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動的有限要素法による水平成層地盤モデルを用いた

振幅・位相特性

河里康平

*

江本浩樹

**

山下典彦

***

森源次

****

Amplitude and Phase Characteristics of Horizontally Layer

by Dynamic Finite Element Method

Kohei KAWASATO

*

Hiroki EMOTO

**

Norihiko YAMASHITA

***

and Genji MORI

****

ABSTRACT

In order to establish a surface wave method to estimate the depth of the soil layer , this paper has examined some of the basic relationships between the depth of the relatively harder soil thin layer and the characteristics of the P-SV wave propagation in layered media and their dynamic response due to the vertical harmonic point load applied on the ground surface . In this examination, the P-SV wave field has been simulated by the finite element method in soil layered media . It has been found from this numerical investigation that the depth of the relatively harder soil thin layer can be estimated from the information of the change of the phase velocity on ground surface at the resonant frequency of the soil layer.

Keywords: harmonic wave, P-SV wave, finite element method

１． はじめに 地盤構造を推定する方法の1つにレイリー波の分散 性を利用した表面波探査法がある．この分散性とは， レイリー波の波長が長いほど，より地盤深部のせん断 波速度を反映するという性質である．このレイリー波 の分散性により得られた波長による伝播速度の違いを 逆解析する事により，地盤の工学的性質であるせん断 波速度構造を求める事ができる． 表面波探査法は，従来の地盤探査方法であるボーリ ング孔を用いた PS 検層と比較して比較的短時間に低 コストで実施が可能であるとともに非破壊で調査が行 えるというメリットがある. しかし，表面波探査法のようなレイリー波の分散 性 を用いた手法において，起振点の近傍ではP波やS波 といった実体波が混在する為，レイリー波が形成され ていないのではないかという指摘がある．そこで既存 の表面波探査法では，レイリー波が形成されていると 考えられる起振点より遠方に受振器を設置する必要が ある． また，表面波探査法の測定方法は，大きく分けて起 振機と2～3個の受振器を用いる測定方法と，インパル ス振源と多数の受振器を用いる測定方法が提唱されて いるが，現在のところ表面波探査法に関する研究は， インパルス振源による方法を踏襲した研究に留まって おり，起振機といった動的荷重による振幅と位相速度 の周波数特性が，地下構造によってどのように変化す * 都市工学科 ** 神戸大学大学院 工学研究科 市民工学専攻 *** 都市工学科 教授 **** 古野電気株式会社 航空防衛事業部主幹技師 るかという検討がなされていないのが現状である．そ の為，最近は信頼性の点から多数の受振器を用いて行 う測定方法が主流となっている．この多数の受振器を 用いて実施する点からも，測線長が長くなる傾向にあ り，広い作業スペースを必要とする事が，表面波探査 法の問題点となっている．以上の点から，住宅地など といった建物が密集する地域では，十分な作業スペー スを確保できない事が多く表面波探査法の実施は難し い． 本研究では，表面波探査法の住宅地などといった 省 スペースでの実施を可能とする為に，(1)起振機と2個 の 受 振 器 を 用 い た 測 定 方 法(2)受 振 器 を 起 振 点 の 近 傍 に設置する事で起振点近傍での実体波やレイリー波の 混在した波の位相速度を用いた測定方法，これら2 つ の有効性を検証する事を目的としている．具体的には 図1のように起振機により発生させた波を，地表面の 起振点近傍に設置した2個の受振器によって測定し， 測定した波形から位相速度を求める．この位相速度と 起振機により発生させた調和振動荷重の周波数の関係 から地盤構造を推定する事が可能であるかを有限要素 法による解析より検証した． 図1 省スペースでの表面波探査法

２．有限要素法に用いた運動方程式

有限要素法の全体系の運動方程式は，式(1)で表され る

(1)

．

[ ]

M

{ }

x&&+

(

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

G_L +G_R +G_B +α M +βK

){ }

x& +

[ ]

K

{ } { }

x = f (1)

こ こ で

[ ]

M ，

[ ]

K は 質量 ，剛 性マト リ クス ，丸 括弧内 は減衰マトリクスである．

{ }

x&& ，

{ }

x& ，

{ }

x は解析モデル の節点の 加速度，速度，変位 ベ クトル，

{ }

f は 外力ベ クトルである．減衰はレイリー減衰で 評価 した．α，β は減衰定数や固 有円振動数と式(2)の関係がある． (2) ま た ， 計 算 量 を 制 限す る為,表 層 のi次 の 固 有 円 振動 数を式(3)の 金井の式 (2) により 計算 した．

(3) しかし，今回の解析モデルのような表層が3 層から なる地盤を，表層が1層からなる表層 単層地盤と 仮定 するには無理がある為，表層3層の各 層のS波速度V_sj から 各 層 厚 による重 み つき 平均 をとる事によって求ま る S 波速度V_avを式(4)によって求め，これを表層が 1 層からなる地盤に置き 換えた 際のS波速度とした (3) ． (4) また，地盤の 半無 限性を考 慮 するために減衰 項 に 粘 性 境界 を導入した (4) ． ３．解析モデル 解析モデルを図2に示 す．CASE1，CASE2は，埋設 物を 模擬 した 硬 い層が地盤内に存在する 場合 ，どのよ うな位相速度の周波数特性を 示 すのかを調 べ る為に， 表層が1層からなる1層の水平成層地盤と，表層地盤 中 に硬 い層がある3層の 水平 成層地盤をモデル化した 解析モデルである．CASE3及びCASE4は，3層の水平 成層地盤にある 硬い層の深さ位置を4m，5mと設定し た解析モデルである．CASE5からは，硬 い層の横方向 の大きさを 徐々 に 小 さくする事により 様々 な大きさや 位置の 埋設物をモデル化した解析モデルである． CASE5~CASE8 は， 硬 い層の 横方向の大きさを起振 点上を 軸に 左右 1/3 ず つ小さくしたもので，CASE9， CASE10 は CASE8 の 埋 設物の位置を起振点から 右に 9m，10mとしたモデルである． 表1に各 解析モデルの 材料定数を 示す．各種パラ メ ー タ はそれぞ れ時間 刻み ∆t=0.0005s，解析ステ ップ 数 =4096，要素 サイズ は1要素あたり横20cm×縦20cmの 2 次元ひずみ 要素とした．また，レイリー減衰に用い た減衰 率は 各固 有円振動数に 対して一様に5%とした． 解析にはモデル地表面の左端 から 9m の位置に最大振 a

(

2 1

)

2 1 − = i h VS i π ω

∑

= = N j j j av h h Vs V 1 2 2 i i i h βω ω α + = 18m 25m 17m 9m 起振点 8m 1層目 2層目（基盤） 18m 25m 17m 3m 9m 起振点 0.4m 4.6m 1層目 2層目 4層目 3層目 （基盤） 18m 25m 17m 4m 9m 起振点 0.4m 3.6m 1層目 2層目 4層目 3層目 （基盤） 18m 25m 17m 5m 9m 起振点 0.4m 2.6m 1層目 2層目 4層目 3層目 （基盤） 18m 25m 17m 9m 起振点 1層目 埋設物 2層目（基盤） 6m 12m 3m 0.4m 4.6m

(a)CASE1 (b)CASE2 (c)CASE3 (d)CASE4 (e)CASE5

18m 25m 17m 9m 起振点 1層目 埋設物 2層目（基盤） 6m 6m 3m 0.4m 4.6m 18m 25m 17m 9m 起振点 1層目 埋設物 2層目（基盤） 8m 4m 3m 0.4m 4.6m 18m 25m 17m 9m 起振点 1層目 埋設物 2層目（基盤） 8m 2m 3m 0.4m 4.6m 18m 25m 17m 9m 起振点 1層目 埋設物 2層目（基盤） 9m 2m 3m 0.4m 4.6m 18m 25m 17m 9m 起振点 1層目 埋設物 2層目（基盤） 10m 2m 3m 0.4m 4.6m

(f)CASE6 (g)CASE7 (h)CASE8 (i)CASE9 (j)CASE10

幅20kNの1~99Hzの調和振動荷重を外力として鉛直方 向に作用させた．位相速度は，図3 のような起振点近 傍位置で起振点より右 に0.2mと1.8mの 鉛直 変位波形 の 差分を取 り，式(5)より求めた．解析には ニュ ーマー ク

β

法を用い,

β

=

0

.

25

とした (5) ． (5) ４．数値解析結果 4.1 硬い層の有無による影響 図 4 に 硬 い層が振 幅の周波数特性や位相速度の周波数特性に 与 える 影響 を 示す． ま ず図4(a)(1)の，1m地点の硬 い層の有 無による振幅 の周波数特性について 見てみ ると，CASE1，CASE2共 に 約 10Hz で振幅が大きく増 幅される地盤の卓越 振動 数が確 認出 来る．硬 い層を含 まないCASE1では 卓越振 動数が現れた 後 ，な だ らかに減 少 している．しかし， 硬 い層を含むCASE2では 約36Hzで 再び 大きなピーク が現れているのが確認出来る．次 に，図4(b)(1)から1m 地点の位相速度の周波数特性について 見 て み ると， 両 CASE 起振点 S/2 x 位相速度算出点 S/2 地表面 受振器1 受振器2 図3 位相速度算出 のイメージ 位相角差 位相速度 i Sω π 2 = 表 1 材料 定数 (a)CASE1 Vp(m/s) Vs(m/s) _ρ=(t/m3) ν 1 層目 490 200 1.8 0.4 2 層目 980 400 2 0.4 (b)CASE2,CASE3,CASE4 Vp(m/s) Vs(m/s) _ρ(t/m3) ν 1 層目 490 200 1.8 0.4 2 層目 3674 1500 2.1 0.4 3 層目 490 200 1.8 0.4 4 層目 980 400 2 0.4 (c)CASE5,CASE6,CASE7,CASE8,CASE9,CASE10 Vp(m/s) Vs(m/s) _ρ(t/m3 ) ν 1 層目 490 200 1.8 0.4 埋設物 3674 1500 2.1 0.4 2 層目 980 400 2 0.4 0 1 10-5 2 10-5 3 10-5 4 10-5 5 10-5 6 10-5 7 10-5 0 20 40 60 80 100 CASE1 CASE2 振 幅 （m ） 周波数（Hz） 10Hz 36Hz 0 1 10-5 2 10-5 3 10-5 4 10-5 5 10-5 6 10-5 7 10-5 0 20 40 60 80 100 CASE1 CASE2 振 幅 （m ） 周波数（Hz） 0 1 10-5 2 10-5 3 10-5 4 10-5 5 10-5 6 10-5 7 10-5 0 20 40 60 80 100 CASE1 CASE2 振 幅 （m ） 周波数（Hz） (1)1m地点 (2)2m地点 (3)3m地点 (a)振幅の周波数特性 0 50 100 150 200 250 300 0 20 40 60 80 100 CASE1 CASE2 位 相 速 度 （ m / s ） 周波数（Hz） 6～8Hz 36Hz 200m/s 0 50 100 150 200 250 300 0 20 40 60 80 100 CASE1 CASE2 位 相 速 度 （m /s ） 周波数 （Hz） 0 50 100 150 200 250 300 0 20 40 60 80 100 CASE1 CASE2 位 相 速 度 （ m / s） 周波数（Hz） 26Hz (1)1m地点 (2)2m地点 (3)3m地点 (b)位相速度の周波数特性 図4 硬 い層の有無 による影響

CASEで振幅の周波数特性よりも 小さい6~8Hzで位相 速度が大きくなっている事が確 認出 来た．また， 硬 い 層が 含 まれる CASE2 では振幅の周波数特性で現れた ピ ーク周波数と 同様の 約 36Hz で 再びピークが現れて いる．その 後は両CASEにおいて １層目のせん断波速 度Vs=200m/sに近 づ くような傾向を示 している．また， 地点 ご との振幅の周波数特性を比較して み ると，起振 点から 離 れていくほど全体の振幅は 小 さくなる傾向が 見 られる．また，す べ ての地点で 同様 の周波数の振幅 が大きくなる傾向が確 認 できる．さらに，地点 ご との 位相速度の周波数特性を比較して みると，2m地点の位 相速度は，1 層地盤の CASE1 と 硬い層がある CASE2 であまり違いが 見られなかった．しかし 3m 地点の位 相速度の周波数特性と 見てみ ると，CASE2の位相速度 が CASE1 の位相速度とは大きく 異なっており，26Hz 付 近で非常 に大きな2次のピ ークが現れた． 以上の事から，地盤内に 硬 い層が存在すると，振幅 と位相速度が 増加 する周波数を確 認出 来き，起振点近 傍では起振点からの 距離 によって位相速度特性が大き く変わ る事が分かった． 4.2 硬い層の深さ方向の位置による影響 図 5 に 硬 い層の深さ方向の位置が振幅の周波数特性や位相速 度の周波数特性に与える影響 を示 す．まず ，図5(a)(1) を 見ると全ての CASEで 約 10Hzで振幅が大きく増幅 される地盤の卓越振動数が確 認出 来る．その後CASE2， CASE3，CASE4で 約36，29，28Hzで再び大きなピ ー クが現れているのが確 認出来る． 次 に，図5(b)(1)を見 てみ ると，全てのCASEで振幅 の周波数特性よりも小 さい6~8Hzで位相速度が大きく な っ て い る 事 が 確 認 出 来 た ． ま た CASE2，CASE3， CASE4 で 振 幅 の 周 波 数 特 性 で 現 れ た ピ ー ク 周 波 数 と 同様の 約 36，29，28Hz で再びピ ークが現れている． この周波数は， 硬 い層が深いほど 小 さくなる傾向が 見 られた．その後 は全てのCASEにおいて １層目のせん 断波速度Vs=200m/sに近 づくような傾向を 示している． また地点 ご とに 各結果 を 見 て み ると， 硬 い層の有 無 に よる結果の時と 同様の傾向となった． 4.3 埋設物の大きさによる影響 図6に，埋設物の 大きさが振幅の周波数特性と位相速度の周波数特性に 与 える 影響 を示 す．ま ず，図 6(a)(1)の 1m地点の振幅 の周波数特性を 見てみ ると， 約 10Hz で 1 つ目の ピー クが見 られ，CASE5~CASE8についてはその 後38~40Hz 付 近で2つ目の ピークが見られる．その後 ，周波数が 高 くなるにつれ 次第 に減 少 していく 結果 となった．こ れは，硬い層がある 場合 で見 られた傾向と 同様である． また， 埋設物の大きさが小さくなるにつれて2次 のピ 0 1 10-5 2 10-5 3 10-5 4 10-5 5 10-5 6 10-5 7 10-5 0 20 40 60 80 100 CASE2 CASE3 CASE4 振 幅 （m ） 周波数（Hz） 10Hz 29Hz 28Hz 36Hz 0 1 10-5 2 10-5 3 10-5 4 10-5 5 10-5 6 10-5 7 10-5 0 20 40 60 80 100 CASE2 CASE3 CASE4 振 幅（ m ） 周波数（Hz） 0 1 10-5 2 10-5 3 10-5 4 10-5 5 10-5 6 10-5 7 10-5 0 20 40 60 80 100 CASE2 CASE3 CASE4 振 幅（ m ） 周波数（Hz） (1)1m地点 (2)2m地点 (3)3m地点 (a)振幅の周波数特性 0 50 100 150 200 250 300 0 20 40 60 80 100 CASE2 CASE3 CASE4 位 相 速 度 （ m / s ） 周波数（Hz） 6～8Hz 28Hz 29Hz 36Hz 200m/s 0 50 100 150 200 250 300 0 20 40 60 80 100 CASE2 CASE3 CASE4 位 相 速 度 （ m / s ） 周波数 （Hz） 0 50 100 150 200 250 300 0 20 40 60 80 100 CASE2 CASE3 CASE4 位 相 速 度 （ m / s ） 周波数 （Hz） (1)1m地点 (2)2m地点 (3)3m地点 (b)位相速度の周波数特性 図5 硬 い層の深さ方向の位置による影響

ークが 小 さくなる傾向が 見 られた．これは， 埋 設物の 大きさが 制 限される事によって 埋 設物の 境界 面で反 射 が生 じ ， 埋 設物を 通過 した波が地表面に現れにくくな った為であると考えられる．また，地点 ご との振幅の 周波数特性を比較して み ると，起振点から 離 れていく ほど全体の振幅は小さくなる傾向が見 られる． 次 に，図6(b)(1)の1m地点の位相速度の周波数特性 を 見て みると，8Hz付 近で１ つ目のピ ークが現れた後， CASE5~CASE7では33Hz付 近で2次 のピ ークが 見られ た．これらの2次 のピークは 埋設物の 影響 と考えられ る．しかし，CASE8 については，1 層地盤の CASE1 と比較してあまり違いがなかった．この 原因 として考 えられる事は，(i)埋設物の境界面での反射 の影響(ii)位 相速 度を求める 際 の 差 分間 隔 の 影響 がある ．(i)の 理 由 についてはさきほどの振幅の周波数特性と 同様 である． (ii)については，CASE8 の 埋 設物の大きさが小さい為， 1m地点の 差 分間 隔（0.2m地点と1.8m地点）では，分 間 隔1.8mに 対 して 横方向の大きさ2mの 埋 設物の0.8m 分しか 影響 を受けない為である．よって， 横 方向の大 きさ 2m の 埋 設物の影響 が現状の 差分間隔 に対して大 きくなるように，図7のようにこの埋 設物の位置を1m ず つ右 に移 動させ解析を行った． 次 に，2m地点と3m地点の位相速度の周波数特性を 見 てみ ると，2m地点の位相速度は，CASE5で 小 さな2 次 のピ ークが確 認できるものの，その 他のCASEにつ いては1層地盤のCASE1と 比較してあまり違いが 見ら れなかった． しかし，3m地点の位相速度の周波数特性と 見てみ る と，1層地盤のCASE1の位相速度とは大きく異なって おり， 埋 設物の 横 方向の大きさが大きい程，位相速度 結果 に大きく違いが現れた．よって，起振点近傍での 位相速度は，地点によって傾向が大きく変 わ るという 結果が得られた．また，CASE8，CASE9については3m 地点の 差 分間 隔 の地下には 埋 設物は 埋 まっていないが， 1層地盤のCASE1と比較して全体的に位相速度が大き くなっている事から， 埋 設物が地下にない 差 分地点に おいても， 埋設物の影響が現れる事が分かった． 4.4 埋設物の横方向位置による影響 図7に，埋設 物 （0.4m×2m） の 横 方 向 の位 置 が振 幅 の周 波 数特 性と 位相速度の周波数特性に 与 える 影響 を 示 す．全ての 結 果 において，1層地盤のCASE1と違いがあまり見 られ なかった．よって， 埋 設物の 横 方向の大きさが振幅の 周波数特性や位相速度の周波数特性に 影響 を 与 える要 因 である事が分かった． ５．まとめ 表 面 波 探 査 法 を 省 ス ペ ー ス で 実 施 す る 為 に(1)起 振 あ 0 1 10-5 2 10-5 3 10-5 4 10-5 5 10-5 6 10-5 7 10-5 0 20 40 60 80 100 CASE1 CASE5 CASE6 CASE7 CASE8 振 幅 （m ） 周波数（Hz） 10Hz 38～40Hz 0 1 10-5 2 10-5 3 10-5 4 10-5 5 10-5 6 10-5 7 10-5 0 20 40 60 80 100 CASE1 CASE5 CASE6 CASE7 CASE8 振 幅（ m ） 周波数（Hz） 0 1 10-5 2 10-5 3 10-5 4 10-5 5 10-5 6 10-5 7 10-5 0 20 40 60 80 100 CASE1 CASE5 CASE6 CASE7 CASE8 振 幅（ m ） 周波数（Hz）

(1)1m地点 (2)2m地点 (3)3m地点 (a)振幅の周波数特性 0 50 100 150 200 250 300 0 20 40 60 80 100 CASE1 CASE5 CASE6 CASE7 CASE8 位 相 速 度 （ m / s ） 周波数（Hz） 8Hz 33Hz 0 50 100 150 200 250 300 0 20 40 60 80 100 CASE1 CASE5 CASE6 CASE7 CASE8 位 相 速 度 （ m / s ） 周波数（Hz） 0 50 100 150 200 250 300 0 20 40 60 80 100 CASE1 CASE5 CASE6 CASE7 CASE8 位 相 速 度 （ m / s ） 周波数（Hz） (1)1m地点 (2)2m地点 (3)3m地点 (b)位相速度の周波数特性 図6 埋 設物の大きさによる影響

機と2個の受振器を用いた測定方法(2)起振点近傍での 実体波とレイリー波が混在した波の位相速度を用いた 測定方法，これら2 つの有効性を検証した．以下にそ の 結果 を示 す． (1)地盤内に 硬い層（埋設物を 模擬 したもの ）がある 場合 ， 硬い層がない 場合 に比 べ て位相速度が大き くなる周波数が表れた．また，この位相速度の 増 加 は全ての解析 結果 で 3m 地点が最も大きく，起 振点からの 距離が位相速度特性に大きな 影響 を与 えている事が分かった． (2) 3層の 水平 成層地盤モデルの硬 い層の深さ位置を 変えた 場合 ，位相速度の特異 な ピ ーク点は， 硬い 層の位置が深いほど，低い周波数で表れる傾向を 示 した． (3)全ての CASE において， 高周波数に近 づくほど， 位相速度は地表面のS波速度に近 づいていく傾向 が 見られた． (4)埋設物の 場合は，横 方向サ イズ が大きい 場合は振 幅の周波数特性，位相速度の周波数特性の両 方で 特 異な ピーク点が現れたが，0.4m×2mの 場合 はあ まり 影響が 見 られなかった．この事から，埋 設物 の大きさが振幅の周波数特性や位相速度の周波数 特性に 影響 を与 える要 因である事が分かった． 以上から，表面波探査法を省スペースで実施する 為 に用いた測定方法で，地下構造によって位相速度の周 波数特性が 異 なる事を確 認 でき，有効性を検証する事 ができた． 謝辞： 本論文 を作成する上で， 山下研究 室の専攻 科 1 年 生の 島袋武氏 ， 卒 研生の 三木拓也氏 ， 鳥澤拓真氏 ， 岡那捺希 さんには大変お 世話 になりました．ここに 記 して謝意を表します． 参考文献 (1)春 海 佳 三 郎 ， 大 槻 明 ： 有 限 要 素 法 入 門 ， 共 立 出 版 pp34-38，2006 (2)地盤工学会 ： 地盤技 術者 のため の FEM シ リー ズ② 弾塑性有限要素法がわ かる，丸善 ，pp54-57，2003 (3)土岐憲三：土木 学会 編 新 体系 土木 工学11構造物の 耐震解析，技報堂出版 ，p102，1985 (4)鈴木晴彦， 林宏一，信岡大： 表面波を用いた地震 探 査 －人 工振源を用いた 基礎的研究 － ，物 理 探査学会 第102回学 術講演会論文集，pp62-65，2000 (5)棈木紀男， 正木 和明， 荏本 孝久， 岩楯敞広， 中島芳 久 ，高坂隆一：建築と 土木技 術者 のための地震工学・ 振動学 入門 ，吉井書店pp1-6，1997 0 1 10-5 2 10-5 3 10-5 4 10-5 5 10-5 6 10-5 7 10-5 0 20 40 60 80 100 CASE1 CASE8 CASE9 CASE10 振 幅（ m ） 周波数（Hz） 0 1 10-5 2 10-5 3 10-5 4 10-5 5 10-5 6 10-5 7 10-5 0 20 40 60 80 100 CASE1 CASE8 CASE9 CASE10 振 幅（ m ） 周波数（Hz） 0 1 10-5 2 10-5 3 10-5 4 10-5 5 10-5 6 10-5 7 10-5 0 20 40 60 80 100 CASE1 CASE8 CASE9 CASE10 振 幅（ m ） 周波数（Hz） (1)1m地点 (2)2m地点 (3)3m地点 (a)振幅の周波数特性 0 50 100 150 200 250 300 0 20 40 60 80 100 CASE1 CASE8 CASE9 CASE10 位 相 速 度 （ m / s ） 周波数（Hz） 0 50 100 150 200 250 300 0 20 40 60 80 100 CASE1 CASE8 CASE9 CASE10 位 相 速 度 （ m / s ） 周波数（Hz） 0 50 100 150 200 250 300 0 20 40 60 80 100 CASE1 CASE8 CASE9 CASE10 位 相 速 度 （ m / s ） 周波数（Hz） (1)1m地点 (2)2m地点 (3)3m地点 (b)位相速度の周波数特性 図7 埋設物の横 方向位置による 影響