経済情報処理のためのMathematica 課題 2010.3.８改訂 新里 課題１ 微分 次の関数を微分せよ。 1 f(x)=x3－2x＋x/(x+1) 2 f(x)=(x+1)(x2+1)－1/(x3+1) 3 f(x)=(2x+3)(x3-2)+(2x+3)/(x2+1)
課題２ 微分，平均，グラフ MC(Marginal Cost)曲線と AC(Average Cost)曲線
（1)総費用関数(Total Cost Function)が TC(q)=q3－60q2＋2000q＋500 であるとする。ここ で，ｑは生産量（quantity）である。ただし，ｑ≧０。 １ 限界費用関数MC(q)と平均費用関数 AC(q)のグラフを描きなさい。 ２ 平均費用の最小値およびその生産量ｑを求めよ。このとき，MC=AC であることを確認 せよ。 （２）総費用関数がTC(q)=q3－120q2＋5000q＋300 であるとき， １ 限界費用関数 MC(q)と平均費用関数 AC(q)のグラフを描きなさい。 ２ 平均費用の最小値およびその生産量ｑを求めよ。このとき，MC=AC であることを確認 せよ。 ヒント１： MC=dTC/dq, AＣ＝TC(q)/q ヒント２：作図では，原点を図示すこと。ｑの範囲を変えてみること。 ヒント３：２つのグラフ（MC と AC）を１つの図に描くこと。 Plot[{MC[q],AC[q]},{q,0,100}, PlotRange→{{0,100},{0,15000}}]
課題３ MC 曲線と AVC(Average Variable Cost)曲線，AFC(Average Fixed Cost)曲線 １ 費用関数が TC(ｑ）＝ｑ3－120q2＋5000q＋300 であるとき， 限界費用関数MC(q)と平均可変費用関数 AVC(q)，平均固定費用関数 AFC(ｑ)のグラフを描 きなさい。 2 用関数が TC(ｑ）＝ｑ3－60q2＋2000q＋500 であるとき， 限界費用関数MC(q)と平均可変費用関数 AVC(q)， 平均固定費用関数 AFC(ｑ)のグラフを 描きなさい。 3 用関数が TC(ｑ）＝２ｑ２＋50 であるとき， 限界費用関数MC(q)と平均可変費用関数 AVC(q)，平均固定費用関数 AFC(ｑ)のグラフを描 きなさい。 1
ヒント１： MＣ=dTC/dq， AVＣ＝（TC(q)－TC(0)/q，AFC＝TC(０)/ｑ ヒント２：作図では，原点を図示すこと。ｑの範囲を変えてみること。 ヒント３：３つのグラフ（MC,AVC,AFC）を１つの図に描くこと。 Plot[{MC[q],AVC[q],AFC[q]},{q,0,100}, PlotRange→{{0,150},{0,9000}}] 課題４ 最適化問題 ２次方程式の解 利潤最大化 （１）総費用TC(q)＝ｑ３－120ｑ２＋5000ｑ＋300 とする。市場価格(price)がｐであるとき，最適生産量を求めよ。 （２）総費用TC(q)＝ｑ３－60ｑ２＋2000ｑ＋500 とする。市場価格がｐであるとき，最適生産量を求めよ。 ヒント１：最適生産量とは利潤最大となる生産量 ヒント２：利潤＝収入－費用＝ｐｑ－TC(ｑ) ヒント３：市場価格ｐはパラメーター。 ヒント４：ｐ＞AVC の最小値 課題５ 連立１次方程式の解 IS=LM分析 次のようなマクロモデルを考える。 Ｃ＝0.6Ｙ + 10 Ｉ＝30 － 2i Ｌ＝0.2Ｙ －i 政府支出 Government Expenditure は所与（政策変数）であり，Ｇとする。 貨幣供給 Money Supply は所与（政策変数）であり，Ｍとする。 ただし，Ｃ：民間消費(consumption)，Ｉ：民間投資(investment)，Ｌ：貨幣需要
(liquidity)，Ｙ：国民所得(national income)，i：利子率(interest rate)。
１ 次の文章の空欄を埋めよ。計算にMathematica を用いること。 ＩＳ曲線の式は，i=（ １ ）となる。ＬＭ曲線の式は，i=（ ２ ）となる。 均衡国民所得は（ ３ ）である。均衡利子率は（ ４ ）である。 政府支出Ｇ=20，貨幣供給Ｍ＝20 のとき，均衡国民所得は（ ５ ）である。均衡 利子率は（ ６ ）である。 政府支出Ｇ=22，貨幣供給Ｍ＝20 のとき，均衡国民所得は（ ７ ）である。均衡 利子率は（ ８ ）である。 政府支出Ｇ=20，貨幣供給Ｍ＝22 のとき，均衡国民所得は（ ９ ）である。均衡 2
利子率は（ １０ ）である。 ２ IS曲線，LM曲線を作図せよ。作図に Mathematica を用いること。 ただし，（い）G=20，M=20，（ろ）G=22，M=20，（は）G=20，M=22 の場合を一つの図に描 くこと。 ヒント１：ＩＳ曲線とは，商品市場の均衡条件， Ｙ＝Ｃ＋Ｉ＋Ｇ ・・・ ① を満たす，Ｙと i の関係である。横軸をＹ，縦軸をiとすること。 ヒント２：ＬＭ曲線とは，貨幣市場の均衡条件， Ｍ＝Ｌ ・・・ ② を満たす，Ｙとiの関係である。横軸をＹ，縦軸をiとすること。 均衡国民所得，均衡利子率とは，①と②を同時に満たす，Ｙとiである。 ヒント３： Plot[{iIS[Y,20],iLM[Y,20],iIS[Y,22],iLM[Y,22]},{Y,0,250},PlotRange→ {{0,250},{0,40}},AxesLabel→{"Y","i"}] ヒント４：問 1 の３，４の答，Y=50+1.25G+2.5M, i=10+0.25G-0.5M 課題６ 連立１次方程式 IS=LM 分析 次のようなマクロモデルを考える。計算式も示して解答せよ。 Ｃ＝0.8Ｙ＋10 Ｉ＝40－2ｒ Ｌ＝10＋0.2Ｙ－2ｒ 政府支出 Government Expenditure は所与（政策変数）でＧとする。 貨幣供給 Money Supply は所与（政策変数）でＭとする。 ただし，Ｃ：民間消費，Ｉ：民間投資，Ｌ：貨幣需要，Ｙ：国民所得，ｒ：利子率 （１） ＩＳ曲線の式を導出せよ。（ｒ＝…の形で） （２） ＬＭ曲線の式を導出せよ。（ｒ＝…の形で） （３） 均衡国民所得を求めよ。 （４） 均衡利子率を求めよ。 （５） 貨幣乗数を求めよ。 （６） 政府支出乗数を求めよ。 3
１ 上の問題を，Mathematica を使って解答せよ。 ２ IS 曲線，LM 曲線を作図せよ。ただし，（い）G=100，M=100，（ろ）G=120，M=100， （は）G=100，M=120 の場合を一つの図に描くこと。 ヒント１：貨幣乗数とは，貨幣供給Ｍの増分⊿Ｍに対する国民所得Ｙの増分⊿Ｙの比率 である。貨幣乗数＝⊿Y/⊿M ヒント２：政府支出乗数とは，政府支出の増分⊿Ｇに対する国民所得Ｙの増分⊿Ｙの比 率である。政府支出乗数＝⊿Y/⊿G 課題７ 3 次元グラフィックス 効用関数 utility function のグラフ 効用関数を次の関数とする。 u=x10.5x２0.3 １ 効用関数のグラフを3D で作成せよ。 ２ 断面図を作成せよ。 ３ 無差別曲線を描け。 ヒント１：Plot3D[ ,{x1,0, 10 },{x2,0,5 }, AxesLabel->{"x1","x2" }] ヒント2：断面図 Show[%, PlotRange ->{0, }] ヒント３：無差別曲線ContourPlot[ ,{x1,0, },{x2,0, }] 課題８ 非線形４元連立方程式 総需要＝総供給分析 １ 次の問題 A の＜解答＞について，空欄を埋めなさい。 ２ 総需要曲線と総供給曲線の交点を示す図を，Mathematica を使って，作図せよ。（縦 軸をｐ，横軸をＹとすること。） ３ ①と②，③，④を連立方程式として，Mathematica を使って，均衡の国民所得，雇 用量，物価，利子率を求めよ。 問題 A 次のようなマクロモデルを考える。均衡の国民所得，雇用量，物価，利子率を求めよ。 ｓ＝25%， Ｉ＝0.35 － 10iＹ＝
N
， α＝20％ Ｗ＝50， Ｌ＝30＋10Ｙ －100i， Ｍ＝2340 [記号]ｓ：貯蓄率，Ｉ：投資，i：利子率，Ｙ：実質国民所得,Ｎ:雇用，α：マークア ップ率，Ｌ：実質貨幣需要，Ｍ：名目貨幣供給，Ｗ：貨幣賃金率，Ｐ:物価 4＜解答＞ 与えられた関係式，数値を使うと，以下の体系を得る。 商品市場の需給均衡条件より， 0.25Ｙ＝（ 1 ） ① 貨幣市場の需給均衡条件より， 2340／Ｐ＝（ 2 ） ② マークアップ式は， Ｐ＝（１＋0.2）50Ｎ／Ｙ ③ 生産関数は， Ｙ=
