木村の物理小ネタ ケプラーの第 2 法則と角運動量保存則 A. 面積速度面積速度とは平面内に定点 O と動点 P があるとき, 定点 O と動点 P を結ぶ線分 OP( 動径 OP という) が単位時間に描く面積を 動点 P の定点 O に

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ケプラーの第

2 法則と角運動量保存則

A．面積速度

面積速度とは 平面内に定点O と動点 P があるとき， 定点O と動点 P を結ぶ線分 OP（「動径 OP」という）が単位時間に描く面積を 「動点P の定点 O に関する面積速度の大きさ」という。 定点O まわりを回る面積速度の導き方 導き方1 動点P が xy 座標平面上を時刻tからt+Dtの間に， 点A

(

x ,

( ) ( )

t yt

)

から点A’

(

x

(

t+Dt

) (

,yt+Dt

)

)

まで移動するとする。 ここで，点A における点 P の定点 O に関する面積速度の大きさを求める目的で， t D を無限小にした極限（Dt®0）をとると，

(

) ( )

(

)

dt dx t t t t x t t x t +D - = -D + ® Dlim0 ，

(

) ( )

(

)

dt dy t t t t y t t y t +D - = -D + ® Dlim0 よって，点A における動点 P の速さをv

( )

t とすると，

( )

2 ÷2 ø ö ç è æ + ÷ ø ö ç è æ = dt dy dt dx t v （補足

ò

t+ t

( )

D tvt dtはA から A’までの道のりを表す） また，その運動の向きは， dx dy dt dxdt dy = ここで，点A における動点 P の運動の向きと動径r

( )

t のなす角をq，r

( ) ( )

t =rt とおくと， 点A における動点 P の定点 O に関する面積速度の大きさh

( )

t は，

( )

( ) ( )

sinq 2 1_{r tvt} t h = ・・・① q

( )

t r O A

(

x ,

( ) ( )

t yt

)

A’

(

x

(

t+Dt

) (

,yt+Dt

)

)

( )

t v

2 導き方2 t D を無限小にした極限（Dt®0）をとると，AA’は直線と見なしてよいので， A

(

j

( ) ( )

t ,rt

)

，A’

(

j

(

t+Dt

) (

,r t+Dt

)

)

とすると，

( )

( ) (

)

(

(

) ( )

)

( ) (

)

(

(

) ( )

)

( )

(

) ( )

( )

dt d t r t t t t t r t t t t t t r t r t t t t t t r t r dt dS t h t t r t j j j j j j j 2 0 2 0 0 0 2 1 lim 2 1 sin lim lim 2 1 sin 2 1 lim = D -D + = D -D + × D + × = D -D + D + × = = ® D ® D ® D ® D 　　　 　　　 　　　 　　　 dt dj は時刻tの角速度を表すから，

( )

t dt dj _=w とおくと，h

( )

t r2

( ) ( )

tw t 2 1 = ・・・② また，①，②より，r

( ) ( ) ( )

twt =vt sinq つまり，r

( ) ( )

twt は，点A における動点 P の速度の動径に垂直な成分を表す。

( )

t r

(

t t

)

r +D O A

(

j

( ) ( )

t ,r t

)

(

t t

) ( )

j t j +D -A’

(

j

(

t+Dt

) (

,r t+Dt

)

)

( )

t r O A

( )

t w q

( )

t v

( )

t

(

r

( ) ( )

t t

)

　 v sinq = w

( )

t cosq v

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B．回転運動の勢い（角運動量）と面積速度

角運動量は回転運動の勢い 質点の質量を m ，動径（回転軌道半径）を r ， 質点の速度の動径に垂直な成分（質点の軌道の接線成分）をv とすると， _t 質点の回転運動の勢いは，並進運動の運動量mv の項と動径 r の項の積で表され， _t 角運動量と呼ばれる。角運動量は一般にL で表されるので， t mrv L= ・・・③ ただし，角運動量は正負の値をとるものとし， 質点が中心O のまわりに反時計まわりするときを正とする。 また，質点の速度 vと動径ベクトルrのなす角がqならば， q sin mrv L= となる。 力のモーメントは角運動量を変化させる原因となる 並進運動の場合 外力F による力積は並進運動の運動量に変化を与え， t F v mD = D の関係が成り立つ。 回転運動の場合 動径に垂直な外力F による力のモーメント r_t F_t とそれを加えた時間 tD の積は 角運動量に変化を与え， t r F v mrD _t = _t D ・・・④ の関係が成り立つ。 r O q v t v L

4 角加速度 t r F v mrD t = t D ，vt =rwより，mr2Dw=FtrDt r F t mr = _t D D \ 2 w r F t mr _t t t 0 0 2 _{lim lim} ® D ® D D = D \ w r F dt d mr = _t \ 2 w dt dw は角速度の変化率を表すので，角加速度と呼ばれ， w=b dt d とおくと， r F mr2b= _{t ・・・⑤} また，回転角度q，角速度w，角加速度bの間に次の関係が成り立つ。 2 2 dt d dt d dt d dt dw q q b ÷= ø ö ç è æ = = r O t v D t v mr L= D D t F

5 慣性モーメントと運動方程式 ここで，力のモーメントF_trを N とおくと， ⑤は， mr2b =N _・・・⑥ と表される。 一方，外力F を受けて加速度aで並進運動している質点の運動方程式は， F ma = ・・・⑦ （ニュートンの運動の第2 法則）であり， ⑦の質量 m は並進運動の起こし難さと止め難さ（慣性）を表すので慣性質量という。 これに対し，⑦の m と対応する⑥の_{mr は回転運動の起こし難さと止め難さを表すので} 2 慣性モーメントといい，記号I で表される。 よって，⑥は一般に N Ib = ・・・⑧ と表される。 したがって，⑧は回転運動の運動方程式といえる。 角運動量保存則 角運動量L=mrv_tが保存されるとき 角運動量変化DL=mrDv_t =0である。 これとmrDv_t =F_trDtから，F_tr=0 \F_t =0

(

r¹0

)

また，F_trは動径r に働く力のモーメント N のことだから， 「N =0のとき角運動量が保存される」 ともいえる。 いずれにせよ，質点に外力が働いていても， その向きが中心の向きのみであれば，N =0より，角運動量が保存される。 さらに， w rb dt d r dt dv t v_{t t} t D = = = D ® Dlim0 ，Dvt =0より，角加速度b=0 よって，角運動量が保存されるとき，動径は等角速度運動をする。 以上より， 質点に働く力のモーメントが0（外力の向きが動径と平行）のとき角運動量が保存され， このとき動径は等角速度運動をする。 角運動量が保存される運動の代表例 万有引力，点電荷による静電気力など中心力のみを受けての回転運動

6 補足1 ③の角運動量L=mrv_tは，L=mrv_t =mr×rw=mr2w=Iw_{と変形できるので，} L=Iwとも表す。 L=Iwと並進運動の運動量p=mvと比較すると， wと v が対応関係にあることがわかる。 補足2 中心力 質点に働く力の作用線が常に特定の点を通り， 力の大きさが質点とその点との距離によって決まるとき， この力を中心力，特定の点を中心という。 質点が中心力のみで運動するとき， つまり，力の中心のまわりの角運動量が保存され， その結果，軌道は一平面上にあって， 力の中心と質点を結ぶ動径が描く面積速度が一定となる。 中心力が引力の例 万有引力，原子核のまわりをまわる電子 中心力が斥力の例 陽子やα粒子（He の原子核）が他の元素の原子核の近傍に来たとき 原子核から受ける斥力 角運動量保存則と面積速度一定の法則（ケプラーの第2 法則） 角運動量が保存されるときDL=mD

( )

rv_t =0より，D

( )

rv_t =0 これを 2 1 倍すると，面積速度の変化

( )

0 2 1_{D =} = DS rv_t となる。 よって，面積速度一定の法則が成り立つ。 回転運動の運動エネルギー

( )

2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1_{mv m rw mr w Iw} t = = =

7 並進運動と回転運動の比較 並進運動 回転運動 慣性 質量 m 慣性モーメントI 変位 変位 x 回転角q 速度 速度 dt dx v= 角速度 dt dq w= 加速度 加速度 dt dv a= 角加速度 dt dw b= 運動方程式 F =ma N=Ib 運動量 p=mv L=Iw 運動量変化 mDv=FDt IDw=NDt 仕事 F と変位 x の内積 N と角度変化q の積 運動エネルギー ₂ 2 1 mv K = 2 2 1 _w I K = 速度（角速度）の式 v=v0 +at w=w0 +bt 変位（回転角）の式 ₂ 0 ₂ 1_at t v x= + 2 0 ₂ 1 _t t b w q = + ax v v2 _{- 0}2 ₌2 _{w w} 2 _2bq 0 2 _{- =} 運動量保存則の成立条件 外力の和が 0 外力のモーメントの和が0

8 剛体の慣性モーメント 剛体の慣性モーメントI は個々の質点の慣性モーメントの和から求めることができる。

å

= 2 i ir m I 例1 質量が無視できる棒につながれた質量m と質量 M の質点が重心 G を通り， 2 物体を結ぶ線分に垂直な直線を軸として回転するとき 重心G のまわりの慣性モーメント 2 2 2 l M m mM l M m m M l M m M m I + = ÷ ø ö ç è æ + + ÷ ø ö ç è æ + = 2 l M m mM I + = \ M m l G l M m M + m M l m + 回転軸

9 例2 質量M ，長さl の一様な十分細い棒の重心を通り， 棒と垂直な直線を軸として回転するとき 微小部分の質量 線密度 l M より，

(

)

dx l M x l M dx x l M _{+ - =} 微小部分の慣性モーメント dx x l M x dx l M dI_{= ×} 2 ₌ 2 棒の慣性モーメント 2 2 0 3 2 0 2 2 0 2 2 12 1 3 2 2 2 x Ml l M dx x l M dI dI I l l l l l úû = ù êë é = = = =

ò

ò

ò

-2 l 2 l 回転軸 G x dx x+ 回転軸 G 微小部分

10 例3 質量M の太さが無視できる半径 R の円輪の中心を通り， 円輪がつくる面と垂直な直線を軸として回転するとき I =

å

m_ir2 =r2

å

m_i =r2M _\I=Mr2 回転軸

11

例4：半径 R ，質量 M の円板の中心を通り，円板と垂直な直線を軸として回転するとき

r r+dr 微小部分

12 微小部分の質量 面密度 2 R M p をrとおくと，

(

_{r dr}

)

2 _prr2 _{2prrdr pr}

( )

_dr 2 pr + - = +

( )

_{dr の項は非常に小さいので無視してよい。よって，微小部分の質量＝}2 _2prrdr 微小部分の慣性モーメント 太さ dr が無視できる円輪と見なしてよいから， 例2 より，dI_=2prrdr_×r2 _=2prr3dr 円板の慣性モーメント

(

2

)

2 4 0 4 0 3 0 3 0 2 1 2 1 4 1 2 2 2 R R R r dr r dr r dI I R R R R r p pr pr pr pr = = úû ù êë é = = = =

ò

ò

ò

　　 　　 　　 　　 　　 M =pR2rより， 2 2 1_MR I =

13 例5 質量M ，半径 R の一様な球の中心を通る直線を軸として回転するとき 回転軸 R x

(

)

2 1 2 2 _x R -中心 dx

14 球を厚さ dx の十分薄い円板を組み合わせたものと見なし，円板の密度 3 3 4 R M p をrとおく。 中心からの距離が x の位置にある円板の質量

(

R x

)

dx

(

R2 x2

)

dx 2 2 1 2 2 _{× =} -ïþ ï ý ü ïî ï í ì - r pr p 円板の慣性モーメント 例4 より，

(

) (

)

(

2 2

)

2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 x R x R dx x R dI = -ïþ ï ý ü ïî ï í ì -× -= pr pr 球の慣性モーメント

(

)

(

)

5 0 4 3 2 5 0 4 2 2 4 0 2 2 2 0 15 8 3 2 5 1 2 2 1 2 2 R x R x R x dx R x R x dx x R dI I R R R R pr pr pr pr = úû ù êë é _{- +} = + -= -= =

ò

ò

ò

　　 　　 　　 　　 これと 3 3 4 3 3 4 _R M R M p p r= = より， 2 5 2_MR I =