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f(x,y) (x,y) x (x,y), y (x,y) f(x,y) x y f x (x,y),f y (x,y) B p.1/14

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(1)

多変数関数と偏導関数

二変数関数 について各点 において偏微分係数 を考えることによって決まる二変数関数 を の 又は による偏導関数とよぶ。 とも書く。 三変数以上の多変数関数 についても同様に偏 微分係数と偏導関数 を考えることが出来る。 等と書くこともある。 注意 と が存在しても が で 全微分可能とは限らない。 詳細は適当な教科書参照。

(2)

多変数関数と偏導関数

二変数関数 f(x, y) について各点 (x, y) において偏微分係数 を考えることによって決まる二変数関数 ∂f ∂x(x, y), ∂f ∂y (x, y) を f(x, y) の x 又は y による偏導関数とよぶ。 fx(x, y), fy(x, y) とも書く。 三変数以上の多変数関数 についても同様に偏 微分係数と偏導関数 を考えることが出来る。 等と書くこともある。 注意 と が存在しても が で 全微分可能とは限らない。 詳細は適当な教科書参照。

(3)

多変数関数と偏導関数

二変数関数 f(x, y) について各点 (x, y) において偏微分係数 を考えることによって決まる二変数関数 ∂f ∂x(x, y), ∂f ∂y (x, y) を f(x, y) の x 又は y による偏導関数とよぶ。 fx(x, y), fy(x, y) とも書く。 三変数以上の多変数関数 f(x1, . . . , xn) についても同様に偏 微分係数と偏導関数 ∂f ∂xi(x10, . . . , xn0), ∂f ∂xi(x1, . . . , xn) を考えることが出来る。fxi(x1, . . . , xn) 等と書くこともある。 注意 と が存在しても が で 全微分可能とは限らない。 詳細は適当な教科書参照。

(4)

多変数関数と偏導関数

二変数関数 f(x, y) について各点 (x, y) において偏微分係数 を考えることによって決まる二変数関数 ∂f ∂x(x, y), ∂f ∂y (x, y) を f(x, y) の x 又は y による偏導関数とよぶ。 fx(x, y), fy(x, y) とも書く。 三変数以上の多変数関数 f(x1, . . . , xn) についても同様に偏 微分係数と偏導関数 ∂f ∂xi(x10, . . . , xn0), ∂f ∂xi(x1, . . . , xn) を考えることが出来る。fxi(x1, . . . , xn) 等と書くこともある。 [注意] ∂f ∂x(x0, y0) と ∂f ∂y (x0, y0) が存在しても f が (x0, y0) で 全微分可能とは限らない。(詳細は適当な教科書参照。)

(5)
(6)

合成関数の偏微分

[定理] 全微分可能な二変数関数 f(x, y) と微分可能な一変数関 数 x(t), y(t) の合成関数 f(x(t), y(t)) について次が成り立つ。 df dt = ∂f ∂x · dx dt + ∂f ∂y · dy dt 証明 より 但し

(7)

合成関数の偏微分

[定理] 全微分可能な二変数関数 f(x, y) と微分可能な一変数関 数 x(t), y(t) の合成関数 f(x(t), y(t)) について次が成り立つ。 df dt = ∂f ∂x · dx dt + ∂f ∂y · dy dt [証明]

f(x(t), y(t)) = f (x(t0), y(t0)) + fx(x(t0), y(t0)) · (x(t) − x(t0))

+fy(x(t0), y(t0)) · (y(t) − y(t0)) + R (x(t), y(t)) より

(8)

合成関数の偏微分

[定理] 全微分可能な二変数関数 f(x, y) と微分可能な一変数関 数 x(t), y(t) の合成関数 f(x(t), y(t)) について次が成り立つ。 df dt = ∂f ∂x · dx dt + ∂f ∂y · dy dt [証明]

f(x(t), y(t)) = f (x(t0), y(t0)) + fx(x(t0), y(t0)) · (x(t) − x(t0))

+fy(x(t0), y(t0)) · (y(t) − y(t0)) + R (x(t), y(t)) より f(x(t),y(t))−f (x(t0),y(t0))

t−t0

(9)

合成関数の偏微分

[定理] 全微分可能な二変数関数 f(x, y) と微分可能な一変数関 数 x(t), y(t) の合成関数 f(x(t), y(t)) について次が成り立つ。 df dt = ∂f ∂x · dx dt + ∂f ∂y · dy dt [証明]

f(x(t), y(t)) = f (x(t0), y(t0)) + fx(x(t0), y(t0)) · (x(t) − x(t0))

+fy(x(t0), y(t0)) · (y(t) − y(t0)) + R (x(t), y(t)) より f(x(t),y(t))−f (x(t0),y(t0))

t−t0

= fx(x(t0), y(t0))x(t)−x(tt−t0 0)+fy(x(t0), y(t0))y(t)−y(tt−t0 0)+R(x(t),y(t))t−t0 但し R(x(t),y(t)) t−t0 = R(x(t),y(t)) √ {x(t)−x(t0)}2+{y(t)−y(t0)}2· √ {x(t)−x(t0)}2+{y(t)−y(t0)}2 t−t0 = R(x(t),y(t)) √ {x(t)−x(t0)}2+{y(t)−y(t0)}2· √ {x′(t0)(t−t0)+R1(t)}2+{y(t 0)(t−t0)+R2(t)}2 t−t0

(10)

合成関数の偏微分

[定理] 全微分可能な多変数関数 f(x1, . . . , xn) と微分可能な一 変数関数 x1(t), . . . , xn(t) の合成関数 f(x1(t), . . . , xn(t)) につ いて f′ = fx1 ·x ′ 1 + · · · + fxn·x ′ n が成り立つ。 応用問題 全微分可能な二変数関数 と偏微分可能な 二変数関数 の合成関数 につ いて次が成り立つことを示せ。 全微分可能な多変数関数 と偏微分可能な多変 数関数 の合成関数 について次を示せ。

(11)

合成関数の偏微分

[定理] 全微分可能な多変数関数 f(x1, . . . , xn) と微分可能な一 変数関数 x1(t), . . . , xn(t) の合成関数 f(x1(t), . . . , xn(t)) につ いて f′ = fx1 ·x ′ 1 + · · · + fxn·x ′ n が成り立つ。 [応用問題] 全微分可能な二変数関数 f(x, y) と偏微分可能な 二変数関数 x(u, v), y(u, v) の合成関数 f(x(u, v), y(u, v)) につ

いて次が成り立つことを示せ。 ∂f ∂u = ∂f ∂x · ∂x ∂u + ∂f ∂y · ∂y ∂u, ∂f ∂v = ∂f ∂x · ∂x ∂v + ∂f ∂y · ∂y ∂v 全微分可能な多変数関数 と偏微分可能な多変 数関数 の合成関数 について次を示せ。

(12)

合成関数の偏微分

[定理] 全微分可能な多変数関数 f(x1, . . . , xn) と微分可能な一 変数関数 x1(t), . . . , xn(t) の合成関数 f(x1(t), . . . , xn(t)) につ いて f′ = fx1 ·x ′ 1 + · · · + fxn·x ′ n が成り立つ。 [応用問題] 全微分可能な二変数関数 f(x, y) と偏微分可能な 二変数関数 x(u, v), y(u, v) の合成関数 f(x(u, v), y(u, v)) につ

いて次が成り立つことを示せ。 ∂f ∂u = ∂f ∂x · ∂x ∂u + ∂f ∂y · ∂y ∂u, ∂f ∂v = ∂f ∂x · ∂x ∂v + ∂f ∂y · ∂y ∂v 全微分可能な多変数関数 f(x1, . . . , xm) と偏微分可能な多変 数関数 x1(y1, . . . , yn), . . . , xm(y1, . . . , yn) の合成関数 f(x1(y1, . . . , yn), . . . , xm(y1, . . . , yn)) について次を示せ。 ∂f ∂yi = ∂f ∂x1 · ∂x1 ∂yi + · · · + ∂f ∂xm · ∂xm ∂yi

(13)
(14)

合成関数の偏微分

[定理] 微分可能な一変数関数 f(x) と偏微分可能な二変数関 数 x(u, v) の合成関数 f(x(u, v)) について次が成り立つ。 ∂f ∂u = df dx · ∂x ∂u, ∂f ∂v = df dx · ∂x ∂v 微分可能な一変数関数 と微分可能な多変数関数 の合成関数 について次が成り 立つ。

(15)

合成関数の偏微分

[定理] 微分可能な一変数関数 f(x) と偏微分可能な二変数関 数 x(u, v) の合成関数 f(x(u, v)) について次が成り立つ。 ∂f ∂u = df dx · ∂x ∂u, ∂f ∂v = df dx · ∂x ∂v 微分可能な一変数関数 f(x) と微分可能な多変数関数 x(y1, . . . , yn) の合成関数 f(x(y1, . . . , yn)) について次が成り 立つ。 ∂f ∂yi = df dx · ∂x ∂yi

(16)
(17)

方向微分

[定義] n =   α β   を平面の単位ベクトルとする。点 (x, y) で 全微分可能な平面上の関数 f(x, y) について Dnf(x, y) = lim t→0 f(x + tα, y + tβ) − f(x, y) t を の 方向への方向微分とよぶ。 とも表す。 を勾配ベクトルとよび で表す。 は のグラフの 方向の傾きを表し、 はグラフが上向きに最も傾いている方向を向いている。

(18)

方向微分

[定義] n =   α β   を平面の単位ベクトルとする。点 (x, y) で 全微分可能な平面上の関数 f(x, y) について Dnf(x, y) = lim t→0 f(x + tα, y + tβ) − f(x, y) t = α∂f ∂x + β ∂f ∂y = (fx, fy)   α β   を の 方向への方向微分とよぶ。 とも表す。 を勾配ベクトルとよび で表す。 は のグラフの 方向の傾きを表し、 はグラフが上向きに最も傾いている方向を向いている。

(19)

方向微分

[定義] n =   α β   を平面の単位ベクトルとする。点 (x, y) で 全微分可能な平面上の関数 f(x, y) について Dnf(x, y) = lim t→0 f(x + tα, y + tβ) − f(x, y) t = α∂f ∂x + β ∂f ∂y = (fx, fy)   α β   を f(x, y) の n 方向への方向微分とよぶ。∂f ∂n とも表す。 を勾配ベクトルとよび で表す。 は のグラフの 方向の傾きを表し、 はグラフが上向きに最も傾いている方向を向いている。

(20)

方向微分

[定義] n =   α β   を平面の単位ベクトルとする。点 (x, y) で 全微分可能な平面上の関数 f(x, y) について Dnf(x, y) = lim t→0 f(x + tα, y + tβ) − f(x, y) t = α∂f ∂x + β ∂f ∂y = (fx, fy)   α β   を f(x, y) の n 方向への方向微分とよぶ。∂f ∂n とも表す。 (fx, fy) を勾配ベクトルとよび gradf で表す。 は のグラフの 方向の傾きを表し、 はグラフが上向きに最も傾いている方向を向いている。

(21)

方向微分

[定義] n =   α β   を平面の単位ベクトルとする。点 (x, y) で 全微分可能な平面上の関数 f(x, y) について Dnf(x, y) = lim t→0 f(x + tα, y + tβ) − f(x, y) t = α∂f ∂x + β ∂f ∂y = (fx, fy)   α β   を f(x, y) の n 方向への方向微分とよぶ。∂f ∂n とも表す。 (fx, fy) を勾配ベクトルとよび gradf で表す。 Dnf(x, y) は f(x, y) のグラフの n 方向の傾きを表し、gradf はグラフが上向きに最も傾いている方向を向いている。

(22)

方向微分

Dnf(x,y)

(x,y)

(

(23)
(24)

高階の偏導関数

[定義] 二変数関数 f(x, y) の偏導関数 fx(x, y), fy(x, y) はやは り二変数関数なので、更にその偏導関数を考えることができ る。それらを以下で定義し、f の二階偏導関数とよぶ。 ∂2f ∂x2 = ∂ ∂x ∂f ∂x, ∂2f ∂y∂x = ∂ ∂y ∂f ∂x, ∂2f ∂x∂y = ∂ ∂x ∂f ∂y , ∂2f ∂y2 = ∂ ∂y ∂f ∂y これらは と書くこともある。 の の順序に注意 定理 と がともに存在して連続ならば 三階以上の偏導関数も同様に定義し、同様の記号を用いる。 一般の多変数関数 についても同様にして を定義する。 添字の順序に注意

(25)

高階の偏導関数

[定義] 二変数関数 f(x, y) の偏導関数 fx(x, y), fy(x, y) はやは り二変数関数なので、更にその偏導関数を考えることができ る。それらを以下で定義し、f の二階偏導関数とよぶ。 ∂2f ∂x2 = ∂ ∂x ∂f ∂x, ∂2f ∂y∂x = ∂ ∂y ∂f ∂x, ∂2f ∂x∂y = ∂ ∂x ∂f ∂y , ∂2f ∂y2 = ∂ ∂y ∂f ∂y これらは fxx, fxy, fyx, fyy と書くこともある。( fxy, fyx の x, y の順序に注意) 定理 と がともに存在して連続ならば 三階以上の偏導関数も同様に定義し、同様の記号を用いる。 一般の多変数関数 についても同様にして を定義する。 添字の順序に注意

(26)

高階の偏導関数

[定義] 二変数関数 f(x, y) の偏導関数 fx(x, y), fy(x, y) はやは り二変数関数なので、更にその偏導関数を考えることができ る。それらを以下で定義し、f の二階偏導関数とよぶ。 ∂2f ∂x2 = ∂ ∂x ∂f ∂x, ∂2f ∂y∂x = ∂ ∂y ∂f ∂x, ∂2f ∂x∂y = ∂ ∂x ∂f ∂y , ∂2f ∂y2 = ∂ ∂y ∂f ∂y これらは fxx, fxy, fyx, fyy と書くこともある。( fxy, fyx の x, y の順序に注意) [定理] fxy と fyx がともに存在して連続ならば fxy = fyx 三階以上の偏導関数も同様に定義し、同様の記号を用いる。 一般の多変数関数 についても同様にして を定義する。 添字の順序に注意

(27)

高階の偏導関数

[定義] 二変数関数 f(x, y) の偏導関数 fx(x, y), fy(x, y) はやは り二変数関数なので、更にその偏導関数を考えることができ る。それらを以下で定義し、f の二階偏導関数とよぶ。 ∂2f ∂x2 = ∂ ∂x ∂f ∂x, ∂2f ∂y∂x = ∂ ∂y ∂f ∂x, ∂2f ∂x∂y = ∂ ∂x ∂f ∂y , ∂2f ∂y2 = ∂ ∂y ∂f ∂y これらは fxx, fxy, fyx, fyy と書くこともある。( fxy, fyx の x, y の順序に注意) [定理] fxy と fyx がともに存在して連続ならば fxy = fyx 三階以上の偏導関数も同様に定義し、同様の記号を用いる。 一般の多変数関数 についても同様にして を定義する。 添字の順序に注意

(28)

高階の偏導関数

[定義] 二変数関数 f(x, y) の偏導関数 fx(x, y), fy(x, y) はやは り二変数関数なので、更にその偏導関数を考えることができ る。それらを以下で定義し、f の二階偏導関数とよぶ。 ∂2f ∂x2 = ∂ ∂x ∂f ∂x, ∂2f ∂y∂x = ∂ ∂y ∂f ∂x, ∂2f ∂x∂y = ∂ ∂x ∂f ∂y , ∂2f ∂y2 = ∂ ∂y ∂f ∂y これらは fxx, fxy, fyx, fyy と書くこともある。( fxy, fyx の x, y の順序に注意) [定理] fxy と fyx がともに存在して連続ならば fxy = fyx 三階以上の偏導関数も同様に定義し、同様の記号を用いる。 一般の多変数関数 f(x1, . . . , xn) についても同様にして ∂kf ∂xik · · · ∂xi1 (= fxi1··· xik) を定義する。(添字の順序に注意)

(29)
(30)

高階の偏導関数

[練習問題] • x = r cos θ, y = r sin θ とするとき (極座標とよぶ)、二変 数関数 f(x, y) に対して以下が成り立つことを示せ。 ∆f = ∂ 2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 = ∂2f ∂r2 + 1 r ∂f ∂r + 1 r2 ∂2f ∂θ2 とするとき 円柱座標とよ ぶ 、三変数関数 に対して以下を示せ。 とするとき 球座標とよぶ 、 に対して以下を示せ。 を とよぶ。

(31)

高階の偏導関数

[練習問題] • x = r cos θ, y = r sin θ とするとき (極座標とよぶ)、二変 数関数 f(x, y) に対して以下が成り立つことを示せ。 ∆f = ∂ 2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 = ∂2f ∂r2 + 1 r ∂f ∂r + 1 r2 ∂2f ∂θ2 • x = r cos θ, y = r sin θ, z = z とするとき (円柱座標とよ ぶ)、三変数関数 f(x, y, z) に対して以下を示せ。 ∆f = ∂ 2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 + ∂2f ∂z2 = ∂2f ∂r2 + 1 r ∂f ∂r + 1 r2 ∂2f ∂θ2 + ∂2f ∂z2 とするとき 球座標とよぶ 、 に対して以下を示せ。 を とよぶ。

(32)

高階の偏導関数

[練習問題] • x = r cos θ, y = r sin θ とするとき (極座標とよぶ)、二変 数関数 f(x, y) に対して以下が成り立つことを示せ。 ∆f = ∂ 2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 = ∂2f ∂r2 + 1 r ∂f ∂r + 1 r2 ∂2f ∂θ2 • x = r cos θ, y = r sin θ, z = z とするとき (円柱座標とよ ぶ)、三変数関数 f(x, y, z) に対して以下を示せ。 ∆f = ∂ 2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 + ∂2f ∂z2 = ∂2f ∂r2 + 1 r ∂f ∂r + 1 r2 ∂2f ∂θ2 + ∂2f ∂z2

• x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ とするとき

(球座標とよぶ)、f(x, y, z) に対して以下を示せ。 ∆f = 1 r2 ∂ ∂r  r2∂f ∂r  + 1 r2 sin θ ∂ ∂θ  sin θ∂f ∂θ  + 1 r2 sin2 θ ∂2f ∂ϕ2 を とよぶ。

(33)

高階の偏導関数

[練習問題] • x = r cos θ, y = r sin θ とするとき (極座標とよぶ)、二変 数関数 f(x, y) に対して以下が成り立つことを示せ。 ∆f = ∂ 2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 = ∂2f ∂r2 + 1 r ∂f ∂r + 1 r2 ∂2f ∂θ2 • x = r cos θ, y = r sin θ, z = z とするとき (円柱座標とよ ぶ)、三変数関数 f(x, y, z) に対して以下を示せ。 ∆f = ∂ 2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 + ∂2f ∂z2 = ∂2f ∂r2 + 1 r ∂f ∂r + 1 r2 ∂2f ∂θ2 + ∂2f ∂z2

• x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ とするとき

(球座標とよぶ)、f(x, y, z) に対して以下を示せ。 ∆f = 1 r2 ∂ ∂r  r2∂f ∂r  + 1 r2 sin θ ∂ ∂θ  sin θ∂f ∂θ  + 1 r2 sin2 θ ∂2f ∂ϕ2 ∆ を Laplacian とよぶ。

(34)

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