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OF HIGHER ORDER OF A COMPACT RIEMANN SURFACE
Toshio． MATSUMOTO ，（Received（iCt・ber 1．・1988；Rgyi・ed・Nbvember 29，1988）．．．／一 §1． Ilitroduction． ． Let X be a comPact Riemann surface of genus g≧2， Ak be the complex vector space of analytic differentials of t）1）e k on X， Aut（X）be the group of auto− morphisms on X， and Fix〔h〕 be the fixed points of hεAut〔X〕． To each point PεX， there is a set of integers ・ ． ’ 1＝Y1＜Y2＜◆°’＜Yd（k）≦2k（9−1）＋1・u・h・h・tY・be…9・t・th・S蜘・n・e・f皿d・n・y・f・here ex・・tr・輌戦』Wi・h
a zero of order Y−l at P， where ．d（k〕＝1（、k．i〕〔、．、〕 1熟；B．
The sequence is called the k−gap sequence at P， the non−negative integer t d（k〕Wk〔P）＝i＝・〔Y」・う）・ ．11 ・
i，ca11・d「 狽?Ek−th w・ight・t P． P・XiS call・d・k−W・ier・t・ass ’ o・iit dn X if「
wk（P）＞0． It is known that 「 ．『． ’
Wk〔9〕；鍵〔P）＝t（；畿ご：1〕・ll㌫
for any given X of genus g． We shall denote by 〔k−WP）X the set of］ぐ一Weierstrass p．oints on X． Xwill be ca11・d k−a119・m・ip if wk〔P）＝；f°「eveワPε〔k’WP〕X．・lhl f°ll°wing Tesultsare known． ’ t／
Theorem A． Let X be a 1−allge皿ein co㎎act Riemam surface of』genus g≧2， hεAut〔X）be of prime order N≠3，5． Then either Fix（h）⊂〔1−WP〕X or Fix（h〕n〔1−WP〕x ＝φ． ．147
148
The・’・皿B・．．L・ぱbe a 2−a119・皿・in・・mPact ki・壁㎜su・face・f、g・nu・g≧2・ hεAut（X〕be of prime order N≠3． Then either Fix（h）c（2−WP）X of’．Fi・〔h〕A：（2㊥X・φ∴． t． tt：．：二． ”
・・．E ．．．／t
The fomer was proved by Lewittes in 1963， the latter by Duina in 1978． For a k−allgemein compact Riemann surface， k≧3， the analogous results were not known． Our reults are as follows． Theore皿1． Let X be a k−allgemeih cdmpact Rie血ann surface of genus g≧2， 3≦］（≦7，hεAut（X） be of prime order N with t＞O fixed points・ If Qne． of the Fix〔h）⊂〔k−wP）x or Fix〔h〕（（k−wP）x一φ．following cases holds， then either （1〕． 〔2） 〔3）’ （4） 〔5） Theorem 2． k≧2，hεAut（X）either
k＝3， ・N≠5． ．』ik＝4，N≠7．
k＝5， N≠3，11．． k＝6， N≠11， 13， 17． k；7， N≠11，13． Fix〔h）⊂〔k−WP）X §2．Proof of Theorem 1， Let X be a k−allge皿ein compact Riemann surface of prime order N with t＞O fixed points．Weierstrass points
k−Weierstrass points that Pε〔k−WP）X， k＝dN＋k， When k≧2， Duma showed that only one of the ．Case［1］case
case． 匹］四
we shall consider the Let X be a ．k−qllgemein compact Ri㎝am sqrface of．genus g≧2， be of pri皿e order N with t＞O fixed polnts． If N＞4k二5， then or Fix（h）∧（k−WP〕X＝φ・ 力 2． of gelms g．≧．．2， hεAut（h）be Th・n・there are ・xacqy Wk〔9） ・n，x・㎝訓k〔9）−s．‡・a㎜1tip1・・f N．if・i・． th・n帥・「°f． in Fix（h〕． Assume that there are points P，QεFix（h〕 such Q￠（1（−WP〕x． Write ＾‘@（2k−i）〔9−1）−qN・r，0≦食≦N−1，0≦・≦N二1． following cases is possible・ へ r＝．0，』N＋・1．＝ぜ2k， N≧3．・ ． ． ’1≦食．Q．。≧N．、，、R、N∴2’≦t三・・．，”N’、．，．い．；
N＋1−2k R・・．。≧N・・2，2・fe・〉．・N・1，2≦t・一禦一，．−N≧5．、． 2k−N−1 cases．2．1 case［1］ L・t2k−・・P錐・P多・…幽，ぬer・’P、，P、，・r・，lh are・di・ti・r・ numbers and ∫↓1，∫↓2，．・・，父rm are positive integers． Then， Pζ・呼・…．㎞・・2（dN・R）−1・2R−1〔鳳N）・ Since N…2h・・d・・N㎜・t b…ng・・｛P、1・’P、 ’・…・lh｝・Th・ref・re・ for k＝3， 7 for k＝4’， 3 for k＝5， 11 for k＝6， and 13．for k＝7． 2．2 case ［珂 odd prime N㎜st be 5 Now we shall show that t≠2． If t＝2， then， r＝N＋1−2食， i．e．， へ （2k．−1〕〔g−1） 三 1−2k （mod． N〕． ’ ． It follows that A （2k−1〕g ≡ （2k−1〕＋（1−2k） ≡．0 〔mod． N〕．
Therefore， ．
Wk〔9）一（2k−i）9〔2k−・〕〔9−・）2・0．〔・・d． N）．． On the other hand， since there is only．二〇ne krWeierstrass points in Fix（h）， Wk〔g〕−1must be a multiple of N，砲ich is a contradictioh． Hence t≠2， and we may assume that t≧3． Then， A A 〕皇3≦t− 2「＾≦2〔N−4，〕・2・2k−4＾， ．・・．
N＋1−2k N＋1−2k N＋1−2k ．1 ハ and this implies that N≦4k−5． So we can replace the ass㎜ption in case［田by．〔2−2−1〕3≦t−2「．，
． 、 N＋．1−2k 、 、 ム （2−2−2〕 0＜r≦N−1−k， ． tt （2−2−3〕 max｛5，2R｝≦N≦4食一5． 』 Suppose now that k＝3． SinCe N≧5， we have 食＝3． Then， from 〔2−2−3）， it must be N＝7． Therefore， we obtain （i）t＝r＝3 from〔2−2−1〕and 〔2’2−2）． へ Suppose now that ］（＝4． Since N≧5， we have k＝4． Then， from （2−2−3）， it must be N＝．ll． Therefore， we obtain （ii〕 t＝3，r＝6 fro皿 〔2−2−1〕and（2−2−2）． へ SupPose．now that k＝5・ If N＝5，、then k〒0， so 〔2−2−3〕 ca皿Qt hold・ ・ If N≧7， then喪＝5． From （2・−2「3〕， it rnust． be N＝11・or N〒13， When N＝11， we obtain 〔i亘〕 t＝r＝3， （iv〕 t『r〒4， and 〔v〕t＝rFs from〔2−2−！） apd 〔2−2−2）． Similarly， we obtain 〔vi）t＝3，r＝6 when N＝13．150
．T・． MATSUMOTO ’ へ SupPose now that k；6． If N＝5， then k＝1， so 〔2−2−3） cannot hold・’1・If N『≧7， ・k・n㊧・6・F・㎝〔2−．2−5）．i・㎜・a・N＝，13・rNロ・rN＝19・F・・IF．、〔．2’2−1〕・nd （2−2−2），．we oもtain 6亘〕’t＝T」3i（殖）t＝r＝4， 〔iX）t＝r」5，』（x）t＝rゴ6 when N＝13，（Xi．）t・3，。・9ぬ。。 N・17，㈹t・3，。・12寵e・’N三19．1．・・ ご：’
SupP・se n・w th・t k・7．1．f N・’5， then㊧一2，・・〔2二2」3〕ca・⑳t’h・1q．＞If N・7， ・h・n食・0，・・．（2−2−3）ca皿・ゆlq，． t・g・・f N≧1・，・・th・n葦・7ぽ・m．，（2．−Z−、3）・ it皿st b・N・．17・r N・19・r N・23・F・・m、〔2．ご2三1）・and〔Z−2−2）・wr．・bj aip． ．・ 顧）t＝3，r＝6， 〔㎞）t＝4，r＝8曲en N＝17， （＞ctt） t＝3，r＝9 when N＝19， （麺） t＝3，r＝15 when N＝23． 、 ・ ・ ．ω㈲㈹旬ω回㈲㈹㈱ω㈲⑰⑪⑰㈲圃
k
3455556666667777
N
7111133333797793
111111111111112
Table 1．・ t3334533456333433
． 一 −r
3634563456926895
．．．−9（mod；N〕
3、 5 5 ． 10 4 6 6 ． 12 5 ！ 11 8 9 『 、 8 16 ． 9 11 Wk・〔9） 6 4 ・ 1 6 1 8 2』 10 8‘ 6 2 ’＞@ 4
16 4 7 14 〔m6d． N）・ It is shown in Table l that the cases （i），（ii〕，〔t〕，（W〕，匝），〔iX），〔x），｛海）， 6匝），6⑩，（W〕，6畦） camot occur， since none of the numbers珊（〔9）−s，s＝1，2，… ，t−1， is a multiple of N in each case of th㎝． ・ ’ ． 2．3 case ［町 N・・W・・haU…w・h・tt’1・・．，・ft・・，中・nN−r〒2R−N・・，1i・・i・．、’．．． （2k−1）〔g−1） ≡1−2食 ．（mod． N）．．． ． ． 、．． 、、 ． It follows that（．2k−1）g三〇・〔mod． N）． Therefore， Wl（（g〕』三〇 〔md． N）．・一・．．・ On the other hand， since there is㎝1y one k−Weierstrass pointS in Fix（h），閲 Wk（9）−1must be a multiple of N，曲ich is a conltradiction二 ・ ・』幽 Hence t≠．2， and we may ass血ne that t≧3． ．Then， ’ ：．』 ・−． ’3≦t・器・器・
and this i∬plies that 2（§−2）≧3〔2食一N−1），i：e．，．・3N≧4食＋1． So we can replace the assumption in gaSe．1珂．by 、． ・ ．、 ．， ， 、、 ，．
