Resheikhin-Turaev SU(2)

レンズ空間のスピン精密化 Resheikhin-Turaev SU(2) 不変量

について

岡崎 建太 (京都大学 数理解析研究所)

スピン構造に由来する精密化

Reshetikhin-Turaev SU (2)

,

.

,

密化

Turaev-Viro SU (2)

する

.

1. 導入

1980 年代後半に Witten[13] は, 半単純コンパクト Lie 群 G に対して, 3 次元多様 体上の主 G 束における Chern-Simons 理論を考え, その相関関数がその 3 次元多 様体の位相不変量を与えるということを提唱した. Reshetikhin と Turaev[10] は

Witten の提唱した不変量を初めて数学的に厳密に定式化した. その後 Kirby と

Melbin[4] は, G = SU (2) の場合にこの不変量を精密化した. Lickorish[6, 7, 8], Blanchet[1] は G = SU (2) の場合に, これらの不変量を linear skein を用いて再定 式化した.

多様体がレンズ空間であるとき, Kirby-Melbin[4], Jeffray[2], S.Yamada[14], Li- Li[5] らによって Reshetikhin-Turaev SU(2) 不変量が, また C. Sato[12] によって Z /2 Z 係数 1 次コホモロジーに由来する精密化 Reshetikhin-Turaev SU(2) 不変量 の値が計算されている.

本報告ではスピン構造に由来するレンズ空間の精密化不変量 τ

(L(a, b), Θ) の 計算について, 以下のような結果を示したのでそれについて解説する.

定理

1. a を正の偶数, b を整数, p を正の奇数とし, a と b は互いに素, かつ a と p は互いに素であるとする. Θ をレンズ空間 L(a, b) のスピン構造とする. このとき 次が成り立つ.

τ

(L(a, b), Θ) = ( a

p

) ζ

− ζ

ζ

− ζ

ζ

3

4s(b,a)+_8a^δ)^∨

p

ζ

16

.

ここに ( a

p )

は Legendre 記号, s(b, a) は Dedekind 和, µ(M, Θ) はスピン多様体 (M, Θ) の µ-不変量であり, p

∈ Z /8 Z は pp

≡ 1 (mod 8) をみたす元, 有理数 n/m に対して (n/m)

∈ Z /p Z は (n/m)

· m ≡ n (mod p) をみたす元とする. ま た, 符号 δ = ± 1 は 4 節の式 (9) によって定められる.

∗〒

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e-mail: [email protected]

web: http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~junes/

注意.

a が奇数のとき, L(a, b) は Z /2 Z ホモロジー球面であり, ただ 1 つのス ピン構造を持つ. この場合の精密化 Reshetikhin-TuraevSU (2) 不変量は通常の Reshetikhin-TuraevSU (2) 不変量の値と一致する. また a が偶数のとき, L(a, b) は ちょうど 2 つのスピン構造を持つ.

さらに Roberts[11] の結果を用いることにより, 定理 1 から以下のようにレンズ

空間の精密化 Turaev-Viro SU (2) 不変量の値を導くことができる.

系

2. a, b, p を定理 1 の通りとし, Θ, Θ

を L(a, b) の相異なるスピン構造とする.

y ∈ H

(L(a, b); Z /2 Z ) とする.

T V (L(a, b), Θ, y) をレンズ空間の精密化 Turaev-Viro SU(2) 不変量とする. この とき, 次が成り立つ.

T V

(L(a, b), Θ, 0) = 2

| ζ

− ζ

|

, (1) T V

(L(a, b), Θ, y) = 2ζ

| ζ

− ζ

|

· {

ζ

a ≡ 2 mod 4

1 a ≡ 0 mod 4 (y 6 = 0). (2) ただし µ = µ(L(a, b), Θ), µ

= µ(L(a, b), Θ

) とおいた.

本報告の構成は以下の通りである. 第 2 節で linear skein の定義と性質について 基本的な事項を復習し, 第 3 節で linear を用いた精密化不変量の組み合わせ的な 定義を与える. そして第 4 節でレンズ空間についての精密化 Reshetikhin-Turaev SU (2) 不変量の計算を行い, 定理 1 の証明の概略を述べる. また, 系 2 を示す.

2. Linear skein

linear skein の言葉を用いることによって, 各不変量を量子群に関する知識を直接

用いずに構成することができる. この節では linear skein に関する基本的な事項 について復習する. 以下 r を 3 以上の整数,

ζ

= exp(2π √

− 1/r), ∆

= ( − 1)

ζ

− ζ

ζ

− ζ

とおく.

F を曲面とし, 境界 ∂F 上に 2n 個の点（n ≥ 0）を順序もこめて固定したもの を (F, 2n) と表す. C 上のベクトル空間 S (F, 2n) を

S (F, 2n) = span

{ (F, 2n) 上のタングル図式 } / ∼

で定める. ただし (F, 2n) 上のタングル図式とは F 上のタングル図式で, 指定され た 2n 個の点上に端点を持つもののことをいう. また同値関係 ∼ は曲面 F 上の isotopy および次の skein 関係式を表す.

= ζ

+ ζ

, = ( − ζ

− ζ

) ∅ .

S (D

, 2i) の元

(Jones-Wenzl

を, 次のように帰納的に 定める [9].

1

= ,

i

=

1 i-1

− ∆

∆

i-2

i-1 i-1

（i ≥ 2） .

ただし自然数の付与されている曲線は, その本数だけ平行に束ねてある曲線を表 す. 円環 A = S

× [0, 1] に対して, S (A, 0) の元 ω

, ω

を次で定める.

ω

= ∑

0≤i≤r−1 i:even

∆

i

, ω

= ∑

0≤i≤r−1 i:odd

∆

i

さらに, F 上のタングル図式 D に対して, S (F ) の元 D

, D

を, D の各成分に それぞれ ω

, ω

を代入することによって定める. このとき, 次のハンドルスライ

[1].

ω_α

ω_β

≡

ω ω

α+β

α

(α, β ∈ Z /2 Z = { 0, 1 } ). (3)

ここに ≡ は左辺と右辺の差が

を含むタングル図式の線型和で表されるこ とを意味する. また, 次が成り立つことがわかる.

i

= ( − 1)

ζ

,

i

j

= ( − 1)

∆

∆

i

(4)

3. 精密化 Reshetikhin-TuraevSU (2) 不変量

3 次元多様体の不変量である Reshetikhin-Turaev 不変量は Reshetikhin-Turaev [10]

によって最初に定式化され, Kirby-Melvin [4] によって精密化 Reshetikhin-Turaev 不変量に拡張された. これらの不変量は各々 Lickorish [6, 7, 8] と Blanchet [1] に

よって linear skein を用いて組み合わせ的に再定式化された. この節では linear

skein を用いた Reshetikhin-Turaev 不変量, 及びその精密化不変量の定義につい て復習する. 以下 h i は Kauffman 括弧を表すものとする.

任意の連結な有向閉 3 次元多様体 M は S

内の枠付き絡み目 L にそって S

を

手術することによって得られることが知られている. このとき, L を M の Kirby

連結な有向閉 3 次元多様体 M

, M

とそれらの Kirby 図式 L

, L

に

ついて, M

と M

が同相であるための必要十分条件は, L

と L

が以下の移動

(Kirby

を有限回施すことによって移りあうことである, ということ が知られている [3].

(KI) ←→ ∅ ←→ , (KII) ←→ .

ただし図の点線部分は, 自身や他の絡み目成分と絡まっていてもよいこと表す.

M を連結な有向閉 3 次元多様体, L = L

∪ · · · ∪ L

をその Kirby 図式, B を L の絡み数行列とする. M のスピン構造 θ をとる. M のスピン構造全体と, 集合 { ^x ∈ ( Z /2 Z )

| B x ≡

(b

, . . . , b

) (mod 2) } （b

, . . . , b

は B の対角成分）

の間には 1 対 1 対応が存在することが知られている [4] ので, Θ に対応する元を x =

(x

, . . . , x

) とおく. r ≡ 0 (mod 4) である正の整数 r に対して, 対 (M, Θ) の精密化 Reshetikhin-TuraevSU(2)

τ

(M, Θ) = c

c

h L

∪ · · · ∪ L

i (5) で定める [1]. ここで σ

, σ

は各々B の正, 負の固有値の個数であり,

c

= h

i , c

= h

i

とおいた. ハンドルスライド性質 (3) を用いることで, (5) の右辺の値が Kirby 図式 L の取り方に依らないことが示される [1]. ゆえに τ

(M, Θ) はスピン多様体 (M, Θ) の不変量である.

4. レンズ空間についての不変量の計算

この節では, レンズ空間に対する精密化不変量の値を実際に計算し, 定理 1 の証明 の概略を与える. また系 2 の証明を与える.

定理

1

. 整数 a, b, p は定理の仮定の通りとする. 以下のように a/b の 連分数展開を一つとり固定する :

a

b = m

− 1

m

− . ..

− 1 m

( | m

| ≥ 2) .

このとき, L(a, b) の Kirby 図式は L =

m₁ m₂ mN

で与えられることが知られて いる. ここで図の m

は各成分の framing を表す. L の絡み数行列は

B =



 

 



m

1 1 m

. ..

. .. ... 1 1 m



 

 

 で与えられる. また, det B = a であることがわかる.

B d = 0 をみたす, 0 でない元 d ∈ ( Z /2 Z )

がただ一つ存在する. この d は L(a, b) の非自明な ( Z /2 Z ) 係数 1 次コホモロジー類に対応している.

式 (4) を使うと, c

= ∑

0≤i<4p i:odd

∆

h

i

i = 2ζ

ζ

− ζ

∑

j∈Z/2Z

ζ

∑

k∈Z/pZ

ζ

(6)

となることがわかる. 一方 c

が c

の複素共役であることは定義より明らかであ るから,

c

= − ( − 1 p

) 2ζ

ζ

− ζ

∑

j∈Z/2Z

ζ

∑

k∈Z/pZ

ζ

(7)

となる. さて, L(a, b) のスピン構造 Θ に対して, 前述の意味で Θ に対応する元

x ∈ ( Z /2 Z )

がとれ, これは B x ≡ (m

, . . . , m

)

(mod 2) をみたす. このとき定 義より,

h

m

m

m

ω x

ω

x

ω

x

i = ∑

0≤i`<4p i`−x`: even

∆

. . . ∆

h ⁱ

i

i

m1 m₂ mN

i

である. 式 (4) を繰り返し用いて計算を進めることにより, h m

1

m

m

ω x

ω

x

ω x

i = δ C ζ

∑

j∈(Z/2Z)^N

ζ

∑

k∈(Z/pZ)^N

ζ

(8) がわかる. ただし

δ = √

− 1

t(m1,...,mN))·d

, (9)

C = 2

ζ

(ζ

− ζ

)

,

y = x +

(1, . . . , 1), v

=

(1, 0, . . . , δ), u

= 1

2 (B y + v

).

式 (6)–(8) 及び関係式

3(σ

− σ

) − trB =

v

B

v

− 2δa

− 12s(b, a) により,

τ

(L(a, b), Θ) = δ ( a

p

) ζ

− ζ

ζ

− ζ

ζ

3

4s(b,a)+_8a^δ)^∨

p

τ

(L(a, b), Θ) ¯¯

ζ₁₆^p∗

. がわかる. ここで τ

(L(a, b), Θ) ¯¯

ζ₁₆^p∗

は, 不変量の定義式 (5) の右辺において r = 4 かつ, 1 の 16 乗根として ζ

の代わりに ζ

にとったものである. [4] の計算と同じ ようにして,

τ

(M, Θ) ¯¯

ζ₁₆^p∗

= ζ

が得られるので, 結局定理 1 の式を得る.

最後に, 系 2 の証明について述べよう.

Lemma 3 (Roberts[11]). p を正の奇数, M を閉有向 3 次元多様体, Θ を M のス ピン構造, y ∈ H

(M, Z /2 Z ) とする. このとき M の精密化 Turaev-Viro SU(2) 不 変量について以下が成り立つ.

T V

(

M, Θ, y )

= τ

(M, Θ)τ

(M, Θ + D(y)).

ここに D(y) は y の Poincar´ e 双対である.

この補題から, 系 2 は直ちに導かれる.

参考文献

[1] C. Blanchet, Invariants on three-manifolds with spin structure. Comment. Math.

Helv. 67 (1992), No. 3, 406–427.

[2] L. Jeffrey, Chern-Simons-Witten Invariants of Lens Spaces and Torus Bundles and the Semiclassical Approximation. Commun. Math. Phys. 147 (1992), pp. 563–604.

[3] R. Kirby, A calculus for framed links in S

.. Invent. Math. 45 (1978), pp. 35–56.

[4] R. Kirby, P. Melvin, The 3-manifold invariants of Witten and Reshetikhin-Turaev for sl(2, C). Invent. Math. 105 (1991), No. 3, pp. 473–545.

[5] B. H. Li, T. J. Li, Generalized Gaussian sums: Chern-Simons-Witten-Jones in- variants of lens-spaces. J. Knot Theory Ramifications 5 (1996), No. 2, pp. 183–224.

[6] W. Lickorish, Invariants for 3-manifolds from the combinatorics of the Jones poly- nomial. Pacific J. Math. 149 (1991), No.2, 337–347

[7] , Three-manifolds and the Temperley-Lieb algebra. Math. Ann. 290 (1991), 657–670.

[8] , Calculations with the Temperley-Lieb algebra. Comment. Math. Helvetici 67 (1992), 571–591.

[9] , The skein method for three-manifold invariants J. Knot Theory Ramifi- cations 2 (1993), no. 2, 171–194.

[10] N. Reshetikhin, V. G. Turaev, Invariants of 3-manifolds via link polynomials and quantum groups. Invent. Math. 103 (1991), No. 3, pp. 547–597.

[11] J. Roberts, Refined state-sum invariants of 3- and 4- manifolds. In Geometric topology, Amer. Math. Soc. (1997), pp. 217–234.

[12] C. Sato, Perturbative Invariants of lens spaces associated with cohomology classes J. Knot Theory Ramifications 15 (2006), No. 7, pp. 913–929.

[13] E. Witten, Quantum field theory and the Jones polynomial. Comm. Math. Phys.

121 (1989), No. 3, pp. 351–399.

[14] S. Yamada, The absolute value of the Chern-Simons-Witten invariants of lens

spaces. J. Knot Theory Ramifications 4 (1995), No. 2, pp. 319–327.