IIC–09–161
量子化誤差低減のための移動差分ロングサンプリングオブザーバの提案
坂田晃一
∗，藤本博志（横浜国立大学）
Proposal of Moving Difference Long Sampling Observer for Quantization Error Reduction
Koichi Sakata∗, Hiroshi Fujimoto (Yokohama National University)
Abstract
High resolution encoders are employed to industrial equipment which is required accuracy, for example, NC ma-chine tools, exposure systems, and so on. Generally, the velocity of mama-chines is calculated by the difference of the position given by the encoder. Although the high resolution encoder is employed, the quantization error and the half sample delay induced by the difference cannot be avoided. These are problems in the case of required high precise velocity. In this paper, we propose an observer which can estimate state variables with reducing the quantization error. Finally, simulations and experiment with experimental precision stages are performed to show the advantages of the proposed observer.
キーワード：精密ステージ，オブザーバ，量子化誤差，むだ時間補償 (precision stage, observer, quantization error, dead-time compensation )
1. はじめに ロボットや産業機器では速度を導出する際，エンコーダの 位置情報から求めることが一般的であるが，エンコーダの 量子化ノイズがしばしば制御性能を制限する原因となる(1)。 モデルを使わずにエンコーダ情報から速度を導出する方 法に，2 つの連続したエンコーダパルス間の時間間隔を計 測する計時法やサンプル周期間に発生するエンコーダパル ス数を計測する計数法がある。さらに 2 つの方法を組み合 わせ低速域で高精度に計測できる M/T 法(2) (3) や，計数法 をパルス数の変動に同期して速度を計測することで全速度 域で高精度に計測できる同期計数法(4)など様々な計測法が 研究されている(5)。しかしながら，これらの方法は位置情 報を差分するゆえ少なくとも半サンプル遅れた速度情報を 推定することになってしまう。 また，プラントモデルを必要とするが，差分による遅れ の問題を解決したオブザーバによる速度推定(6) や，精度 を確保するためにエンコーダ読み取り周期を十分に確保し， そのサンプル間の速度をプラントモデルに基づいて推定す る瞬時速度オブザーバ(7)などが提案されている。 工作機器や露光装置といった精密性を要する産業機器で は，高分解能な エンコーダが用いられることが多く，上記 の計数法による速度導出が一般的である。しかしながら高 分解能なエンコーダを用いているとはいえ，エンコーダの 量子化誤差や差分による半サンプル遅れは避けられず，高 精度に速度を導出したい場合に問題となる。本稿では，量 子化誤差成分を低減して各状態変数を推定するオブザーバ を提案する。最後にシミュレーションおよび実験により，提 案法の有効性を示す。 2. 移動差分による導出 現サンプルのセンサ位置と 1 サンプル前のセンサ位置の 差分から速度を求めると，計算上，半サンプル遅れる。 vdif[k] = z− 1 zTu y[k]· · · (1) = ˆv[k−1 2] · · · (2) ここで，センサ位置 y を真の実位置 yreal，量子化誤差成分 qに分けると， y[k] = yreal[k] + q[k]· · · (3) と表せる。従って，量子化誤差成分から速度まで上式の伝 達関数の影響を受けてしまう。 また，量子化誤差の影響を低減するため，現サンプルの センサ位置と N サンプル前のセンサ位置の差分から速度を 求めると，N 2 サンプル遅れてしまう。 vdif[k] = zN− 1 zNN T u y[k]· · · (4) = ˆv[k−N 2] · · · (5) 3. オブザーバによる推定 〈3・1〉 プラント定義 むだ時間を除いたプラントの 連続時間状態方程式を，可制御正準実現により， { ˙ xp(t) = Acpxp(t) + bcp(u(t)− d(t)) y(t) = ccpxp(t) · · · (6) 外乱モデルの連続時間状態方程式を， { ˙ xd(t) = Acdxd(t) d(t) = ccdxd(t) · · · (7) とすると，x = [xT p, xTd]T とした拡大系連続時間状態方程 式は， { ˙ x(t) = Acx(t) + bcu(t) y(t) = ccx(t) · · · (8)
[ Ac bc cc 0 ] := Acp −bcpccd bcp 0 Acd 0 ccp 0 0 · · · (9) とおける。また，(8) 式の周期 Tuの拡大系離散時間状態方 程式を， { x[k + 1] = Asx[k] + bsu[k] y[k] = csx[k] · · · (10) とする。 〈3・2〉 MDLSO 提案法である移動差分ロングサン
プリングオブザーバ（Moving difference long sampling ob-server: MDLSO）を同一次元オブザーバに基づいて設計す る。あえて N 倍長いサンプルでマルチレート化したプラ ント x[k] = Ax[k− N] + B u[k− N] . .. u[k− 1] · · · (11) ただし， [ A B ]:=[ AN s AN−1s bs · · · bs ] · · · · (12) に対して，同一次元オブザーバ ˆ
x[i + 1] = Aˆx[i] + Bu[i] + H(y[i]− csx[i])ˆ · · · (13)
を設計する。ただし，i は N Tu毎に更新される。ここで， オブザーバの修正項の量子化誤差を含むセンサ位置と推定 位置との差分は長い周期 N Tu毎に計算されることがわか る。これにより，移動差分であえて長い周期で差分をした 場合と同等の効果が得られ，移動差分のようにN 2 サンプル 遅れることはない。 しかし，エンコーダから得られる情報は Tu毎であるの で，センサ出力 y[i] は，N Tuサンプル間中のデータを捨て ることになってしまう。そこで，この更新式を， ˆ x[k] = Aˆx[k− N] + B u[k− N] . .. u[k− 1] + H(y[k− N] − csx[kˆ − N]) · · · (14) 図 1 のように移動差分的に行うことで，センサのすべての 取得データを有効に使うことができる。ただし，k は Tu毎 に更新される。 同様に最小次元オブザーバに基づいて設計する。N 倍長 いサンプルでマルチレート化したプラントに対して，最小 次元オブザーバ {
ξ[i + 1] = ˆAξ[i] + ˆBy[i] + ˆJ u[i] ˆ
x[i] = ˆCξ[i] + ˆDy[i] · · · (15)
を設計する。ただし，i は N Tu毎に更新される。さらに更 y[k] u[k] Tu k u[k-2] u[k-N-1] Tu (k-1) (k+1)Tu Tu (k-2) Tu (k-N) u[k-1] u[k-N] Ty (i-1) iTy Tu (k-N+1) Tu (k-N-1) u[k-N-2] Tu (k-2N-2) Tu (k-2N) Tu (k-2N+1) u[k-2N] Ty (i-2) y[k-1] y[k-2] y[k-N+1] y[k-N] y[k-N-1] y[k-N-2] y[k-2N+1] y[k+1] y[k-2N] 図 1 Sampling time. 新式を， ξ[k] = ˆAξ[k− N] + ˆBy[k− N] + ˆJ u[k− N] . .. u[k− 1] ˆ x[k] = ˆCξ[k] + ˆDy[k] · · · (16) 図 1 のように行うことで同様の効果を得られる。ただし，k は Tu毎に更新される。以下，MDLSO は最小次元オブザー バに基づいて設計したものとする。 〈3・3〉 むだ時間の考慮 さらに，サンプル周期の整 数倍（ndo）の出力端むだ時間を考慮する。本稿では簡単の ため整数倍のむだ時間の場合において説明するが，非整数 倍の場合においても考慮することができる(8)。n doサンプ ル遅れた出力 y[k− ndo]からオブザーバより推定できる状 態は，ndoサンプル遅れた ˆx[k− ndo]である。 ξ[k− ndo] = ˆAξ[k− N − ndo] + ˆBy[k− N − ndo] + ˆJ u[k− N − ndo] .. . u[k− 1 − ndo] ˆ x[k− ndo] = ˆCξ[k− ndo] + ˆDy[k− ndo]· · · (17) 従って，現サンプルの推定状態 ˆx[k]は， ˆ x[k] = A1x[kˆ − ndo] + B1 u[k− ndo] .. . u[k− 1] · · · · (18) ただし， [ A1 B1 ] :=[ Ando s Ansdo−1bs · · · bs ] (19) から推定できる。提案するむだ時間考慮移動差分ロングサ ンプリングオブザーバを図 2 に示す。 4. シミュレーション 〈4・1〉 仕 様 図 3 にシステムのブロック図を示 す。また，表 1 にプラントの仕様を示す。ここで，出力端 に１サンプル，入力端に１サンプルの遅れがある。 プラントの連続時間状態方程式は，
z-N J + + ^ u[k] [k-N] + C^ A ^ D ^ B ^ ξ ξ x ^ y + + A1 B1 + + x^[k] [k-ndo] z-N-ndo z-ndo z-1 z-N z-1-ndo [k-ndo] [k-ndo] 'HDGWLPHFRPSHQVDWRU
図 2 Moving difference long sampling observer with dead-time. + + e y(t) -sTdo S A c 1 b c c c x(t) u(t) S (T ) y H (T )u u[k] Encoder + + e -sTdi + -d(t) e-sTdi Observer x[k] @ csd d[k+1] @ @xp[k] x[k] @d sd A [k] u
図 3 Block diagram of the system. 表 1 Specifications of plant.
Mass M 14.3 kg Viscosity B 22.8 N/(m/s) Thrust coefficient Kt 28.5 N/A
Sampling period Tu 1/2000 s Input dead-time Tdi Tu Output dead-time Tdo Tu Resolution 0.1 µm [ Acp bcp ccp 0 ] = 0 1 0 0 −B M 1 M 1 0 0 · · · (20) 外乱モデルの連続時間状態方程式は，ステップ外乱からなる， [ Acd ccd ] = [ 0 1 ] · · · (21) とする。 ここで，制御入力 u(t) は，振幅 0.025，周波数 1 Hz の正 弦波入力とする。実外乱 d(t) は，時刻 0 s に印加される振 幅 0.05 のステップ外乱とする。 〈4・2〉 移動差分での比較 図 4 に差分による y から vまでの周波数特性を示す。また，図 5 に時間特性を示す。 ただし，N = 4 とした。周期 N Tuの差分は，周期 Tuで差 分に比べ高周波域のゲインが高く，量子化誤差の影響を受 けにくい。しかし，N 2 サンプル分，位相遅れが大きくなっ てしまう。 〈4・3〉 オブザーバでの比較 図 6 にオブザーバによ る y から ˆvおよび ˆdまでの周波数特性を示す。ただし，N = 4とした。シングルレート最小次元オブザーバでは先ほ 100 101 102 103 104 0 50 100 Magnitude [dB]
Characteristic from y to vdif difference per Tu
difference per NTu
100 101 102 103 104 −100 0 100 Frequency [Hz] Phase [deg]
図 4 Frequency response of difference in N = 4.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −5 0 5x 10 −3 Time [s] Velocity [m/s] Velocity trajectory vel
vel (difference per Tu) vel (difference per NTu)
(a) Estimated velocity
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −5 0 5x 10 −4 Time [s] Velocity error [m/s] Velocity error
vel (difference per Tu) vel (difference per NTu)
(b) Estimated velocity error 図 5 Time response by difference in N = 4. 表 2 Standard deviation of velocity errors and
disturbance errors in simulation. Velocity Disturbance Singlerate min-order 10.5e−5m/s 14.1 mN
Singlerate full-order 9.62e−5m/s 12.6 mN MDLSO 8.58e−5m/s 11.0 mN どの差分に 1 次の LPF 特性が付加されている形になって おり，シングルレート同一次元オブザーバはさらに 1 次の LPF特性が付加されていることがわかる。また，MDLSO は，周波数特性上は，周期 N Tuで離散化した最小次元オブ ザーバとほぼ同じとなる。 図 7 に感度特性を示す。低域の感度特性が同じになるよ うに各オブザーバを極配置設計した。 図 8 に時間特性を示す。またこのときの標準偏差 3σ を 表 2 に示す。MDLSO が最も量子化誤差の影響が低減でき ていることがわかる。 さらに，図 6 の MDLSO の折り返し特性を利用し，特定 の周波数のノイズに対して不干渉化できることを検証する。 振幅 100 nm, 周波数 500 Hz の正弦波ノイズを印加した場合
100 101 102 103 104 0 50 100 150 Magnitude [dB]
Characteristic from y to vhat
singlerate min−order observer singlerate full−order observer MDLSO 100 101 102 103 104 −100 0 100 200 Frequency [Hz] Phase [deg] (a) y to ˆv 100 101 102 103 104 0 100 200 Magnitude [dB]
Characteristic from y to dhat
singlerate min−order observer singlerate full−order observer MDLSO 100 101 102 103 104 −300 −200 −100 0 Frequency [Hz] Phase [deg] (b) y to ˆd
図 6 Frequency response of observer in N = 4.
100 101 102 103 104 −40 −30 −20 −10 0 10 Frequency [Hz] Magnitude [dB] Sensitivity characteristic
Singlerate min−order observer Singlerate full−order observer MDLSO
図 7 Sensitivity characteristic of observer in N = 4.
の時間特性を図 9 に示す。図 6 の周波数特性からも明らかな ように最小次元オブザーバおよび同一次元オブザーバでは ノイズの影響を強く受けてしまう。これに対し，MDLSO は 特定の正弦波ノイズに対して不干渉化できることがわかる。 5. 実 験 実験に用いる精密実験ステージを図 10 に示す。また，ス テージの周波数特性を図 11 に示す。ステージの各物理パラ メータは表 1 と同様である。 精密実験ステージはナノスケールでの位置決めを実現す るために分解能 1 nm のリニアエンコーダを搭載している。 この高分解能エンコーダから差分により得られた速度を真 値とし，表 1 と同様に分解能を 0.1 µm までソフト的に落 とした後に各速度の導出法を実験により比較した。 実験では，サーボオフ時の僅かな速度変動を推定してい る。図 12 に移動差分による速度推定，図 13 に各オブザー バによる速度推定を示す。またこのときの標準偏差 3σ を 表 2 に示す。MDLSO が最も量子化誤差の影響が低減でき ていることがわかる。 さらに，振幅 100 nm, 周波数 500 Hz の正弦波ノイズを 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −5 0 5x 10 −3 Time [s] Velocity [m/s] Velocity trajectory vel
vel (singlerate min−order observer) vel (singlerate full−order observer) vel (MDLSO)
(a) Estimated velocity
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −2 0 2x 10 −4 Velocity error 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −2 0 2x 10 −4 Velocity error [m/s] 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −2 0 2x 10 −4 Time [s]
vel (singlerate min−order observer)
vel (singlerate full−order observer)
vel (MDLSO)
(b) Estimated velocity error
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 Time [s] Disturbance [N] Disturbance trajectory d
dhat (singlerate min−order observer)
dhat (singlerate full−order observer)
dhat (MDLSO) (c) Estimated disturbance 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −0.02 0 0.02 Disturbance error 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −0.02 0 0.02 Disturbance error [N] 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −0.02 0 0.02 Time [s]
dhat (singlerate min−order observer)
dhat (singlerate full−order observer)
dhat (MDLSO)
(d) Estimated disturbance error 図 8 Time response by observer in N = 4.
印加した場合の時間特性を図 14 に示す。シミュレーション 同様，MDLSO は特定の正弦波ノイズに対して不干渉化で きることがわかる。
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −5 0 5x 10 −3 Time [s] Velocity [m/s] Velocity trajectory vel
vel (singlerate min−order observer) vel (singlerate full−order observer) vel (MDLSO)
(a) Estimated velocity
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
−2 0 2x 10
−4 Velocity error
vel (singlerate min−order observer)
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −2 0 2x 10 −4 Velocity error [m/s]
vel (singlerate full−order observer)
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −2 0 2x 10 −4 Time [s] vel (MDLSO)
(b) Estimated velocity error
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 Time [s] Disturbance [N] Disturbance trajectory d
dhat (singlerate min−order observer)
dhat (singlerate full−order observer)
dhat (MDLSO) (c) Estimated disturbance 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −0.02 0 0.02 Disturbance error
dhat (singlerate min−order observer)
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
−0.02 0 0.02
Disturbance error [N]
dhat (singlerate full−order observer)
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −0.02 0 0.02 Time [s] dhat (MDLSO)
(d) Estimated disturbance error
図 9 Time response by observer with sinusoidal noise in N = 4.
6. ま と め
移動差分による速度導出では，最低でも半サンプルの遅 れは避けられず，量子化誤差低減のために差分周期を長く
図 10 Experimental precision stage.
100 101 102 −200 −150 −100 −50 Magnitude [dB]
Frequency response of plant (from force to stage position)
100 101 102
−400 −200 0
Frequency [Hz] Phase [deg] MeasurementModel
図 11 Frequency response of experimental precision stage. 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −5 0 5x 10 −4 Time [s] Velocity [m/s] Velocity trajectory vel
vel (difference per Tu) vel (difference per NTu)
(a) Estimated velocity
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −5 0 5x 10 −4 Time [s] Velocity error [m/s] Velocity error
vel (difference per Tu) vel (difference per NTu)
(b) Estimated velocity error
図 12 Experimental results by difference in N = 4.
するとさらに遅れてしまう。これに対し，オブザーバを用 いた速度導出ではプラントモデルを必要とするがサンプル 遅れの問題は解消される。オブザーバの更新を移動差分的 に行うことで，シングルレート同一次元オブザーバおよび シングルレート最小次元オブザーバに比べて量子化誤差成 分を低減できるオブザーバを提案した。さらに提案法は特 定周波数のノイズに対して非干渉化できることも特徴であ る。最後にシミュレーションおよび実験により，提案法の
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −5 0 5x 10 −4 Time [s] Velocity [m/s] Velocity trajectory vel
vel (singlerate min−order observer) vel (singlerate full−order observer) vel (MDLSO)
(a) Estimated velocity
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
−2 0 2x 10
−4 Velocity error
vel (singlerate min−order observer)
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −2 0 2x 10 −4 Velocity error [m/s]
vel (singlerate full−order observer)
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −2 0 2x 10 −4 Time [s] vel (MDLSO)
(b) Estimated velocity error
図 13 Experimental results by observer in N = 4. 表 3 Standard deviation of velocity errors in
experiment.
Velocity Singlerate min-order 9.26e−5m/s Singlerate full-order 11.03e−5m/s
MDLSO 8.07e−5m/s 有効性を示した。 謝 辞 最後に，本研究の一部は文部科学省科学研究費補助金（課 題番号：18686036, 20686028）によって行われたことを付 記する。 参考文献
（ 1 ） R. C. Kavanagh and J. M. D. Murphy, “The ef-fects of quantization noise and sensor nonideality on digital-differentiator-based velocity measurement,” IEEE Trans. Instrumentation and Measurement, vol. 47, no. 6, pp. 1457–1463, 1998.
（ 2 ） T. Ohmae, T. Matsuda, K. Kamiyama, and M. Tachikawa, “A microprocessor-controlled high-accuracy wide-range speed regulator for motor drives,” IEEE Trans. Industrial Electronics, vol. 29, no. 3, pp. 207–211, 1982.
（ 3 ） R C. Kavanagh, “Improved digital tachometer with re-duced sensitivity to sensor nonideality,” IEEE Trans. Industrial Electronics, vol. 47, vo. 4, pp. 890–897, 2000. （ 4 ） T. Tsuji, T. Hashimoto, H. Kobayashi, M. Mizuochi,
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −5 0 5x 10 −4 Time [s] Velocity [m/s] Velocity trajectory vel
vel (singlerate min−order observer) vel (singlerate full−order observer) vel (MDLSO)
(a) Estimated velocity
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
−2 0 2x 10
−4 Velocity error
vel (singlerate min−order observer)
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −2 0 2x 10 −4 Velocity error [m/s]
vel (singlerate full−order observer)
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −2 0 2x 10 −4 Time [s] vel (MDLSO)
(b) Estimated velocity error
図 14 Experimental results by observer with sinusoidal noise in N = 4.
and K. Ohnishi, “A wide-range velocity measurement method for motion control,” in IEEE Trans. Industrial Electronics, vol. 56, no. 2, pp. 510–519, 2009.
（ 5 ） N. Iiyama, K. Ohnishi, and T. Tsuji, “An approach to estimate velocity for acceleration control,” in Proc. 10th IEEE International Workshop on Advanced Mo-tion Control, pp. 687-692, 2008.
（ 6 ） K. Fujita and K. Sado, “Instantaneous speed detection with parameter identification for ac servo systems,” IEEE Trans. Industry Applications, vol. 28, no. 4, pp. 864–872, 1992.
（ 7 ） Y. Hori, T. Umeno, T. Uchida, and Y. Konno, “An in-stantaneous speed observer for high performance con-trol of dc servo motor using DSP and low precision shaft encoder,” in Proc. 4th European Conf. Power Electronics, vol. 3, pp. 647–652, 1991.
（ 8 ） Hiroshi Fujimoto and Yoichi Hori, “Visual servoing based on multirate control and dead-time compensa-tion,” Journal of the Robotics Society of Japan, vol. 22, no. 6, pp. 780–787, 2004. (in Japanese)
![図 2 Moving difference long sampling observer with dead-time. + + y (t) e -sT doS A1 cbc cc x (t)u(t) S (T )H y(T )uu[k]Encoder++e-sTdi+-d(t) e -sT di Observer x [k] c sd @d[k+1]@@xp[k] x [k]@dAsd [k]u](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/123deta/6985803.776481/3.892.527.781.217.362/moving-difference-long-sampling-observer-dead-encoder-observer.webp)
