Vertex Operator Algebras Related
to Parafermion
Algebras
山田裕理
(Hiromichi YAMADA)
一橋大学
(Hitotsubashi University)
1
序
パラフェルミオン代数
(paraferinion algebra)
は、
Zamolodchikov-Fateev[13]
により共形
場理論において研究が始められた
.
一方、
Dong-Lepowsky[4]
は、
レベルが
2
以上の整数
$k$
の
$A_{1}^{(1)}$型アフィンリー代数の最高ウエイト
$0$の既約最高ウエイト加群
$L(k, 0)$
における
$Z$
-
代数が
[13]
のパラフェルミオン代数と同型であることを示し、 これにより数学において
もパラフェルミオン代数を研究する基礎ができた
. Dong-Lepowsky
はこの目的のために、
[4]
において
$Z$
-
代数の概念を拡張した一般化された頂点代数
(generalized
vertex
algebra)
を導入した
.
なお、
$Z$
-
代数は
Lepowsky-Primc
および
Lepowsky-Wilson
がアフィンリー
代数の表現論の研究のために導入したものである
.
パラフェルミオン代数の先行研究とし
ては、
このほかにも物理の論文
Gepner-Qiu[8], Gepner[7], Blumenhagen et.al[l]
などがあ
る.
数学のほうでは、
Li[12]
において
[4, Chapter 14]
のさらなる一般化が論じられている
.
$L(k, 0)$
におけるハイゼンベルグ頂点作用素代数の交換団
(commutant)
を
$If_{0}$で表
す.
これは単純な頂点作用素代数
(vertex
operator
algebra,
VOA)
である.
$li_{0}^{\nearrow}$は
Lam-Yamada[10]
により最初に考察され、 その後
Dong-Lam-Yainada[3]
により研究が進められ
た.
[3]
における予想のいくつかは、
最近
Dong-Lam-Wang-Yamada[2]
により証明された
.
Dong
$- Wang[5]$
では、
[2]
の結果を拡張して、
$A_{1}^{(1)}$型アフィンリー代数の
$L(k, 0)$
に限らず、
任意の有限次元単純リー代数
$\mathfrak{g}$のアフィンリー代数
$\hat{\mathfrak{g}}$に関する最高ウエイト
$0$の既約最
高ウエイト加群
$L_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)$の場合について同様の結果を得ている
.
本稿では、
主として
[2]
および
[5]
の結果を紹介する
.
第
2
節で
$A_{1}^{(1)}$型アフィンリー代
数の場合
[2]
を説明し、 第
3
節で
$\hat{\mathfrak{g}}$の場合
[5]
を説明する
.
詳細につては、 これらの論文
を参照してください
.
2
Parafermion VOA:
$sl_{2}$
-case
$k\geq 2$
を整数とする
.
$A_{1}^{(1)}$型アフィンリー代数
$\hat{sl}_{2}$のレベル
$k$の一般
Verina
加祥
$V(k, 0)=V_{\hat{sl}_{2}}(k, 0)$
を
$\yen$える.
$\{h, e, f\}$
を
$sl_{2}$の標準的な基底とする.
すなわち、
$[h, e]=2e$
,
$[h, f]=-2f,$
$[e, f]=h$
である
. また、 非退化不変対称形式
$\langle\cdot,$ $\cdot\}$について、
$\langle h,$$h\rangle=2$
,
$\langle e,$
$f\rangle=1,$
$\langle h,$$e\rangle=\langle h,$$f)=\langle e,$
$e\rangle=\langle f,$$f)=0$
である.
$A_{1}^{(1)}$型アフィンリー代数
$\hat{sl}_{2}=sl_{2}\otimes \mathbb{C}[t, t^{-1}]\oplus \mathbb{C}C$
における括弧積は、
$[a\otimes t^{m}, b\otimes t^{n}]=[a, b]\otimes t^{m+n}+m\langle a,$
$b\rangle\delta_{m+n,0}C$
,
(2.1)
で与えられる
.
$\hat{sl}_{2}$の部分リー代数
$\hat{\mathfrak{h}}_{Z}=(\oplus_{n\neq 0}\mathbb{C}h\otimes t^{n})\oplus \mathbb{C}C$
(2.2)
は、
ハイゼンベルグ代数である
.
$\hat{\mathfrak{h}}_{Z}$に
$\mathbb{C}h\otimes t^{0}$を付け加えたものを
$\hat{\mathfrak{h}}$で表す
.
$\hat{\mathfrak{h}}=h\otimes \mathbb{C}[t, t^{-1}]\oplus \mathbb{C}C$
.
(2.3)
これも
$\hat{sl}_{2}$の部分リー代数である
.
$\hat{sl}_{2}$
の部分リー代数
$sl_{2}\otimes \mathbb{C}[t]\oplus \mathbb{C}C$の
1
次元加群であって、
$sl_{2}\otimes \mathbb{C}[t]$は
$0$として
作用し、
$C$
は
$k$として作用するものを
$\mathbb{C}_{k}$で表す
.
$\hat{sl}_{2}$のレベル
$k$の一般
Verma
加群
$V(k, 0)=V_{\hat{sl}_{2}}(k, 0)$
は、 これを
$\hat{sl}_{2^{-}}\ovalbox{\tt\small REJECT} D$群に誘導したものである
.
$V_{\hat{sl}_{2}}(k, 0)=U(\hat{sl}_{2})\otimes_{U\langle s1_{2}\otimes C[t]\oplus \mathbb{C}C)}\mathbb{C}_{k}$
.
(2.4)
$1=1\otimes 1$
とおく
.
$a\otimes t^{n}$の $V(k, 0)$
への作用により引き起こされる
$V(k, 0)$
の線型作
用素を
$a(n)$
で表す
.
$a(n);a\in\{h, e, f\},$
$n\in \mathbb{Z}$は次の条件をみたす
.
$a(n)1=0$
for
$n\geq 0$
,
(2.5)
$[a(m), b(n)]=[a, b](m+n)+m\langle a,$
$b\rangle\delta_{m+n,0}k$.
Poincar\’e-Birkhoff-Witt
により、
$h(-i_{1})\cdots h(-i_{p})e(-m_{1})\cdots e(-m_{q})f(-n_{1})\cdots f(-n_{r})1$
,
(2.6)
$i_{1}\geq\cdots\geq i_{p}\geq 1,$
$m_{1}\geq\cdots\geq m_{q}\geq 1,$
$n_{1}\geq\cdots\geq n_{r}\geq 1,$
$p,$
$q,$
$r\geq 0$
は
$V(k, 0)$
の基底
になる.
$v\in V(k, 0)$
をひとつとると、
$a\in\{h, e, f\}$
について
$a(n)v=0$
for
$n>>0$
(2.7)
が成り立つことが
(2.5)
よりわかる.
$u\in V(k, 0)$
に対して、 頂点作用素
$Y(u, x)\in$
$($End
$V(k,$
$0))[[x, x^{-1}]]$
を次のように定義
する.
まず最初に、
$a\in\{h,$
$e,$
$f\}$
に対して
$a(x)= \sum_{n\in Z}a(n)x^{-n-1}$
とおく
.
$v\in V(k, 0)$
を任意にひとつとる
.
(2.7)
により
$a(x)v\in V(k, 0)((x))$
である
.
次に、
$a,$
$b\in\{h, e, f\},$
$n\in \mathbb{Z}$について、
$a(x)_{n}b(x)\in$
$($End
$V(k,$
$0))[[x, x^{-1}]]$
を
$a(x)_{n}b(x)={\rm Res}_{x_{1}}((x_{1}-x)^{n}a(x_{1})b(x)-(-x+x_{1})^{n}b(x)a(x_{1}))$
(2.8)
により定義する
.
この右辺の
$v\in V(k, 0)$
への作用は
であるが、 各
$m\in \mathbb{Z}$について、 これの
$x^{m}$の係数は
(2.7)
により
$V(k, 0)$
の元の有限個
の和として定まる
.
この意味で、
$a(x)_{n}b(x)$
は
$($End
$V(k,$ $0))[[x, x^{-1}]]$
の元として定まっ
ている.
また、
$a(x)_{n}b(x)v$
には
$x$の負ベキの項は有限個しか現れないこと、
すなわち
$a(x)_{n}b(x)v\in V(k, 0)((x))$
であることに注意する
.
$a^{i}\in\{h, e, f\},$
$n_{i}\in \mathbb{Z}$について、
$Y(a^{1}(n_{1})\cdots a^{r}(n_{r})1, x)=a^{1}(x)_{n_{1}}\cdots a^{r}(x)_{n_{r}}1$
(2.9)
とおく.
上で述べたことにより、
これが
$($End
$V(k,$
$0))[[x, x^{-1}]]$
の元として定まること、
ま
た
$v\in V(k, 0)$
に対して
$Y(a^{1}(n_{1})\cdots a^{r}(n_{r})1, x)v\in V(k, 0)((x))$
であることがわかる.
般の
$u\in V(k, 0)$
については、
$u$
を
(2.6) の形の元の線型結合で表し、
$Y(u, x)$
が
$u$
に関し
て線型になるように
$Y(u, x)$
を定義する
.
$Y(u, x)$
の
$x^{-n-1}$
の係数を
$u_{n}$で表す
.
$u_{n}\in$
End
$V(k, 0)$
で、
$Y(u, x)= \sum_{n\in Z}u_{n}x^{-n-1}$
である.
(2.9)
の特別な場合として
$Y(1, x)=1$
、すなわち
$1_{n}=\delta_{n,-1}1(1$
は
$V(k, 0)$
の恒
等写像)、
および
$a\in\{h, e, f\}$
について
$(a(-1)1)_{n}=a(n)$
であることに注意する.
(2.5),
(2.8), (2.9)
により、
任意に与えられた
$u,$
$v\in V(k, 0)$
について、
原理的には
$u_{n}v$
を
(2.6)
の形の元の線型結合として表すことができる
.
$\omega_{aH}\cdot=\frac{1}{2(k+2)}(\frac{1}{2}h(-1)^{2}1+e(-1)f(-1)1+f(-1)e(-1)1)$
(2.10)
$= \frac{1}{2(k+2)}(-h(-2)1+\frac{1}{2}h(-1)^{2}1+2e(-1)f(-1)1)$
とおく.
$(V(k, 0), Y, 1, \omega_{aff})$
は
1
を真空ベクトル、
$\omega_{aff}$を共形ベクトルとする頂点作用素
代数である
(cf.
[6, 11]).
これは
$A_{1}^{(1)}$型の
(
あるいは
$\hat{sl}_{2}$に付随する
)
アフィン頂点作用素
代数と呼ばれ、 その中心電荷は
$3k/(k+2)$ である.
$Y(\omega_{aH}, x)$
の
$X^{-2}$の係数
$(\omega_{afi}\cdot)_{1}$は、
$V(k, 0)$
に半単純に作用する
.
$v$が
$(\omega_{aff})_{1}$の固有ベ
クトルのとき、 その固有値を
$?$)
のウエイトと呼び、
wt
$v$で表す
. (2.6)
の形の元は
$(\omega_{aff})_{1}$の固有ベクトルで、
そのウエイトは
$i_{1}+\cdots+i_{p}+m_{1}+\cdots+m_{q}+n_{1}+\cdots+n_{r}$
(2.11)
である
.
零ベクトルのウエイトは任意と考えると、
ウエイトが
$m$
のベクトル全部の集合
$V(k, 0)_{(m)}$
は部分空間になる.
(2.11)
からわかるように、
$m<0$
のとき
$V(k, 0)_{(m)}=0$
で、
$V(k, 0)_{(0)}=\mathbb{C}1$
は
1
次元、
$V(k, 0)_{(1)}$
は
$h(-1)1,$
$e(-1)1,$
$f(-1)1$ で張られる
3
次元の部
分空間である
.
ここでは
$k$を
2
以上の整数としたが、一般
Verma
加群
$V(k, 0)$
および頂点作用素
$Y(u, x)$
は
$k$が任意の複素数の場合に定義できる.
また、
$k\neq-2$
であれば
(2.10)
の
$\omega_{aff}$も定義で
きて、
$(V(k, 0), Y, 1_{\}}\omega_{aff})$
は頂点作用素代数になる
.
$k$が正の整数のとき
$V(k, 0)$
は単純
な頂点作用素代数ではなく、
唯一つの極大イデアル
$\mathcal{J}$を持つこと、 および
$\mathcal{J}$がひとつ
の元
$e(-1)^{k+1}1$
で生成されることが知られている
(cf.
[9]).
$L(k, 0)=V(k, 0)/\mathcal{J}$
とおく
.
これは、
$A_{1}^{(1)}$型の単純アフィン頂点作用素代数と呼ばれ、
中心電荷は同じく
$3k/(k+2)$
で
ある
.
$L(k, 0)$
の頂点作用素、 真空ベクトル、
共形ベクトルは、
$V(k, 0)$
のものと同じ記号
を用いてそれぞれ
$Y,$
$1,$
$\omega_{aff}$で表す.
この記法によれば、
$u\in L(k, 0)$
に対して
$Y(u, x)=$
$\sum_{n\in Z}u_{n}x^{-n-1}\in$
$($End
$L(k,$
$0))[[x, x^{-1}]]$
である.
リー代数
$sl_{2}$の位数 2 の自己同型
$h\mapsto-h$
,
$e\mapsto f$
,
$f\mapsto e$
から引き起こされる頂点作用素代数
$V(k, 0)$
の位数 2 の自己同型を
$\sigma$で表す. 極大イデア
ル
$\mathcal{J}$は
$\sigma$で不変だから、
$\sigma$は
$L(k, 0)$
の位数
2
の自己同型を引き起こすが、 この自己同
型も同じ
$\sigma$で表すことにする.
(2.5)
により、
(2.6)
の形の元は
$h(O)$
の固有値
$2(q-r)$
の固有ベクトルである
.
したがっ
て、
$h(O)$
の固有値
$\lambda$に属する固有空間を
$V(k, 0)(\lambda)=\{v\in V(k, 0)|h(0)v=\lambda v\}$
(2.12)
とおくと、
$V(k, 0)$ の
$h(O)$
に関する固有空間分解
$V(k, 0)=\oplus_{\lambda\in 2Z}V(k, 0)(\lambda)$
(2.13)
が得られる
.
$\lambda=0$
のときの
$V(k, 0)(0)$
は部分頂点作用素代数で、
$h(-i_{1})\cdots h(-i_{p})e(-m_{1})\cdots e(-m_{q})f(-n_{1})\cdots f(-n_{q})1$
,
(2.14)
$i_{1}\geq\cdots\geq i_{p}\geq 1,$
$m_{1}\geq\cdots\geq m_{q}\geq 1,$
$n_{1}\geq\cdots\geq n_{q}\geq 1,$
$P,$
$q\geq 0$
はその基底になる
.
任意の
$\lambda\in 2\mathbb{Z}$について、
$V(k, 0)(\lambda)$
は
$V(k, 0)(0)$
-
加群である
.
$V(k, 0)(0)$
の生成系について、 次のことが成り立つ
(cf.
[2,
Theorem 2.1]).
定理
2.1
頂点作川素代数
$V(k, 0)(0)$
は $h(-)1$ と
$f(-2)e(-1)1$
で生成される
.
この定理の証明の詳細は
[2]
を参照していただくことにして、 ここでは証明の方針を説
明する
. (2.14)
の形の元全体は
$V(k, 0)(0)$
の基底であるが、
これを少し変形した
$h(-i_{1})\cdots h(-i_{p})f(-m_{1})e(-n_{1})\cdots f(-rn_{q})e(-n_{q})1$
,
(2.15)
$i_{1}\geq\cdots\geq i_{p}\geq 1,$
$m_{1}\geq\cdots\geq m_{q}\geq 1,$
$n_{1}\geq\cdots\geq n_{q}\geq 1,$
$p,$
$q\geq 0$
の全体により
$V(k, 0)(0)$
が張られることに注意する.
$h(-)1$
と
$f(-2)e(-1)1$
で生成される部分頂点作
用素代数を
$U$
とおく.
$U$
が
(2.15)
の形の元をすべて含むことを示せばよい
.
$(h(-1)1)_{n}=h(n)$
だから、
$v\in U$
ならば
$h(-i_{1})\cdots h(-i_{p})v\in U$
である
.
したがって、
(2.15)
の形の元が
$U$
に含まれることを示すためには、
$f(-m_{1})e(-n_{1})\cdots f(-m_{q})e(-n_{q})1$
の部分が
$U$
に含まれることを示せば十分である
.
次の
2
つのステップに分けて証明する
.
Step
1.
すべての
$m,$
$n>0$
について
$f(-m)e(-n)1\in U$
であることを証明する
.
すべての
$n\geq 2$
とすべての
$1\leq i\leq n-1$
について
$f(-n+i)e(-i)1\in U$
であること
を
$n$
に関する帰納法で示せばよい.
(2.5)
により、
となるので、
$f(-1)e(-1)1\in U$
がわかる
. よって、 $n=2$ のときは主張は成り立つ
.
こ
のことと
$e(-1)f(-1)1=h(-2)1+f(-1)e(-1)1$
より、
$\omega_{aff}\in U$
もわかる
.
$L_{aff}(n)=(\omega_{afi}\cdot)_{n+1}$
とおく
.
すなわち、
$Y( \omega_{aff}, x)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}L_{aff}(n)x^{-n-2}$
である
.
頂点作
用素代数における公式
$[L_{aff}(m),$
$a(n)]=-na(m+n)$
for
$a\in\{h,$
$e,$
$f\},$
$m,$
$n\in \mathbb{Z}$および
$L_{aff}(-1)1=0$
により、 任意の
$m,$
$i\in Z$
について
$L_{aff}(-1)f(-m+i)e(-i)1=(m-i)f(-m-1+i)e(-i)1+if(-m+i)e(-i-1)1(2.16)$
が成り立つ. 特に、
$L_{aff}(-1)f(-1)e(-1)1=f(-2)e(-1)1+f(-1)e(-2)1$
$($2.17
$)$である
.
よって
$f(-1)e(-2)1\in U$
がわかる
. 以上により、
$n=3,1\leq i\leq n-1$
につい
て
$f(-n+i)e(-i)1\in U$
であることがわかった
.
$n\geq 3$
とし、
$2\leq m\leq n$
と
$1\leq i\leq m-1$
については
$f(-m+i)e(-i)1\in U$
がわかっ
ていると仮定する
.
$1\leq i\leq n$
について
$f(-n-1-i)e(-i)\in U$
であることを示す
. 頂点
作用素代数の公式
$(u_{l}v)_{m}= \sum_{j\geq 0}(-1)^{j}(\begin{array}{l}lj\end{array})u_{l-j}v_{m+j}-\sum_{j\geq 0}(-1)^{l+j}(\begin{array}{l}lj\end{array})v_{m+l-j}u_{j}$
(2.18)
を
$(f(-2)e(-1)1)_{1}=((f(-1)1)_{-2}e(-1)1)_{1}$
に適用すると、
$(f(-2)e(-1)1)_{1}= \sum_{j\geq 0}(j+1)f(-2-j)e(1+j)-\sum_{j\geq 0}(j+1)e(-1-j)f(j)$
.
となる
.
これを用いると、
帰納法の仮定から
$(f(-2)e(-1)1)_{1}f(-n+1)e(-1)1$
$=((n-1)(nk+n+k+2)+2)f(-n)e(-1)1$
-2
$(k+1)L_{aff}(-1)f(-n+1)e(-1)1+u$
.
をみたす
$u\in U$
が存在することがわかり、
$f(-n)e(-1)1\in U$
が得られる
. (2.16) を適用
すると
$n$
に関する帰納法が完了し、
すべての
$m,$
$n>0$
について
$f(-m)e(-n)1\in U$
で
あることがわかる
.
Step 2.
(2.15)
の形の元のうち
$q\leq r$
をみたすもの全体で張られる
$V(k, 0)(0)$
の部分空
間を
$V(r)$
で表す
.
すべての
$r\geq 1$
について
$V(r)\subset U$
であることを
$r$に関する帰納法
で証明する.
Stepl
により、
$V(1)\subset U$
である
.
$V(r)\subset U$
と仮定して
$V(r+1)\subset U$
を示すことに
する.
(2.18)
により、
与えられた
$m,$ $n\geq 0$
について適当な定数
$c_{i},$$d_{i}$を用いて
$(f(-m-1)e(-n-1)1)_{-1}$
$=f(-m-1)e(-n-1)$
(2.19)
と表すことができる
.
$w=f(-m_{1})e(-n_{1})\cdots f(-m_{r})e(-n_{r})1\in V(r)$
とおく.
(2.5)
より、
$i\geq 0$
ならば
$f(-m-n-2-i)e(i)w$
および
$e(-m-n-2-i)f(i)w$
は
$V(r)$
に含まれ
ることがわかる
.
$f(-m-1)e(-n-1)1$
も
$w$
も
$V$
(r).
に含まれるので、
(2.19)
と帰納法
の仮定より
$f(-m-1)e(-n-1)w\in U$
が得られる
.
$m,$ $n\geq 0$
は任意だから、
これより
$V(r+1)\subset U$
となり
$r$に関する帰納法が完了する
.
以上で定理
2.1
が証明された
.
注意
22
上記の定理において、
$f(-2)e(-1)1$
は
$e(-2)f(-1)1-e(-1)f(-2)1$
で置き換え
てもよい.
すなわち、頂点作用素代数
$V(k, 0)(0)$
は
$h(-1)1$ と
$e(-2)f(-1)1-e(-1)f(-2)1$
でも生成される
. 位数
2
の自己同型
$\sigma$により、
$h(-)1$ も
$e(-2)f(-1)1-e(-1)f(-2)1$
もともに
$-1$
倍されるので、 自己同型
$\sigma$との関係でいえば
$h(-1)1$ と
$e(-2)f(-1)1-$
$e(-1)f(-2)1$
を生成系として考えるのが適切である
(cf.
[2,
Remark
2.2]).
$h(-1)1$
で生成される
$V(k, 0)$
の部分頂点作用素代数を
$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0)$で表す
.
$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0)=$
span
$\{h(-i_{1})\cdots h(-i_{p})1;i_{1}\geq\cdots.\geq i_{p}\geq 1, p\geq 0\}$
である.
$\omega_{\gamma}=\frac{1}{4k}h(-1)^{2}1$
(2.20)
とおくと、
$(M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0), Y, 1, \omega_{\gamma})$は 1 を真空ベクトル、
$\omega_{\gamma}$を共形ベクトルとする中心電荷
1
の頂点作用素代数になる
.
これはレベル
$k$のハイゼンベルグ頂点作用素代数である
.
$\lambda$
を最高ウエイトとする
$\hat{\mathfrak{h}}$の既約最高ウエイト加群
$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, \lambda)$は、
既約な
$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0)$-
加
群でもある
.
$V(k, 0)(\lambda)$
は
$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0)$-加群として完全可約で、
$\Lambda’I_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, \lambda)$の直和に分解され
る.
より詳しく、
$N_{\lambda}=\{v\in V(k, 0)|h(m)v=\lambda\delta_{m,0}v, m\geq 0\}$
とおくと、
$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0)$-
加群として
$V(k, 0)(\lambda)=M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, \lambda)\otimes N_{\lambda}$
(2.21)
である
.
これと
$($2.13
$)$を合わせると、
$V(k, 0)=\oplus_{\lambda\in 2\mathbb{Z}}]|l_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, \lambda)\otimes N_{\lambda}$
(2.22)
という
$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0)$-
加群としての直和分解が得られる
.
$\lambda=0$
のときは
$V(k, 0)(0)=M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0)\otimes N_{0}$
で、
$N_{0}=\{v\in V(k, 0)|h(m)v=0, m\geq 0\}$
は
$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0)$の $V(k, 0)$
における交換団
(commutant)
に他ならない
.
$(No, Y, 1, \omega)$
は
1
を
真空ベクトル、
$\omega=\omega_{aff}-\omega_{\gamma}$
$= \frac{1}{2k(k+2)}(-kh(-2)1-h(-1)^{2}1+2ke(-1)f(-1)1)$
(223)
を共形ベクトルとする中心電荷
$3k/(k+2)-1=2(k-1)/(k+2)$
の頂点作用素代数であ
$N_{0}$
におけるウエイトについて、 一言注意する.
$N_{0}$の共形ベクトルは
$\omega$だから、
作用
素
$\omega_{1}$に関する固有値が
$N_{0}$の元のウエイトである. 一方、
$v\in N_{0}$
については
$(\omega_{\gamma})_{1}v=0$
だから、
$\omega_{1}v=(\omega_{aff})_{1}v$
となる
.
よって、
$v$を
$V(k, 0)$
の元として考えたウエイトと
$N_{0}$の
元としてのウエイトは一致する
.
これまでに出てきた部分頂点作用素代数
$V(k, 0)(0),$
$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0),$ $N_{0}$はいずれも
$V(k, 0)$
の位数
2
の自己同型
$\sigma$により不変であり、
$\sigma$をこれらに制限したものは部分頂点作用素
代数の位数
2
の自己同型である
.
$V(k, 0)$
におけるハイゼンベルグ代数
$\hat{\mathfrak{h}}_{\mathbb{Z}}$の真空空間
(vacuum space)
を
$\Omega_{V(k,0)}$とおく
.
$\Omega_{V(k,0)}=\{v\in V(k,$
$0)|h(n)v=0,$
$n\geq 1\}$
$($2.24
$)$である
.
$\hat{\mathfrak{h}}$の既約最高ウエイト加群
$l|/I_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, \lambda)$の最高ウエイトベクトルを
$v_{\lambda}$
で表すと、
No
$\sim$加群として
$\Omega_{V(k_{I}0)}=\oplus_{\lambda\in 2\mathbb{Z}}v_{\lambda}\otimes N_{\lambda}$
と直和分解される
.
また、
$v_{\lambda}\otimes N_{\lambda}=\{v\in\Omega_{V(k)0)}|h(0)v=\lambda v\}$
は、
$\Omega_{V(k,0)}$における
$h(O)$
の固有値
$\lambda$の固有空間である
.
ウエイト
3
の
$N_{0}$の元
$W^{3}$
を導入する
.
$W^{3}=k^{2}h(-3)1+3kh(-2)h(-1)1+2f\iota(-1)^{3}1-6kh(-1)e(-1)f(-1)1$
$($2.25
$)$$+3k^{2}e(-2)f\cdot(-1)1-3k^{2}e(-1)f(-2)1$
.
定理
2.1
を用いると、
$N_{0}$の生成系が次のようにわかる
(cf.
[2, Theorem 3.1]).
定理
23
頂点作用素代数
$N_{0}$は
$\omega$と
$W^{3}$
で生成される.
この定理の証明のポイントは、
$V(k, 0)(0)$
が
$h(-1)1,$
$\omega,$$W^{3}$
で頂点作川素代数として
生成されることである
.
このこと自体は、
定理 2.1 から容易に証明できる.
これに注意す
ると、
$V(k, 0)(0)=i\mathcal{V}I_{1)}\wedge(k, 0)\otimes N_{0}$
であること、 および
]
$|/I_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0)$が
$h(-1)1$
で生成される
こと、
$\omega$と
$I/T^{\gamma 3}$が
$N_{0}$に含まれることから定理
3. 1
が証明できる
.
$N_{0}$
は
$\omega$と
$T/V^{3}$で生成される頂点作用素代数であるが、
$N_{0}$の元を適切に表示するには
$\omega$
と
$W^{3}$
のほかにウエイト
4
の元
$W^{4}$
とウエイト
5
の元
$W^{5}$
を用いる必要がある
.
実
際、
$N_{0}$の任意の元は、
$\omega_{-i_{1}}\cdots\omega_{-i_{\rho}}W_{-j_{1}}^{3}\cdots W_{-j_{q}}^{3}W_{-m_{1}}^{4}$
.
. .
$W_{-m_{r}}^{4}W_{-n_{1}}^{5}$.
.
.
$W_{-n_{s}}^{o}1\ulcorner$,
(2.26)
$i_{1}\geq\cdots\geq i_{p}\geq 1_{\dot{J}}j_{1}\geq\cdots\geq j_{q}\geq 1_{\dot{4}}m.J\geq\cdots\geq m_{r}\geq 1,$
$n_{1}\geq\cdots\geq n_{s}\geq 1$
の線型
結合として表すことができる
(cf.
[3,
Lemma
2.4]).
すなわち、
$\omega,$$W^{3},$
$W^{4},$
$W^{5}$
は
$N_{0}$の
strong
generators
である.
$\omega_{2}v=\omega_{3}v=0$
をみたす元
$v$は共形ベクトル
$\omega$に関するプライマリーと呼ばれるが、
$M^{r3}’.,$ $I/V^{4},$ $VV^{5}$はそれぞれ
$N_{0}$におけるウエイト
3,
4,
5
の
$\omega$に関するプライマリーであ
り、
この性質を持っベクトルとして定数倍を除いて一意的に定まる
(cf.
[1, 3]).
群の生成系と基本関係に対応するものは、
頂点作用素代数では生成系と作用素積展開
(operator
product expansion, OPE)
である
.
$\omega,$$W^{3},$
$W^{4},$
$W^{5}$に関する作用素積展開は
[1,
3]
で計算されている
. (2.26)
はこの作用素積展開からわかる
.
定理
2.2
により、
$N_{0}$は
[1]
において
$W(2,3,4,5)$ と表される頂点作用素代数に一致する
ことがわかる
.
$N_{0}$の指標は
ch
$N_{0}= \frac{\phi_{0}(q)-q\phi_{1}(q)}{\prod_{n\geq 1}(1-q^{n})^{2}}$$=1+q^{2}+2q^{3}+4q^{4}+6q^{5}+11q^{6}+16q^{7}+27q^{8}+40q^{9}+\cdot\cdot\cdot$
である
.
ここで
$\phi_{m}(q)=\sum_{r\geq 0}(-1)^{r}q^{\frac{r(r+1)}{2}+mr}$
である
(cf.
[1, (2.1.8)]).
ここまでは
$V(k, 0)$
の中で議論してきた
.
次に、
$V(k, 0)$
の唯一つの極大イデアル
$\mathcal{J}$お
よび
$\mathcal{J}$による剰余代数
$L(k, 0)=V(k, 0)/\mathcal{J}$
を考える
.
$\mathcal{J}$はハイゼンベルグ頂点作用素
代数
$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0)$の加群として完全可約で、
(2.22)
により
$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k$,
0
$)\sim$加群として
$\mathcal{J}=\oplus_{\lambda\in 2\mathbb{Z}}A’I_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, \lambda)\otimes(\mathcal{J}\cap N_{\lambda})$
という直和分解が得られる
.
$\Lambda l_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0)\cap \mathcal{J}=0$だから、
$\wedge/I_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0)arrow L(k, 0)$である
.
これ
により
$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0)$を
$L(k, 0)$
の部分代数と見なすことができる.
$I_{\lambda}’\{=\{v\in L(k, 0)|h(m)v=\lambda\delta_{m,0}v, rr\iota\geq 0\}$
とおくと、
$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0)$-
加群として
$L(k, 0)=\oplus_{\lambda\in 2\mathbb{Z}}\Lambda’I_{1)}\wedge(k, \lambda)\otimes K_{\lambda}$
(2.27)
となる
.
$\mathcal{I}=\mathcal{J}\cap N_{0}$とおく
.
[3,
Lemma 3.1]
により
$\mathcal{I}$は
$N_{0}$の唯一つの極大イデアル
で、
$K_{0}\cong N_{0}/\mathcal{I}$である
.
$It_{0}’$は、
パラフェルミオン頂点作用素代数
(parafermion VOA)
と呼ばれる単純な頂点作用素代数である
.
任意の
$\lambda\in 2\mathbb{Z}$について、
$Ii_{\lambda}’$は既約
$IC_{0}$-
加群
である
.
$V(k, 0)$
のときの
(2.24)
と同様に
$\Omega_{L(k,0)}=\{v\in L(k,$
$0)|h(n)v=0,$
$n\geq 1\}$
$($2.28
$)$とおく
.
これは
$L(k, 0)$
におけるハイゼンベルグ代数
$\hat{\mathfrak{h}}_{\mathbb{Z}}$の真空空間で、
$I\zeta_{0}$-
加群として
$\zeta l_{L(k,0)}=\oplus_{\lambda\in 2\mathbb{Z}}v_{\lambda}\otimes K_{\lambda}$
と直和分解される
.
$\omega_{af\dagger},$ $\omega_{\gamma},$ $\omega,$
$W^{3}\in V(k, 0)$
の
$L(k, 0)=V(k, 0)/\mathcal{J}$
における像を、 同じ記号で表すこと
にする.
定理
23
により、 次の定理が得られる
(cf.
$[2_{\dot{s}}$Theorem 4.1]).
定理
24
パラフェルミオン頂点作用素代数
$K_{0}$は
$\omega$と
$\nu \mathfrak{s}^{\gamma 3}$$K_{0}\cong N_{0}/\mathcal{I}$
だから、
$K_{0}$の性質を知るには
$\mathcal{I}$を調べる必要がある
.
$\mathcal{I}$の基本的な性質
に関して次の定理がある
(cf.
[2,
Theorem
4.2]).
定理
25 (1)
No
の唯一つの極大イデアル
$\mathcal{I}$は
$f(0)^{k+1}e(-1)^{k+1}1$
で生成される
.
(2)
$\sigma(f(0)^{k+1}e(-1)^{k+1}1)=(-1)^{k+1}f(0)^{k+1}e(-1)^{k+1}1$
.
この定理はリー代数
$sl_{2}$の有限次元表現の理論を用いて証明する
.
詳細は
[2]
に譲る
が、
概略は以下のとおりである
.
$a\in\{h, e, f\}$
について、
$a(O)$
は
$V(k, 0)$
および
$N_{0}$の
各ウエイト空間の線型変換を引き起こし、 それにより各ウエイト空間は有限次元の半単
純な
$sl_{2}$功田洋になる.
$f(0)^{k+1}e(-1)^{k+1}1\in N_{0}$
であること、
$V(k, 0)$
の極大イデアル
$\mathcal{J}$が
$f(0)^{k+1}e(-1)^{k+1}1$
でも生成されること、
さらに
(2.22)
において
$u\in i\backslash /I_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, \lambda)\otimes N_{\lambda}$
,
$v\in M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k,$$0)\otimes N_{0}$
であればすべての
$n\in \mathbb{Z}$について
$u_{n}v\in M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k,$ $\lambda)\otimes N_{\lambda}$
であることか
ら、
(1)
が証明できる
.
任意の正の整数
$i$について、
$e(-1)^{i}1$
は
$sl_{2}$の作用に関して最高ウエイト
$2i$
の最高ウ
エイトベクトルであること、
同様に
$f(-1)^{i}1$
は最低ウエイトー
$2i$
の最低ウエイトベクト
ルであることに注意すると、
$sl_{2}$の有限次元表現の理論により
$e(0)^{i}f(-1)^{i}=(-1)^{i}f(0)^{i}e(-1)^{i}1$
がわかる
.
$i=k+1$
の場合が
(2)
の主張である
.
3
Parafermion
VOA:
general
case
$\mathfrak{g}$
をランク
$l$の有限次元単純リー代数とする.
この節では、
前節の
$sl_{2}$の場合の議論を
$\mathfrak{g}$に置き換えて考える
.
この節でも整数
$k\geq 2$
を固定しておく
.
$\mathfrak{h}$を
$\mathfrak{g}$のカルタン部分代数、
$\triangle$
を
$\mathfrak{h}$に関するルート系、
$\triangle_{+}$を正ルートの集合、
$Q$
を
ルート格子とする
.
$\langle\cdot,$ $\cdot\rangle$は非退化不変対称形式で、
長ルート
$\alpha$に対して
$\langle\alpha,$ $\alpha\rangle=2$と
なるように正規化しておく
.
$\alpha\in \mathfrak{h}^{*},$ $h\in \mathfrak{h}$に対して、
$\alpha(h)=\langle t_{\alpha},$ $h\}$となるように
$t_{\alpha}\in \mathfrak{h}$
を定める
.
$\{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{l}\}$を単純ルートの集合、
$\theta$を最高ルートとする
.
$\alpha\in\triangle$のルート空
間を
$\mathfrak{g}_{\alpha}$とおく.
$\alpha\in\triangle_{+}$に対して、
$h_{\alpha}= \frac{2}{\langle\alpha,\alpha\rangle}t_{\alpha}$
とおく.
$X\pm\alpha\in \mathfrak{g}\pm\alpha$を、
$[x_{\alpha}, x_{-\alpha}]=h_{\alpha}$,
$[h_{\alpha’\pm\alpha}x|=\pm 2x_{\pm\alpha}$
をみたすように選ぶ
.
$\langle\cdot,$ $\cdot\rangle$について、
$\langle h_{\alpha},$$h_{\alpha} \}=2\frac{\langle\theta,\theta\rangle}{\langle\alpha_{1}\alpha\rangle},$ $\langle x_{\alpha},$$x_{-\alpha}\rangle=$$\frac{\langle\theta,\theta\rangle}{\langle\alpha_{\gamma}\alpha\rangle}$
が成り立つ
.
$\mathfrak{g}^{\alpha}=\mathbb{C}x_{\alpha}+\mathbb{C}h_{\alpha}+\mathbb{C}x_{-\alpha}$とおく
.
$\mathfrak{g}^{\alpha}$は
$sl_{2}$と同型な
$\mathfrak{g}$
の部分りー代
数である
.
$\mathfrak{g}$
のアフィンリー代数
$\hat{\mathfrak{g}}=\mathfrak{g}\otimes \mathbb{C}[t, t^{-1}]\oplus \mathbb{C}C$
における括弧積は
(2.1)
と同じである.
$\hat{\mathfrak{g}}$の部分リー代数
$\hat{\mathfrak{h}}_{\mathbb{Z}}=(\oplus_{n\neq 0}\mathfrak{h}\otimes t^{n})\oplus \mathbb{C}C$
,
(3.1)
$\hat{\mathfrak{h}}=\mathfrak{h}\otimes \mathbb{C}[t, t^{-1}]\oplus \mathbb{C}C$
(3.2)
$\mathfrak{g}\otimes \mathbb{C}[t]\oplus \mathbb{C}C$
の
1
次元加群で、
$\mathfrak{g}\otimes \mathbb{C}[t]$は
$0$として作用し
$C$
は
$k$として作用するも
のを
$\mathbb{C}_{k}$で表す
.
これを
$\hat{\mathfrak{g}}$-加群に誘導したものを
$V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)$
で表す.
$V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)=U(\hat{\mathfrak{g}})\otimes_{U(\mathfrak{g}\otimes \mathbb{C}[t]\oplus \mathbb{C}C)}\mathbb{C}_{k}$
.
(3.3)
第 2 節と同様に、
$1=1\otimes 1$
とおき、
$a\otimes t^{n}$の
$V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)$への作川により引き起こされる
$V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)$の線型作用素を
$a(n)$
で表す
.
$u\in V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)$に対して、
頂点作用素
$Y(u, x)$
を
(2.8)
および
(2.9)
と同じ式で定義する
.
また、
(2.10)
に替えて
$\omega_{aff}=\frac{1}{2(k+h^{\vee})}(\sum_{i=1}^{l}h_{i}(-1)^{2}1+\sum_{\alpha\in\Delta}\frac{\langle\alpha,\alpha\rangle}{\langle\theta,\theta\}}x_{\alpha}(-1)x_{-\alpha}(-1)1)$
(3.4)
とおくと、
$(V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0), Y, 1, \omega_{aff})$は 1 を真空ベクトル、
$\omega_{aff}$を共形ベクトルとする中心電
荷
kdim
$\mathfrak{g}/(k+h^{\vee})$
の頂点作用素代数になる
(cf.
[6, 11]).
ただし
$h^{\vee}$は
$\mathfrak{g}$
の双対コクセ
タ数を表し、
$\{h_{1}, \ldots, h_{l}\}$
は
$\mathfrak{h}$の
$\langle\cdot,$ $\cdot\rangle$に関する正規直交基底である
.
$\lambda\in \mathfrak{h}^{*}$
について
$V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)(\lambda)=\{v\in V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k,$
$0)|h(0)v=\lambda(h)v,$
$h\in \mathfrak{h}\}$ $($3.5
$)$とおくと、
$V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)=\oplus_{\lambda\in Q}V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)(\lambda)$
(3.6)
という直和分解が得られる
.
これらは
$sl_{2}$のときの
(2.12)
および
(2.13)
に対応するもので
ある
.
$\lambda=0$
のときの
$V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)(0)$は部分頂点作用素代数で、
$V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)(\lambda)$は
$V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)(0)$-
加
群である
.
リー代数
$\mathfrak{g}$の任意の自己同型
$\sigma$は、
1 を固定し
$x(n)$
$($ただし
$x\in \mathfrak{g},$$n\in Z)$
を
$(\sigma x)(n)$
に移すという頂点作用素代数
$V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)$の自己同型を引き起こす
.
この
$V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)$の自己同型
を、 同じ
$\sigma$で表す
.
$\sigma(\mathfrak{h})=\mathfrak{h}$であれば、
$\sigma$を
$V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)(0)$に制限したものは部分頂点作用素
代数
$V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)(0)$の自己同型である
.
特に、
$\mathfrak{g}$のワイル群の元は
$V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)$および
$V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)(0)$の自己同型を引き起こす
.
定理
2.1
は次のように一般化される
(cf
[5, Theoren12.1]).
定理 3.1
頂点作用素代数
$V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)(0)$は
$h_{\alpha_{t}}(-1)1,1\leq i\leq l$
および
$x_{-\alpha}(-2)x_{\alpha}(-1)1$
,
$\alpha\in\triangle+$
で生成される
.
この定理は、
$V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)(0)$が
$a_{1}(-m_{1})\cdots a_{s}(-m_{s})x_{\beta_{1}}(-n_{1})\cdots x_{\beta_{t}}(-n_{t})1$
$a_{i}\in \mathfrak{h},$ $\beta_{j}\in\triangle,$
$m_{i}\geq 1,$
$n_{j}\geq 1$
で
$\beta_{1}+\cdots+\beta_{t}=0$
をみたすもの全体で張られることに
注意して、
定理
2.3
と同様の議論で証明することができる
.
$h_{i}(-1)1.,$
$1\leq i\leq l$
で生成される
$V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)$の部分頂点作用素代数を
$\Lambda’I_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0)$で表す
.
こ
れは
を共形ベクトルとする中心電荷
$l$の頂点作用素代数である
.
$\lambda\in \mathfrak{h}^{*}$を最高ウエイトとする
$\hat{\mathfrak{h}}$の既約最高ウエイト加群
$A/I_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, \lambda)$を考える
.
これは既約
な
$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0)$-
加群でもある
.
$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, \lambda)$の最高ウエイトベクトル
$v_{\lambda}$は、
$h\in \mathfrak{h}$と
$0\leq m\in \mathbb{Z}$
に対して
$h(m)v_{\lambda}=\lambda(h)\delta_{m,0}v_{\lambda}$
という条件をみたす
.
$V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)(\lambda)$は
$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0)$-
加群として
完全可約で、
$V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)(\lambda)=M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, \lambda)\otimes N_{\hat{\mathfrak{g}},\lambda}$
(3.8)
となる
. ただし、
$N_{\hat{\mathfrak{g}})\lambda}=\{v\in V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k,$
$0)|h(m)v=\lambda(h)\delta_{m,0}v,$
$h\in \mathfrak{h},$$m\geq 0\}$
である
.
(3.6) と合わせると、
$V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)=\oplus_{\lambda\in Q}M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, \lambda)\otimes N_{\hat{\mathfrak{g}},\lambda}$
(3.9)
という
$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, O)$-
加群としての直和分解が得られる
.
$\lambda=0$
のときの
$N_{\hat{\mathfrak{g}},0}$を
$N(\mathfrak{g}, k)$で表す
これは
$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0)$の
$V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)$における交換団
(commutant)
で、
$\omega=\omega_{aff}-\omega_{\mathfrak{h}}$を共形ベクトルとする中心電荷
kdim
$\mathfrak{g}/(k+h^{\vee})-l$
の頂
点作用素代数である.
任意の
$\lambda\in Q$
について、
$N_{\hat{\mathfrak{g}},\lambda}$は
$N(\mathfrak{g}, k)$-
加群である
.
$\langle h_{\alpha},$$h_{\alpha} \rangle=2\frac{\langle\theta_{i}\theta\rangle}{\langle\alpha_{t}\alpha\rangle},$ $\langle x_{\alpha},$$x_{-\alpha} \}=\frac{\langle\theta,\theta\rangle}{\langle\alpha 1\alpha\rangle}$
および
(2.5)
を考慮して、
$\alpha\in\triangle_{+}$について
$k_{\alpha}=$$\frac{\langle\theta_{1}\theta\rangle}{\langle\alpha,\alpha\rangle}k$
とおく
.
$\alpha$が長ルートならば
$k_{\alpha}=k$
で、短ノレートならば
$k_{\alpha}=2k$
あるいは
$k_{\alpha}=3k$
である.
$V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)$は
$A_{1}^{(1)}$型アフィンリー代数
$\hat \mathfrak{g}\alpha=\mathfrak{g}^{\alpha}\otimes \mathbb{C}[t, t^{-1}]\oplus \mathbb{C}C$のレベル
$k_{\alpha}$の加
群であることに注意する.
$\alpha\in\triangle_{+}$について、
第
2
節の
$\omega$と
$W^{3}$
に対応する
$\omega_{\alpha}=\frac{1}{2k_{\alpha}(k_{\alpha}+2)}(-k_{\alpha}h_{\alpha}(-2)1-h_{\alpha}(-1)^{2}1+2k_{\alpha}x_{\alpha}(-1)x_{-\alpha}(-1)1)$
(3.10)
および
$T/T_{\alpha}^{r}/^{3}=k_{\alpha}^{2}h_{\alpha}(-3)1+3k_{\alpha}h_{\alpha}(-2)h_{\alpha}(-1)1+2h_{\alpha}(-1)^{3}1-6k_{\alpha}h_{\alpha}(-1)x_{\alpha}(-1)x_{-\alpha}(-1)1$
$+3k_{\alpha}^{2}x_{\alpha}(-2)x_{-0}.(-1)1-3k_{\alpha}^{2}x_{\alpha}(-1)x_{-\alpha}(-2)1$
(3.11)
という
$N(\mathfrak{g}, k)$のウエイト
2 および 3 の元を導入する (cf.
(2.23), (2.25)).
$\omega_{\alpha}$と
$W_{\alpha}^{3}$で
生成される
$N(\mathfrak{g}, k)$の部分頂点作用素代数を島で表す
.
$\hat{P}_{\alpha}$は
$N(sl_{2}, k_{\alpha})$
と同型である
.
ここで、
$N(sl_{2}, k_{\alpha})$
は第
2
節の
$N_{0}$において
$k$を砿に取り替えたものである
.
定理 2.1 を用いて定理 23 を証明することと同様の議論で、
定理
3.1
から次の定理
32
が
証明できる
(cf.
[5, Theorem 3.1]).
定理
3.2
頂点作用素代数
$N(\mathfrak{g}, k)$は
$\omega_{\alpha},$ $|/V_{\alpha}^{3},$ $\alpha\in\triangle_{+}$で生成される
.
$V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)$
は唯一つの極大イデアルゐをもち、
それは
$x_{\theta}(-1)^{k+1}1$
で生成される
(cf.
[9]).
素代数と呼ばれる.
$\mathcal{J}_{\hat{\mathfrak{g}}}$は
$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0)$
-加群として完全可約で、
(3.9)
により
$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0)$-
加群と
して
$\mathcal{J}_{\hat{\mathfrak{g}}}=\oplus_{\lambda\in Q}M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, \lambda)\otimes(\mathcal{J}_{\hat{\mathfrak{g}}}\cap N_{\hat{\mathfrak{g}},\lambda})$
が成り立っ
.
第
2
節の
$sl_{2}$の場合と同様に、
$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0)\cap \mathcal{J}_{\hat{\mathfrak{g}}}=0$だから
$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0)arrow\triangleright_{\mathfrak{g}}(k, 0)$である
.
$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k$
,
0
$)\sim$加群として砺
$(k, 0)$
は完全可約で、
$\triangleright_{\mathfrak{g}}(k, 0)=\oplus_{\lambda\in Q}M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, \lambda)\otimes K_{\hat{\mathfrak{g}},\lambda}$
(3.12)
と直和分解される
.
ここで
$If_{\hat{\mathfrak{g}},\lambda}=\{v\in\triangleright_{\mathfrak{g}}(k, 0)|h(m)v=\lambda(h)\delta_{m,0}v, h\in \mathfrak{h}, m\geq 0\}$
である.
$K(\mathfrak{g}, k)=K_{\hat{\mathfrak{g}},0}$
とおく.
これはち
$(k, 0)$
における
$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k., 0)$の交換団である
.
$sl_{2}$の場合
の
[3,
Lemma 3.1]
と同様の議論で、
$\mathcal{I}_{\hat{\mathfrak{g}}}=\mathcal{J}_{\hat{\mathfrak{g}}}$口
$N(\mathfrak{g}, k)$が
$N(\mathfrak{g}, k)$の唯一つの極大イデア
ルであることがわかる.
よって、
$K(\mathfrak{g}, k)\cong N(\mathfrak{g}, k)$
/ろは単純な頂点作用素代数である.
$K(\mathfrak{g}, k)$
を、
$\mathfrak{g}$に付随するパラフェルミオン頂点作用素代数という. 任意の
$\lambda\in Q$
につい
て、
$K_{\hat{\mathfrak{g}},\lambda}$は既約
$K(\mathfrak{g}, k)$-
加群である
.
$\omega_{aff}.,$ $\omega_{\mathfrak{h}},$ $\omega,$ $\omega_{\alpha},$ $tV_{\alpha}^{3}\in V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)$
の
$\triangleright_{\mathfrak{g}}(k, 0)=V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, O)/\mathcal{J}_{\hat{\mathfrak{g}}}$における像を、
同じ記号で表す
ことにする
. 定理
3.2
により、 次の定理が得られる
(cf.
[5, Theore1114.2]).
定理
33
パラフェルミオン頂点作用素代数
$K(\mathfrak{g}, k)$は
$\omega_{\alpha i}w\nearrow 3\alpha’\alpha\in\triangle+$で生成される
.
$\mathcal{I}_{\hat{\mathfrak{g}}}$
の基本的な性質として、
次のことが知られている
(cf.
[5, Proposition 4.4]).
定理
34
$N(\mathfrak{g}, k)$の唯一つの極大イデアル
$\mathcal{I}_{\hat{\mathfrak{g}}}$は
$x_{-\theta}(0)^{k+1}x_{\theta}(-1)^{k+1}1$
で生成される
.
この定理は、
$V_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)$を
$\mathfrak{g}^{\theta}=\mathbb{C}x_{\theta}+\mathbb{C}h_{\theta}+\mathbb{C}x_{-\theta}\cong sl_{2}$の加群と見て、定理 25(1)
と同
様の議論により証明することができる
.
$\alpha\in\triangle_{+}$
について、
$\omega_{\alpha}$と
$I4_{o}/^{\prime 3}$で生成される
$K(\mathfrak{g}., k)$の部分頂点作川素代数を
$P_{(\gamma}$とお
く
.
几は凡の準同型像である
.
$P_{o}$が単純な頂点作用素代数であるかどうかは自明では
ないが、
実際には次の定理が成り立つ
(cf.
[5, Propositions
4.5
and 4.6]).
定理
3.5
$P_{\alpha},$$\alpha\in\triangle+$
は単純頂点作用素代数で、
$K(sl_{2}, k_{\alpha})$
と同型である
.
ここで、
$K(sl_{2}, k_{\alpha})$
は第
2
節の
$sl_{2}$に付随するパラフェルミオン頂点作川素代数
$I<0$
において
$k$を
$k_{\alpha}$に取り替えたものである
.
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