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第 13 回 RCL 回路のまとめ,SPICE 演習その 2, 分布定数回路 目標 : RCL 回路のまとめ SPICE 演習その2 ケーブル 配線と分布定数回路 電気回路 の講義では, コンピュータに関連する電子回路や論理回路の分野で必要な知識を学んだ その際, 学生の弱点と考えられる, 数式数式

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(1)

第13回

RCL 回路のまとめ,SPICE 演習その2,

分布定数回路

目標 目標 目標 目標 :::: RCL 回路のまとめ SPICE演習その2 ケーブル・配線と分布定数回路 「電気回路」の講義では,コンピュータに関連する電子回路や論理回路の分野で必要な知識を学んだ。その 際,学生の弱点と考えられる,「数式数式数式 の数式ののの理解理解理解理解 にに 基にに基基基 づくづくづく 抽象的づく抽象的抽象的 な抽象的な 思考能力なな思考能力思考能力」思考能力 ,「回路図回路図回路図回路図やややや 周波数特性周波数特性 などに周波数特性周波数特性などになどに 関などに関関する関するする図する図図図 形的 形的 形的 形的 なななな 思考能力思考能力思考能力思考能力」を鍛える(あるいは,重要性に気づく)ことに留意して学習内容を選択した。十分とは言 えなかったが,回路設計の現場で活用されるようになってきた電子回路シミュレータSPICEの演習を行なっ た。第13週の資料は,RCL回路に関する「まとめ」と,並行して行なうSPICE演習の課題,そして,高速 な論理回路の動作の理解に欠かせない「分布定数回路」についての補足資料をまとめた。

RCL 回路のまとめ

表13.1に,電気回路で利用されるR,C,L素子の性質をまとめた。これらの素子について,インピーダンス, 電圧の変化を他の要素に結合するときの働き,そして電流当りの電圧降下についてまとめている。これらの 性質を利用することで,様々な機能が実現できる。素子単独の場合と,2つを組み合わせた場合について記 載した。組合せは,もっと多いのであるが,講義に関連する範囲に留めてある。 表 13.1 よく使われるR,C,L の性質 周波数,信号の変化に関する性質 素子 インピーダンス 結合 一定電流に対する電圧降下 R R 一定 一定 C 1 j Cω , 1 sC 直流は全く通さない 低い周波数は通しにくい 高い周波数・速い変化は通過 周 波 数 が 増 え る と 電 圧 降 下 は減少 単 独 L j LωsL 直流は完全に通過, 低い周波数は通しやすい 高い周波数・速い変化は阻止 直流では0,周波数が増える と増大 R C直列 1 R j Cω + , 1 R sC + 直流は全く通さない, 高い周波数・速い変化に対して 一定 高い周波数で一定 R C並列 1 R j CRω + , 1 R sCR + 直流から低周波数で一定 高い周波数・速い変化は通過 低い周波数で一定,高い周波 数で減少 R L直列 R+j Lω ,R+sL 直流から低周波数で一定 高い周波数・速い変化は阻止 低い周波数で一定,高い周波 数で増大 R L並列 j RL R j L ω ω + , sRL R+sL 直流から低周波を通過 高い周波数で一定 低い周波数で減少,直流では 0,高い周波数で一定 L C直列 2 1 LC j C ω ω − , 2 1 s LC sC + 共振,ω=1 / LC で 完全に通 過 共振周波数で0 組 み 合 わ せ L C並列 2 1 j L LC ω ω − , 2 1 sL s LC + 反共振 ,ω=1 / LC で完全に 阻止 共 振 周 波 数 で は 電 流 は 流 れ ない

(2)

表13.2は,講義で紹介したRCL回路の例をまとめたものである 注 。 表で「用途」とあるのは,“意図して構成する回路”の代表的な用途である。一方,「寄生的な回路」とは, 資料9で述べた“隠された回路”のことで,意図せず構成された場合の影響について記載している。 表 13.2 R,C,L 回路のまとめ 回路名 直列部 並列部 用途 寄生的な回路 RC直列 R C 簡単な平滑化回路 位相遅れ回路 パルス波形の積分 出 力 抵 抗 と 入 力 容 量で発生し,動作遅 れの原因となる CR直列 C R 簡単なハイパス回路 交流増幅回路の段間接続(直 流カット) 位相進み回路 パルス波形の微分 高周波数では,寄生 容 量 に よ る 信 号 の 混入の原因となる LR直列 R L 交流信号の阻止(チョーク回 路) 一次遅れ回路(単独で使われ ることは少ない) 高 速 回 路 で 配 線 が 長くなったとき,L 成 分 の 電 圧 降 下 が 問題になる RL直列 L R 位相進み回路 直流から低周波数信号を減衰 させる パルス波形の微分(単独で使 われることは少ない) L負荷は,直流から 低 周 波 数 で 負 荷 が 重くなるので注意 RLC直列 RL直列 C 2次の低域通過フィルタ Rの調節により周波数特性の ピークを制御できる 配 線 が 長 く な っ た とき寄生的な L と 入力の C でリンギ ングを起こす LC直列+R LC直列 R 共振周波数で信号を通過 CR 直列回路で,配 線 の 寄 生 イ ン ダ ク タがあると,リンギ ングを起こす LC並列+R LC並列 R 共振周波数で信号を阻止 チョーク回路で,L に 寄 生 容 量 が 並 列 になっていると,高 周 波 数 信 号 が 抜 け てしまう 注 注注 注:インダクタ(L)を使う回路は,低周波数領域の弱電回路ではあまり使われない。一般的なインダクタはコアを必要 とするため,寸法と重さの点で不利になる。また低周波回路では巻き数が多くなる。一方,高周波回路では,これら の影響が小さいこともあり,広く利用されている。 なお,インダクタが多用される「LC フィルタ」の例が抜けているのは,講義担当者の経験が不足している分野で あるためなので,興味がある方は,自分で調べてみて欲しい。また,Cと Lを組み合わせた共振回路についても, 理解しやすいものを紹介しただけで,実際に使われているかどうかは確認していない。 --- 梯子型回路 梯子型回路梯子型回路 梯子型回路(はしごがた かいろ,ladder circuit1 Z Z3 Zn Z2 Z4 1 Z Z3 Zn Z2 Z4 ←このような構成を梯子型 回路と呼ぶ。水平な枝 を直列部,垂直な枝を 並列部とする。

(3)

SPICE課題課題 課題課題 [1] [1] [1] [1] 以下の回路について,指定された特性を解析せよ。。。。 1)RC 直列回路:C = 100nFR = 10kΩとする。 ①周期1ms・振幅-1,+1 の2値矩形波で駆動したときの出力波形。 ②周期10ms・振幅-1,+1の2値矩形波で駆動したときの出力波形。 ③周期100ms・振幅-1,+1の2値矩形波で駆動したときの出力波形。 2)CR 直列回路:C = 100nFR = 10kΩとする。 ①周期0.1ms・振幅0,+2の2値矩形波で駆動したときの出力波形。 ②周期1ms・振幅0,+2 の2値矩形波で駆動したときの出力波形。 ③周期10ms・振幅 0,+2 の2値矩形波で駆動したときの出力波形。 ④周期100ms・振幅0,+2の2値矩形波で駆動したときの出力波形。

Edit Simulation CMD: Transient Voltage: PULSE,Trise,Tfallは 10u に設定

Tdelayは0,Ncyclesは空欄

課題

Stop time Time to Start Maximum Timestep Vinit Von Ton Tperiod 1)① 205m 200m 4000 -1 1 0.5m 1m ② 60m 10m 4000 -1 1 5m 10m ③ 700m 200m 4000 -1 1 50m 100m 2)① 10.5m 10m 4000 0 2 0.05m 0.1m ② 15m 10m 4000 0 2 0.5m 1m ③ 60m 10m 4000 0 2 5m 10m ④ 600m 100m 4000 0 2 50m 100m 3)RC 直列回路:C = 1nFR = 15.9kΩの周波数応答を1kHz~100kHzの範囲で求めよ。 R C 4)CR 直列回路:C = 1nFR = 15.9kΩの周波数応答を1kHz~100kHzの範囲で求めよ。 C R 5)R//C+R 回路:C = 1nFR1 = 159kΩ,R2 = 15.9kΩの利得-周波数応答を10Hz~100kHzの範囲で求めよ。 1 R 2 R C

Edit Simulation CMD:AC Analysis Voltage:SINE,Amplitudeは 1 に設定。その他は 0 また は空欄。

Small signal AC analysis 課題 Type of sweep Number of points per octave Start frequency Stop frequency Amplitude AC Amplitude AC Phase 3) Octave 10 1k 100k 1 1 0 4) Octave 10 1k 100k 1 1 0 5) Octave 10 10 100k 1 1 0 R C C R 正式な名称ではない

(4)

分布定数回路

これまで学んできた内容では,回路を構成する素子の寸法や導線の長さの影響は考慮されていない。素子の 1つの端子に流れ込む電流の値が変化すれば,流れ出す電流の値も直ちに変化する,素子と素子を接続する 導線も,抵抗0であれば,導線上の全ての点が同電位であるとして扱った。 このとき,導線を含む回路の構成要素は,(電圧と電流の変化の伝搬という点で)寸法が0で1点に集中し ていると考えていることになる。回路の寸法の影響を無視して扱う回路を, 集中定数回路集中定数回路集中定数回路集中定数回路と呼んでいる。 一方,動作周波数が高く速い変化の信号を扱うようになると,電圧や電流の変化が回路内を伝搬していく 速さを考慮しなければならなくなる。

高速動作する回路や寸法の大きい回路・・・・・・コンピュータ用回路,送電線など

→ 電圧と電流が波として伝搬していく

R,C,L の成分が分布している

伝搬線路と,そのモデル

分布定数回路として扱う代表的なものが,長距離の送電線や通信線など の 伝送線路伝送線路伝送線路伝送線路である。TV 受像用の機器を相互に接続する同軸ケーブルや, アンテナの接続に使うフィーダー線も伝送線路である。さらに,最近の 高速動作する回路では,機器間の接続ケーブルだけでなく,基板内の配 線も伝送線路として扱うことになる。 伝送線路は図13.1に示すように,2本の導線が対になっている形で構成される。伝送線路の具体的な例とし て,図13.2に示すようなものが挙げられる。 図13.2 伝送線路の例 左から,同軸ケーブル,フィーダー線,プリント基板の配線パターン

伝送線路と波動方程式

伝送線路は R,C,L成分が連続的に分布している。今,抵抗 Rは十分小さく無視できると仮定し,単位長 さ当りのインダクタンスと導線対の間のキャパシタンスをそれぞれ,LCとする。図13.3のように伝送線 路の長さ方向に座標xを設定し,位置x,時刻tでの電圧と電流を,それぞれv x t( , ),i x t( , )とすると,この2 つの信号は,以下に示すような偏微分方程式を満たす。 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) v x t i x t L x t i x t v x t C x t ∂ ∂  − =   ∂ ∂  =  (13.1) 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) v x t v x t LC x t i x t i x t LC x t =    ∂ ∂  =   (13.2) --- 集中定数 集中定数集中定数

集中定数 回路回路回路回路(lumped constant circuit), 分布定数分布定数分布定数分布定数 回路回路(回路回路 distributed constant circuit), 伝送線路伝送線路伝送線路(伝送線路 transmission line), 同同同同 軸

軸軸

軸 ケーブルケーブルケーブルケーブル(coaxial cable),フィーダー 線フィーダーフィーダーフィーダー線線線(feeder),プリント 基板プリントプリントプリント基板基板基板(printed circuit board,,,,PCB),波動方程式波動方程式波動方程式波動方程式(wave equation

として扱う →「分布定数回路」

外被 外被 外被 外被 外部導体 外部導体外部導体 外部導体 絶縁体 絶縁体 絶縁体 絶縁体 内部導体 内部導体内部導体 内部導体 断面図 断面図 断面図 断面図 絶縁体 絶縁体 絶縁体 絶縁体 導体 導体 導体 導体 導体 導体 導体 導体 ((((GNDパターンパターンパターンパターン )))) 絶縁体 絶縁体 絶縁体 絶縁体 ((( 基板(基板基板基板 )))) 導体 導体導体 導体 (((( 配線配線配線配線 パターンパターンパターンパターン )))) 図13.1 伝送線路は導線の対 ←電圧と電流の関係を 表す式 ← (13.1)式 を整 理 し て 得られる。「波動方程 式」と呼ばれる。 図13.3 電圧波と電流波

x

( , )

v x t

( , )

i x t

前進波 後進波

(5)

つまり,単位長のインダクタンスL,キャパシタンスCの無損失伝送線路では, 伝搬速度 伝搬速度 伝搬速度 伝搬速度 : 1 u LC = → 電圧・電流は,この速度で伝送線路を伝搬する 特性 特性 特性 特性 インピーダンスインピーダンスインピーダンスインピーダンス : O L Z C = → 伝送線路上の各点での電圧/電流の比(伝送線路が無限に長いとき) となる。実例を挙げると,表13.3のようになる。 表13.3 同軸ケーブルの特性値 ケーブルの名称 特性インピーダ ンス O Z [Ω] C [pF/m] L [µH/m] u[m/s] 1mあたりの 伝搬時間tp [ns/m] 3C2V 75 67 0.38 2.0×108 5.0 RG58A/U 50 93.5 0.23 2.1×108 4.7 なお,TV用の並行フィーダー線の特性インピーダンスは200Ωまたは300Ωが主流である。 ●●●●電圧電圧電圧電圧とととと電流電流の電流電流ののの変化変化変化は変化ははは,,,伝送線路上,伝送線路上を伝送線路上伝送線路上ををを速度速度速度速度1 / LC のののの速度速度で速度速度ででで伝搬伝搬伝搬す伝搬すするするるる 光速光速(光速光速((3(333××××101010108888m/sm/s)m/sm/s)))よりよりよりより少少少し少し遅しし遅遅い遅いいい((((≒≒≒≒2222××10××1010108888m/sm/sm/sm/s)))) ●●●電圧●電圧電圧電圧////電流比電流比電流比は電流比はは特性は特性インピーダンス特性特性インピーダンスインピーダンスインピーダンスででで与で与与与えられるえられるえられるえられる ●●●●特性特性特性特性インピーダンスインピーダンスのインピーダンスインピーダンスののの異異異異なるところでなるところで,なるところでなるところで,,反射波,反射波反射波が反射波が発生がが発生発生発生するするするする 伝送線路伝送線路を伝送線路伝送線路ををを開放開放開放または開放またはまたはまたは短絡短絡短絡短絡してあるとしてあると,してあるとしてあると,,そこで,そこでそこで反射そこで反射反射反射するするするする。。特性。。特性インピーダンス特性特性インピーダンスインピーダンスインピーダンスににに等に等等等しいしいしいしい抵抗抵抗でつなげば抵抗抵抗でつなげばでつなげば無反射でつなげば無反射無反射無反射にににに。。。 。 【 【 【 【 参考参考参考】参考】】 】 伝伝伝伝送線路送線路の送線路送線路のの 微分方程式の微分方程式微分方程式 の微分方程式ののの 解解解解 図13.4のように伝送線路を幅∆xの微小な区間で分割して,多数のインダ クタとキャパシタが並んだ回路としてモデル化する。 位置xでの線路間の電圧と,流れる電流を,それぞれv x t( , ),i x t( , )と いう2変数の関数で表す。 図 13.4 の回路を,L の成分を1つにまとめて図 13-5のように書き直す。回路図の2つの電流ループ の電流は,それぞれi x t( , )およびi x( + ∆x t, )となる。 V x t( , ) V x( x t, ) L x i x t( , ) t ∂ − + ∆ = ∆ ∂ (13.3) i x t( , ) i x( x t, ) C x v x( x t, ) t ∂ + ∆ − + = ∆ ∂ (13.4) ( , ) ( , ) V x t i x t L x t ∂ ∂ − = ∂ ∂ (13.5) ( , ) ( , ) i x t v x t C x t ∂ ∂ − = ∂ ∂ (13.6) 偏微分方程式(13.1)または(13.2)を満たす解は, ( , ) ( / ) ( / ) v x t = f tx u +g t+x u

{

}

O 1 ( , ) ( / ) ( / ) i x t f t x u g t x u Z = − − + 1 u LC = :伝搬速度,ZO L C = :特性インピーダンス ( / ) f tx u :前進波 は,「一般解」 ( / ) g t+x u :後進波 → 境界条件(信号源,端の処理形式)で関数 の形が定まる キャパシタに流れる電流i x t( , )−i x( + ∆x t, ) と,キャパシタの電圧の微分の関係の式, ループ1 の回路方程式 図13.5 伝送線路の集中定数回路モデル その2 ( , ) i x+ ∆x t ( , ) i x t ( , ) v x t v x( + ∆x t, )

x

x

+ ∆

x

C xL x∆ ループ1 ループ 2 (13.3),(13.4)で∆ →x 0とした極限: 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim x v x t v x x t v x t x x ∆ → − + ∆ = −∂ ∆ ∂ 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim x i x t i x x t i x t x x ∆ → − + ∆ = −∂ ∆ ∂ (13.1)式が導かれた// 図13.4 伝送線路の集中定数回路モデル x x+ ∆x x

(6)

2 2 2 2 2 2 2 2 v v LC x t i i LC x t =    ∂ ∂  =  ∂ ∂  (13.7) となる。

正弦波交流

正弦波交流

正弦波交流

正弦波交流の

の 場合

場合

場合

場合

今,伝送線路を角周波数ω の正弦波交流が伝搬していく場合を考える。このとき,電圧と電流の関数は,位置xの複素振 幅を表す関数V x( ),I x( )を使って, ( , ) ( ) ( , ) ( ) j t j t v x t V x e i x t I x e ω ω  =   =  (13.8)と書くことができる。 dV x( ) j LI x( ) dx ω − = (13.9) 2 2 ( ) ( ) d V x dI x j L dx dx ω − = (13.10) dI x( ) j CV x( ) dx = − ω (13.11) 2 2 2 ( ) ( ) d V x LCV x dx = −ω (13.12) (13.12)式の解は 1 2 ( ) j LC x j LC x V x =k e−ω +k eω (13.13) と書くことができる。 このV x( )からI x( )を求め j t eω を乗算すると,

{

}

( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) 1 2 ( , ) ( , ) j t LC x j t LC x j t LC x j t LC x v x t k e k e C i x t k e k e L ω ω ω ω − + − +  = +   = −   (13.14) が得られる。それぞれ,第1項がxの正の方向に進む 前進波,第2項が負の方向にする後進波を表す。 この式から,伝搬速度が1 / LC になること, 電圧/電流比(特性インピーダンス)が L C/ で与えられ ること,そして,後進波の電流は前進波とは向きが逆にな ることなどがわかる。 // // // // ( , ) { ( ) j t} ( ) j t v x t V x e dV x e x x dx ω ω ∂ == ∂ ∂ ( , ) { ( ) } ( ) j t j t i x t I x e j I x e t t ω ω ω ∂ == ∂ ∂ より, ( ) ( ) j t j t dV x e j LI x e dx ω ω ω − = ( , ) { ( ) j t} ( ) j t i x t I x e dI x e x x dx ω ω ∂ == ∂ ∂ ( , ) { ( ) } ( ) j t j t v x t V x e j V x e t t ω ω ω ∂ == ∂ ∂ より, ( ) ( ) j t j t dI x e j CV x e dx ω ω ω − = ( , ) ( , ) V x t i x t L x t ∂ ∂ − = ∂ ∂ の両辺を x で偏微分, 2 2 2 ( , ) ( , ) V x t i x t L t x x ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ( , ) ( , ) i x t v x t C x t ∂ ∂ − = ∂ ∂ の両辺を t で偏微分, 2 2 2 ( , ) ( , ) i x t v x t C x t t ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ( , ) i x t に関しても同様に解ける もう一度 x で微分して, (13.12)式の解はV x( )=kesxの形になるので, これを代入して整理して得られる特性方程式, 2 2 s = −ω LCを解くと, s= ±jω LC 。 (13.5) V x t( , ) L i x t( , ) x t ∂ ∂ − = ∂ ∂ に代入 これを(13.9)式: dV x( ) j LI x( ) dx ω − = に代入すると, 1 2 ( ) { j LC j LC} ( ) dV x j LC k e k e j LI x dx ω ω ω − ω − = − = となるので, 1 2 ( ) j LC{ j LC j LC} I x k e k e j L ω ω ω ω − = − C{k e1 j LC k e2 j LC} L ω ω − = − (13.2)式が導かれた// 代入 2 2 2 ( , ) ( , ) V x t i x t L t x x ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ 2 2 ( , ) v x t LC t ∂ = − ∂ (13.5),(13.6)に代入して整理すると (13.6) i x t( , ) C v x t( , ) x t ∂ ∂ − = ∂ ∂ に代入

表 13.2 は,講義で紹介した RCL 回路の例をまとめたものである 注 。 表で「用途」とあるのは, “意図して構成する回路”の代表的な用途である。一方, 「寄生的な回路」とは, 資料 9 で述べた“隠された回路”のことで,意図せず構成された場合の影響について記載している。  表 13.2  R,C,L 回路のまとめ  回路名  直列部  並列部  用途  寄生的な回路  RC 直列  R  C  簡単な平滑化回路 位相遅れ回路  パルス波形の積分  出 力 抵 抗 と 入 力 容量で発生し,動作遅れの

参照

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