• 検索結果がありません。

n谺。蜈繝吶け繝医Ν隗」譫/a>(4繝壹繧ク)

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

シェア "n谺。蜈繝吶け繝医Ν隗」譫/a>(4繝壹繧ク)"

Copied!
4
0
0

読み込み中.... (全文を見る)

全文

(1)

n

次元ベクトル解析

中嶋 慧

April 29, 2019

Contents

1 4 次元のベクトル解析 1 2 n 次元のベクトル解析 3

1

4

次元のベクトル解析

4 次元のユークリッド空間を考える。grad, rot, div を 3 次元のベクトル解析の記号とする。4 次元へのそれらの拡張 grad4, rot4, div4と、med4を以下で定義する [1] 1) :

grad4φdef= ( gradφ 4φ ) , (1.1) rot4 ( a a4 ) def = ( rota 4a− grada4 ) , (1.2) med4 ( b a ) def = ( medb 4b− rota )

, (medbdef= −divb) (1.3)

div4 ( a4 a ) = diva + ∂4a4. (1.4) 今、6 次元空間{XA}6 A=1を考え、 ⋆(dxk∧ dxl) def= εikldXi, (1.5) ⋆(dx4∧ dxi) def= dXi+3 (1.6) とする2)。このとき、 ⋆(1 2Fµνdx µ∧ dxν) = 1 2FklεikldX i+ 1 2(F4i− Fi4)dX i+3 (1.7) 1)med 4の定義は、[1] のものとは少し異なる。 2)i, j などのラテン小文字の添え字は 1,2,3 を表し、µ, ν などのギリシャ文字の添え字は 1,2,3,4 を表す。 1

(2)

である。今、

a def= aidxi+ a4dx4 (1.8)

とすると、

⋆da = ∂kalεikldXi+ (∂4ai− ∂ia4)dXi+3

= (rota)idXi+ (∂4ai− ∂ia4)dXi+3 = 6 ∑ A=1 [ rot4 ( a a4 ) ] AdX A (1.9) である。 今、 Fµν =      0 B3 −B2 −E1 −B3 0 B1 −E2 B2 −B1 0 −E3 E1 E2 E3 0      (1.10) とすると、 F µν =      0 E3 −E2 −B1 −E3 0 E1 −B2 E2 −E1 0 −B3 B1 B2 B3 0      (1.11) である。ここで、 F = 1 2Fµνdx µ∧ dxν (1.12) に対して、 ∗F = 1 2 F µνdxµ∧ dxν (1.13) である。ただし、 ∗(aµ1···µrdx µ1∧ · · · ∧ dxµr) = 1 s!εµ1···µrν1···νsaµ1···µrdx ν1 ∧ · · · ∧ dxνs (1.14) である。ここで、r + s = 4 である。εµ1···µ4は完全反対称で、ε1234 = 1 である。 さて、F = 1 2Fµνdx µ∧ dxνに対して、 ∗d ∗ F = ∂µFµνdxν (1.15) である。(1.10) の記号で、 ∗d ∗ F = ∂iFijdxj+ ∂4F4jdxj+ ∂iFi4dx4 = ∂i(εijkBk)dxj + ∂4Ejdxj − ∂iEidx4 = −divEdx4+ [∂4Ei− (rotB)i]dxi = [ med4 ( E B ) ] 1 dx4+ 3 ∑ i=1 [ med4 ( E B ) ] i+1 dxi (1.16) 2

(3)

となる。ところで、 3 ∑ i=1 (EidXi+ BidXi+3) = ⋆∗ F (1.17) なので、med4(⋆∗ F ) は ∗d ∗ F に相当する: med4(⋆∗ F ) ≈ ∗d ∗ F. (1.18) これより、 med4(⋆G) ≈ ∗dG (1.19) を得る。G は 4 次元の 2 形式である。 まとめると、 grad4φ≈ dφ, (1.20) rot4a = ⋆da, (1.21) med4(⋆G) ≈ ∗dG, (1.22) div4a = ∗d ∗ a (1.23) となる。 これより、 rot4grad4φ = ⋆ddφ = 0, (1.24)

med4rot4a ≈ ∗dda = 0, (1.25)

div4med4(⋆G) = ∗d ∗ ∗dG = 0 (1.26) を得る。

2

n

次元のベクトル解析

A(0)n def= gradn, (2.1) A(1)n def= rotn, (2.2) A(2)n def= medn (2.3) とし、 A(m)n+1 ( β(m) β(m−1) ) def = ( A(m)n (β(m)) ∂n+1β(m)− A (m−1) n (β(m−1)) ) (2.4) とする。また、 A(m+1)n A(m)n (β(m)) = 0 (2.5) 3

(4)

とする。β(m)は n 次元の m-form と同じだけの成分を持つベクトルである。例えば、 A(2)3 = med3 =−div (2.6) である (med3 = div でも良い)。 n 次元で (2.5) が満たされていると、(n + 1) 次元でも満たされている: A(m+1)n+1 A(m)n+1 ( β(m) β(m−1) ) = A(m+1)n+1 ( A(m)n (β(m)) ∂n+1β(m)− A (m−1) n (β(m−1)) ) = ( A(m+1)n A(m)n (β(m)) ∂n+1A (m) n (β(m))− A(m)n (∂n+1β(m)) + A (m) n A(mn −1)(β(m−1)) ) = 0. (2.7) 一般に、β(m)はある m-form b(m)と等価であり、 A(m)n (β(m)) = ⋆(m)n db(m) (2.8) の形になっていると思われる。(2.5) は、 ddb(m) = 0 (2.9) を表すはずである。

References

[1] http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/4DNablaVer3.0.pdf 4

参照

関連したドキュメント

[1] Feireisl E., Petzeltov´ a H., Convergence to a ground state as a threshold phenomenon in nonlinear parabolic equations, Differential Integral Equations 10 (1997), 181–196..

We are also able to compute the essential spectrum of the linear wave operator for the rotationally invariant periodic case.. Critical point theory, variational methods, saddle

This paper is a sequel to [1] where the existence of homoclinic solutions was proved for a family of singular Hamiltonian systems which were subjected to almost periodic forcing...

Fulman [10] gave a central limit theorem for the coefficients of polynomials obtained by enumerating permutations belonging to certain sequences of conjugacy classes according to

The conjecture of Erd¨os–Graham was proved by Dixmier [2], by combining Kneser’s addition theorem for finite abelian groups and some new arguments carried over the integers.. Let

The study of the eigenvalue problem when the nonlinear term is placed in the equation, that is when one considers a quasilinear problem of the form −∆ p u = λ|u| p−2 u with

(The Elliott-Halberstam conjecture does allow one to take B = 2 in (1.39), and therefore leads to small improve- ments in Huxley’s results, which for r ≥ 2 are weaker than the result

This set will be important for the computation of an explicit estimate of the infinitesimal Kazhdan constant of Sp (2, R) in Section 3 and for the determination of an