ベクトルポテンシャルを用いた流体流れ場の編集
Editing Fluid Flow using Vector Potential
佐藤 周平
1†土橋 宜典
2,1楽 詠灝
3岩崎 慶
4,1西田 友是
5,1Syuhei SATO
1†Yoshinori DOBASHI
2,1Yonghao YUE
3Kei IWASAKI
4,1Tomoyuki NISHITA
5,11 UEI リサーチ
1 UEI Research
2 北海道大学, JST CREST 2 Hokkaido University, JST CREST
3 コロンビア大学 3 Columbia University
4 和歌山大学
4 Wakayama University
5 広島修道大学
5 Hiroshima Shudo University
E-mail: †syuhei.sato@uei.co.jp
1. は じ め に
近 年 ， 映 画 や ゲ ー ム な ど の 映 像 制 作 に お い て ， 写 実 的 な 流 体 映 像 を 作 成 す る た め に ， 物 理 ベ ー ス の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン [2]が よ く 利 用 さ れ る ．し か し ，物 理 ベ ー ス の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン は 非 常 に 計 算 コ ス ト が 高 い ． そ の た め ， 所 望 の 流 体 映 像 を 得 る た め に は 異 な る パ ラ メ ー タ セ ッ ト で 何 度 も シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を 繰 り 返 す 必 要 が あ り ， 映 像 制 作 全 体 に か か る 時 間 が 非 常 に 長 く な る ． 再 度 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を 実 行 せ ず に ， 流 体 の 流 れ 場 を 編 集 で き れ ば ， こ の よ う な 問 題 の 解 決 が 期 待 で き る ． し か し ， 単 純 に 流 れ 場 を 編 集 し た 場 合 ， 流 体 の 非 圧 縮 性 が 保 た れ ず ， 意 図 し な い 場 所 か ら 流 体 が 湧 き 出 し た り ， 消 え た り す る ． そ こ で ， 本 研 究 で は ， 非 圧 縮 性 を 保 持 し た 流 体 流 れ 場 の 編 集 手 法 を 提 案 す る ． こ の よ う な 編 集 を 実 現 す る た め に ， 我 々 は ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル を 用 い て ， 流 れ 場 を 表 現 す る ． 提 案 手 法 で は ， ま ず ， 入 力 の 速 度 場 か ら ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル を 計 算 す る ． 次 に ， ユ ー ザ が 編 集 操 作 を 行 い ， ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル に 編 集 に 対 応 し た 処 理 を 行 う ． そ し て ， 編 集 後 の ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル に 対 し て ， curl 演 算 子 ( )を 適 用 す る こ と で ， 編 集 が 適 用 さ れ た 速 度 場 を 得 る ． 任 意 の ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル に つ い て ， が 成 り 立 つ た め ，我 々 の 手 法 は 常 に 非 圧 縮 性 を 保 証 す る こ と が で き る ． 提 案 手 法 を 用 い る こ と で ，ユ ー ザ は 流 れ 場 を 編 集 し て ，様 々 な 流 れ 場 を 作 成 す る こ と が 可 能 で あ る ． 編 集 要 素 と し て は ， 流 れ 場 の 変 形 と 障 害 物 の 追 加 を 扱 う ．2. 関 連 研 究
流 体 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン：Stam は ，Navier-Stokes 方 程 式 を 安 定 に 解 く た め の 手 法 を 提 案 し た [23]． Stam の 手 法 以 降 ， 様 々 な 流 体 現 象 を シ ミ ュ レ ー シ ョ ン す る た め の 手 法 が 数 多 く 提 案 さ れ て い る [6-8,11,16]． 一 般 的 に ， 所 望 の 流 体 ア ニ メ ー シ ョ ン を 得 る た め に は ， シ ミ ュ レ ー シ ョ ン の 実 行 と パ ラ メ ー タ の 調 整 を 繰 り 返 し 行 う 必 要 が あ る ． こ れ は 非 常 に 煩 雑 な 作 業 で あ る ． 流 体 制 御 ： 所 望 の 形 状 の 流 体 ア ニ メ ー シ ョ ン [5,22,26] や ユ ー ザ 指 定 の 曲 線 に 沿 っ て 動 く 流 体 [14]を 作 成 す る た め に ， い く つ か の 制 御 手 法 が 提 案 さ れ て い る ． こ れ ら の 手 法 は ， 外 力 を 追 加 す る こ と に よ っ て 流 体 の 動 き を 制 御 す る ． こ れ ら の 手 法 を 用 い て ， 様 々 な 流 体 ア ニ メ ー シ ョ ン を 作 成 す る 場 合 ， ユ ー ザ は 複 数 回 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を 実 行 す る 必 要 が あ る ．一 方 我 々 の 手 法 で は ， 再 度 流 体 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を 実 行 す る 必 要 な く ， 様 々 な 流 体 ア ニ メ ー シ ョ ン を 作 成 す る こ と が 可 能 で あ る ． モ デ ル リ ダ ク シ ョ ン ： 流 体 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を 高 速 化 す る た め の 一 つ の ア プ ロ ー チ と し て ， モ デ ル リ ダ ク シ ョ ン 手 法 が 提 案 さ れ て い る [25,27]．こ れ ら の 手 法 で は ， 様 々 な 初 期 条 件 ， パ ラ メ ー タ で シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を し て 得 ら れ た 速 度 場 の セ ッ ト を 用 意 し ， そ の 速 度 場 に 対 し 主 成 分 分 析 を 適 用 す る ． そ し て ， 主 成 分 を 基 底 関 数 と し て 用 い る こ と で ，Navier-Stokes 方 程 式 を 高 速 に 計 算 で き る ． し か し ， こ れ ら の 手 法 で は ， 基 底 の 線 形 和 に よ り 流 れ 場 を 表 現 し て い る た め ， 入 力 デ ー タ か ら 大 き く 異 な る 流 れ 場 は 作 成 す る こ と が で き な い ． ま た ， 様 々 な 流 れ 場 を 作 成 可 能 と す る た め に は ， 多 く の 速 度 場 デ ー タ が 必 要 で あ り ， そ の 結 果 と し て ， デ ー タ ベ ー ス を 構 築 す る 段 階 で ， 繰 り 返 し 流 体 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を 実 行 し な け れ ば な ら な い ． 上 記 の 手 法 を ベ ー ス と し て ， 流 体 の 高 速 な 再 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を 可 能 と す る 手 法 が 提 案 さ れ て い る [13]． こ の 手 法 で は ， 流 体 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に よ り 得 ら れ た 単 一 の 速 度 場 の セ ッ ト に 対 し 主 成 分 分 析 を 適 用 し ， 基 底 関 数 を 得 る ． そ し て ， そ の 基 底 が 張 る 空 間 で Navier-Stokes 方 程 式 を 解 く こ と で ， 異 な る パ ラ メ ー タ 設 定 の 流 れ 場 を 効 率 的 に 計 算 す る こ と が で き る ． し か し ， こ の 手 法 で も ， [25,27]の 手法 と 同 様 に デ ー タ の 線 形 和 と し て 表 現 で き な い 流 れ 場 は 作 成 で き な い ． 従 っ て ， 提 案 手 法 が 目 標 と す る よ う な ，全 体 的 な 流 れ を 変 更 す る と い っ た こ と は で き な い ． 手 続 き 的 手 法 ： 手 続 き 的 な 手 法 は ， 比 較 的 低 コ ス ト で 所 望 の 流 れ 場 を 作 成 す る こ と が で き る ． こ の よ う な 手 法 の 一 例 と し て ， 様 々 な 炎 の ア ニ メ ー シ ョ ン を 作 成 す る た め の 手 法 が 提 案 さ れ て い る [9,15]．こ れ ら の 手 法 で は ， 炎 の 経 路 を 表 す 曲 線 を 変 形 す る こ と で ， 所 望 の 結 果 を 生 成 す る こ と が で き る ． し か し ， 物 理 的 な 正 確 さ は 考 慮 し て い な い た め ， 不 自 然 な 結 果 が 作 成 さ れ る 場 合 が あ る ． ま た ， 流 れ 場 は 非 圧 縮 性 を 満 た さ な い ． Pighin ら は ， シ ミ ュ レ ー シ ョ ン さ れ た 流 れ 場 を ， advected radial basis functions に よ り 表 現 し ， 流 れ 場 を 編 集 す る た め の 手 法 を 提 案 し た [18]． し か し ， こ の 手 法 も 結 果 の 流 れ 場 に 対 し 非 圧 縮 性 を 保 証 し て い な い ． シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 結 果 の 再 利 用：Reveendran ら は シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に よ り 作 成 さ れ た 複 数 の 水 の ア ニ メ ー シ ョ ン か ら そ の 間 の 状 態 を 補 間 す る 手 法 を 提 案 し た [19]． こ の 手 法 で は ， 水 の 表 面 を 表 す メ ッ シ ュ デ ー タ か ら time-space mesh を 作 成 し ，non-rigid iterated closest point method (non-rigid ICP)に よ り デ ー タ 間 の 対 応 を と る こ と で ， 尤 も ら し い 中 間 の 状 態 の メ ッ シ ュ を 得 る こ と が で き る ． し か し ， こ の 手 法 は 水 面 を 表 す メ ッ シ ュ に 対 し て 適 用 す る も の で あ り ， 我 々 が 扱 う よ う な 格 子 に 格 納 さ れ た デ ー タ を 扱 う こ と は 考 慮 さ れ て い な い ． 我 々 は こ れ ま で ， 流 れ 関 数 を 用 い る こ と で ， 非 圧 縮 性 を 保 持 し て 2D の 流 れ 場 を 変 形 す る た め の 手 法 を 提 案 し た [20] ． 本 稿 で は ， ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル を 用 い る こ と で ，3D の 流 れ 場 に 対 し て そ の よ う な 変 形 を 実 現 す る た め の 手 法 を 提 案 す る ． ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル の 計 算 ： 速 度 場 か ら ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル を 求 め る 方 法 は ， 数 値 流 体 力 学 の 分 野 に も 存 在 す る ． 例 え ば ， 渦 法 で は ， 速 度 場 を 渦 度 の ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル で あ る と み な し ， 渦 度 場 か ら 速 度 場 へ 変 換 す る [4,10,17,28,29]．我 々 の 知 る 限 り で は ，我 々 の 手 法 は 流 体 の 編 集 の た め に ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル を 使 用 し た 初 の 方 法 で あ る ． 本 稿 で は ， 我 々 の 問 題 に 適 切 な 境 界 条 件 と 方 程 式 に つ い て 議 論 す る ．
3. 入 力 と 仮 定
提 案 手 法 の 入 力 は ， 非 圧 縮 な 速 度 場 の 単 一 の セ ッ ト で あ る ．こ こ で ， は フ レ ー ム 番 号 を 表 し ， は 入 力 の 速 度 場 の フ レ ー ム 数 で あ る ． 提 案 手 法 で は ， が 空 間 的 に 十 分 な め ら か で あ り ， 単 連 結 な 閉 領 域 ( は 種 数 0)に 定 義 さ れ て い る と 仮 定 す る ． ま た ， の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 空 間 の 境 界 の 法 線 方 向 成 分 が で あ る と 仮 定 す る ： (at )． こ こ で ， は 境 界 の 法 線 で あ る ． ま た ， 密 度 場 と し て 表 現 さ れ る 流 体 が に 従 っ て 移 流 す る と 仮 定 す る ． 提 案 手 法 で は ， 速 度 場 を 置 き 換 え ， 新 し い 速 度 場 に 従 っ て 流 体 を 移 流 さ せ る こ と で ， 様 々 な ア ニ メ ー シ ョ ン を 作 成 す る ． 以 下 で は ， 簡 潔 な 表 記 の た め に を 省 略 す る ．4. 提 案 手 法 の 概 要
速 度 場 や 密 度 場 を 直 接 操 作 す る 代 わ り に ， 提 案 手 法 で は ， ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル を 用 い る こ と で ， 編 集 さ れ た 流 れ 場 に 対 し ， 非 圧 縮 性 を 保 証 す る ． 単 連 結 な 閉 領 域 に お い て ，Helmholtz -Hodge 分 解 の 定 理 [1,24]に よ り ，十 分 に な め ら か な ベ ク ト ル 場 は 次 の よ う に 分 解 で き る ． ， (1) こ こ で ， は ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル ， は ス カ ラ ー 場 で あ る ． の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 空 間 の 境 界 の 法 線 方 向 成 分 は で あ る : at ， (2) ま た ， は 境 界 に 垂 直 で あ る ． 我 々 の 入 力 の 速 度 場 は 非 圧 縮 な の で ， で あ り ， 従 っ て ， ． (3) そ し て ， 恒 等 式 が 任 意 の ベ ク ト ル 場 に 対 し て 満 た さ れ る た め ， ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル の 回 転 は 常 に 非 圧 縮 条 件 を 満 た す ． そ の た め ， ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル に 対 し 編 集 を 行 う こ と で ， 結 果 の 流 れ 場 に 非 圧 縮 性 を 保 証 す る こ と が で き る ． 図 1 に 提 案 手 法 の 概 要 を 示 す ． 視 覚 的 に わ か り や す く す る た め ， 全 て の 3 次 元 ベ ク ト ル 場 を ， 2 次 元 ベ ク 図 1： 提 案 手 法 の 概 要ト ル 場 で 図 示 し た ． 前 処 理 で は ， ま ず ， 格 子 ベ ー ス の 方 法 に よ り ，非 圧 縮 性 Navier-Stokes 方 程 式 を 解 く こ と で ，入 力 の 速 度 場 を 作 成 す る ．そ し て ，各 フ レ ー ム の 速 度 場 を ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル へ 変 換 す る ．ラ ン タ イ ム で は ， ユ ー ザ が 編 集 操 作 を 行 い ， そ の 編 集 に 対 応 す る 処 理 を ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル に 適 用 す る こ と で ， 編 集 後 の ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル を 得る ．そ し て ，curl 演 算 子 を に適 用 す る こ と で ，編 集 後 の 速度 場 を生成 す る ． 最 後 に ， に 従 っ て 密 度 場 を 移 流 さ せ る ．
5. ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル の 計 算
Helmholtz-Hodge 分 解 の 定 理 に 従 い ， 入 力 の 非 圧 縮 な 速 度 場 は ，ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル を 用 い て ，式 (3) の よ う に 表 す こ と が で き る ． た だ し ， こ の ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル は 通 常 一 意 に 求 め る こ と が で き な い ． こ れ は ， が を 満 た す と 仮 定 し た 場 合 ， あ る ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル も ， 任 意 の ス カ ラ ー 場 に 対 し て ， 定 義 よ り ， を 満 た す た め で あ る ． 我 々 は ， 時 間 変 化 す る ベ ク ト ル 場 の 変 形 に 適 す る よ う ， こ の 自 由 度 を 拘 束 す る ． 以 下 で は 編 集 操 作 の う ち 変 形 を 例 と し て 説 明 す る ． ま ず ， 式 (1) に 従 い ， ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル を の よ う に 分 解 す る ． こ こ で ， は ベ ク ト ル 場 ， は ス カ ラ ー 場 で あ る ．そ し て ，変 形 を 表 す 関 数 に よ り を 変 形 す る ． は ，例 え ば ，各 位 置 ベ ク ト ル を 新 し い 位 置 へ マ ッ プ す る 関 数 を 表 す ． こ の 変 形 で は ， ベ ク ト ル 値 関 数 は の よ う に 変 換 さ れ ， と 記 述 す る こ と と す る ．こ れ に よ り 我 々 は ， ベ ク ト ル 値 関 数 と に 対 し て ， を 得 る ． そ し て ， 変 形 後 の ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル は 以 下 の よ う に な る ． ． (4) 上 式 に curl 演 算 子 を 適 用 し た 場 合 ，任 意 の 変 形 に 対 し て ， は 常 に 0 に な る と は 限 ら な い ．そ の た め ， も し に 時 間 的 な コ ヒ ー レ ン ス が な い 場 合 ， は 結 果 の 流 れ 場 に 意 図 し な い 揺 ら ぎ を 引 き 起 こ す 可 能 性 が あ る ． 従 っ て ， 我 々 は そ の よ う な 問 題 を 避 け る た め に ， の 値 を 拘 束 す る ． 本 稿 で は 特 に ， 以 下 の 設 定 に よ り を 強 制 す る ． at ， (5) at ． (6) 速 度 場 か ら 所 望 の ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル を 得 る た め に ， 我 々 は ま ず ， 式 (3)の 両 辺 に curl 演 算 子 ( ) を 適 用 し 次 式 を 得 る ． ， (7) 我 々 は こ の ポ ア ソ ン 方 程 式 を 境 界 条 件 ， ， の 下 で 解 く こ と に よ り ，ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル を 得 る（ 付 録 A に 証 明 を 示 す ）．式 (7) を 数 値 的 に 解 く た め に ， biconjugate gradient stabilized method (BiCGSTAB)を 本 稿 で は 採 用 し た ．6. 編 集 後 の 速 度 場 の 生 成
本 手 法 は ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル に 対 し て ， ユ ー ザ の 編 集 操 作 に 対 応 し た 処 理 を 適 用 す る ． 本 稿 で は ， 編 集 要 素 と し て 変 形 お よ び 障 害 物 の 追 加 を 扱 う ． 流 れ 場 の 変 形 ： 本 稿 で は ， 制 御 点 や 制 御 パ ス （ 図 2 は 制 御 パ ス の 例 ） を 用 い て ， 2 次 元 （ 図 2 の 平 面 ） で 変 形 操 作 を 行 い ， そ れ を 3 次 元 格 子 の 方 向 の 各 2 次 元 ス ラ イ ス に 適 用 す る ． 変 形 手 法 に は 移 動 最 小 二 乗 法 に 基 づ く 方 法 [21]を 用 い た ． そ し て ， 変 形 後 の ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル を 得 る た め に，我 々 は ま ず が格納さ れ て い る 変 形 後 の 格 子 を ， を 格 納 す る た め の 直 交 格 子 で 再 サ ン プ リ ン グ す る ． そ し て 変 形 後 の ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル の 正 確 な 方 向 を 得 る た め に ， ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル の 値 に 変 形 に 対 応 す る 局 所 的 な 回 転 を 適 用 す る ． 提 案 手 法 で は ， [21]の 方 法 に 限 ら ず ， 画 像 や メ ッ シ ュ を 変 形 す る た め の 任 意 の 変 形 手 法 を 適 用 で き る ． し か し ， 格 子 が 裏 返 る よ う な 変 形 が 適 用 さ れ た 場 合 ， 裏 返 り が ベ ク ト ル 場 に 不 連 続 を 引 き 起 こ す 可 能 性 が あ り ， そ の 結 果 大 き な 速 度 が 生 成 さ れ る 場 合 が あ る ． ま た ， 変 形 の 度 合 い が 大 き い 場 合 ， 速 度 が 意 図 せ ず 大 き く 変 化 し て し ま う ． こ れ は ， 変 形 が 大 き く な る と ， 格 子 点 間 の エ ッ ジ の 長 さ が 変 化 し ， の 値 が 大 き く 変 化 す る こ と が 原 因 で あ る ． 図 2： 格 子 の 変 形 図 3： 障 害 物 の 追 加障 害 物 の 追 加 ： 障 害 物 の 追 加 は ， Bridson ら の 方 法 [3] を 用 い る ． こ の 論 文 で は ， ノ イ ズ 関 数 を 用 い て ポ テ ン シ ャ ル 場 を 生 成 す る こ と で ， 手 続 き 的 に 流 体 の よ う な 流 れ 場 を 作 成 で き る ． そ し て ， ポ テ ン シ ャ ル 場 に 対 し 以 下 の 式 を 適 用 す る こ と で ， 非 圧 縮 性 を 保 っ た ま ま 障 害 物 の 影 響 を 考 慮 し た 流 れ 場 を 生 成 で き る ． ， (8) こ こ で ， は あ る 格 子 点（ こ こ で は 図 3 の 赤 点 ）か ら 最 も 近 い 距 離 に あ る 障 害 物 上 の 点 の 法 線（ 図 3 赤 矢 印 ） を 表 す ． ま た ， は 格 子 点 と 最 も 近 い 障 害 物 上 の 点 と の 距 離 に 応 じ て 変 化 す る 係 数 で あ り ， 障 害 物 に 近 い 格 子 点 ほ ど 0 に 近 く な る （ 図 3 緑 と 橙 色 の グ ラ デ ー シ ョ ン 部 分 ： 各 色 が 濃 い ほ ど が 0 に 近 い ）． 上 記 の 方 法 に つ い て ， 詳 細 は 文 献 [3]を 参 照 し て い た だ き た い ． ユ ー ザ が 上 記 の 編 集 操 作 を 行 い ， 編 集 後 の ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル が 計 算 さ れ た 後 ， に curl 演算子を適 用 す る こ と で ， 編 集 後 の 速 度 場 を 得 る ． 結 果 の 速 度 場 は ， が 0 となるため，常に非圧縮 性 を 満 足 す る ．
7. 実 験 結 果
計 算 に 使 用 し た PC は ， CPU が Intel Core i7 3930K で あ り ， メ モ リ は ， 32GB で あ る ． 図 6,7,8 お よ び 図 9 の 右 の 画 像 は 物 理 ベ ー ス レ ン ダ ラ の "Mitsuba"[12]を 用 い て レ ン ダ リ ン グ し た ． な お 本 節 の ア ニ メ ー シ ョ ン 例 に つ い て は ， 補 足 資 料 の 動 画 フ ァ イ ル を 参 照 し て い た だ き た い ． 非 圧 縮 を 保 っ た 変 形 の 重 要 性 ： 速 度 場 の 非 圧 縮 性 を 保 持 す る こ と は ， 全 体 の 質 量 を 保 存 す る た め に 重 要 な 要 素 で あ る ． 図 4 に こ の 重 要 性 を 示 す ． 視 覚 的 に わ か り や す く す る た め ， 2D の 流 れ 場 を 用 い た ． 2D に お い て ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル は 流 れ 関 数 と 呼 ば れ る ス カ ラ ー 関 数 と し て 表 さ れ る ．本 実 験 で は ，我 々 の 従 来 手 法 [20] を 用 い て ， 2D の 速 度 場 か ら 流 れ 関 数 を 計 算 し た ． こ の 例 で は ， ゼ ロ で な い 密 度 場 が 2D の 流 体 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に よ り 生 成 さ れ た 時 間 変 化 す る 速 度 場 に し た が っ て 移 流 さ れ る ． シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 空 間 の 中 央 下 端 に は ， 毎 フ レ ー ム 一 定 の 上 向 き の 速 度 が セ ッ ト さ れ 図 6： 障 害 物 の 追 加 の 例 図 4：非 圧 縮 性 を 保 っ た 変 形 の 重 要 性 図 5： 提 案 手 法 と 流 体 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に よ る 結 果 と の 比 較 表 1： 格 子 数 お よ び 計 算 時 間 図 格 子 数 Tn s Tp Tr 5 256x128x384 146 298 2.9 7,9 192x192x512 234 407 4.4
る ． ま た ， ラ ン タ イ ム に お い て ， 密 度 の 追 加 や 除 去 は 行 わ な い ． 図 4 の 左 3 つ の 画 像 は ， 密 度 場 を 可 視 化 し た も の で あ り ， 各 画 像 の 左 上 の 図 は 変 形 に 用 い た 格 子 で あ る ． ま た ， 右 上 の 図 は 赤 色 の 矩 形 で 示 し た 領 域 の 速 度 場 の 発 散 を 示 し た も の で あ り ， 青 ， 緑 ， お よ び 赤 色 は そ れ ぞ れ マ イ ナ ス ， ゼ ロ ， お よ び プ ラ ス の 発 散 を 表 す ． 図 4 右 の グ ラ フ は 全 体 の 質 量 の 偏 差 を 表 す ． 偏 差 は の よ う に 算 出 し ， は シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 領 域 全 体 に わ た っ て 密 度 を 積 分 す る こ と で 算 出 さ れ る ． 流 れ 関 数 を 使 わ ず に 直 接 速 度 場 を 変 形 し た 場 合 ， 結 果 の 速 度 場 に 非 ゼ ロ の 発 散 が 生 じ ， そ の 結 果 全 体 の 質 量 が 初 期 値 か ら 大 幅 に 逸 脱 し て し ま う ．こ れ に 対 し ， 非 圧 縮 性 が 保 た れ て い る 場 合 ， 質 量 の 時 間 的 な 偏 差 を 十 分 に 減 少 さ せ る こ と が で き る ．ま た ，我 々 は ，3D の 流 れ 場 の 変 形 に つ い て も 同 様 の 傾 向 を 確 認 し て い る ． 編 集 結 果 と シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 結 果 と の 比 較 ： 図 5 に 提 案 手 法 に よ り 作 成 さ れ た 結 果 と 流 体 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に よ り 作 成 さ れ た 結 果 の 比 較 を 示 す ．図 5a は 入 力 の 煙 の ア ニ メ ー シ ョ ン で あ り ， 図 5b’-d’は 流 体 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に よ り 作 成 さ れ た 結 果 で あ る ． シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に は ， 煙 が 右 に 流 れ る よ う ， シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 空 間 の 左 端 に 一 様 な 外 力 を 適 用 し て い る ．図 5b-d は 提 案 手 法 に よ り 作 成 さ れ た 結 果 で あ り ， 変 形 に よ り 図 5b’-d’ の よ う な 流 れ を 模 倣 で き る こ と を 示 す ． 変 形 が 小 さ い 場 合 ， 我 々 の 結 果 は シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に 近 い 結 果 が 作 成 で き る ． ま た ， 比 較 的 大 き な 変 形 で も 尤 も ら し い ア ニ メ ー シ ョ ン を 作 成 で き る ． 3D の 流 体 の 編 集：表 1 に 各 結 果 の 格 子 数 と 計 算 時 間 を 示 す ． 計 算 時 間 の 単 位 は [sec/frame]で あ る ． Tn sは 流 体 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン の 時 間 ，Tpお よ び Trは そ れ ぞ れ 提 案 手 法 に お け る 前 処 理 と ラ ン タ イ ム の 計 算 時 間 で あ る ． 提 案 手 法 で は ， シ ミ ュ レ ー シ ョ ン の 時 間 に 比 べ ， 前 処 理 に 約 2 倍 の 計 算 時 間 が か か っ て い る ． し か し ， ラ ン タ イ ム の 計 算 は ，約 50 倍 高 速 に な っ て お り ，所 望 の 映 像 を 作 成 す る 際 の 試 行 錯 誤 を 効 率 的 に 行 う こ と が で き る ．ま た ，提 案 手 法 で 行 う 計 算 は ，前 処 理 で の Navier- Stokes 方 程 式 と ポ ア ソ ン 方 程 式 ， ラ ン タ イ ム で の 変 形 処 理 と curl 演 算 で あ り ， 並 列 化 が 有 効 で あ る ． 図 6 は ， 障 害 物 を 追 加 し た 場 合 の 例 で あ る ． 格 子 数 は 256x256x384 で あ る ．図 6a は ，入 力 の 流 れ 場 で あ り ， 図 6b は ，a に 障 害 物（ 赤 球 ）を 追 加 し そ の 影 響 を 考 慮 し た 流 れ 場 で あ る ． 障 害 物 が 追 加 さ れ た こ と で ， 球 の 下 に 煙 が 滞 留 し て お り ， 密 度 が 濃 く な っ て い る の が わ か る ． ま た ， そ の 影 響 で ， 球 の 上 方 に 立 ち 上 る 煙 の 量 が 入 力 に 比 べ て 少 な く な っ て お り ， 障 害 物 を 考 慮 し た 影 響 を 確 認 す る こ と が で き る ． 単 一 の 流 れ 場（ 図 7a）か ら ，提 案 手 法 は 様 々 な 流 れ 場 を 作 成 す る こ と が で き る ． こ の 例 で は 格 子 を 水 平 方 向 や 鉛 直 方 向 に 縮 め た り ， 鉛 直 方 向 に 引 き 延 ば し た り す る こ と で ，入 力 と 比 べ ，細 い 煙（ 図 7b），太 い 煙（ 図 7c），高 い 煙（ 図 7d）の ア ニ メ ー シ ョ ン を 作 成 で き る ． 図 8：複 数 の 煙 突 か ら 立 ち 上 る 煙 の 例 図 9： 魔 法 の ラ ン プ か ら 立 ち 上 る 煙 の 例 図 7： 様 々 な ア ニ メ ー シ ョ ン の 作 成 例
各 画 像 の 左 上 の 図 は 変 形 に 用 い た 格 子 で あ る ． 図 8 は ，図 5b-d の 結 果 を 使 用 し て ，複 数 の 煙 突 か ら 立 ち 上 る 煙 の シ ー ン を 作 成 し た 例 で あ る ．こ の よ う に ， 提 案 手 法 で は ， 単 一 の デ ー タ か ら 複 数 の 流 体 ア ニ メ ー シ ョ ン を 効 率 的 に 作 成 で き る ． 図 9 に 魔 法 の ラ ン プ か ら 立 ち 上 る 煙 の 例 を 示 す ． 図 9a は 入 力 の 流 れ 場 で あ り ， b は 提 案 手 法 に よ り 得 ら れ た 結 果 で あ る ．図 9a で は ，煙 が 垂 直 に 立 ち 上 っ て い る ． 図 9b で は ，a か ら 蛇 行 す る よ う な 流 れ を 作 成 し た ．ま た ， 図 9 右 の 画 像 は b の 結 果 を 用 い て 作 成 し た ． 提 案 手 法 で は ， こ の よ う な シ ミ ュ レ ー シ ョ ン の パ ラ メ ー タ 調 整 だ け で は 作 成 が 難 し い 流 れ も 作 成 で き る ． リ ミ テ ー シ ョ ン ： 提 案 手 法 は ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル を 変 形 す る た め ， 速 度 場 に お い て 変 形 結 果 が 直 観 的 で な い 場 合 が あ る ．例 え ば ，ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル の x，y， z 成 分 が ， に お い て 組 み 合 わ さ れ て い る た め ， 平 面 に お い て ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル を 変 形 し た 場 合 ， 平 面 に 垂 直 な 方 向 に も 速 度 場 が 変 化 す る ． ま た ， 変 形 が 非 常 に 大 き く な る と ，同 様 に 直 観 的 な 変 形 が 難 し い ． そ の た め ， 今 後 変 形 の 度 合 い や 種 類 に 応 じ て 起 こ る 変 化 を 定 量 化 す る 予 定 で あ る ．
8. ま と め と 今 後 の 課 題
本 稿 で は ， 非 圧 縮 性 を 保 ち つ つ 流 体 の 流 れ 場 を 編 集 す る 手 法 を 提 案 し た ． 非 圧 縮 性 は 入 力 の 流 れ 場 を ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル に 変 換 す る こ と で 満 足 さ れ る ．ま た ， curl-free な 成 分 を 含 ま な い よ う ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル に お け る 自 由 度 を 拘 束 す る た め の 方 法 も 提 案 し た ． 今 後 の 課 題 と し て ， よ り 直 観 的 な 変 形 の 実 現 が 挙 げ ら れ る ． ま た ， も う 一 つ の 流 体 の 物 理 法 則 で あ る 運 動 量 保 存 も 満 た し た 編 集 方 法 の 開 発 が 挙 げ ら れ る ．文 献
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