PDF(8up)

8. ᴟ㓄⨨タィ

ᩍ⛉᭩

7.1

≧ែ䝣䜱䞊䝗䝞䝑䜽䛻䛴䛔䛶

z ไᚚᑐ㇟(plant): ⥺ᙧ䝅䝇䝔䝮: x ƒn _{… ≧ែ䝧䜽䝖䝹} u ƒm_{… ධຊ䝧䜽䝖䝹} y ƒl _{… ฟຊ䝧䜽䝖䝹} z ไᚚ๎: ≧ែ䝣䜱䞊䝗䝞䝑䜽: u = Fx + Gv v ƒk _{… ᪂䛯䛺ධຊ䝧䜽䝖䝹(㏻ᖖ k = m)} F … m⾜nิ⾜ิ, G … m⾜kิ⾜ิ Cx y Bu Ax x  Plant Controller u v x y ᣑ኱䛥䜜䛯⣔(㛢䝹䞊䝥⣔)䛜䛷䛝䜛

㛢䝹䞊䝥⣔

z ไᚚᑐ㇟: z ≧ែ䝣䜱䞊䝗䝞䝑䜽: u = Fx + Gv z 㛢䝹䞊䝥⣔䠖 Cx y Bu Ax x  Cx y BGv x BF A x (  )  ) , (A A BF B BG Cx y v B x A x    ≧ែ䝣䜱䞊䝗䝞䝑䜽䜢᪋䛧䛯ᚋ䚸⾜ิA 䛾㒊ศ䛜 A + BF 䛾䜘䛖䛻ኚ䜟䜛䚹䛴䜎䜚䚸≧ ែ䝣䜱䞊䝗䝞䝑䜽䛷ᅛ᭷್䜢ኚ䛘䜛䛣䛸䛻䜘䜚䚸䝅䝇䝔䝮䛾Ᏻᐃᛶ䜒ኚ䜟䜛䚹

≧ែ䝣䜱䞊䝗䝞䝑䜽䛸ྍไᚚᛶ

z ≧ែ䝣䜱䞊䝗䝞䝑䜽๎u = Fx + Gv 䛻䛚䛔䛶䚸k = m 䛴䜎䜚 G 䛿ṇ᪉⾜ิ䛷䛒䜛䛸䛩 䜛䚹䛣䛣䛷䚸G 䛿ṇ๎䛷䛒䜛䛸௬ᐃ䛩䜛䚹 z u 䛸 v 䛿஫䛔䛻ኚ᥮ྍ⬟ u = Fx + Gv v = G–1_{(–Fx + u)} 䛴䜎䜚䚸 ≧ែ䜢ཎⅬ䛻⛣ື䛥䛫䜛u 䛜Ꮡᅾ ≧ែ䜢ཎⅬ䛻⛣ື䛥䛫䜛v 䛜Ꮡᅾ G 䛜ṇ๎⾜ิ䛺䜙䜀䚸≧ែ䝣䜱䞊䝗䝞䝑䜽䛻䜘䛳䛶ྍไᚚᛶ䛿ኚ໬䛧䛺䛔

≧ែ䝣䜱䞊䝗䝞䝑䜽䛸ྍほ ᛶ

z ୍᪉䚸≧ែ䝣䜱䞊䝗䝞䝑䜽䛻䜘䜚ྍほ ᛶ䛜ኚ໬䛩䜛䛣䛸䛜䛒䜛䚹 (౛)





x y u x x 1 2 1 0 2 1 1 0 _¸ ¹ · ¨ © §  »¼ º «¬ ª   





x y v x x 1 2 1 0 3 2 1 0 _¸ ¹ · ¨ © §  »¼ º «¬ ª   





x v u 1 1  ≧ែ䝣䜱䞊䝗䝞䝑䜽 2 0 1 1 2 rank »¼ º «¬ ª  ྍほ  1 1 2 1 2 rank »¼ º «¬ ª   ୙ྍほ  ྍほ ᛶ⾜ิ䛾䝷䞁䜽䛜ኚ䜟䜛 ĺ ≧ែ䝣䜱䞊䝗䝞䝑䜽䛿ྍほ ᛶ䜢ಖᏑ䛧䛺䛔

ᴟ㓄⨨䛸䛿

z ≧ែ䝣䜱䞊䝗䝞䝑䜽䛻䜘䛳䛶䚸A 䛾㒊ศ䜢 A + BF 䛾䜘䛖䛻ኚ䛘䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䛾 䛷䚸䝅䝇䝔䝮䛾ᅛ᭷್䜢ኚ䛘䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹 z ᴟ㓄⨨ၥ㢟 䛴䜎䜚䚸⮬⏤䛻A + BF 䛾ᅛ᭷್䜢ᣦᐃ䛷䛝䜛䛛䛹䛖䛛䛾ၥ㢟䚹 F 䜢㑅䜆䛰䛡䛷䚸඲䛶䛾ᅛ᭷್䜢ኚ䛘䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䛾䛷䛒䜝䛖䛛? 」⣲ᩘ䛾⤌{O1,O2,…On} 䛜䛒䜙䛛䛨䜑୚䛘䜙䜜䛶䛔䜛䚹䛯䛰䛧䚸⹫ᩘ䛿ᖖ䛻䛭 䛾ඹᙺ」⣲ᩘ䛸䝨䜰䛻䛺䛳䛶䛣䛾⤌䛾୰䛻ධ䛳䛶䛔䜛䜒䛾䛸䛩䜛䚹䛣䛾䛸䛝䚸⾜ ิA + BF 䛾ᅛ᭷್䜢䚸 {O1,O2,…On} 䛻䛩䜛䜘䛖䛺 F 䜢ぢ䛴䛡䜛ၥ㢟䜢ᴟ㓄⨨ ၥ㢟䛸䛔䛖䚹

ᴟ㓄⨨䛾ྍゎ᮲௳

ᴟ㓄⨨䛾ྍゎ᮲௳䛿᫂☜䛻ᚓ䜙䜜䛶䛔䜛䚹 z (ᚲせᛶ䛾ド᫂) ᑐഅ䜢ド᫂䚹䜒䛧୙ྍไᚚ䛺䜙䜀䚸A 䛾䛒䜛ᅛ᭷್O0䛻ᑐ䛧 䛶䚸 䚹䛴䜎䜚䚸O0䛻ᑐ䛩䜛ᕥᅛ᭷䝧䜽䝖䝹x0T䛻ᑐ䛧䚸x0TB = 0䚹䛧䛯䛜䛳䛶䚸 䛸䛺䜚䚸O0䛿A + BF 䛾ᅛ᭷್䛷䜒䛒䜛䚹 䜒䛧䚸୙ྍไᚚ䛺䜙䜀䚸ᅛ᭷್O0䛿䝣䜱䞊䝗䝞䝑䜽⾜ิF 䛻䜘䛳䛶ኚ䛘䜛䛣䛸䛿 䛷䛝䛺䛔䛣䛸䛜ド᫂䛥䜜䛯䚹 z (༑ศᛶ䛾ド᫂) ᐇ㝿䛻ྍไᚚ䛺䜙䚸ᴟ㓄⨨䛜䛷䛝䜛䛣䛸䜢♧䛩䚹(ḟ䝨䞊䝆௨ 㝆䚸1ධຊ⣔䛾䜏) A + BF 䛾ᴟᴟ㓄⨨䛜ྍ⬟䛷䛒䜛䛯䜑䛾ᚲせ༑ศ᮲௳䛿䚸䝅䝇䝔䝮 䛜ྍไᚚ䛷䛒䜛䛣䛸䛷䛒䜛䚹 Bu Ax x 

>

0IA B

@

n rankO 0 )} ( {0 0 I ABF xT _O

ᴟ㓄⨨タィ䛾ᐇ㝿(1)

1ධຊ⣔䛾ሙྜ䛾ᴟ㓄⨨䛻䛴䛔䛶ㄝ᫂䛩䜛䚹 z 䜎䛪䚸㛢䝹䞊䝥⣔䛻㓄⨨䛧䛯䛔ᅛ᭷್O1,…,On䜢Ỵ䜑䜛䚹Ᏻᐃᛶ䜢⪃䛘䛶䚸ᐇ 㒊䜢㈇䛻䛩䜛ᚲせ䛜䛒䜛䚹཰᮰ᛶ䛾ほⅬ䛛䜙ᐇ㒊䛾⤯ᑐ್䜢኱䛝䛟ྲྀ䜚䛯䛔䛸 䛣䜝䛷䛿䛒䜛䛜䚸䛭䛖䛩䜛䛸ධຊ䛜኱䛝䛟䛺䜛䛺䛹䛾ᘢᐖ䜒ฟ䛶䛟䜛䛾䛷䚸㐺ᗘ䛻 㑅䜆䚹 z 㑅䜣䛰ᅛ᭷್䜢ඖ䛻䚸㛢䝹䞊䝥⣔䛾ᮃ䜎䛧䛔≉ᛶ᪉⛬ᘧ䜢స䜛䚹 z ไᚚᑐ㇟䜢ྍไᚚṇ‽⣔䛻ኚ᥮䛩䜛䚹 ᗙᶆኚ᥮: z = Tx ྍไᚚṇ‽⣔: 0 1 1 1 2 1)( ) ( ) (OO OO OO O E O EOE    n n n n u z z n ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ ¨ © §  » » » » ¼ º « « « « ¬ ª     1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0      D D D

ᴟ㓄⨨タィ䛾ᐇ㝿(2)

z 䝣䜱䞊䝗䝞䝑䜽(z 䛷⾲⌧) : z 㛢䝹䞊䝥⣔: z 䝣䜱䞊䝗䝞䝑䜽:





z z z z n n n n » » » » ¼ º « « « « ¬ ª      ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ ¨ © §  » » » » ¼ º « « « « ¬ ª        1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 E E E E D E D D D D         





z z F u 0 D0E0  Dn1En1 Fx x T F z F u 0 ( 0 ) 㛢䝹䞊䝥⣔䛾≉ᛶከ㡯ᘧ䛾ಀᩘ䛜䚸 ᕼᮃ䛾್䛻䛺䛳䛯䚹 F = F0T 䛜ồ䜑䜛 䝣䜱䞊䝗䝞䝑䜽ಀᩘ

䜰䝑䜹䞊䝬䞁ἲ

z ྍไᚚṇ‽ᙧ䜢⤒⏤䛩䜛᪉ἲ䛸➼౯䛾᪉ἲ= 䜰䝑䜹䞊䝬䞁ἲ (⡆༢!) z Gc䛿ྍไᚚᛶ⾜ิ z P(A)䛿䚸┠ᶆ䛾≉ᛶከ㡯ᘧ 䛻ᙧᘧⓗ䛻A䜢௦ධ䛧䛯䜒䛾䚹 z ྍไᚚṇ‽ᙧ䜢⤒⏤䛧䛺䛟䛶䜒䜘䛔䚹 ) ( ] 1 0 0 [ _G1_PA F Fx u C   0 1 1 1 ) (O O E O  EOE  n  n n P I A A A A P n n n 0 1 1 1 ) ( E   E E  

䛭䛾௚䛾᪉ἲ(1)

z 1ධຊ⣔䛷䚸B⾜ิ (1ධຊ⣔䛺䛾䛷ᐇ㝿䛿ิ䝧䜽䝖䝹)䛾㠀䝊䝻せ⣲䛜1䛴䛰䛡 䛾ሙྜ䛿䚸䛂䝣䜱䞊䝗䝞䝑䜽ಀᩘ䜢ᮍᐃᐃᩘ䛻䛧䛶䚸㡯ูẚ㍑䛃䛾᪉ἲ䛜౑䛘䜛䚹 z B⾜ิ䛾㠀䝊䝻せ⣲䛜2䛴௨ୖ䛾ሙྜ䚸ᩍ⛉᭩68䡌䛻䛿䚸ᗙᶆኚ᥮䛷䛂㠀䝊䝻 せ⣲䜢1䛴䛃䛻䛩䜛᪉ἲ䛜㍕䛳䛶䛔䜛䛜䚸䛭䜜䛩䜛䛺䜙䜰䝑䜹䞊䝬䞁ἲ䛾䜋䛖䛜 ᡭ㍍䚹 det(sI { (A + BF)) 䜢ィ⟬ F = (f1,…,fn) 䛸⨨䛟 ከ㡯ᘧ䛾ྛಀᩘ䛜fi䛾1ḟᘧ ┠ᶆ䛾ከ㡯ᘧ䛸㡯ูẚ㍑䜢䛧䛶䚸 fi䛾1ḟ᪉⛬ᘧ䜢ゎ䛟

䛭䛾௚䛾᪉ἲ(2)

z 2ධຊ௨ୖ䛾ሙྜ䛻౑䛖䚸ᮌᮧ䞉␭⏣䛾᪉ἲ䛜ᩍ⛉᭩䛾䡌69䛻㍕䛳䛶䛔䜛䚹 z 䛯䛰䛧䚸2ධຊ௨ୖ䛾ሙྜ䛿䛂ᴟ㓄⨨ἲ䛃䛷䛿䛺䛟䚸ᚋ䛷㏙䜉䜛᭱㐺䝺䜼䝳䝺䞊 䝍䛷Ᏻᐃ໬䛧䛯䜋䛖䛜Ⰻ䛔䛸ᛮ䜟䜜䜛䚹

ಀᩘ

E

䛾㑅ᢥ䛻䛴䛔䛶

z ཰᮰ᛶ䛾ほⅬ䛛䜙ᐇ㒊䛾⤯ᑐ್䜢኱䛝䛟ྲྀ䜚䛯䛔䚹 z 䛧䛛䛧䚸䛭䜜䜢኱䛝䛟䛸䜛䛸ධຊ䛜኱䛝䛟䛺䜛䛺䛹䛾ᘢᐖ䜒ฟ䛶䛟䜛䚹 z 䜎䛯䚸䝅䝇䝔䝮䛜ኚື䛧䛯ሙྜ䛾Ᏻᐃᛶ䛾ಖᣢ䛻㛵䛧䛶䜒ၥ㢟䛜ฟ䛶䛟䜛䚹(䝻 䝞䝇䝖Ᏻᐃᛶ) z 㧗ᗘ䛺ไᚚ(advanced control)ᡭἲ䛿䚸ᤵᴗ䛷ゐ䜜䜙䜜䛺䛔䛜䚸䛯䛟䛥䜣䛒䜛䚹 ཰᮰ᛶ ධຊ䛾኱䛝䛥 䝻䝞䝇䝖Ᏻᐃᛶ 䛭䜜௨እ䛾ᕼᮃ䛩䜛せ௳ ᭱㐺䝺䜼䝳䝺䞊䝍 䝻䝞䝇䝖ไᚚ 䜘䜚୍⯡໬䛥䜜䛯䝻䝞䝇䝖ไᚚ(LMI䞉BMIᡭἲ䛺䛹)