空間グラフ内の分離不可能な絡み目の個数
平澤 実生
(東海大学大学院理学研究科
)原 正雄
(東海大学理学部
)概 要
グラフGをR3上に任意に埋め込んだ際に、部分グラフとして含む分離不可 能なn成分絡み目の最小個数をf(G, n)とする。このとき、ある自然数µ(n) が存在しm≥µ(n)ならばf(Km, n)≥3m−µ(n)が成り立つこと、およびある 自然数ν(n)が存在しm≥ν(n)ならばf(Km, n)≥nm−ν(n)が成り立つこと を示す。
1.
序文
グラフ
Gについて、
Gの
R3への埋め込み
Γを
Gの空間グラフとよび、逆に
Γに対して
Gを
Γ∗と表す。
グラフの
3次元ユークリッド空間
R3への埋め込みの研究は様々な方向で行われてき た。中でも、グラフ全体の埋め込みと部分グラフとして含まれている結び目や絡み目 との関係に関する研究はこの分野の初期からの重要なテーマの一つである。
樹下
[4]は
θ3曲線の非自明な埋め込みで部分結び目はすべて自明となるようなもの が存在することを示した。鈴木
[6]は
θn曲線
(n≥4)において同様のものが存在するこ とを示した。さらに、樹下
[5]は任意に与えられた
nC2個の結び目の型を部分結び目に もつような
θn曲線の埋め込みを構成した。山本
[7]は任意に与えられた
7個の結び目の 型を部分結び目にもつような
4頂点完全グラフ
K4の埋め込みを構成した。
Conwayと
Gordon[1]は
6頂点完全グラフ
K6の任意の埋め込みが分離不可能な
2成分絡み目を含 むことを示し、
K7の任意の埋め込みが非自明な結び目を含むことを示した。
Flapan、
Naimi、
Pommersheim[3]は同様に
K10の任意の埋め込みが分離不可能な
3成分絡み目 を含むことと、分離不可能な
3成分絡み目を含まないような
K9の埋め込みの例を示し た。
DRUMMOND-COLEと
O’DONNOL[2]は任意の
nに対してある
mが存在し、
m頂点完全グラフの任意の埋め込みが分離不可能な
n成分絡み目を部分グラフとして含 むことを示した。
R3
上の
2成分絡み目
L=k1∪k2において、絡み数の絶対値は
k1, k2の向きに依らず 一定である。ここでは、絡み数
Lk(k1, k2)の絶対値を
Lk∗(k1, k2)と表す。また、
n成分 絡み目
L=k1∪ · · · ∪knに対して、単純グラフ
G(L) = (V, E)を
V ={k1,· · ·, kn},
E ∋(ki, kj)⇐⇒Lk∗(ki, kj)̸= 0
と定め、
G(L)を
Lの絡みグラフとよぶ。ここでは、
G(L)が連結グラフのとき
Lは分
離不可能であるという。空間グラフ
Γと
2以上の整数
nに対し、
f(Γ, n)を
Γが部分グラフとして含む分離 不可能な
n成分絡み目の個数と定める。また、グラフ
Gと
2以上の整数
nに対して
f(G, n) = minΓ∗∼=Gf(Γ, n)
と定める。これを用いると、Conway と
Gordonは
f(K6,2) = 1であることを示し、Flapan は
f(K9,3) = 0かつ
f(K10,3) = 1であることを示したとい
える。
ここでは以下の定理を示す。
定理 1.1.
任意の
2以上の整数
nに対してある整数
µ(n)が存在し、
m≥ µ(n)に対して
f(Km, n)≥3m−µ(n)である。
定理 1.2.
任意の
2以上の整数
nに対してある整数
ν(n)が存在し、
m ≥ν(n)に対して
f(Km, n)≥nm−ν(n)である。
2.
分離不可能な絡み目の個数
定理 2.1. Γ
を空間グラフとし、
Γの頂点
vを他のすべての頂点と接続しているものと する。このとき、
f(Γ, n)≥3f(Γ\ {v}, n)が成り立つ。
証明. V(Γ)⊃ {u1, u2,· · · , ut}
に対して、結び目
u1u2· · ·utu1を
(u1, u2,· · · , ut)と表し、
向きを考える際は左から順に辿るように向きがついているものとする。
Γ
の図式について、
Reidemeister移動で
vと他の頂点の間の辺上に交点がなくなるよ うに変形してあるものとする（図
1参照）。
=⇒
図
1f(Γ\ {v}, n)>0
のときを考えれば十分である。
Lを
Γ\ {v}に含まれる分離不可能 な
n成分絡み目とし、
Lの向きを
1つ固定する。
Tを
G(L)の全域木とする。
Lの成分
k1を
Tにおける次数が
1の頂点とし、成分
k2を
Tにおいて
k1と接続している頂点と する。また、
k1 = (u1, u2,· · · , ut)とおく。ここで、
Γ上の結び目
k1i(i = 1,2,· · · , t)を
k1i = (u1, u2,· · · , ui, v, ui+1,· · · , ut)と決めると、
k2は
vを含まないので各
ki1は
k2と互 いに素である。
辺
ei = (ui, ui+1)に対し、
eiと
k2による交点の符号和を
Lk(ei, k2)と表す。ただし、
ut+1=u1
とする。このとき、
Lk(k1, k2) =
∑t
i=1
Lk(ei, k2), Lk(k1i, k2) =∑
j̸=i
Lk(ej, k2) = Lk(k1, k2)−Lk(ei, k2)
が成り立つ。したがって、
∑t
i=1
Lk(ki1, k2) =
∑t
i=1
(Lk(k1, k2)−Lk(ei, k2))
=t Lk(k1, k2)−
∑t
i=1
Lk(ei, k2)
=(t−1)Lk(k1, k2).
Lk(k1, k2)̸= 0
かつ
t ≥3であるから、Lk
∗(k1i, k2)̸= 0となるような
iが存在する。n 成 分絡み目
(L\k1)∪k1iについて、絡みグラフ
G((L\k1)∪k1i)は
k1を
k1iに置き換えた
Tと同型な全域木を含むので、
(L\k1)∪k1iは分離不可能である。
頂点数が
2以上の木は次数
1の頂点を少なくとも
2つもつので、Γ
\ {v}上の分離不 可能な
n成分絡み目
1つに対し、
Γ上の
vを含む分離不可能な
n成分絡み目が少なくと も
2つ存在する。したがって、
f(Γ, n)≥3f(Γ\ {v}, n)が成り立つ。
定理1.1の証明.
µ(n) =
{6 (n= 2)
⌊7
2n⌋
(n≥3)
とすれば成り立つことを、
mに関する数学的帰納法で証明する。
m =µ(n)
のとき、
n = 2の場合は
Conwayと
Gordon[1]の、
n = 3の場合は
Flapanら
[3]の、それ以外の場合は
DRUMMOND-COLEと
O’DONNOL[2]の結果そのもので ある。
m > µ(n)
のとき、帰納法の仮定より
f(Km−1, n)≥3m−1−µ(n)である。任意の
Kmの 空間グラフ
Γに対して、
Γの頂点
vをとると、
f(Γ, n) ≥ 3f(Γ\ {v}, n) ≥ 3f(Km−1, n) ≥ 3m−µ(n).
したがって、f
(Km, n)≥3m−µ(n)である。
3. n
成分キーリング
n
成分絡み目
Lの絡みグラフが星グラフ
K1,n−1となるような全域木をもつとき、L の ことを
n成分キーリング (n-key ring)とよぶ
(図
2参照）。空間グラフ
Γと
2以上の整数
n
に対し、
g(Γ, n)を
Γが部分グラフとして含む
n成分キーリングの個数と定める。ま
た、グラフ
Gと
2以上の整数
nに対し、g(G, n) = min
Γ∗∼=Gg(Γ, n)
と定める。このとき、明 らかに
g(Γ, n)≤f(Γ, n)であり、特に
g(Γ,2) =f(Γ,2), g(Γ,3) = f(Γ,3)である。よっ て、
g(G, n)≤f(G, n),g(G,2) =f(G,2), g(G,3) = f(G,3)である。
(a)星グラフK1,3の例
(b) 4成分キーリングの例
図
2定理 3.1. Γ
を空間グラフとし、Γ の頂点
vを他のすべての頂点と接続しているものと する。このとき、
g(Γ, n)≥ng(Γ\ {v}, n)が成り立つ。
証明. n≥4
のときを考えれば十分である。
Lを
Γ\ {v}上の
n成分キーリングとし、
Sを
G(L)の星グラフと同型な全域木とする。定理
2.1の証明より、S における次数
1の
頂点に対応して
Γ上の分離不可能な
n成分絡み目
L′が存在する。
G(L′)は
Sと同型な
全域木をもつので、
L′は
n成分キーリングである。
Sは次数
1の頂点を
n−1個もつ ので、この方法で新たに
n−1個の
n成分キーリングの存在が示される。したがって、
g(Γ, n)≥ng(Γ\ {v}, n)
である。
定理1.2の証明. n = 2,3
のとき
ν(n) = µ(n)とすればよいので、
n ≥ 4のときを示せ ばよい。
ν(n) = 600nとおき、まず
g(Km, n)≥ nm−ν(n)を
mに関する数学的帰納法で 証明する。
DRUMMOND-COLE
と
O’DONNOL[2]より、
m=ν(n)のとき成り立つ。
m > ν(n)のとき、帰納法の仮定より
g(Km−1, n)≥nm−1−ν(n)である。任意の
Kmの空間グラフ
Γに対して、
Γの頂点
vをとると、
g(Γ, n) ≥ ng(Γ\ {v}, n) ≥ ng(Km−1, n) ≥ nm−ν(n).
したがって、
g(Km, n)≥nm−ν(n)であり、
f(Km, n) ≥ g(Km, n) ≥ nm−ν(n)
が成り立つ。
参考文献
[1] J. Conway, C.McA. Gordon, Knots and links in spatial graphs, J. Graph Theory 7(1983) 445-453.
[2] GC. DRUMMOND-COLE, D. O’DONNOL, Intrinsically n-linked complete graphs, TOKYO J. MATH. 32, NO.1(2009) 113-125.
[3] E. Flapan, R. Naimi, J. Pommersheim, Intrinsically triple linked complete graphs, Topol- ogy and its Applications 115(2001) 239-246.
[4] S. Kinoshita, On Elementary Ideals of Polyhedra in the 3-sphere, Pacific J. Math 42(1972), 89-98.
[5] S. Kinoshita, Onθn-curves inR3and their constituent knots, in: S. Suzuki, ed., Topology and Computer Science (Kinokuniya, Tokyo, 1987), 211-216.
[6] S. Suziki, Almost unknotted θn-curves in the 3-sphere, Kobe J. Math. 1(1984), 19-22.
[7] M. Yamamoto, Knots in spatial embeddings of the complete graph on four vertices, Topology and its Applications 36(1990) 291-298.
