－1－ １ 解答解説のページへ 1 a> とし, 2 つの曲線 y= x (x≧0 ), y a3 x = (x＞0 ) を順にC , 1 C とする。また, 2 C と1 C の交点 P における2 C の接線を1 l とする。以下1 の問いに答えよ。 (1) 曲線C と y 軸および直線1 l で囲まれた部分の面積を a を用いて表せ。 1 (2) 点 P におけるC の接線と直線2 l のなす角を ( )1 θ a とする
>
0 ( ))
2 a π θ < < 。この とき, lim sin ( ) a→∞a θ a を求めよ。－2－ ２ 解答解説のページへ 1 辺の長さが 1 の正方形 OABC を底面とし, 点 P を頂点とする四角錐 POABC が ある。ただし, 点 P は内積に関する条件OA OP 1 4 ⋅ = , およびOC OP 1 2 ⋅ = を満たす。 辺 AP を 2 : 1 に内分する点を M とし, 辺 CP の中点を N とする。さらに, 点 P と直 線 BC 上の点 Q を通る直線 PQ は, 平面 OMN に垂直であるとする。このとき, 長さ の比 BQ : QC , および線分 OP の長さを求めよ。
－3－ ３ 解答解説のページへ 横一列に並んだ 6 枚の硬貨に対して, 以下の操作 L と操作 R を考える。 L：さいころを投げて, 出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の表と裏を反転 する。 R：さいころを投げて, 出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の表と裏を反転 する。 たとえば, 表表裏表裏表 と並んだ状態で操作 L を行うときに, 3 の目が出た場合は, 裏裏表表裏表 となる。 以下,「最初の状態」とは硬貨が 6 枚とも表であることとする。 (1) 最初の状態から操作 L を 2 回続けて行うとき, 表が 1 枚となる確率を求めよ。 (2) 最初の状態から L, R の順に操作を行うとき, 表の枚数の期待値を求めよ。 (3) 最初の状態から L, R, L の順に操作を行うとき, すべての硬貨が表となる確率を 求めよ。
－4－ ４ 解答解説のページへ 原点 O を中心とし, 点 A ( 0, 1) を通る円を S とする。点B
>
1, 3)
2 2 で円 S に内接 する円 T が, 点 C で y 軸に接しているとき, 以下の問いに答えよ。 (1) 円T の中心 D の座標と半径を求めよ。 (2) 点 D を通りx 軸に平行な直線を l とする。円 S の短い方の弧 AB, 円 T の短い方 の弧 BC, および線分 AC で囲まれた図形を l のまわりに 1 回転してできる立体の 体積を求めよ。－5－ ５ 解答解説のページへ 実数 x, y, t に対して, 行列 x y A t x x = − − − , 5 4 6 5 B= − − を考える。(AB)2が対角行列, すなわち 0 0 α β の形の行列であるとする。 (1) 命題「3x−3y−2t≠ ⇒ A0 =tB」を証明せよ。 以下, (2), (3), (4)では, さらにA2 E ≠ かつA4 E = であるとする。ただし, E は単位 行列を表す。 (2) 3x−3y−2t= を示せ。 0 (3) x と y をそれぞれ t の式で表せ。 (4) x, y, t が整数のとき, 行列 A を求めよ。
© 電送数学舎 2013 －1－ １ 問題のページへ (1) C1: y= x……①と 3 2: a C y x = ……②を連立すると, 3 a x x = , 3 3 2 x =a これより, x=a2, y= より, a P(a2, a ) さて, ①より, 1 2 y x ′ = となり, 点 P におけるC の接1 線l は, 1 x=a2のとき 1 2 y a ′ = から, 2 1 ( ) 2 y a x a a − = − , 1 2 2 a y x a = + ………③ すると, C と y 軸および1 l で囲まれた部分の面積 S は, 1
(
)
2 2 0 1 2 2 a a S= +a a −∫
x dx 2 3 3 2 0 3 2 4 3 a a x = − 3 3 2 3 4a 3a = − 1 3 12a = (2) ②より, 3 2 a y x ′ = − より, 点 P におけるC の接線2 l の傾きは, 2 3 4 1 a y a a ′ = − = − ここで, x 軸の正の部分とl , 1 l のなす角をそれぞれ2 α, βとすると, 1 tan 2a α= , tan 1 a β= − tan tan tan( ) 1 tan tan α β α β α β − − = +(
)
1 1 2 1 1 1 2 a a a a + = + − 2 3 2 1 a a = − 1 a> より tan(α−β)> となり, ( )0 θ a = − から tan ( )α β θ a 32 2 1 a a = − さて, a→ ∞ のとき, tan ( )θ a → から ( )0 θ a → となり, cos ( )0 θ a → より, 1 2 2 3 3 3lim sin ( ) lim tan ( ) cos ( ) lim cos ( ) 1
2 2 2 1 a a a a a a a a a a a θ θ θ θ →∞ = →∞ = →∞ − = ⋅ =
［解 説］
微積分の応用問題です。また, 2 直線のなす角の扱いとしては, ここでは tan の加 法定理の適用が妥当でしょう。 P C1 2 C 1 l 2 l y O 2 x a a© 電送数学舎 2013 －2－ ２ 問題のページへ 条件より, OA=OC= , OA OC 01 ⋅ = 1 OA OP 4 ⋅ = , OC OP 1 2 ⋅ = さて, 点 M は辺 AP を 2 : 1 に内分する点, 点 N は辺 CP の中点より, 1 2 OM OA OP 3 3 = + , ON 1OC 1OP 2 2 = + ここで, Q は線分 BC を : 1t − に分ける点とすると, t PQ=OQ−OP=(1−t)OB+tOC−OP (1 t)( OA OC ) tOC OP = − + + − =(1−t)OA+OC−OP さて, 直線 PQ が平面 OMN に垂直なので, PQ OM⋅ = となり, OP0 = とおくと, k
(
(1−t)OA+OC−OP)
⋅( OA+2OP )= 0 2 1 1 1 (1 ) 2(1 ) 2 2 0 4 2 4 t t k − + − ⋅ + ⋅ − − = , 3 2 2 9 2t+ k = ………① 4 また, PQ ON⋅ = から, 0(
(1−t)OA+OC−OP)
⋅( OC+OP )= 0 2 1(1 ) 1 1 1 0 4 − + + − −t 2 2 k = , 2 5 1 4t+k =4 ………② ①②より, 1 4 t= − となり, 1 5 4 t − = から, 点 Q は BC を1 : 5 に外分するので, BQ : QC=1 : 5 また, 2 5 1(
1)
21 4 4 4 16 k = − ⋅ − = より, OP 21 21 16 4 k = = =［解 説］
t の値が負になり計算間違いをしたかと思いましたが, 問題をよく読むと, 「直線 BC 上の点 Q」と記されていました。このため, 上図の Q の位置は, 結論とは異なり ます。なお, 文系で類題が出されています。 O A B C P N M Q© 電送数学舎 2013 －3－ ３ 問題のページへ (1) L を 2 回続けて行うとき, 左端の硬貨は, 必ず表→裏→表と反転する。これより, 表が 1 枚となるのは, 左端の硬貨が表, それ以外は裏という場合である。 このときは, 出た目が, 6→1 または 1→6 のいずれかより, その確率は,
( ) ( )
1 2 1 2 1 6 + 6 =18 (2) L, R の順に操作を行うとき, 出た目と 表の枚数の関係は右表のようになる。 なお, 右表では, L の操作で 1 の目が 出るのを L1, 2 の目が出るのを L2, 3 の 目が出るのを L3, …, R の操作で 1 の目 が出るのを R1, 2 の目が出るのを R2, 3 の目が出るのを R3, …と表している。 これより, 表の枚数の期待値は, 5 10 8 6 4 2 1 0 1 2 3 4 5 6 36 36 36 36 36 36 36 × + × + × + × + × + × + × 19 9 = (3) L, R, L の順に操作を行うとき, すべての硬貨が表となるのは次の場合である。 (i) 最初の操作が L6 以外のとき L, R の順に操作を行ったとき表の枚数が 0 で, 3 回目に 6 の目が出る場合より, L1→R5→L6, L2→R4→L6, L3→R3→L6, L4→R2→L6, L5→R1→L6 この確率は,( )
1 3 5 5 6 × =216となる。 (ii) 最初の操作が L6 のとき L, R の順に操作を行ったとき表の枚数がk のとき, 3 回目に 6− の目が出る場k 合より, L6→R1→L5, L6→R2→L4, L6→R3→L3, L6→R4→L2, L6→R5→L1 この確率は,( )
1 3 5 5 6 × =216となる。 (i)(ii)より, 求める確率は, 5 5 5 216+216=108 である。［解 説］
パズルのような問題です。(2)では, 期待値を求めるので, センター試験を解くとき と同じように, すべての場合を表にまとめました。すると, これが次の(3)への誘導と なっていました。 R1 R2 R3 R4 R5 R6 L1 4 3 2 1 0 1 L2 3 2 1 0 1 2 L3 2 1 0 1 2 3 L4 1 0 1 2 3 4 L5 0 1 2 3 4 5 L6 1 2 3 4 5 6© 電送数学舎 2013 －4－ ４ 問題のページへ (1) 円S 上の点B
(
1, 3)
2 2 に対して, 条件より, 円 T の 中心 D は線分 OB 上にあることより, t を正の実数とし て, D( ,t 3 )t とおくことができる。 すると, DB=DCから,(
1) (
2 3)
2 3 2−t + 2 − t = t(
1)
12 ( 3 )2 2−t + = t これより, 1 2t− = からt 1 3 t= となり, 円 T は中心D(
1, 3)
3 3 , 半径 13である。 (2) 円S x: 2+y2= , 1 :(
1) (
2 3)
2 1 3 3 9 T x− + y− = に対し, その上側の半円は, そ れぞれy= 1−x2 , 3 1(
1)
2 3 9 3 y= + − x− と表せる。 ここで, 弧 AB, 弧 BC を直線 : 3 3 l y= のまわりに 1 回転してできる立体の体積 を, それぞれV , 1 V とすると, 2(
)
1 2 2 2 1 0 3 1 3 V =π∫
−x − dx(
)
1 2 2 2 0 4 2 3 1 3 x 3 x dx π =∫
− − −(
)
1 3 2 2 0 3 4 2 3 1 1 1 1 3 3 3 2 6 2 2 2 x x π π π = − − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ 2 2 3 3 5 1 3 8π 18π 4π 8π 18π = − − = −{
(
)
}
1 2 2 2 2 0 3 1 1 3 3 9 3 3 V =π∫
+ − x− − dx{
(
) }
1 2 2 0 1 1 9 x 3 dx π =∫
− −(
)
3 12 0 1 1 1 9x 3 x 3 π = − − 1 1 1 18π 72π 24π = − = よって, 求める立体の体積を V とすると, 1 2 V =V −V 3 3 2 1 1 3 2 8π 18π 24π 3π 18π = − − = −［解 説］
回転体の体積を求める計算問題です。なお, V を求める際に, 円を対応させて定積1 分の計算を一部, 省略しています。 O A B C D x y 1 1 − 1 − 1 3 π l© 電送数学舎 2013 －5－ ５ 問題のページへ (1) C=AB 5 4 6 5 x y t x x =− − − − − 5 6 4 5 5 4 x y x y x t x t − − = − − とすると, 2 ( 5 6 4 ) { ( 5 6 )( 4 ) ( 4 5 )( 5 ) } C − x− y+ −x t C+ x− y x− t − x− y x− t E=O 2 2( 3x−3y−2 )t C=C +{ ( 5x−6 )(y x−4 )t −( 4x−5 )(y x−5 ) }t E 条件よりC は対角行列であり, また E も対角行列なので, 32 x−3y−2t≠ のと0 き, C は対角行列となり, 4x−5y= , 0 x− = 5t 0 よって, x=5t, y=4tから, 5 4 6 5 t t A tB t t =− − = (2) まず, B2+ −( 25+24 )E= より, O B2= E さて, ここで, A=tBであると仮定すると, 2 2 2 2 A =t B =t E, A4=(t E2 )2=t E4 条件より, A2≠EかつA4=Eなので, t2≠ かつ1 t4 = となり, 1 t2= − 1 これは, t が実数という条件に反することより, A≠tBである。すると, (1)より, 3x−3y−2t= ………① 0 (3) まず, A2+ −( x2+ +ty xy E) =Oより, A2=(x2− −ty xy E) 4 ( 2 )2 A = x − −ty xy E 2 A ≠EかつA4=Eなので, x2− −ty xy≠ かつ1 (x2− −ty xy)2= より, 1 2 1 x − −ty xy= − ………② ①より, 2 3 y= −x tとなり, ②に代入すると,
