山口国夫 Kunio Yamaguchi

單葉凾数についての注意

A remark on the schlicht functions

山口国夫

Kunio Yamaguchi

Abstract. The object of this paper is to prove the following theorems.

〔1〕Let

be regular in ￨z￨<1, and. zf´(z) be univalent in the same domain, then

〔2〕 Recently I heared from Mr. T. Wmezawa a news of which he had proved, the

following theorem, I shall state a consequence with respect to the matter, which I have deduced independently.

The result we shall prove is as follows : Let

be regular and univalent in ￨z￨<1. Then the nth partial sum

Sn(z)=z+a2z2+……+anzn

is also univalent for

§1.正規化された函数

CIO

/(*)‑∑anzl 〜‑1

HB引

が単位円内において正則単葉であればKoebeの歪曲定理

‑9‑

       同      囹

       （、＋』21）・≦1∫（2）i≦（Lヨ〜1）・

が成立することは良く知られている。この定理を利用すれば次の結果が得られる。

 定理1

       ∫（〜）＝Σ鰯♂， 〜1＝1．

      η＝1

が囹く1において正則にして、且つその範囲内で2ヂ⑫）が単葉であれば        囹      圖

       ≦1∫（2）1≦

      1＋1〜「    1一同 が成立する。

 証明、毎 （2）が121く1で単葉なることから

      同       囹

       2≦『2∫f（〜）1≦

       （1＋12∫）   （1一囹）2

       1 ≦1∫ （ε）1≦ 1        （1＋同）F    （1ヨ21）2 が得られるから、1 （9）を単位円の半径に沿つて積分することにより

    1∫e）1｛聯1≦ヂ州・1≦∫1（、呂1、iプ周一、些IIE

次に圃一7く】のバ2）による像曲線上の点のうち原点0に最も近い点め一つをωとし，

線分0ωに対応している2平面上の曲線を！とすれば

1∫＠）1≧1刎 ＠）II塵 ＠）i41・≧∫1扇、｝ア囹一1鼻1

すなわち我々の定理は証明された。

 §2・次の定理は筆者が最近日本数学会編輯 数学 （岩波）に Golu2irの歪曲定理に よる応用 なる題目で発表した定理1）の一般化に該当するものであり、最近梅沢敏夫氏 により得られたということで訪るが、筆者が独立的に求めた結果を述べよう。

 定理 2．

単位円内に語いて正則単葉なる函数       

         ∫（2）一Σ召π2π，σ1−1，1αη1≦1（ 一2，3，……）

      π昌」

の最初の第 項までの部分和を

       一10一

       s％（2）＝2十αメ2十……十α％♂

とすれば、翻（2）は

      lo9κ        回く短1−3 （麗≧5）

       麗 において単葉である。

 証明，Goluzinの歪曲定理2）によれば．凡ての正規化正則単葉函数ブ（2）につV・て

（・）∫（2 三磐≧1∫（ろ）∫（菟）11テ2・同一隆1−7・・く7く・

叉Gronwallの定理によれば、lo21≦1なることから

  （2）  1∫（〜）1≧ 圃 ＞ 121

       1十！α2口21十1212二 1＋，21十囹2 が成立する。さてブ般に

        怜    1      ・・

        黒曜r滞解1≧1∫（ろ）一八馬）1π竪㍗（婿矧）1

であるから1剤，122K7に対して

      ∫（21）一∫（為）」凱〜〜一副       2r22 汁一％＋12r22

なることを示せぱよい。0く1211−1221罵7く1なるときは（1）（2）より

  （3）（  ∫（〜1）一八22）＞卜72

      2r22  ＝（1十プ十72）2 が成立する。叉一方1θ％1≦1（κ＝2，3，……）であるから

（4）讐α．制轟1制＝讐レ7…躍（n＋・）弊竺

       Fπ＋12r21γ一％＋19r〜2 y呪＋翌   （1−7）劃 従つて（3），（4）から

  （5）   1 2≧一（叶1）7％『 〆＋1

      （1十7十72）2    （1−7）2

が成立するように7（0〈7く】）を定むることが出来れば、飾〆2）は2く7に語V・て単葉 となることが判る。今

       び

      γ＝1一一（0くαく刀）

       n

      −11一

とおけぱ（5）が成立するためには

      （H）3≧（、一三）η（召＋、）．

       6       薙 然るに、oくα畑に対しては（1＿互）ηくε一％あるから       η

      召3

  （6）       3≧〆（θ＋1）

      6飽 を満足するように￠を定むればよい。特に

      6磁＝％3，   召＝3109π＞毎 とおけば、（6）より

       1；鑑翠｝

ならば十分である。然るにこれは ≧5なるときは確かに成立するから我々の定理は証明 された。

       註 1） 山口国夫；数学、Vol．5，No．2（1953）

2）」・A・」enkinslOnaninequalityofG・1uz叫Ame「・」・u「・Math・73（1951）

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