回 転 群 と画 像 の 分 解 ・強 調 ・構 造 化
再 構 成 に 関 す る計 算 機 シ ミ ュ レー シ ョ ン
鈴
木
昇
一
COMPUTER
SIMULATION
ON RESOLUTION,
ENHANCEMENT
AND
STRUCTURED
RECONSTRUCTION
OF
IMAGES
WITH
INVARIANCE
UNDER
ROTATION
GROUP
Shoichi
SUZUKI
It is desirable that deformations
appearing
in input patterns
to be recognized
should
be removed as soon as possible. In this sense, we must construct
a pattern-information
system which can recognize patterns under invariant
conditions over translation, rotation,
magnification,
etc.. In the first place a family f(H) = { f(H) • 01(H); leL of spatial
fil-ters to resolve an input eight-valued
pattern (a handwritten
Chinese character)
into its
orthogonal
direct sum components
and to enhance
contrast
is designed by way of a
Fourier transform
and a Laplace transform
for additive operators. In the next place we
construct
a structured-model
mapping to form a corresponding
structurally reconstructed
pattern (which will remain invariant over the rotation group)
of
the
input
pattern.
Successful performance
of the resolution, the enhancement
and the structured
reconstruc-tion
demonstrated
by a digital computer simulation.
1.ま え が き パ タ ー ン と は,ひ と ま と ま り に な っ た 複 数 個 の 要 素 か ら な る 形 態 で あ る(2)た と え ば,パ タ ー ン と し て の 文 字Aは2本 の 斜 線 分,水 平 線 分 と い う三 個 の 基 本 的 特 徴 成 分 か ら成 っ て い る と 考 え る こ と が で き る.こ の パ ター ン の 定 義 は,意 味 の あ る ど ん な パ タ ー ン も,一 層 基 本 的 な 下 位 成 分,つ ま り構 成 的 特 徴 成 分 に 分 解 で き る こ と.そ し て,こ れ ら の 下 位 成 分 が 再 び 結 合 さ れ る と,も と の パ タ ー ン に な ら ね ば な ら な い こ と も 含 意 し て い る. パ タ、一 ン 認 識(patternrecognition)と は, 感 覚 ・知 覚 を 経 て 人 間 シ ス テ ム の 末 端 か ら 入 っ て く る情 報(デ ー タ)に 対 し て の み 作 動 す る・と い う意 味 で,デ ー タ 駆 動(data-driven) 一36一 〆
程 で あ る. 文 字,図 面,写 真 な ど,平 面 上 に 濃 さ が 分 布 し て い る パ タ ー ン を 画 像 と い う. 本 論 文 で は,2値 化 手 書 き漢 字 パ ター ン を ガ ウ ス 型 点 像 分 布 関 数 に よ っ て8値 化 パ タ ー ン へ 変 換 し,こ れ を 入 力 パ ター ン(入 力 画 像) と し て い る.本 論 文 の 目 的 は,生 体 系 に お け る 形 態 視 に お い て は,画 像 の 円 分,各 方 向 の 線 分,端 点,弧 立 点 の 抽 出 が 行 な わ れ て い る と の 発 見 な ど に 注 目 し,画 像 に 対 し 回 転 群 の 下 で 不 変 な 1)分 解2)強 調3)構 造 化 再 構 成 の 処 理 方 法 を 説 明 し,あ わ せ て,そ の 計 算 機 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 結 果 を 検 討 す る こ と に あ る. な お,画 像 か ら そ の 成 分 を抽 出 す る 画 像 分 解 は,作 用 素 に 対 す る フ ー リエ 変 換 法 の 適 用 で 得 ら れ た 理 想 帯 域 空 間 フ ィ ル タ群 θ(H)={Bl(H);lEL} で な さ れ,画 像 強 調 は,画 像 の 白 黒 刺 檄 の 変 化 部 分 が 強 調 さ れ て 感 ず る の は 視 覚 系 の 側 抑 制(lateralinhibition)空 間 構 造 に よ る の で は な い か と い う点 に 注 意 しつ つ,作 用 素 に 対 す る ラ プ ラ ス 変 換 法 で 解 析 可 能 な あ る ス ペ ク トル 特 性 を もつ 側 抑 制 効 果 型 空 間 回 路f(H) で な さ れ る 。 ま た,画 像 再 生(imagerecon-struction)は,入 力 画 像 の,全 体 像 と し て の 直 観 的 な 意 識 内 容 を表 わ す 想 起 心 像 み た い な も の を,画 像 の 各 成 分 へ の 強 調 的 分 解 と そ の 分 解 成 分 に 対 す る 閾 知 覚 と 記 憶 の 働 き と の 連 動 の 働 き で,創 出 す る こ と で な さ れ る.
2.分
解,強
調,構
造 化 再 構 成
次 章 以 下 で は,次 の(a),(b),(c)に 関 す る 計 算 機 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 結 果 が 説 明 さ れ る.本 章 で は,こ の3事 柄 が 一 般 的 に 定 式 化 さ れ る: (a)正 射 影 化(orthogonalprojection), 分 解(resolution,decomposition) ψ → θ`(H)ψ,ZεL (b)強 調(enhancement) ψ → ノ(H)ψ (c)構 造 化 再 構 成(structuredreconst-ruction) ψ → 劉(ψ). さ て,パ タ ー ン 審Domの 簡 約 構 造 モ デ ル (reducedstructuralmodel)と 呼 ば れ る ② (ψ)は 次 の よ う に 定 義 さ れ る: 黔(ψ)=ΣteLXc(ψ)・el(H)ξliξll-1. 登 場 し た 諸 記 号 の 説 明 は 次 の 通 り で あ る. ま ず,処 理 対 象 と して の パ タ ー ン ψ の 表 現 空 間 を 可 分 なHilbert空 間 薹)と し よ う.拿 の 内 積,ノ ル ム を 各 々, (ψ,η)=∫ 伽 ω ψω ・η(x) 11ψ11=v/(ψ,ψ) こ こ に,dm(x)はLebesgue-Stieltjes式 正 値 測 度 で,η は η の 複 素 共 役 と し よ う.ゆ で の 自 己 共 役 作 用 素Hを 仙 つ 選 定 す る.Hを 基 作 用 素 と い う.ま た,実 変 数 入 のBorel可 測 関 数 云 λ)を ノ(λ)≧0な る ご と く一 つ 選 定 す る.f(λ)を 基 関 数 と い う. ノ(H)は 正 値 自 己 共 役 作 用 素 で あ る.作 用 素 ノ(H)の 定 義 域 Dom={ψ;11∫(H)ll<○ ○,ψ ε命} を 導 入 し て お く. (i)Ba(H)は 基 作 用 素Hの 関 数 と し て の, 第ZξL番 目 の 射 影 作 用 素(projector)で あ り,3条 件 eL(H)・ek(H)=0(k≠ の CELBI(H)=1(恒 等 作 用 素) el(H)ξ ≠0,1εL を 満 た す も の.ξ に つ い て は(ii)を 参 照. (ii)相 互 排 反 的 な カ テ ゴ リの 全 体 の な す 有 限 集 合 を ◎={⑤ ゴ;Jε 」} とす る.第 ノε 」番 目 の カ テ ゴ リ 賜 の 起 確 確 率p(◎ ゴ)は 0〈p((s;)<1,Σ ゴεノp((s1)==1 を 満 た し て い る 必 要 が あ る.◎ ゴの も つ 諸 性 質 を典 型 的 に 代 表 し て い るパ ター ン(代 表 パ 一37一タ ー ン)を ω ゴ εDomと す る.ψ εDomを 変 数 と す る 汎 関 数 Σ ゴ ∫P((s;)・llψ 一 ωゴilωゴll-1112 を 極 小 な ら し め る ψ を ξ と か く.実 は, ξ=Σ ゴεノP((s;)・ ω」llωゴll-1 で あ る こ と が 知 ら れ,平 均 化 パ タ ー ン(ave-ragepattern)と 呼 ば れ る. (iii)非 負 量 号t(ψ)は,パ タ ー ンq,eDom か ら 抽 出 さ れ る 第leL番 目 の 特 徴 量(feature) で あ り,五 」),Bc(H)を 用 い て 定 義 さ れ た 正 値 自 己 共 役 作 用 素 ノ`(H)=ノ(H)・BL(H) を 導 入 し,測 度 的 不 変 量(metricalinvari-ants)と し て,次 の よ う に 定 義 さ れ る: 号`(ψ)=(ノ`(H)ψ,ψ)/(ψ,ψ). 「ψ εDom⇒V`εL ,Il五(H)ψ[1<○ ○」 が 成 立 し,次 の 性 質 が 成 立 し て い る: Vψ εDom,0≦ 魯c(ψ)<○ ○」. (iv)2値 特 徴 量(binarizedfeature)と 呼 ば れ るXL(ψ)は,あ る 自 己 組 織 化 ア ル ゴ リ ズ ム(25)か ら 得 ら れ る,不 等 式 0<e`≦ 警`(ξ1【 ξ 「1-1) を 満 た す し き い 値(thresholdvalue)eaの 下 で,次 の よ う に 定 義 さ れ る: X∠(ψ)・=sgn(暮c(ψ)-ec),こ こ に sgn(u)=Oifu<0,=1ifuSO , 以 上 の 諸 定 義 に お い て は,次 の3条 件(1) ∼(3)が 満 た さ れ て い な け れ ば な ら な い: (1)Vノ ε」,2)(劬)≠0 (2)V∫,Vノ(i≠ ノ)eJ, ⑳(ω ∂ ≠ 尠(ω ン) (3)(1次 独 立,linearlyindependent) 複 素 定 数Qk,kεJに つ い て, kE/Qk・ ②(ω 々)1!②(ω ん)ll-1=0 〈≒ 今・Vん ε」,Qk=0. 3.標 本 化,離 散 符 号 化 グ ラ フ 用 紙 内 の7cm(縦 寸 法)×5cm(横 寸 法)の 大 き さ の 長 方 形 の 中 に 一 文 字 ず つ 書 く と い う 要 領 で,文 字 系 列 "芝 浦 工 業 大 学 の 計 算 機 … … …" を,男 女 あ わ せ て30人(約 半 数 は 女 性)に 鉛 筆 で 記 入 し て も ら い,そ の 内 の 最 初 の5文 字 分 "芝 浦 工 業 大" を6人 分 だ け,採 用 す る. 各 々 の 長 方 形 内 の 文 字(漢 字)を ヒ ト の 目 で,0.2cm×0.2cmの 大 き さ の 正 方 形(一 画 素 領 域)に 文 字 成 分 が あ れ ば"1",な け れ ば "0"と し ,2値 化 パ タ ー ン η に 変 換 す る.こ の よ う に し て,30個 の2値 化 漢 字 パ タ ー ン 集 合 {η η;m=1∼30} が 作 成 さ れ る. 第m番 目 の2値 化 漢 字 パ タ ー ン 伽 は,2次 元 直 角 座 標 系<X、,X2>を 採 用 し,伽(X1, x2)と 表 さ れ る と し よ う.こ こ に,平 面 領 域 {〈xl,x2>;lxll≦12,[x2}≦17} を パ タ ー ン 伽 の 存 在 場 と し て い る. x1=0,±1,±2,… …,±12, x2=0,±1,±2,… …,±17 な る 整 数 座 標 値<X1,X2>の 上 で の み,パ タ ー ン ηπ の 振 幅 値 ηη(X、,X2)が 与 え ら れ て い る よ う に 設 定 さ れ て い る.こ れ が 各 パ タ ー ン 伽 の 標 本 化(sampling)で あ る . そ の 振 幅 が0あ る い は1の 値 の み を と る 各 2値 化 パ タ ー ン ηη は,-3か ら+4ま で の8 個 の い ず れ か の 整 数 値 を と る パ タ ー ン ψ 規に, 次 の 公 式 で 変 換 さ れ る: °ifu<° Y(u)o=uifOsus7 7ifu>7 k=(16n/10)・exp(10/16) t=8/io と し て, ψ加(X1,X、) =[Y〔k・(2π の 一1Σ7 」t=±1212Σ馳_±}写exp 〔一{(x1-y1)2十(x2-Yz)2}/2t〕 ・ ηπ(x1,x2)〕0-3 を 小 数 第1位 で 四 捨 五 入 し た も の]. 一38一
2値 化 パ ター ン 伽 か ら8値 化 パ タ ー ン ψπ へ の 変 換 の 一 例 がFig.1に 示 さ れ て い る 。
Fig. 1 An example m 24 = (P24(
Xl, x2) of eight-valued
input patterns which are used
to represent
handwritten
Chinese characters.
The axis xi and the axis x2 are
horizon-tal and vertical respectively.
"漢 字 nm→ ψバ と い う 変 換(最 終 段 階 で の パ タ ー ン 伽 の 振 幅 は 有 限 個 の 値 しか とら な い よ うに す る 変 換)が 離 散 符 号 化(quan-tizing,quantization)と い わ れ る もの で あ る. こ の 離 散 符 号 化 は,同 時 に,小 数 第1位 で 四 捨 五 入 し て, (θ(H)ψ 加)(X1,X2)=ψ η(X1,X2) x1ニ0,±1,… …,±12, x2=0,±1,… …,±17 が 成 立 す る よ う に,理 想 低 域 空 間 フ ィ ル タ θ (H)の 帯 域 幅 を選 ぶ こ と を可 能 に す る こ と が 4章 で 説 明 さ れ て い る.
4.画
像 の 帯 域 圧 縮,分 解
本 章 で は,作 用 素 に 対 す る フ ー リエ 変 換 法 を 適 用 し て,3章 で 論 じ た"2値 化 パ タ ー ン 伽 か ら8値 化 パ タ ー ン ψηへ の 変 換"は 帯 域 圧 縮(bandwidthcompression)の 働 き を も っ て い る こ と,重 び に,8値 化 パ タ ー ン ψηの 直 交 直 和 分 解 ψ規=Σiε 乙Bl(H)4)m, (Bk(H)ψ 寵,Ba(H)ψ 彿)=0(k≠1) が 説 明 さ れ る. ま ず,自 己 共 役 作 用 素Hの 関 数g(H)は ウ ニ タ リ作 用 素 一iuHeの線 形1次 結 合 の 極 限 に よ っ て 表 現 さ れ る と い う"作 用 素 に 対 す る フ ー リエ 変 換 法"は 次 の 定 理4 .1の ご と く,説 明 さ れ る. 〔定 理4.1〕(11),(21)(作 用 素 に 対 す る フ ー リ エ 変 換 法) Hを 自 己 共 役 作 用 素 とす る.ψ ε わ に 対 し, e-iuH=lim脚 Σ 鴛=。(k!)-1(-iuH)"ψ と 定 義 さ れ る 加 法 的 作 用 素e-iuHは ウ ニ タ リ 作 用 素 で あ る.こ こ に,i=、 厂可Tuは 実 数. こ の と き,一 実 変 数 ω と関 数 ん9(u)=(2π 广γ±m(1λε+iglu8ω を導 入 す れ ば,Hの 関 数g(H)は,こ の 関 数hgを 重 み 関 数 とす る,ウ ニ タ リ作 用 素 の つ く る1パ ラ メ ー タ 群{e-iuH}献 π<0の 線 形1次 結 合 に よ っ て,次 の よ う に 表 現 可 能 で あ る: 9(H)=∫ 蠶4駕 ・hg(-u)・e+iuH. (定 理4.1終) 内 積(ψ,η),基 作 用 素Hを 各 々, (￠),η)==∫ 囲d∬1∫ 週(1κ2(κ3十2xl)-1・ ψ(xl,x2)・ 万 で漏 丁一 H=・-1xla∂/∂xz-xz・-11∂/∂xl =∫ 冖1∂/∂ こ こ に,η は η の 複 素 共 役 .xl=21COSV,x2=21S171.1」 (0≦u〈 ・・,0≦v<2π) と 選 定 し よ う.そ う す れ ば, Tt=e-=tH=面 ηLη_。。 Σnk=0(k!)-1(-itH)k と 定 義 さ れ るTtは 任 意 の 実 数tに 対 し ウ ニ タ リ 作 用 素 で あ り, (7ゆ)(uc・sv,usinv) =ψ(ucos(v-t) ,usin(v一 の) と い う,パ タ ー ン ψ=(ρ(πc。,v,u,in7」)に 対 す る 回 転 の 働 き を 備 え て い る.な お,7》 は, 実 数tに 対 し (σ,ψ)(u,。,v,u,1。v) =ψ(e-tu、 。、v,e-tu,in1」) と 定 義 さ れ る ウ ニ タ リ 作 用 素 の つ く る1バ ラ メ ー タ 群(相 似 変 換 群){Ut}0.t.。 。 と 可 換 で あ る.ま た,内 積(ψ,η)の 近 似 式 と し て (ψ,η)≒ Σ'κ1-±1212'X、+17_-17(2xi+2xz)-1・ ψ(κ1,xz)・ 万 嚥 丁 を 採 用 す る.総 和 記 号 Σ'はx;=0の 部 分 を 除 い て 総 和 す る こ と を 意 味 し て い る. さ て,Borel可 測 関 数 θ(λ)=1forlλ1≦2π レv, 二 〇 〇therwise に お い て,実 変 数 λ の 代 り に 自 己 共 役 作 用 素 Hを 代 入 し て 得 ら れ る 射 影 作 用 素 θ(H)は 理 想 低 域 空 間 フ ィ ル タ で あ り, んθ(u)=(2π)-1∫ ±$(1λe+iiuθ(λ) =(2π)-12nw -2nw4λe+抛 一 〔(2π 卿 π)〕・(2π 隔)-1・ 一40一鋤(2π 帥) で あ る か ら,定 理4 .1を 適 用 し て, (θ(H)ψ)(uCOSv,usinv) 一 濺 吻 〔2πW/π 〕 ・(2π 阨 尸 ・鋤(2π wQ)・(e+酬 ψ)(ucosv,usinv) と 表 現 さ れ る. 2nW=25‐cS,cS=0.001 02=2x/60 と し て,近 似 式 (θ(H)ψ)(uCOSv,usinv) ≒s°n=。(△ の 〔2π 障/π 〕 ・〔2π仰 (n・ △a)〕-i・sin〔2πw(n・ △ の 〕 ・ ψ(uc・s(v+n・ △a>,usin(v+ n・ △ の) が 採 用 さ れ た.各8値 化 手 書 き 漢 字 パ タ ー ン 伽(m二1∼30)に 対 し, (θ(H)ψ 鋭)(xl,xa) =ψ η(xl,xi),κ1=0,±1,… …,±12, xz=0,±1,・ ・・…,±17● (小 数 第1位 で 四 捨 五 入) が 成 立 し て い る こ と が 確 か め ら れ た .即 ち, 各(伽 は 帯 域 制 限(bandwidth-limited)を 受 け て い る こ と が 確 か め ら れ た. 以 上 で,各 手 書 き 漢 字 を8値 化 パ タ ー ン ψ に 変 換 す る こ と に よ り,帯 域 が 圧 縮 さ れ た こ と が 示 さ れ た.次 に,上 述 の 理 想 低 域 空 間 フ ィ ル タ θ(H)を,そ の 各 出 力BL(H)ψ が (Bk(H)ψ,Bl(H)ψ)=二 〇(k≠1) と 直 交 す る 理 想 帯 域 空 間 フ ィ ル タ 群 Bc(H),1εL=={1,2,・ ・・…,25} に 分 解 す る と し よ う. S1={λ;1λ1≦2πW1} Sl=={λ;2π レvl-1<「 λ 「≦2π 研Zε} 2nWc=〔exp((1-25)/25)〕2× 1一 δ(1=2∼25)
夊
zπ 妝
r i 「 0●1456 Z 0.3166 ヲ 0●5151ヂ
0●7445ナ
1。on856
1.3113フ
1.6575
8
2.05239
2。5nり31b
3●01n9 i 3.5681 L4.24n5
3
4.9766
μ
5.8n60!夕
6.7389
♂
7●78707
8・96508
10.2808
9
11●7559勿
13 ●4n5辱 1 15●2"81 i 1763n叫8ヲ
X9.59834
22・1538z夕
z4.99yU Tab・1Thecorresponding2πW、and2πW` ofpassingangularfrequencybands S1={λ;iλ1≦2πW1} and S`={λ;2πW乙.1<1λ1≦2πW乙} ofthefirstfilterBl(H)andthelthfilterBc(H)inthefamilyB(H)_{el(H);1= 1∼25}ofidealband-passspatialfilters . と 選 定 す る.S1を 通 過 帯 域 と す る 理 想 帯 域 空 間 フ ィ ル タBl(E)は θ1(H)ψ =∫ 翻 ￠ 〔2nWl/π 〕 ・ 〔2湘 智1￠〕-1・ sin〔2πWq〕 ・e+i4H と 表 わ さ れ,ま た,S`を 通 過 帯 域 と す る 理 想 帯 域 空 間 フ ィ ル タBa.(H)は, 一41一
θ`(H)ψ =∫ 蠶 吻{〔2πW、/π 〕 ・〔2π ワr、璽 〕一'・ sin(2nyVLQ)一 〔2軅1・-1/π 〕 ・ 〔2nWc-1a〕 一・・sin(2πW、.1の}・,・ 吻 と表 わ さ れ る.こ れ は 定 理4.1の 適 用 結 果 で あ る. こ の と き,等 式 ψeθ(H)ψeΣLELθ 乙(H)ψ が 成 立 し,パ タ ー ン ψ は 各 直 交 成 分 パ タ ー ン θ`(H)ψ,1εL に 分 解 さ れ る こ と に な る.
5.画
像 の 強 調
本 章 で は,パ ター ン ψが 理 想 帯 域 フ ィ ル タ 群 歹面 一{θ 、(H);Z・L}に よ っ て, そ の 直 交 成 分 パ タ ー ン θ乙(H)ψ,1εL に 直 交 分 解 さ れ た 後(第4章),そ の 各 直 交 成 分 が 線 形 時 空 間 回 路 f(H)=T〔4G】(云 ン e∫64τ ￠Q一 τ)・Gτ に よ っ て, f(H)。 θ`(H)ψ,1εL と,強 調 す る 手 法 が 説 明 さ れ る. ま ず,時 空 間 回 路T[4G】(の の 性 質 を解 明 す る に 必 要 な 作 用 素 に 対 す る ラ プ ラ ス 変 換 法 を 説 明 し よ う. 〔作 用 素 に 対 す る ラ プ ラ ス 変 換 〕(11)・(20) Hilbert空 間 Φ で の 加 法 的 作 用 素蜘
一{轡
一τ)'Gziftift:1
を 考 え る.こ こ に,2(t)(=oifKo) は1パ ラ メ ー タ バ ≧0)の 関 数 で あ り,Gt (=oift<o)はt(≧o)に 依 存 し た, Φ で 稠 密 な 定 義 域 を もつ 閉 加 法 的 作 用 素 で あ る. Gt,αC)に 対 し,次 の 条 件i,iiを 考 え る. 条 件(i)Gtは 作 用 素 の1ル ム に 関 し,t (≧0)の 作 用 素 値 関 数 と し て 有 界 変 動 で あ り, し か も,不 等 式 lGtl「=sup闘9酉=11Gtψ11≦cleβ1云(言 ≧0) を 満 た す 二 つ の 実 定 数c、(≧0),β 、が 存 在 す る. 条 件(ii)2(孟)は 絶 対 値 に 関 し パ ≧o)の 関 数 と し て 有 界 変 動 で あ り,し か も 1￠(の1≦c、eβ ・t(孟 ≧0) を 満 た す 二 つ の 実 定 数c2(≧0),β2が 存 在 す る. 〔定 理5.1〕(作 用 素 に 対 す るLaplace変 換)上 の2条 件i,iiの 下 で 考 え よ う. (i)T[4G】(の の ラ プ ラ ス 変 換 〔T[4G】(の 〕(3) =∫ 『(1言e-8`T[9]G(t) は,β を 不 等 式 β>max{β1,β,}+1 を 満 た す よ う に 選 ぶ と, Re(S)(Sの 実 部)〉 β で は,値 を 磐(Φ)(=Hilbert空 間 夢 で 定 義 さ れ た 有 界 作 用 素 か ら 成 るBanach空 間) に も つ 複 素 パ ラ メ ー タSの 作 用 素 値 正 則 関 数 (operator-valuedholomorphicfunction)で あ り,次 の 微 分 公 式 が 成 り 立 つ: (d/ds)L〔T[e1G(の 〕(S) =L〔-t・Tic】(の 〕(S) ガRe(S)〉 β. (ii)Re(S)〉 β に お い て,次 の 評 価 式 が 成 り 立 っ.: llL〔Tic】(の 〕(s)11 5cica/(Re(s)‐/3) (111)Re(S)〉 β に お い て,次 の 公 式 が 成 り 立 つ: L〔T[9G】(の 〕(S) =L〔2(の 〕(s)・L〔Gt〕(S) . (iv)Laplλceの 反 転 公 式 2冖1〔T[4G】Q+0)+T[9G】(孟 一 〇)〕 一 伽 。_(2π の 一1r±LQdsesaL〔T〔4G】 (t>〕(S),γ 〉 β が 磐(わ)の 位 相 に よ る 収 束 で 成 り 立 つ.な お,こ の 収 束 は,Tic】(の が 作 用 素 の ノ ル ム 一42一に 関 しtの 関 数 と し て 連 続 で あ る よ う な 区 間 の 完 全 内 部 に あ る 有 限 区 間 で は 一 様 収 束 で あ る.(定 理5 .1終) 画 像 強 調 空 間 回 路 と し て の7{各 】(の を 具 体 的 に 次 の ご と く 設 計 し た.一 実 変 数 関 数 Y(u)=OifuGO,=1ifuzO を も ち だ し, 2(の=α 。+bo'sin(b。 孟)+y(渉 一 渉1) 〔α、+61-13酬 δ1(孟 一 孟1)}〕 Gt=C厂CIC・S{(言+孟1)H}+ czcos{tH) こ こ に, OSt;O<ti,ti O<bol<aoO<bi1<al O<c。,c1,c2;c1+c2≦c。 と し て, T【4G】(t)=∫6吻(i一 τ)Gτ(∞t≦o) を 構 成 で き る.こ こ に, 2nboi,2nb,1:固 有 振 動 の 周 期 」1:遅 れ 定 数 t,tl:受 容 野 の 領 域 の 広 が り の 程 度 を 示 す パ ラ メ ー タ. さ て,T〔4G】(t)が 基 作 用 素Hの 関 数 と し て 表 わ さ れ る こ と は, f(λ) =9(孟;α 。,b。,C。,C1,C、,ti)、 +Y(t-t、)・9(t-t、;α1,b、,C。, C1,C2,診1)a と し て,次 の 等 式 が 成 り 立 つ こ と か ら 分 る: T[9C】(のef(H). 関 数gを 具 体 的 に 決 定 し よ う. 9(t;α 。,b。,C。,C1,C、,言1)H = ,/odz'〔 α。+bolsinb。(卜 τ)〕 ・ 〔C。 -C、CO3(τ+}/}1)H+C2COSτH〕 と お け ば,定 理5.1の(iii),(iv)を 適 用 し て, 9(t;α 。,b。,C。,C1,C,-1)H =α 。C。t一 α。CIH-1〔sin(t+言1)H -sintiH〕+α 。C2H-'sintH+C。 ゐ8 (1-CO8ゐ 。の 一Cabo'〔H+b。 〕-1 〔H-bo〕-1〔bo(COSbot-COStH) COS渉IH+(b。5掘H-Hsinb。 の sintiH〕+C,〔H+b。 〕-1〔H-b。 〕-1 C2(cosb。 言 一costH) と 求 め ら れ る.ま た, ,fodz'Y(t一 言1一 τ)〔 α、+bilsinbl(卜tl 一 τ)〕 ・ 〔C 。-CIC。S(τ+孟1)H+ czcosrFl) =9(t-ti;α1 ,ゐ1,C。,Ci,C、, tlH も 得,時 空 間 回 路 丁 轡(t>は T[巳 】(のe9(t;α 。,b。,・ 。,C1,C、, ti)H+y(t一 渉1)・9(t一 言1;α1,bl, C。,C1,C,,ti)H と い う 具 合 に 求 め ら れ る. 実 は,言,h,ti,b。,α0,b、,α 、,C。, C1,2に 関 す る 条 件 か ら ノ(λ)≧0 を 得,f(H)は 正 値 自 己 共 役 作 用 素 で あ る.
Fig. 2 The spectral characteristic f( A ) of
the positive operator f ( H) where variable
A ranges between 0 and 25.
一43一本 計 算 機 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン で は, Co==2,c1==c2二1, 言=2π/3,ti=π/3,孟f=5π/3, ao=5,ai=9,bo=4,b1=8 と 選 定 し た が,f(H)=T[4G】(の の ス ペ ク ト ル 特 性 で あ るf(λ)の グ ラ フ がFig.2に 示 さ れ て い る. な お,T[9G】(の の 近 似 式 は, ∫6dτ を, (△ τ)一 乞π/60,τ 一n・(△ τ) (n=0,1,2,;20) と し て, Σz°n=。(△ τ) と 置 き 換 え て 得 ら れ る. 6.分 解,強 調 の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 本 章 で は,第4章,第5章 で 論 じ ら れ た, 第 ♂εL番 目の 理 想 帯 域 空 間 フ ィ ル タ θ` (H)に よ る 画 像 分 解, 正 値 自 己 共 役 作 用 素 ノ(H)に よ る 画 像 強 調 の 計 算 機 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 結 果 が 示 さ れ る. 芝,浦,一 工,業,大 な る 各 々 の 漢 字 カ テ ゴ リ を 各 々, 魁1,⑮2,◎3,◎4,◎5 と 名 付 け る.カ テ ゴ リ 賜(J=1∼5)に 帰 属 す る8値 化 漢 字 パ タ ー ン の 集 合 窮 は Φゴ={ψ,+Sn;n=0,1,2,。 ・・,5} で あ る,. Fig.1の8値 化 パ タ ー ン ψ%(第4番 目 の カ テ ゴ リ ◎4に 帰 属 し,"業"を 表 わ し て い る) に,第5章 で の 画 像 強 調 空 間 回 路 ノ(H)を 作 用 さ せ て 得 ら れ た パ タ ー ンf(H)ψ24がFig.3 に 示 さ れ て い る.
Fig. 3 The output pattern f(H) 924 which is obtained by the application of the
posi-tive operator f(H) to the input pattern p24.
画 像 ψ=ψ(劣1,κ2)の コ ン ト ラ ス ト度 合m(ψ)を MAXX,,。 、ψ(xi,x、)≠-MINX, ,X、ψ (x,,xz) の 場 合 蜘)一 齟X・ ・掩ψ(xi,x・)-M脚 一 ψ(xi,x・)MAX X、,x、ψ(κ1,xz)十 」?MINX,,X、〈ρ(xl,xz) と 定 義 し よ う.空 間 回 路 ノ(H)に,コ ン ト ラ ス ト機 能 が 入 力 パ タ ー ン ψ 餌 に 対 し あ る か ど う か は,不 等 式 m(ノ(H)(ρ24)>m(の) が 成 立 す る か 否 か で 指 摘 さ れ る と考 え る .実 際 ・Fig.1,Fig.3か ら 計 算 し て み る と, m(ノ(H)ψ%)一 〔245-(-195)〕/ (245十(-195))=440/50=8.8 m(ψ24)一 〔4-(-3)〕/〔4+(-3)〕 =7/1=7 を 得,f(H)に コ ン ト ラ ス ト機 能 の 存 在 が あ る と考 え て よ い こ と が わ か る . さ て,第1番 目 の 理 想 帯 域 空 間 フ ィル タ θ、 (H)が,原 点(0,0)付 近 の 同 心 円 分 を 抽 出 す る こ と は,Fig.4か ら わ か る .
Fig.4
The output pattern 01(H) 924 which is obtained by the application of the first
ideal band-pass spatial filter 01(H) to the input pattern 924.
θ8(H)ψ%をFig.5に 示 す が,第8番 目 の
理 想 帯 域 空 間 フ ィル タ θ8(H)は ψ24の 全 体
像 と し て の 形 態 を 少 し は 保 存 し て い る こ とが わ か る.θ8(H)ψ24を 画 像 強 調 空 間 回 路f(H)
!
Fig.5
Theoutputpatterngs(H)X24.
に 入 力 し て 得 ら れ た 出 力 パ タ ー ン ノ(H)θ8 (彑)ψ24をFig.6に 示 す.
Fig.6 Theoutputpatternf(H)θ8(H)ψ24. 一46一
ま た,一 つ の 出 力 パ ター ン ノ(H)θ14(H)ψ24,ノ(H)θ25(H)ψ24 を 各 々,Fig。7,Fig.8に 示 す.第14番 目 の 理 想 帯 域 空 間 フ ィ ル タ θ14(H)は 原 点(0,0) Fig.7
Theoutputpatternf(H)B,4(H)X24
Fig.8 Theoutputpatternノ(H)θ25(H)ψ24. 一47一か ら動 徭 方 向 に 沿 っ て 周 囲 へ 放 射 す る半 直線
分 を抽 出 す る傾 向 が あ り,ま た,θ25(H)は
入 力パ タ ー ン の形 状 全 部 をほ ぼ 抽 出す る こ と
が わ か る.
7.画
像 の 構 造 化 再 構 成
本 章 で は,パ タ ー ンcpeDomを 処 理 し よ う と す る 認 識 器(recognizer)は,入 力 パ タ ー ン ψ の 代 り に,そ の 構 造 モ デ ル ⑳(￠)ε Domを 確 保 し,黔(ψ)を あ た か も ψ と み な す こ と に よ る 利 点 を 説 明 し よ う. 入 力 パ タ ー ン ψ に 対 し,そ の 構 造 モ デ ル ② (ψ)を 求 め れ ば, X`(⑫(ψ))=Xa(ψ),leL と い う具 合 に,鈔(ψ)は ψ と 同 じ2値 特 徴 ゆ 量 の 集 合X(ψ)e{X`(ψ);leL}を 備 え て い る 故(定 理7.1のii),認 識 器 が 入 力 パ タ ー ン ￠ を どの 程 度 変 形 し,ψ の 構 造 を ど の よ うに 捕 え て 処 理 す る の か が 一 部 判 明 す る と考 え られ る.こ の 点 に お い て,入 力 パ タ ー ン ψ の 構 造 化 再 構 成(structuredreconst-ruction)の 過 程 " ψ 一 一→ 劉(ψ)" の 持 つ 意 味 を と ら え るべ き で あ ろ う. ま た,入 力 パ タ ー ン ψが 基 作 用 素Hと 可 換 な ウ ニ タ リ作 用 素(一 種 の 座 標 変 換)Uに よ っ て `` ψ 一一一一〉 η=uψ" と い う変 換 を受 け て,パ タ ー ン η に な っ て も " ψ 一 一 →9(ψ)" 願 η 一一一→2)(η)" と い う二 つ の 構 造 化 再 構 成 に お い て,定 理7. 1の(iv)に よ り 尠(ψ)=罰(η) が 成 立 し て い る か ら,こ の 意 味 で,基 作 用 素 Hと 可 換 な ウ ニ タ リ座 標 変 換Uに よ る 変 形 効 果 は,構 造 モ デ ル 化 写 像 尠(・)=Σ`εLX乙(・)・Ba(H)ξIIξ 【1-1 を 基 とす る 構 造 化 再 構 成 に お い て は,吸 収 ・ 解 消 さ れ て し ま う こ と に 注 意 し て お こ う. 本 計 算 機 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン で は,特 に,基 作 用 素Hと 可 換 な ウ ニ タ リ 座 標 変 換 と し て, 第4章 で の 回 転 群{Tt}.。 。<t.。。 を 考 え て お り, ⑳(Ttψ)e⑳(ψ),一 〇〇<置 く 十 ∞ が 任 意 の パ タ ー ン ψ εDo魏 に 対 し 成 立 し て い る. 最 後 に,上 の 議 論 で 適 用 さ れ た"構 造 モ デ ル 定 理"を 定 理7.1と し て 掲 げ て お く. 〔定 理7.1〕(構 造 モ デ ル 定 理) 3条 件 ξ εDαm={ψ;llノ(H)ψ11<○ ○,ψ ε ξ)} Bc(H)ξ ≠0,leLO〈ea≦ 芝}`(ξilξ 【「-1),IEL
の 下 で,任 意 の ψ εDo彿 に 対 し,次 の(i) ∼(iv)が 成 り 立 つ: (i)墅)(く ρ)ε 」1:)om (ii)VleL,Xc(⑫(ψ))=X`(《 ρ). (iii)量)(2)((ρ))e9)((ρ)● (iv)基 作 用 素Hと 可 換 な 任 意 の ウ ニ タ リ 作 用 素Uの 下 で,②(Uψ)=⑫(ψ). 8.構 造 化 再 構 成 の 計 算 機 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 本 章 で は,カ テ ゴ リ 番 号 の 集 合Jを Je{1,2,3,4,5} と し て,カ テ ゴ リ 集 合 ⑮e{(Σ ゴ;ノ ε」} 上 の 平 均 化 パ タ ー ン ξ を ξeΣ ゴεノp((s;)・ ω 爿1ω ゴ1广1 で は な く し て, ξeΣ;E/p(◎ ゴ)・ ω ゴ と 定 義 し,ま た,2値 化 特 徴 抽 出 写 像XL(・) の 番 号1の 集 合Lを L={1,2,3,・ 。・。・・,25} と し て,パ タ ー ン ψ の 構 造 モ デ ル 尠(ψ)を 墅)(ψ)・=ΣLecXa(ψ)・ θ`(H)ξ11ξ1-1 で は な く し て, .鏨)(ψ)=ΣaeLXa(ψ)・ θ`(H)ξ と 定 義 し た 場 合 の,構 造 化 再 構 成 の 過 程 一48∼
" ψ 一 → 尠(ψ)" の 計 算 機 シ ミュ レ ー シ ョ ン 結 果 が 示 さ れ る. こ の 変 更 に よ っ て,第7章 で 説 明 さ れ た" (ψ))・に 対 す る 解 釈 ∼ 及 賦 定 理7.1の 内 容 は 全 く変 更 を受 け な い こ と は 容 易 に 確 か め ら れ る. 本 計 算 機 シ ミュ レ ー シ ョ ン で は,第:, 目 の カ テ ゴ リ 賜 の 生 起 確 率p(◎ ゴ)は p((Σ ブ)=1/5,ノ ε」 と選 ば れ,ま た,◎ ゴの 代 表 パ タ ー ン 働 の は 劬=ψ15+ブ,ノeJ と選 ば れ て い る. 入 力 パ タ ー ン ψか ら抽 出 さ れ た 第 琵L番 目 の 特 徴 量1(ψ)か ら
Xa(ψ)一{1霧
紹:::
と2値 化 され た 特 徴 量X〆
ψ)を 得 るた 必要
な 刺 激 閾値eaの
組
e={e`;zεL} の 値 をTab.2に 示 す.
z
色 ¶ / 1・187 z n●78坊 3 n.z32 4 11・F15夕
x.390 6 n・5027
u`898 8 x.2329
n.bgn ノ0 n・ 肱12 ! n・169 Z u・268 3 n・389 4 n●159 /夕 ll・i63 彡 n●151 7 日.1un S n●155 ヲ 0●2n9 za (1・1:37 i n●237 L ・∩ ●1臼5 3 i.2zu4
0・3∩ 弓 z5一 n・333 舮 Tab.2Thefamilye{et;Z=1∼25} ofstimulusthresholdvalues.Fig. 9
The structurally reconstructed pattern cp ( 924) of the pattern p24.
..
Fig.1の8値 化 パ タ ー ン ψ24を 構 造 化 的 に 再 生 し て 得 ら れ る モ デ ル9(ψ24)がFig.9 に 示 さ れ て い る. 同 じ く,カ テ ゴ リ 慝4C業")に 帰 属 す る8 値 化 バ タ ー ン ψgがFig.10に 示 さ れ て お り, そ の 構 造 化 再 生 モ デ ル ②(ψg)がFig.11に 示 さ れ て い る.・
Fig.10 The corresponding eight-valued pattern 99 of the 9th handwritten Chinese character.
Fig.11 The structurally reconstructed pattern D( co9) of the pattern 99.
一50一同 じ く,カ テ ゴ リ ⑮ 、("芝")に 帰 属 す る
8値 化 パ タ ー ン ψ16がFig.12に 示 さ れ て お り,
そ の 構 造 化 再 生 モ デ ル 黔(ψ16)がFig .13に 示 さ れ て い る.
亀
Fig.1 2 The 16th handwritten Chinese character p16 .
Fig.13 The structurally reconstructed pattern V(47,16) of the pattern q,16.
— 51 —9.む
す
び
孟 を 実 パ ラ メ ー タ に も つ ウ ニ タ リ 作 用 素 Tt=-itHeが,パ タ ー ン ψ=く ρ(κ1,xz)に 対 し, (Tゆ)(κ1,xz) 一 ψ(uc。S(v一 孟),usin(v-t)) こ こ に,xl=ucosv,xz=usinv と い う 回 転 を 表 わ す よ う に,自 己 共 役 作 用 素 Hを H=xl・i-1∂/∂xz-xz・ ガ1∂/∂ κ1 二 厂1∂/∂v と 選 び,回 転 群{Tご}一 。。<t〈 。。 の 下 で 不 変 な 三 事 項 (i)理 想 帯 域 空 間 フ ィ ル タeL(H) に よ る 画 像 分 解 ψ →B(H)ψ 一{θ 、(H)ψ;z・L} (ii)正 値 自 己 共 役 作 用 素f(H)に よ る 画 像 強 調 ラ ラ θ(H)(ρ → ノ(H)・ θ(H)ψ 二{ノ(H)・Ba(H')ψ;1εL} (iii)構 造 モ デ ル 化 写 像 尠(・)=ΣzεLX`(・)・el(H)ξ に よ る 画 像 の 構 造 化 再 構 成 ψ → 尠(ψ) に つ き 論 じ,そ の 計 算 機 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 結 ● 果 を 検 討 し た. (i)に つ い て は 作 用 素 に 対 す る フ ー リエ 変 換 法 が,(ii)に つ い て は,作 用 素 に 対 す る プ ラ ス 変 換 法 が 有 効 に 適 用 さ れ 得 る こ と が 示 さ れ た.(iii)に つ い て は,写 像9(・)に っ い て の 更 に 深 い 意 味 が 付 録 で 説 明 さ れ て い る. 本 研 究 は,パ タ ー ン 認 識 情 報 処 理 が 次 の 三 操 作(1),(2),(3)で な さ れ る とす れ ば, 主 に,(2)の 段 階 に 位 置 す る も の で あ る 旨 を 指 摘 し,本 論 文 を 終 え よ う. (1)外 界 か ら の 刺 激 が 感 覚 器 へ の 情 報 と な る.感 覚 器 上 の 情 報 を パ タ ー ン ψ と す る. (2)そ の 情 報 パ タ ー ン ψ か ら 閾 知 覚 の 働づ
きで 抽 出 さ れ た2値 化 特 徴 量 の 集合X(ψ)
={X`(ψ);琵L}と 類 似 し た パ タt一ン の 情 報 を 記 憶 領 域 か ら探 索 し,類 似 し た パ タ ー ン の 記 憶 が 想 起 心 像 ⑳(ψ)と し て 見 つ か る. (3)ω5を 第 ノε」番 目 の カ テ ゴ リ(s;の 代 表 パ タ ー ン と し て,各 劬 の 構 造 モ デ ル ⑫( (ω ゴ)と 想 起 心 像 ⑫(ψ)と を 比 較 し,鈔(ψ) と最 も 関 連 の 度 合 が 大 き い ②(ω ゴ)が,入 力 パ タ ー ン ￠ の 帰 属 す る カ テ ゴ リ と定 め る.文
献
(1)森 本 正 昭:情 報 処 理 心 理 学,誠 信 書 房, 1983年2月 (2)R.L.ク ラ ッ キ ー:記 憶 の し く み1, II(認 知 心 理 学 的 ア プ ロ ー チ),箱 田 裕 司 ・ 中 溝 幸 夫 共 訳,サ イ エ ン ス 社,1982年11月 (3)渡 辺 茂 編:教 育 に お け る 情 報 工 学(教 育 工 学 講 座6),大 日本 図 書 株 式 会 社,1979年 8月 (4)長 尾 真:画 像 認 識 論(情 報 工 学 講 座16), コ ロ ナ 社,1983年2月 (5)長 尾 真:パ タ ー ン 情 報 処 理(電 子 通 信 学 会 大 学 シ リー ズ1∼4),コ ロ ナ 社,1983年 3月 (6)長 尾 真 編:パ タ ー ン 認 識 と 図 形 処 理(岩 波 講 座 情 報 科 学21),岩 波 書 店,1983年3月 (7)磯 道 義 典:デ ィ ジ タ ル 信 号 と画 像 の 再 現 法 一 面 積 近 似 形 逆 量 子 化 法,電 子 通 信 学 会 論 文 誌Vo1.J64-A,Na4,1981 年4月,PP・285-292 (8)杉 原 厚 吉:多 面 体 線 画 の 数 理 的 構 造 線 画 を 介 し た 計 算 機 と の 対 話 を め ざ し て, 情 報 処 理,Vol.22,No.3,1981年3月, PP・209-217 (9)鈴 木 昇 一:認 識 工 学(上),柏 書 房,1975 年2月 (1① 鈴 木 昇 一:測 度 的 不 変 量 検 出 形 認 識 系 の 構 成 理 論,電 子 通 信 学 会 論 文 誌(D),Vo1. 55-D,No.8,1972年8月,PP・531-538 (11)鈴 木 昇 一:手 書 き漢 字 の 側 抑 制 効 果 的 分 一52一解 と そ の 計 算 機 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン,情 報 処 理 学 会 誌,Vol.15,No.12,1974年12月, PP・927-934 (12)鈴 木 昇 一:画 像 情 報 量 と そ の 手 書 き 漢 字 へ の 応 用,画 像 電 子 学 会 誌,Vol .4,No.1, 1975年4月,PP・4-12 (13)鈴 木 昇 一:特 徴 量 と し て の 測 度 的 ウ ニ タ リ不 変 量 の 完 全 な 集 合 の 一 構 成,電 子 通 信 学 会 論 文 誌(D),Vol.J59-D,N。.9, 1976年9月,PP…:1 (14)鈴 木 昇 一:構 造 化 情 報 パ タ ー ン の4性 質, 電 子 通 信 学 会 論 文 誌(D),Vol.J59-D, No.12,1976年12月,pp.937-938 (15)鈴 木 昇 一:パ タ ー ン 認 識 に お け る構 造 化 モ デ ル の4性 質 と そ の 応 用,電 子 通 信 学 会 論 文 誌(D),Vo1.J60-D,No.9,1977年 9月,PP.710-717 ⑯ 鈴 木 晃 一:規 格 化 特 徴 量 の 集 合 の 完 結 構 造 モ デ ル に よ る 一 意 的 決 定,電 子 通 信 学 会 論 文 誌(D),Vo1.J60-D,No.10,1977年 12月,pp.:・::.. (17)鈴 木 昇 一:抽 出 さ れ た 特 徴 に よ る 手 書 き 漢 字 構 造 の 再 生,情 報 処 理 学 会 誌,Vo1.18, No.11,1977年11月,pp.1115-1122 (18)鈴 木 昇 一:構 造 モ デ ル 化 写 像 の 一 般 化, 電 子 通 信 学 会 論 文 誌(A),Vo1.J66-A, No.2,1983年2月,pp.162-163 (19)鈴 木 昇 一,斎 藤 静 昭,奥 野 治 雄,太 田 芳 雄:画 像 の 復 元 と そ の 計 算 機 シ ミュ レ ー シ ョ ン,工 学 院 大 学 研 究 報 告,No.39,1976 年1月,PP.198-206 (20)鈴 木 昇 一,太 田 芳 雄,斎 藤 静 昭,奥 野 治 雄:感 覚 空 間 回 路 の 設 計 と作 用 素 に 対 す る ラ プ ラ ス 変 換 法,工 学 院 大 学 研 究 報 告,No. 40,1976年6月,pp.122-134 (21)鈴 木 昇 一,柴 山 秀 雄,福 永 一 保,大 本 修, 古 田 晋 吾:作 用 素 に 対 す る フ ー リエ 変 換 法 に よ る 側 抑 制 特 性 の 設 計,芝 浦 工 業 大 学 研 究 報 告 理 工 系 編,Vo1.24,N。.1,1980年 3月,pp.147-155 (22)鈴 木 昇 一:認 識 器 容 量 の 一 提 案 づ 情 報 処 理 学 会 第25回(昭 和57年 後 期)全 国 大 会 講 演 論 文 集,・C2,1982年10月,pp.945 -946 ㈱ 鈴 木 昇 一:認 識 器 の 内 蔵 し て い る 知 識 の 算 術 化(認 識 部 分 関 数,認 識 過 程 とパ タ ー ン の 意 味),電 子 通 信 学 会 技 術 研 究 報 告 〔パ タ ー ン 認 識 と 学 習 〕,Vol.82,No.266, PRL82-85,1983年2月,pp.45-54 (24)鈴 木 昇 一:主 観 的 認 識 か ら 客 観 的 認 識 へ の 転 換 プ ロ グ ラ ム,昭 和58年 電 子 通 信 学 会 総 会 全 国 大 会 〔分 冊5〕,15-3情 報 ・制 御 C,1375,1983年4月,pp.5-246 ㈱ 鈴 木 昇 一:パ タ ー ン の 意 味 論 的 不 動 点 方 程 式,電 子 通 信 学 会 技 術 研 究 報 告 〔パ タ ー ン 認 識 と 学 習 〕,Vo1.83,No.53,PRL83 -21 ,1983年6月,pp.81-88 ㈱ 鈴 木 昇 一:mixtureの 分 離 に よ る 再 帰 形 パ タ ー ン 認 識,昭 和58年 度 電 子 通 信 学 会 情 報 ・シ ス テ ム 部 門 全 国 大 会 講 演 論 文 集 〔分 冊1〕1983年9月,p.1-103 (27)鈴 木 昇 一:不 動 点 形 構 造 受 精 認 識 の 再 帰 プ ロ グ ラ ムFERT,情 報 処 理 学 会 第27回 全 国 大 会 講 演 論 文 集(II)パ タ ー ン 処 理 お よ び 人 工 知 能,1983年10月,pp.919-920 【付 録 】 ψ∪ η,ψ ∩ ηの 構 造 モ デ ル ま ず,構 造 モ デ ル ②(ψ)の 解 釈 を 説 明 し よ う. P(ψ)=ΣaeLXt(ψ)・BZ(H) と 定 義 さ れ た 加 法 的 作 用 素P(ψ)は 射 影 作 用 素(projector)で あ り,ψ εDo鵠 の 構 造 モ デ ル ④(ψ)=ΣceLXt(ψ)・Bc(H)ξ1[ξ11-1 は,次 の よ うに 表 わ さ れ る: 2)(ψ)=P(ψ)ξi1ξil-1.・ こ の 事 実 は,射 影 作 用 素p(ψ)を こ の ξ llξ【1-1に作 用 させ れ ば,ψ の 構 造 モ デ ル 暫(ψ が 得 られ る と い う事 実,つ ま り,ノ ル ム 規 格 化 パ ター ン 一53一
ξ=Σ ゴe/p(魁 ゴ)・吻llωゴll-1 を知 識 べ 一 ス(knowledgebase)と 考 え る こ と の 可 能 性 を 意 味 す る. ψ ま た は ηの,見 え と し て の 構 造 的 情 報 (structuralinformation)を 表 わ す ψ∪ η の 構 造 モ デ ル,あ る い は,ψ か つ η の,見 え と し て の 構 造 的 情 報 を 表 わ す ψ∩ η の 構 造 モ デ ル を 無 理 な く定 義 す る た め の 論 を 以 下 に 提 供 し よ う. V乙 εL,X`(ξ11ξlr1)二1 が 成 立 し て い る か ら P(ξ)=P(ξ1ξ1r1) =ΣCELXI(ξ11ξir1)=ΣIELBI(H) ・=1(恒 等 作 用 素) で あ る. p(ψ)の 持 つ 意 味 に つ き検 討 す る た め,少 し議 論 を一 般 化 し よ っ. 二 つ の 射 影 作 用 素(projector)p,Qに 対 し, P田Q二P+Q-PQ P⑭Q=PQ と い う二 つ の 演 算 田,⑭ を 定 義 す る.P,Q が 可 換1生(commutativity)を もつ と は, ・AA・ が 成 り立 つ こ と だ と定 義 す る. 〔定 理A.1〕 二 つ の 射 影 作 用 素P,Qが 可 換 な ら, P田Q,P⑭Qは 射 影 作 用 素 で あ る. (証 明)ま ず,三 性 質 PP=P(巾 等 性) Vψ,Vηe{),(Pψ,η)=(ψ,Pη) (対 称 性) ヨ α(≧0),i[Pψli≦ αll釧(有 界 性) を 満 た す 加 法 的 作 用 素(additiveoperator) Pは 射 影 作 用 素 で あ る こ と に 注 意 し て お こ う. (P⑭Q)・(P⑭Q)=PQPQ =PPQQ=PQ二P⑭Q(巾 等 性) (〔P⑭Q〕 ψ,η)一(PQψ,η) 一(Qψ,Pη)ニ(ψ,QPη) =(ψ,PQη)一(ψ,〔 ・1,1A〕 η) (対 称 性) 11〔P⑭Q〕 ψ1=llPQψll≦ilQψli ≦llψll∵Ilpψ1≦11ψ11, llQψil≦11ψi1(有 界 性) を満 た し,・ CIAは 射 影 作 用 素 で あ る こ とが 知 れ た. 次 に,P田Qの 射 影 作 用 素 な る こ と を 示 そ う. (P田Q)P=(P十Q-PQ)P =PP十QP-PQP=P十QP-QPP =P十QP-QP=P(*1) ((P田Q)Q=(P十Q-PQ)Q =PQ十QQ-PQQ=PQ十Q-PQ ‐(a(*2) (P田Q)PQ=(P+Q-PQ)PQ =PPQ+QPQ-PQPQ=PQ+PQ Q-PPQQ=PQ十PQ-PQ
コ
=PQ(*3) の 成 立 に 注 目 す る.よ っ て, (P田Q)・(P田Q) =(P田Q)(P十Q-PQ) =(P田Q)P+(P田Q)Q-(P田Q)PQ =P+Q-PQ=P田Q(巾 等 性) (〔P田Q〕 ψ,η)一(Pψ,η)+(Qψ, η)一(PQψ,η) 一(ψ,Pη)+(ψ,Qη)一(A/Pη) 一(ψ,〔P+Q-QP〕 η) =(ψ,〔P十Q-PQ〕 η) =(ψ,(P田Q)η)(対 称 性) i1〔P田Q〕 ψli≦11pψi1十i1Q(ρll十 11-PQψll≦311ψ11(有 界 性) を 得 て,P田Qの 射 影 性 が 示 さ れ た. (証 明 終) 〔定 理A.2〕Pが 射 影 作 用 素 な ら ば,1 を 恒 等 作 用 素 と し て,1-Pも ま た 射 影 作 用 素 で あ る. 一54一(証 明)次 の よ う に,巾 等 性,対 称 性,有 界 性 が 示 さ れ,1-Pが 射 影 作 用 素 で あ る こ とが 知 れ る: (1-P)(1-P)=(1-P)-P(1-P) =1-P-P十P2=1-2P十P =1-P(巾 等 性) (〔1-P〕 ψ,η)e(ψ,η)一(Pψ,η) =(ψ ,η)十(ψ,-Pη) =(ψ ,・ 〔1-P〕 η)(対 称 性) 「[〔1-P〕 ψll≦1[ψ1ト1-P-II ≦211ψll(有 界 性). (証 明 終) さ て,互 い に 可 換 な 射 影 作 用 素 の 集 合(a setofcommutativeprojectors) 3p} に お い て,2項 関 係 P≦Q を,次 式 の 成 立 で 定 義 す る:PQ=P.。 〔定 理A.3〕 互 い に 可 換 な 射 影 作 用 素 の 集 合{P}に お い て 定 義 さ れ た2項 関 係 P≦Qは 半 順 序(partialordering)で あ る. (証 明)次 の 二 性 質 を 示 せ ば よ い. (i)反 射 律(reflexivelaw)P=p (ii)反 対 称 律(asymmetriclaw) P≦Qか つQ≦Rな ら ばP=Q. (iii)推 移 律(transitiveIaw) P≦Qか つQ≦Rな ら ばP≦.R. ち な み に,(i)はP・P=Pか ら 明 然. (ii)に つ い て は,PQ=P,QP=Qで,然 もPQ=QPで あ る か ら,P=Qを 得 る. (iii)に つ い て は,・A・ か つQR=Qで あ る か ら,P=PQ=PQR=P.Rを 得 る. (証 明 終) こ の よ う に 定 義 さ れ た 半 順 序 ≦ の 下 で は, 互 い に 可 換 な 射 影 作 用 素P,Qに 対 し,P, Qの 最 小 上 界(theleastupperboundof twooperatorsP,Q)は P田Q で あ り,P,Qの 最 大 下 限(七hegreatest lowerbound)は P⑭Q で あ る.い い か え れ ば,P,Q,Rを 互 い に 可 換 な 射 影 作 用 素 と し て, (i)P≦P田Q,Q≦P田Qが 成 り 立 ち, P≦Rか つQ≦Rな ら ばP[ヨQ≦R (ii)P⑭Q≦P,・1,tA≦Qが 成 り 立 ち, R≦Pか つR≦Qな ら ばR≦P⑭Q が 成 り 立 つ. 本 論 に 入 ろ う. P(ψ)ξilξll-1 を,パ タ ー ン ψ εD伽 の 構 造 モ デ ル と い う こ と は 既 に 説 明 さ れ て い る.同 様 に, 〔P(ψ)田P(η)〕 ξllξ「1-1 を ψ ∪ η(ψ ま た は η)の 構 造 モ デ ル と い い,ま た, 〔P(ψ)⑭P(η)〕 ξllξ1广1 を ψ ∩ η(ψ か つ η)の 構 造 モ デ ル と い う.各 々,次 の よ う に 表 わ さ れ る: 〔P(ψ)田P(η)〕 ξ11ξlr1 =〔P(ψ)十P(η)-P(ψ)・P(η)〕 ξilξ1广1 =ΣIEL〔Xl(ψ)+Xl(η)-Xl(ψ)・ Xl(η)〕 ・e(H)ξliξll-1 =Σ 胤(のuL(μ)el(H)ξ[1ξ1「-1 . 〔 ・a)⑭P(η)〕 ξllξ1-1 =〔P(ψ)・P(η)〕 ξllξ1「-1 =Σ 乙ε乙x`(ψ)・x`(η)・ θ`(H)ξ11ξll-i =Σ`ε 乙(9)∩ 乙(μ)θ`(H)ξ1ξ}1-1 . こ こ に,五(ψ)={1;X`(ψ)二1,詫 五}. カ テ ゴ リ ◎ ゴの 代 表 パ タ ー ン ωブの 集 合 Ω={ω ゴ;ノε」} 一55一
が"構 造 モ デ ル 的 に 完 全(complete)"で あ る と は,カ テ ゴ リ 番 号 の 集 合 」 を J={1,2,… …,m} と し て,次 の2条 件(i),(ii)が 満 た さ れ る こ と を い う: (i)P(ω 、)田P(ω 、)田 ・… ・・田P(ω ・) =1(恒 等 作 用 素) (ii)k≠Jで あ れ ば, P(ω の ⑭P(ω ゴ)=0(零 作 用 素). さ て,各 θ`(H)の 巾 等 性,直 交 性 Bc(H)・ θ髭(H)=θ`(H)ifl=k, =oifZ≠k を 適 用 す れ ば, VleL,Bl(H)・P(η)=Xc(η)・BL(H) が 成 り 立 ち,よ っ て, P(ψ)・P(η) =ΣaeLXa(ψ)・Ba(H)・P(η) =ΣIELXZ(ψ)・x乙(η)・ θ`(H) =ΣaeL(ψ)∩L(a)Ba(H) が 成 り 立 ち,よ っ て, FTIEL,X乙(ψ)≦X`(η) で あ れ ば, vzεL,Xc(ψ)・Xc(η)-Xc(ψ) で あ る か ら, (a)VZε 五,Xc(ψ)≦Xl(η) →P(ψ)・P(η)eP(ψ), 即 ち,P(ψ)≦P(η) が 成 り 立 つ. 次 の 三 公 式(b),(c),(d)の 成 立 も, 定 理A.1の 証 明 中 の(*1),(*2),(* 3)か ら 明 ら か で あ る. (b)P(ψ)⑭ 〔P(ψ)E日P(η)〕 ξllξil-1 =⑳(ψ) (c)P(η)⑭ 〔P(ψ)[王]P(η)〕 ξ 【1ξlrl e尠(η) (d)〔P(ψ)⑭P(η)〕 ⑭ 〔P(ψ) 田P(η)〕 ξllξll-1 =〔u)⑭P(η)〕 ξllξ1广1 . (イ寸録 終 り) (1983年9月20日 受 付) 情 報 研 究 第4号 に 掲 載 され た 「回転 群 と画 像 の 分 解 ・強 調 ・構 造 化 再 構 成 に 関 す る計 算 機 シ ミュ レー シ ョン 」 に お け る誤 りを下 記 正 誤 表 に よ って 訂 正 い た し ます.
