
鞴
・
，霽
、［
ζ 2」・
2−
（
者
）
tJ’t］
・・s ・・ξ ・一一
名
｛
群
1・
（、j
．講
．，）［
ζ ・」 ・ ・一
（・ゴ・ ・）（
捌
ζ・・… ξ・
・
・
・
…
9・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
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・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
9・
・
・
・
・
・
・
…
（34 ＞・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
r・
（35） こ こ に に ノ ｝） ［IJ＋1） c2ノ＋1 ） Sr＝
（1
）oo十E1
）（一
λ）U
γ十El（2ノ十2）Wr・
…
一’
’
’
’
’
’
’
’
’
’
’
’
’
’
’
’
’
’
”卩
M 次 近 似 式につ い て，M ＝2
程度 まで は数 式的に閉 型 解 を 求める こ ともでき る （文献 4 ），14
））。
し か し， よ り次 数の高い近 似 式の場合には，
計 算の手 間 が 著しい ので， こ こ で は t〃 お よ び レの数 値デー
タを 与 えて連 立 方 程 式 （30）および （31）式 を解く。 以 下では，2
つ の場合につ い て数 値 計 算 結 果を示す。 （A ） 正弦 波 形 分 布 荷重の作用 す る 場 合 （図一
1） こ の例 題で は，
i
の分布 （25
）式につ いて無 限級数の 第 ユ項の み考え，
以 下に示す結 果の 中で r＝1
に対 応 す る添 字“
1”
を省 略する。 こ の場 合に対 して，
既 に5
），
10）， で 3次 元 弾 性 解 析に より厳 密 解が与え ら れ て お り， ま た4 ）で M＝
2に対する 2次元 高 次 近 似 理 論に よ る結 果が示され て い る。
こ こ で は厳 密 解と比 較す るこ と に よ り，
本理論近 似 式による解の精 度とそ の適 用 性を検 証す る。
ボア ソン比は レ＝
0．
25 とし，
板 厚比 t／t
を 変 化 させ る。
板の上 下 表 面の分 布 荷 重につい てはt 図一1
に示す よ うに上面 （ζ＝−
O．
5 ）に （25）式で表され る荷 重が あり，
下 面 （ζ＝ ＋O．
5）に は荷 重が作用 してい な い状 態を考え る。 この状態は， 面内問題の解 と面 外 問 題の解 との和で表すことがで き る。
・
・
曁
…
噛
9・
−9・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
…
一一
（36＞ 〔0 ） 〔O） 図一2
は，
板中 央 面（ζ＝0
｝の た わ み ω＝tWsin
πξ tO） につ い て，W
（×plVDt ）− t
／l
の関 係 を示し たもの で あ る。
こ こ に板剛度 D＝
Et3／12（1一
の で あ る。
図 中，
Wc は薄 板の古 典 理 論 値で あり，
○ 印は文 献10）に よる厳 密 解を示 し，
ほ か は すべ て本理論によ るM
次近似 式の 結 果を示して いる。 1 次近似式の結果は平面ひずみ状 態 に対 応してい るの で，
t／l
の小さい とこ ろでWc
に接 続 して いない。 図か ら明ら か な よ う に，
か な り大き なt
／l
の範囲まで t／l
の 大き さの 程度に応じ た近似式 を用い れ ば，
精 度の良い解が得 られて いる。 図一
3は，
板の 面 内垂直 応 力Sxx＝Sxr
×psin nξの 最 大 絶 対 値 （ξ＝
0．
5，
ζ＝− Q，
5 ）を t／lに対し て図示 した もの で あるa 図 中，
○ 印は文 献5），
10）に よ る厳 密 解 を示 しt ほ か はすべ て本 理 論に よ るM
次近似 式の 結 果を示し て い る， この 図か ら応力成 分につ い て も精 度 良く解が求め ら れて いるこ と が分か る。 図一4
に は，t
／lニ1．
0
とL5
の場 合に対 し， 面 内 垂 直 応 力 Sxx＝Sエ
x ×psin πξ，
面 外せ ん断 応 力 Sxx＝Srz
×pcos πξお よ び面 外 垂 直応 力 Sz。−
S． ×psin
πξに つ い て， それ ぞれ Sxx，
SXz，
S。
2 の板 厚 方 向 分 布 を示す。一 53 一
NII-Electronic Library Service こ こ で も
O
印は文 献 5）に よる厳 密 解 を示し， ほ か はす べ て本 理 論に よる M 次 近 似 式の結 果である。
図一
5は， t／t＝
1．
oと1．
5の 場 合に対 し，
ζ方 向 変 位 （た わみ）ω＝
tw sin nξにつ い て，
W
（×pl‘IDt
｝ の板厚 方 向の 分 布を示す。O
印は文献10 ）に よる厳密 解を 示 す。
文献 5）の結 果 は条 件が異な る た め わ ず か な 差 を生 ずる。 （B
｝ 等分布荷重の作 用す る場合 （図一6
＞ 等分布 荷重 を p と す る時，0
≦ξ≦1
の範 囲で こ れ を （25
）式に示す よ う なフー
リエ正弦 級 数のR
項で近似 psinrc髦畳
・一
@ 一
@
@
一
一
@
幽
@
一
@
一
一
一
一
@
@
一
@一
@
一
一
一 冖
． 一
ζ
モ
図一
1
板の
形状，正弦 波形
分布
荷
重
『
x ＝ た 合 分 荷 は 式 表される。P− 駕 、 ． ・ ・ S ・ … ξ
・
咢 ・ … … ・ ・ … ・ （ ・7 ）87654321
m2W
・10 ・。123456
， ｝｛ el 図一2 板中 央面たわみ
W
板厚
比（t
／1
）の関係 この 場 合には，そ れぞ れ のﾌ
値に 対 し て境
界値
問題
を 別々に
き，それらの 重ね 合 わせ
によって解が得 られ る。例題A
）と同様 に ， 等分 布 荷重は 板の 上面にのみ 作用する し，v
−0
．25 と す る 。 こ の 例 題におい ては，（
）式
で 表された級 数 の採
用 項tw
R
およ び 近似式 の次 Mに関 る解 の 収束性が 重 要な問 題 と なる。 こ こで は ，最 も収束速 度 遅いt
／t
＝2
．0
の 場合に ついて，板の 中央面
上 大たわみ （ 中央点 〉 （D
） W 、 （ ×pl
‘ I ）と面
内垂 直応力
Sxx （×p）の 絶 対 値 の最
値 （ 上 表 面 中 央 点 ） に つ い て 収 束 状 況 を 表 一 1 に 示す。 の 結果
より ，以
後 の す べ て の 数 値 結果 に つ いﾄ
は，R
＝50
， M； 5 と した場 合を 採用
し た。 ｛o ］ 図一7
は， の央
面上中央
点のたわ
W
（×plVDt
）
を t 〃に
対し
図示
し た。せん断 変 形や 板 厚 変化の 影 響を最 小 限 考慮に入れた 似 解12
）3）
00
ax
．
i．
5｝
3面
内
垂
直応
力Sxx
の絶
対値
の
最
大値
と板
艨itflﾌ
@
ﾖW<TAB><TAB>
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一
、 、、 <TAB>
A
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、、
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巳
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、
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1、
、
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5<TAB>o<TAB>丶．
5」
、
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、<TAB><TAB><TAB>、
A丶
丶
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、
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＝
D25
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D <TAB><TAB><TAB><TAB><TAB>、
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A
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．
5驢
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．
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’
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一
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一
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、
、
、
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O Sz 超 1．
巳幽
、
、
、
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、
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5 V旨．
25 ζ一
，
5隔
鹽
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「
、
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1
、
、
、
、
、
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、
、
、
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、
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、
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’
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’
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’
’
’
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5．
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’
’
’
’
響
，
厂
ρ
乙”
一
V8．
25 ζ 図一
4 応 力分布 （○：厳 密 解，．
．
．
．
．
．
M＝
1，
一
．
5 ： 2 〃 2 ∠ 33 ： ： 3，
031 o 3．
06 W 2 ：i
1
・
1・
： 旨 V＝・
25，
5 … ζ 十 0亙
t 図一
5 変 位 分 布 （○ ：厳 密 解，
P：const・
v
l
亳
。蹴 等分布 。 重 X冒
巳； ξ
．
M≡
2，一
：M＝
・
3） 匚十
z一
．
5 2 ゐ幽
！ 66 1嚠
11嚠
311脚
0 1．
13・
零
W 1「
，
…■
卜
1・
5■
■
21
『
V＝
，
25 5 3ヒ
．
層
」
．
：』
齟
・
・
：〃三
1，
一
τ一
：M＝
2，
一
：M＝
3）表
一1
解の収 束 状 況 （M 次 近虫，
R
項 ＞ t／Z ＝
2．
O ro丿＿
2 犀 x 10壷
1 10 50 ヱ00 27．
5627．
8297．
8287
．
828
37．
0797．
0917．
0927．
092 67．
4177．
5682．
3677．
367 57．
39‘ 7．
4007．
40ヱ 7．
40ヱ SxxlmCtC叭
R ヱ ヱ0 50 ヱ00 21．
0670．
9770．
9770．
977 3 ユ．
323 ヱ．
099 ヱ．
ヱ0ヱ ヱ。
ヱ0ヱ 41．
2880．
977 ヱ．
0011．
00ヱ 51．
276．
0，
9860．
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NII-Electronic Library Service
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，’
’
’
主00
L
2
、
L COl 図一
7 板 中央 面た わ み W と板厚比 （t／t）の関 係・
01302了hin PLate Theory
