Hasse-Witt Matrices of Hyperelliptic Function Fields

Hasse-Witt _{Matrices of} Hyperelliptic Function Fields

Tadashi WASHio and Tetsuo KODAMA*

Department of Mathematics, Faculty of Education,

Nagasaki University, Nagasaki, Japan (852).

(Received Oct. 31, 1985)

Abstract

The Hasse-Witt matrices of some hyperelliptic function fields of positive charac- teristic are studied and a dual relation between the ranks of them attached to the

function fields of different characteristics is proved.

1 Introduction. Let A be an algebraic function field of genus gal of one variable over a perfect field K of positive characteristic p. With a saparating element x of A, every differential w of A can be written as

= (a0P+ aiPx + .+ ap_iPxP-')dx (ajeA for i 0, 1, p -1) . Then the Cartier operator C is defined by

C(w)=ap_idx.

The followings are well-known (see Eichler[1] and Kodama[4] for some related properties to the operator C) :

( i ) C(co) is independent of a choice of the separating element x.

( ii) C (YIP wi+ Y2P 692) = YIC (col) + Y2C (602),

where yl, y2€A and col and w2 are differentials of A.

(iii) If w is a holomorphic differential, then so is C(60).

Let Wg be a basis of the K-module of holomorphic differentials in A. Then the representation matrix M over K of C with respect to this basis is called the Hasse- Witt matrisx (see Hasse and Witt [3] and Manin[5]) :

t(C(w i), C(Gz0= M t((i, wg).

In this paper, we assume that A= K(x, y) is defined by y2 = P(x) over K, where aeK* K - {0} , p*2, (p,f)=1 and

x-f+ a if f =2g +1, P( x),

x(x-f+ a) if f =2g.

* Department of Mathematics, (810).

College of General Education, Kyushu University, Fukuoka, Japan

Moreover we always choose as a basis for the K‑module of holomorphic differ‑

entials, 

a' dx/y, a'2=xdx/y, ,  _. . .  b,g=x hldx/y,  and, if necessary, we will denote the Hasse‑Witt matrix by 

M = M1 = Ml(K,, p, a) if f = 2g+ l,  M2 = M2(K,p, a) if f = 2g. 

It is well‑known that if g=1 then  f Ml  0 if psl (mod. 6), 

Ml = O if p E 5 (mod. 6),  f M2  0 if p  s I (mod. 4), 

M2 =0 if p =3 (mod. 4) (Hasse[2] , Olson[7]). 

In the present consideration, we want to extend these results to g   2 as follows. 

Let K' be a perfect field of positive characteristic p'. Then, for two function fields  of the same genus g, 

rankMi(K, p , a) + rankMi(K', p', a') = g  if p p' and p +p' O (mod. 2f), where i= 1, 2. 

Moreover we will investigate two cases 

rankM g and M=0. 

When P(x) are trinomials, Miller[6] investigated two families of function fields  with the regular Hasse‑Witt matrices. 

2 . The case P(x) =x2g+1+a. Let K be a perfect field of characteristic p > 2. Let  A = K(x, y) be an algebraic function field over K defined by 

y2 = P(x)=x2g+1 +a (a 0, aeK),  where g denotes a positive integer such that (p,2g+ 1)= 1. 

It is clear that A is of genus g. Put 

f=2g+1 and l=(p‑1)/2  Then 

Q, x' Idx/y k 0( )al kx'+fk‑Ida/yp and  x(i+fk)/p‑Id  if i+fu 0 (mod. p),  C(xi+fk‑Ida)‑ O 

otherwise. 

For a given integer i satisfying I   i   g, the diophantine equation 

i+fr=pj (o k 21 1 J 2g) 

has a unique solution (k, j) and then 

f 1 j g if O k  l, 

g < j   2g  if l<k 21. 

This implies that the congruence i+fe =0 (mod. p) has a solution k in the range 

O k  I if and only if the congruence i: pj (mod. f) has a solution j in the range 1  

j  g and then such a solution is uniquely determined. 

Therefore, for a given i (1   i  g), if i= pj (mod. f) has a solution j in I   j g, then  C(G,) a,.G, with a,. ( ) dl‑k)!p 0 and k=(pj‑i)/f, 

and if not, then C(Q,i)=0. This means that the Hasse‑Witt matrix M1 = Ml(K,p, a)  of A has at most one non‑zero element in each row. 

Moreover it is clear that for i,i' (1   i   i'  g),if i= pj (mod. f), i' spj'(mod. f) and  1  j, j'  g, then j j'. This shows that Ml has at most one non‑zero element in each  column. Summing up, we get the following theorem. 

THEOREM l. ( i ) The Hasse‑Witt matrix M* has at most one non‑zero element  in each row and in each column. 

(ii) rankMl=#{i 1 i g, i+fu=0 (mod.p) has a solution k in O k l}. 

(iii) rankM*=#{i 1 i g, i=pj (mod.f) has a solution j in 1 j g}. 

We will now prepare the following lemma for the  between the ranks .of Hasse‑Witt matrices. 

proof of a duality relation 

LEMMA 1. Let f=2g+1 and let p and p' be odd primes satisfying p p',  ,,f) 

= I and (p',f)=1. If p+p' O (mod. 2f), then for a given i (l  i g) only one of two  congruences 

f iEpj (mod.f) (l J' g),  (modf) (1 j' g) 

. 

'.' 

IEp J  has a unique solution j or j'. 

PROOF. Two congruences 

f iEpj (mod.f) (1 j4̲‑̲2g),  i p'j' (mod. f) (1 j' 2g) 

have unique solutions j and j' respectively. Then we get pj‑p'j'  0 (mod.f). 

Clearly, p +p'  O (mod. f). Thus we see pU+j')EO (mod. f) and so j+j' EO  (mod. f ) . Therefore we obtain 

j'>g if j g  j' g if j>g  and this completes the proof of the lemma. 

THEOREM 2. Let f=2g+1 and let p and p' be odd primes satisfying p p',  (p,f)=1 and (p',f)=1. If p+p'=0 (mod.2f), then for two given {K, p, a} and  {K',p', a'} the equality 

rankM (K p a)+rankM (K', p', a')=g 

holds. 

PROOF.  The desired assertion follows at once from Theorem I and Lemma l. 

Let us now consider Ml in the regular case. 

THEOREM 3 rankMl =g if and only if p 1 (mod. 2f). In this case 

al I O 

Ml=  O 'agg 

where aii= ( ) a(1‑k)/p and k=(p‑1)i/f. 

PROOF. Let g be the rank of Ml ' Then, by means of Theorem 1, the congruence  ispj (mod.f) (l j g) has a unique solution j= t(i) for each i (1  i g). 

In the case of g= 1, it is clear that p = I (mod. f) and so p   1 (mod. 2f). Thus we  may assume that g   2. Then 

f pt (1)   I (mod. f), 

p(t(i)‑ t(i‑ l))  I (mod. f) (i = 2, .., g). 

So we have 

t(1)  t(i)‑ t(i‑ 1) (mod. f) (i= 2, ..., g). 

Because of 1 t(1), ..., t(g) g=(f‑1)/2 we obtam t(1) t(1) t(1 1) (1 2 g) 

and hence i(i)= i (i= 1, 2,.., g). 

Therefore, from t(1)=1, we get p =1 (mod.f) and so p = I (mod. 2f). Clearly, Ml  is diagonal and aii= ( ),dl‑h)/p with k=(p ‑1)i/f (i= l, .., g). 

Conversely, Iet p  l (mod. 2f). Then p E1 (mod. f) and so iEpi (mod. f) (i=1, ...,  g). Therefore Theorem I Ieads to rankM1 =g. Hence Theorem 3 is completely proved. 

Applying Theorem 2, it is clear that Theorem 3 Ieads to the following corollary. 

COROLLARY.  Ml =0 if and only if p= ‑1 (mod. 2f). 

3. The case P(x) =x(x2g+a). Let K be a perfect field of characteristic p >2. 

A = K(x, y) be an algebraic function field over K defined by  y2 =P(x)=x(x2g+a) (a 0, aeK), 

where g means a positive integer satisfying (p, 2g) = 1. 

Clearly. A is of genus g. Put 

f=2g and l=(p‑1)/2. 

Then 

Go x' Idx/y=   ( )al‑kxi+1+fk Idx/yp and  k=0  f 

C(xi+1+fk‑Idx) x(i+1+fh)/p‑Idx if i+ l+fu 0 (mod. p), 

O  otherwise. 

Let 

It is also easy to show that, for a given i satisfying I   i g, the diophantine  equation 

i+1+fu=pj (o k 21 1 j 2g) 

has a unique solution (k, j) and then 

f  1  j g if O  k  l, 

g<j 2g if l<k 21. 

So the congruence i+ l+fu  0 (mod. p) has a solution k in O k  I if and only if  i+1 pj (mod.f) has a solution j in l j g and then such a solution is uniquely  determined. 

Thus, for a given i (1  i g), if i+ I pj (mod. f) has a solution in 1 j  g, then  C(Q,) a,,a', with a,. ( )a(1 k)/p 0 and k=(pj‑i‑1)/f, 

and if not, then C((h,i)=0. 

This implies that the Hasse‑Witt matrix M2 = M2(K, p, a) of A has at most one  non‑zero element in each row. It is also clear that for i, i'(1 i i' g) if i+1Epj  (mod.f), i'+ l pj' (mod.f) and 1 j, j' g, then j=j'. 

This means that M2 has at most one non‑zero element in each column. Therefore  we have the following theorem. 

THEOREM 4. ( i ) The Hasse‑Witt matrix M, has at most one non‑zero element  in each row and in each column. 

( ii ) rankM2=#{i 1 1 i g, i+1+fu=0 (mod.p) has a solution k in O k  l}. 

(iii) rankM2=#{i 1 1 i g, i+1=pj (mod.f) has a solution j in 1 j g}. 

COROLLARY. If g 0 (mod. 2) then rank M2=0 (mod. 2). 

PROOF. It is obvious that rankM2 =0 if M2 = O. So we may assume that M2  0. Let  aij 0 for some (i, j) (1   i, j g). 

Then i+ l+fu=0 (mod. p) has a solution k in O  k;  l. 

So, putting i' =g‑ i+1 and k'= l‑k, we get i' + l+fu'EO (mod. p), 1  i' g and  O  k'  l. Moreover, because of g=0 (mod. 2), we have i   i'. Hence Theorem 4 Ieads  to rankM2 =0 (mod. 2) as desired. 

We will also prepare the following lemma for the proof of a duality relation  between the ranks of M2's. 

LEMMA 2. 

(p', f)=1. If  co ngruences 

Let f = 2g and let p and p' be odd primes satisfying p   p', (p, f)  I and 

p+p'EO (mod.2f), then for a given i (1 i g),only one of two  {i+1 pj (mod.f) (1 j g), 

i+1' p'j'(mod.f) (1 j' g) 

has a  nique solution j or j', where l=(p‑1)/2 and I (p l)12 

PROOF. Two congruences 

f    i+1 pJ (mod f) (1 J 2g)  i+ I p'J' (mod f) (l j  2g) 

have unique solutions j and j' respectively. 

Then we get l‑ l' pj‑p'j' (mod.f) and so p‑p' 2(pj‑p'j') (mod. 2f). From  p +p' sO (mod. 2f) and (p,f)=1, we obtain j+j' =0 (mod.f). Therefore we have 

j'>g if j g  j' g if j>g,  which proves the lemma. 

It is clear that Theorem 4 and Lemma 2 Iead to the following theorem. 

THEOREM 5. Let f=2g and let p and p' be odd primes satisfying p p', (p,f) 

=1 and (p',f)=1. If p+p'=0 (mod. 2f), then for two given {K, p, a} and {K', p', a'} 

the equality 

rankM (K p a)+ rankM (K', p', a')=g 

holds. 

Let us now consider M2 in the regular case. 

THEOREM 6. rankM2=g if and only if p=1 or 2g I (mod 2f) In this case  if p   1 (mod. 2f), then 

al I O  M2= 

O agg 

where a,, ( ) dl‑k)lp and k = (pi‑ i‑ l)/f, and if p  2g‑1 (mod. 2f), then 

O al g 

M2=  agl' O 

‑ =  )dl‑k)/p and k= {p(g‑i+1)‑ i‑ l}/f. 

where ai g i+1 

PROOF. Let rankM2 =g. Then, by making use of Theorem 4, the congruence i+ 

IEpj (mod. f) (l j g) has a unique solution j= t(i) for each i(l  i g). In the case  of g=1, it is clear that 1+ IEp (mod. f) and so pE1 (mod. 2f). 

Thus we may assume that g 2. Then 

p(t(i)‑ t(i‑1))  I (mod. f) (i= 2, .., g). 

Because of l  t(1), ..., t(g) g=f/2, we have 

t(i)‑t(i‑1)=t(2)‑t(1) (i=2, ... g) and t(1) I or g  In the case of t(1)= 1, we obtain 

p = I (mod. 2f)=and t(i)= i  and hence 

aii= ( ) dl‑k)/p with k =(pi‑ i‑ l)/f (i= 1, .., g). 

Moreover, in the case of t(1)=g, we get 

p =2g‑1 (mod. 2f) arld t(i)=g‑ i+1  and so 

=  ) a   '  (1 k)/p with k {p(g‑i+1)‑i‑l}/f (i=1, ..,g). 

ai i = 

Conversely, Iet us assume that p = I (mod. 2f). Then, because of l=0 (mod. f), we  see i+ l=pi(mod.f) for i=1, .., g. Therefore Theorem 4 Ieads to rankM2 =g. 

Finally, we assume that p =2g‑1 (mod. 2f). Then, because of I  g‑1 (mod.f)  and p   ‑ I (mod. f), we have 

i+1 p(g l+1) (mod f) for I I g 

So, by making use of Theorem 4, we obtain rankM2 =g. Thus Theorem 6 rs  completely proved. 

Finally the following corollary follows immediately from Theorems 5 and 6. 

COROLLARY. M2=0 if and only if pE‑1 or 2g+1 (mod. 2f). 

References 

[1] 

[2] 

[3] 

[4] 

[5] 

[6] 

[7] 

M. Eichler, Einf hrung in die Theorie der algebraischen Zahlen und Funktionen,  Birkhauser Verlag, 1963. 

H. Hasse, Existenz separabler zyklischer unverzweigter Erweiterungsk5rper von Primzahlgrad p  dber elliptischen Funktionenk3rpern der Charakteristik p, J. Reine Angew. Math., 1 72 (1934), 77 

‑85. 

H. Hasse und E. Witt, Zyklische unverzweigte Erweiterungskbrper vom Primzahlgrad p  ber  einem algebraischen Funktionenhdrper der Charakteristik p, Monatsh. f. Math. Phys., 43 (1936),  477‑492. 

T. Kodama, Residuenfreie Dlfferentiale und der Cartier‑Qperator algebraischer Funktionenkbr‑

per, Arch. Math., 22 (1971), 271‑274. 

Ju. I. Manin, The Hasse‑Witt matrix of an algebraic curve, Trans. Amer. Math. Soc., 45 (1965),  245‑264. 

H. Miller, Curves with invertible Hasse‑Witt‑matrix, Math. Ann., 197 (1972), 123‑127. 

L. D. Olson, Hasse invariants and anomalous primes for elliptic curves with complex multiplica‑

tion, J. Number Theory, 8 (1976), 397‑414.