NUMERICAL CALCULATION OF TURBULENT OPEN-CHANNEL FLOWS BY USING A MODIFIED /g-e TURBULENCE MODEL By Iehisa NEZU and Hiroji NAKAGA WA Numerical calculat

125

【土 木 学 会 論 文 集 第387号/1-8 1987年11月1

修 正h-ε 乱 流 モ デル に よ る開水 路 乱 流 の数 値 計算

NUMERICAL

CALCULATION

OF TURBULENT

OPEN-CHANNEL

FLOWS

BY USING A MODIFIED

/g-E TURBULENCE

MODEL

祢 津 家 久*・ 中 川 博 次**

By Iehisa NEZU and Hiroji NAKAGA WA

Numerical calculation techniques of turbulent shear flows are classified into two cate-gories:one is k-c turbulence model and the other is large eddy simulation (LES). The standard k-s model has been established at present to predict turbulent structure in closed duct flows, while LES is being developed to predict coherent eddy structure in more simple duct flows. The standard /g -E model cannot be, however, applied to open channel surface flows, because the turbulence near the free surface is more depressed than the closed duct flows.

In the present study a new modified k-E model is proposed to predict reasonably the turbulent structure in open channel flows with both of low and high Reynolds numbers. The numerical calculations indicate a splendid agreement with the experimental data which were obtained by making use of hot-film and Laser Doppler anemometers.

Keywords:open-channel turbulence, numerical calculation, free surface, k-E model, turbulence model 1. 概 説 乱 流 の数 値 計 算 手 法 は現 在 次 の2つ に大 別 され る. 1 つ は渦 動 粘 性 モ デル に基 づ き レ イ ノル ズ方 程 式 を解 く手 法 で あ るが, 渦 動 粘 性 を既 知 量 と して 与 え るの で は な く, 乱 れ の 輸 送 式 を使 っ て 方 程 式 系 を閉 じ ら せ る も の で あ り, 代 表 例 にh. εモ デ ル が あ る. も う1つ の 手 法 は

Large Eddy Simulation(LES)で あ り, 計 算 格 子 以 上

の 渦 をNavier-Stokes方 程 式 で 解 き, 格 子 以 下 の 渦 を 局 所 等 方 性 理 論 を 使 っ て モ デ ル 化 す る も の で あ る. LESは, バ ー ス テ ィ ン グ な ど の 組 織 乱 流 を も計 算 で き る か ら乱 流 計 算 に は 画 期 的 な 手 法 で あ るが, ス ー パ ー コ ン ピ ュー タ を用 い て も数 時 間 を要 し, まだ 工 学 的 レベ ル に 達 し て い な い1). 一 方, h-6モ デ ル は1970年 代 に 英 国 で 開 発 され, 比 較 的 小 計 算 量 で 管 路 流 や 境 界 層 流 さ ら に は よ り複 雑 な 流 れ を も合 理 的 に 予 測 で き るま で に発 展 し, 係 数 等 は標 準 値 と して す で に 確 立 され て い る2). 1980年 代 に はRodiら の グル ー プに よ って 水 理 学 の 分 野 にh-ε モ デ ル が 適 用 さ れ 出 した. 開 水 路 乱 流 へ の 適 用 で は 自由 水 面 の 取 り扱 い が 最 大 の 課題 で あ る. Naot・ Rodiは3), 自 由 水 面 の 存 在 に よっ て 鉛 直 方 向 の 乱 れ 強 度 が管 路 流 よ り減 少 す る と い う中 川 ・祢 津 ら4)の指 摘 に 注 目 して, 乱 れ エ ネル ギ ーの 再 配 分 をモ デ ル化 し, 開 水 路 乱 流 の2次 流 を数 値 予 測 し た. 当 時 は, この 計 算 予 測 値 を検 証 す る実 験 デー タ は存 在 しな か っ たが, 最 近 の 祢 津 ら5)に よ る 高 精 度 レー ザ ー 流 速 計 を 用 い た実 験 に よ り, 少 な く と も水 路 幅 ・水 深 比 が2の 場 合 の 数 値 予 測 値 は実 験 値 と よ く一 致 す る こ と が確 認 さ れ, h-ε モ デル の 有 効 性 が立 証 さ れ た19). 最 近, Celik・Rodiは6), Naot・ Rodiの 自 由 水 面 に よ る 乱 れ 減 衰 効 果 の モ デ ル 化 を よ り 厳 密 に行 い, 二 次元 等 流 の乱 流 特 性 を数 値 計 算 した. し か し, 標 準 型 のh-ε モ デ ル の モ デ ル 定 数 に加 え て, さ らに5個 の 新 た な 係 数 が必 要 で あ り, ま た, 後 述 のcμ が レ イ ノル ズ数 が 大 き くて も管路 流 に比 べ て 急減 し, 流 体 力学 的 に 考 え て この モ デ ル に は 改 良 を 要 す る. 本研 究 は, 自 由 水 面 に よる 乱 れ の 減 衰効 果 を減 衰係 数 を導 入 して モ デ ル 化 し, ま た, 河 床 近 傍 ま で 計 算 が 可能 な よ う に 標 準 型h-ε モ デ ル を修 正 し た もの で あ る. さ らに, 低 レ イ ノル ズ 数 の 場 合 や, 非 常 に河 床 近 くの 粘性 底 層 を も 数 値 予 測 す る場 合 に は, Jones. Launder7)の 付 加 項 を適 用 して 本 研 究 の モ デル が 拡 張 され る. 以 上 の 数 値 計 算 結 果 は, 著 者 らが 長 年 にわ た って 発 表 して き た実 験 値 を良 好 に説 明 す る こ と が示 され る. *正 会員 工博 京都大学助 教授 工学部土木工学科 (〒606京 都市左京区吉田本町) 艸 正会員 工博 京都大学教授 工学部土木工学科(同 上)

126 祢 津 ・中川: 2. 基 礎 方 程 式 系 (1)二 次 元 開 水 路 乱 流 場 これ は 次 の レ イ ノル ズ 方程 式 で 支配 され る8).

(1)

(2)

(連 続 式) (3) こ こで, τ軸 は 流 下 方 向, y軸 は水 路 床 に 直 角 な 鉛 直 上 方 の座 標軸 で あ り, U, yは これ に対 応 す る 平 均 流 速 成 分, u, η は乱 れ 変 動 成 分 で あ る. Pは 平 均 圧 力, μは 動 粘 性 係 数, θは 水路 勾 配 の 角 度 で あ る. い ま,

P=p9(h-y)cose+P'

(4 )

と お くと, P'は 静 水 圧 分 布 か らの偏 差 を表 わ し, 式(2) か ら重 力項 が 消去 され る. こ こで, hは 水 深 で あ る. 式(1), (2)に 現 わ れ る レ イ ノ ル ズ 応 力7, ア お よ び 一励 が 平 均 流 速(U, y)と 何 ら か の 形 で 関 係 づ け られ な い と方 程 式 系 が 閉 じな い. この 方 程 式 系 の 完 結 問 題 が乱 流研 究 の最 大 の 難 問 で あ り, 渦 動 粘 性 モ デ ルや 混 合距 離 モ デ ル な ど が 提 案 され て い る. (2)渦 動 粘性 モ デ ル この モ デ ル は もと も とブ シネ ス クに よ って 提 案 され た が, 近 年 の乱 流相 似 則 か ら再検 討 され, 次 式 の よ う にモ デ ル 化 され る.

(5)

vt=cu.2E

(6)

(7)

こ こで, 吻 は渦 動 粘 性 係 数, hは 乱 れ エ ネ ル ギ ー, εは 乱 れ の 逸 散 率 で あ る. ま た, δgjはクロ ネ ッカ ー の デ ル タで あ る. 従 来 の 渦 動 粘性 モ デ ル は, 地 を既 知 量 と して 与 え, 方 程 式 系(1), (2), (3)を 閉 じらせ て い たが, 一 般 に 地 を事 前 に 予 測 す る こ と は困 難 で, こ の モ デ ル が 経 験 則 の 域 を出 な か っ た. 一 方, 近 代 の 乱 流 理 論 の 成 果 と して, 式(6)の 妥 当 性 が 提 示 され た2)・19). 式(6)のcμ は 係 数 で あ る が, hと εは乱 れ の 重 要 な特 性 値 で あ り, この2つ を新 た に未 知 変 数 と して乱 れ 特 性 値 を も予 測 しよ う と す る の が い わ ゆ るh-ε モ デ ル で あ る. hお よ び ε方 程 式 は乱 れ の 輸 送 式 か ら導 か れ, 次 節 の よ う に一 般 化 され る. (3)基 礎 方 程 式 系 の 一 般 形 未 知 変 数U, V, P', hお よ び εに 関 す る5個 の偏 微 分 方 程 式 は次 の 同 型 の 輸 送 式 で書 け る9).

(8)

φ は輸 送 され る変 数 で あ り, Sφ は こ れ に 対 応 す る 外 力 項, rは 有 効粘 性 係 数 で あ り, 以 下 の よ う に書 き下 せ る. 連 続 式: φ=1, Sφ=0 (9) U方 程 式: φ=U, r=μz+μ 1

(10)

y方 程 式: φ=y, r=μ, +μ

(11)

h方 程 式: φニh, r=μz/qk Sk=G-(ε+D)

(12)

ε方 程 式: φ=ε, jr=μz/σ, Sε=ck(c1G-c2ε)+E

(13)

こ こで, Gは 乱 れ発 生 率 で あ り, 次 式 で定 義 さ れ る.

(14)

式(12), (13)のD, Eは 次 節 で 述 べ る標 準 型h-ε モ デ ル を粘 性 が 効 くy=0ま で拡 張 す る と き導 入 され る付 加 項 で あ る. す な わ ち, y=0で 逸 散 率 は物 理 的 に は有 限 値 を と る が, D, Eを 導 入 す る こ と に よっ てy=0で の 境 界 条 件 をh=ε=0と した 簡 便 法 で あ る10). D, Eの 表 示 に は現 在 多 くの モ デ ル が 提 案 さ れ て い る が10), 本 研 究 で は次 のJones. Launderモ デ ル7)を採 用 す る.

(15)

こ こ で, c3, c4は2程 度 の モ デ ル 定 数 で あ る. な お, 式 (5) よ り 厳 密 に はSμ, Sη に そ れ ぞ れ-2/3ek/ax,-2/3 ∂k/eyを加 え な け れ ば な ら な い が ,πujを 形 嫡 に 糖 応 力 と相 似 に表 現 す る た め,こ れ ら の項 を省 略 した.す な わ ち,式(5)は レイ ノル ズ応 力 の み 厳 密 に表 現 され た. 3.標 準 型 κ-εモ デ ル 標 準 型h-ε モ デ ル は,壁 面 に最 も近 い 計 算 の第1格 子 点 をypと す る と(以 下ypに 対 応 す る値 に 添 字Pを つ け る),yp≡yρU*/μ(こ こ で, U*は 摩 擦 速 度)が 5o以 上 で 適 用 され る.こ の と き,乱 れ の 発 生 率Gと 逸 散 率 は ほ ぼ等 し くな り,次 の 境 界 条 件 が得 られ る. (1)平 均 流 速

修 正 κ一ε乱 流 モ デ ル に よる 開 水 路 乱 流 の 数 値 計 算 127

Up1

U-*xInyp+A

(16)

こ こ で, 開 水 路 乱 流 で は κ=0. 41, A=5. 3で あ る11). (2) yp≧5oの と き, G=ε よ り

(17)

ま た, 式(12), (13)で 現 わ れ る モ デ ル 定 数 は ほ ぼ 普 遍 値 と し て 次 の よ う に 確 立 さ れ て い る2). 0κ=1.0, 0ε=1.3, c1=1.44, c2=1. 92 (18) 乱 れ レ イ ノ ル ズ 数Rz=h2/(μ ε)が 十 分 大 き い と き, 式 (6) のcμ は0. 09で 与 え ら れ る. 4. 修 正 ゐ-ε モ デ ル (1)渦 動 粘 性 の モ デ ル 係 数cμ h-ε モ デ ル が 式(6)の 渦 動 粘 性 表 示 に 立 脚 し て い る 以 上, cμ の 与 え 方 が 最 も 重 要 な 点 で あ る. h-ε モ デ ル を 壁 面 近 傍 ま で 拡 張 す る に はvan Driest12)が 混 合 距 離 モ デ ル に 導 入 し た 粘 性 に よ る 減 衰 関 数 と 同 様 な 考 え 方 を 援 用 し て, 祢 津 ら は9)次 式 を 提 案 し た. cμ: =0. 09(1-D1exp(-Rz/D2)) (19) 実 験 値 と の 比 較 か らD1=0. 95, D2=250が 最 も 妥 当 で あ る こ と が 判 明 し た9). (2)自 由 水 面 に よ る 乱 れ の 減 衰 効 果 の モ デ ル 化 標 準 型h-ε モ デ ル は, 管 路 流 の 中 央 軸(y=h)で 流

れの対称条件 すなわ ち 書1-0を 使 う力

欄

水路 ではこ

の条 件 が 適 用 で き な い. 1. で 述 べ た よ う に, 自 由 水 面 に よ る乱 れ の減 衰 効 果 を考 慮 した水 面 条 件 を 開発 す る こ と が必 要 で あ る. これ が, Celik・Rodiの 研 究 の動 機 と な っ た が6), 高 レイ ノル ズ 数R, で さ え, cμが 自由 水 面 近 くで急 減 し, 物 理 的 に疑 問 で あ る. 本 研 究 は, 自 由水 面 の存 在 に よ っ て乱 れエ ネ ル ギ ー が管 路 流 よ り減 少 す る と い う特 性 に注 目 して以 下 の よ う に定 式 化 を行 う. 管 路 流 の 対 称 軸 上 の 乱 れ エ ネル ギ ー をh。 と し, こ れ と 同一 の水 理 条 件 下 で の 開水 路 流 の 自 由水 面 上 で の乱 れ エ ネ ル ギ ー をhω とす る(以 下, 管 路 流 はo, 開 水 路 流 は ω の 添 字 をつ け る). 自 由水 面 に よる 乱 れ の 減 衰 効 果 に よ り, 次 式 が 成 立 す る. hω=Dω ・hc (20) Dω は減 衰 係 数 で あ る. Dω を理 論 的 に 決 定 す る こ と は 現 在 困 難 で あ るが,

(21)

で あ り, 管 路 の 中 央 軸 上 で等 方 性 す な わ ち, ua=ηa= ω5を 仮 定 し, 自 由 水 面 上 で はuw=πa=wwお よ びuw →0を 仮 定 すれ ば, Dω →2/3 (22) と な る. 次 に, hωの 減 衰 に よ り, 平 均 流 速Uω の 境 界 条 件 も 変 化 す る. レ イ ノル ズ応 カ ー切 は式(1)に 従 う か ら 乱 れ の減 衰 効 果 を受 け な い. した が っ て, 次 式 が成 立 す る.

)=1

t(-uv)ady

_wVt

(23)

実 際 の 計 算 に あ た っ て は, 自由 水 面 に 最 も近 い格 子 点 を yωに と り, ま ず, 同 一 の 水 理 条 件 で 管 路 流 の 計 算 を行 い, hσを求 め, 次 に式(20), (23)を 境 界 条 件 に して 開 水 路 流 の 計 算 を 行 え ば よ い. な お, εωに乱 れ の 減 衰 効 果 が ど の よ う に 及 ぶ か は 現 在 不 明 で あ り, 本 研 究 で は ∂ε/∂ylyω=0の 対 称 条 件 を用 い た. Fig. 1は, 自由 水 面 に よ る乱 れ の減 衰 効 果 を検 討 す る た め に, 減 衰 係 数Dω を0.4か らl. 0ま で変 化 させ た場 合 の渦 動 粘 性 係 数vtをvt/(hU*)の 無 次 元 で示 す もの で あ り, 図 の(a)が 高 精 度 レー ザ ー 流 速 計 に よ るNezu・ Rodi11)等 の 実験 値, 図(b)が 計 算 値 で あ る. 管 路 流 で は対 称 軸y/h=1に お い てHussainら13)の 実 験 値 に み ら れ る よ う に, μz/(hU*)は ほ ぼ一 定 値 と な る. 乱 れ の 減 衰 が な い, す な わ ちDω=1. 0の 場 合 の 計 算 値 は こ の 管 路 流 の 特 性 を よ く説 明 す る. 一 方, 開 水 路 乱 流 で は 自由 水 面 に 近 づ くと μz/(hU*)が 減 少 す る こ と が 大 き な特 徴 で あ り, こ れ は減 衰 係 数Dω を導 入 す る こ とで う ま く説

Fig. 1 Effect of free-surface damping factor on eddy viscosity, (a) Experimental Values

Open-ChannelFlows NezusRodi(1986) Re O=1. 3x104 ▲5.5 +14.3 x=21.0 ◇44.0 4L14. ×=13.1 2=4. ● -Jobson et al. (1970) Re=36x10 ▲=Uedo et al. (1977) Re-3.4x10 -:Lpg-wake Lau (b) Calculated Values

128 祢 津. 中 川: 明 で き る. 自由 水 面 近 くの μzの実 験 値 は, 実 測 さ れ た 平 均 流 速Uを 数 値 微 分 して 求 め て い る た め, そ れ ほ ど 精 度 は よ く な い が11), 本 研 究 の乱 流 モ デル と比 較 す る と Dω=0. 4∼0. 8の 値 に収 ま っ て い る よ う で あ る. Fig. 2は, 平 均 流 速U+≡U/U*をy+≡yU*/μ に 対 して 図 示 し た もの で あ る・ 図 に は, 式(16)の 対 数 則 分 布, 粘 性 に よ る 減 衰 関 数 を 考 慮 し たvan Driest曲 線12) お よ び 外 部 領 域(y/h≧o. 15)で も 適 用 さ れ る 次 の Lo9-Wake則11)を そ れ ぞ れ併 示 した.

(24)

こ こ で, -HはColes係 数 で あ り, 図 に は 丑=0. 2の 曲 線 が載 せ て あ る. Dω が 変 化 して も計 算 値 に は そ れ ほ ど 大 差 は な い が, Dω が 小 さ い ほ ど 自由 水 面 近 くで 対 数 則 か らの ず れ は大 き く な る. 式(24)のLo9-Wake則 分 布 と はDω=0. 8の 計 算 結 果 が 最 も よ く一 致 す る よ う で あ る. Fig. 3は, 乱 れ エ ネ ル ギ ーhに 及 ぼ す 減衰 係 数Dω の 影 響 を示 す もの で あ る. 図 中 の 実 線 は, 祢 津14)によ る実 験 値 に基 づ い た半 理 論 曲 線 で あ り, 次式 で表 示 され る.

(25)

式(25)は, y+>100あ る い はy/h>0. 15の 外 部 領 域 で成 立 す る. 図 か ら明 らか に, Dω=0. 8の 場 合 が 式(25) と最 も良 好 に一 致 す る こ と が わ か る. Fig. 4は, 乱 れ の 逸 散 率 εh/vの 分 布 で あ る. 図 中 の実 線 は祢 津8)に よ る半 理 論 曲 線 で あ り, 式(25)と 平 均 渦 径 の分 布 特 性 か ら次 式 で求 め られ, 後 述 す る よ うに 実験 値 を よ く表 わ して い る.

(26)

式(26)もy/h>o. 15が 適 用 範 囲 で あ る. 図 に 示 す よ うに, 計 算 値 と式(26)と の 一 致 は よ い が, 特 に, 自 由 水 面 近 く で の 計 算 値 はD"=0. 8の 場 合 が式(26)と 最 も よ く一 致 す る よ うで あ る. 以 上 の よ う に, 自由 水 面 に よ る乱 れ の減 衰 効 果 を検 討 した 結 果, 減 衰 係 数Dω をDω=0. 8と 設 定 す る 場 合 が 最 も適 当 で あ る と 結 論 さ れ た. Dω=0…8は, 式(22) の 垢 →0と した 限 界値Dω=2/3よ り大 き く, 水 理学 的 に 考 え て も妥 当 な値 と い え る. 以 下 で は, Dω=0. 8と お き, 開 水路 乱 流 を 数値 計 算 した. (3)粘 性 底 層 内 の モ デ ル化 a) J0nes・Launderの 付 加 項 粘 性 底 層 内(y+≦30)を も含 む 流 れ 全 体 を 数 値 予 測 す る こ と は基 礎 水 理 学. 流 体 力 学 で は特 に興 味 が あ る. こ れ は, y+≦30で は バ ー ス テ ィ ン グ 現 象 が存 在 し, 乱 れ の構 造 が 非 平 衡 と な る領 域 で あ り, 乱 流 特 性 が 急 激 に 変 化 す る か ら で あ る8). こ の 場 合, Jones・Launderの 付 加項, 式(15)を 考 慮 して 計 算 を 行 え ば よい. 計算 結 果 は6. で示 され る が, 広 範 な 実 験 値 との 比 較 検 討 に よ

Fig. 2 Effect of free-surface damping factor on mean velocity distribution. RUN RE RSTR DW ○ 1 1.0x10. 5.33=10∼0.4 ▲ 2 1.0x10. 5.33=102 0.6 + 3 1.0x10. 5.34x10∼0.8 × q 1.0x10. S. 34.102 1.0

Fig, 3 Effect of free-surface damping factor on turbulent energy k/U. RUN RE RSTR Dw O 1 1.0x1O4 S.33aO∼0. 4 △ 2 1.0x104 5.33=1020. 6 + 3 1.0x1.O4 5.3UaO∼0. 8 × 4 1.0x104 5.34x1021. 0

Fig. 4 Effect of free-surface damping factor on energy dissipation Eh/ U*.

RUN RE RSTR Dw ○ 1 1.0x104 5. 33x102 0.4 △ 2 1.Ox104 5.33x102 0.6 十 3 1.0x104 5.34x102 0.8 × 4 1.0x104 5.34x102 1.0

修 正h一 ε乱 流 モ デ ル に よ る開 水 路 乱 流 の 数 値 計 算 129 り, c3=1. 8, c4=2. 0が 最 も適 合 した. b)壁 関 数 の拡 張 上 述 した よ うに, 粘 性 底 層 内 で は乱 れ 特性 値 は急 変 す る. た と え ば, hと εは最 大値 を もつ か ら, この 特 性 値 を数 値 計 算 す る に は 内 部 領 域 δ+≡δU*/μ≦100を 非 常 に 細 か く 細 分 す る 必 要 が あ る. レ イ ノ ル ズ 数 R*≡hU*/レ が 大 き く な る と, δ/h≦100/R*は 非 常 に 小 さ くな り, そ の 結 果, 差 分格 子 点 数 が 急 増 し, 計 算 量 が 莫 大 とな って 工 学 的 に 得 策 で は な い. これ を解 消 す る ため に, 乱 れ 特性 値 が 急 減 少 す る 限 界 点, 具 体 的 にい え ば, 乱 れ エ ネ ル ギ ーhが 最 大 値 を示 すy吉=20を 第1格 子 点 に選 ん で, y去に 壁 関 数 を 導 入 す れ ば よ い… 本 研 究 で は, 標 準 型 の壁 関 数(y声 ≧50で 適 用 され る)を 以 下 の よ う に拡 張 し た.

(1)平 均 流 速U声 はvan Driest関 数 で与 え る12).

(2)乱 れ は非 平 衡 と な り, a≡Gp/εp>1と な るか ら,

これ とvan Driest関 数 を使 う と 次式 が得 られ る.

(27)

式(27)を 使 っ て係 数aが 収 束 す る よ う にす れ ば よい.

ま た, dU+/dy+《1, a=1と お き, van Driest関 数 の

代 わ りに式(16)の 対 数 則 を適 用 す る と, 式(27)は 標 準 型 の 式(17)に 帰 着 さ れ る. Fig. 1か らFig-4ま で の これ ま で の 計 算 結 果 は, y3=20と して上 述 の 壁 関 数 を 用 い て得 られ た もの で あ る. 5. 高 レ イ ノ ル ズ 数 の 開 水 路 乱 流 の 数 値 計 算 結 果 (1)計 算 手 法 本 研 究 で 開 発 され た 修 正h-ε モ デ ル は 不 等 流 な ど に も適 用 可 能 で あ る が, こ こ で は実 験 結 果 の蓄 積 が あ る開 水 路 等 流 の 乱 れ を対 象 と した. ま ず, 高 レイ ノル ズ数 を 対 象 と した計 算 を行 い, この 水 理 条 件 をTable 1に 示 す. 計 算 シ リー ズ をHRと 表 示 し, レ イ ノル ズ数Re=0』h/ μ(こ こで 砺 は 断 面 平 均 流 速)は2000か ら106ま で6 通 り変 化 さ せ た. な お, フ ル ー ド数IF≡U撹 ん(盃 を変 化 させ て も無 次元 乱 流 値 に は変 化 は な く, 本 研 究 で は, F, =0. 43と 一 定 に お い た. y声≧20に 第1格 子 点 を選 び, 4. の 境 界 条 件 の も と で, Patankarら のSIMPLEア ル ゴ リズ ム18)をプ ロ グ ラム したTEACHコ ー ド15)を使 っ て 式(8)が 計 算 され た. τ 方 向 にAτ=hの 刻 み 幅 で52 点, y方 向 に22点 の 合 計1144個 の ス タ ッ ガ ー ド格 子 点 を と っ た. 初 期 断 面 τ=0で の 値 と して対 数 則 分 布, κ と εは 一 様 分 布 を 用 い た. 収 束 条件 は, 式(8)の 外 力項Sφ の残 差 が0. 1%以 内 に な る よ うに繰 り返 し計算 を行 っ た. τ/h≧20で 各 種 の 乱 流 特 性 値 は ほ ぼ 一 定 の 分 布 に収 束 し, 本 研 究 で は τ/h=42の 位 置 を検 査 面 と して 以 下 の 分 布 を表 示 し た. 鉛 直 方 向 の 流 速 分 布yの 境 界 条件 は壁 面 お よび 自由 水 面 で ゼ ロで あ る. この 計算 結 果 で は, y/賑 は10-5程 度, 圧 力P/(ρU2m)は10-4 程 度 と な り, 両 者 の 分 布 と も ほ ぼ ゼ ロで あ り, V≡0を 最 初 か ら設 定 しな く て も等 流 を 計 算 で き, y≠0の 不 等 流 や 急 変 流 に も適 用 可 能 な こ とが 期 待 で きる. な お, 計 算 のCPU時 間 は各Runと も約1分 間以 内 で あ っ た. (2)平 均 流速 分 布 Fig. 5は, 各Runの 平 均 流 速 分 布 の 計 算 結 果 で あ る.

図 中 に は, buffer層 で 成 立 す るvan Driest曲 線, 内 部 層 で の対 数 則 お よ び 外 部 層 で 成 立 す る式(24)のLog-Wake則 を併 示 した. y+≧20でbuffer層 を 含 め, 実 験 値 と計 算 値 と は良 好 に 一致 して い る. 特 に, y/h>0. 15 の 外 部 領 域 で は開 水 路 乱 流 の 平 均 流 速 は, 境 界 層 や 管 路 流 と同 様 に, 厳 密 な意 味 に お いて 対 数 則 か らず れ, 式(24) のLog-Wake則 を適 用 す べ き で あ る こと が 最 近Nezu・ Rodi11)に よ っ て指 摘 さ れ て い る. 本 研 究 の 計 算 値 は こ の 対 数 則 か らの ず れ を よ く説 明 して い る. い ま, 流 れ の 抵 抗 則, す な わ ち摩 擦 速 度 を, 修 正 ん-ε モ デ ル か ら計 算 され る も の をU*, 対 数 則 か ら計 算 され

る もの をU*Log, Log-Wake則 か ら の もの をU*wakeと

表 示 して, Table 1に 比 較 し た結 果 が 示 さ れ て い る. Log-Wake則 か らの 計 算 値U*wakeは 式(24)を 断 面 で 積 分 して次 式 で与 え られ る.

(28)

対 数 則 か らの 計算 値 は式(28)の 右 辺 第3項 が無 視 さ れ た もの で あ る.

Tab-e 1か ら明 らか に, Run 1のRe=2000を 除 き(以

Table 1 Hydraulic conditions for numerical calculations.

130 祢 津 ・中 川:

Fig. 5 Numerical results of mean velocity distributions at high Reynolds numbers (HR). RUN Rt Rsin O 1 2. OaO, 1. 34xO2 ▲ 2 S. 0x10, 2. 92x02 + 3 1. 0x1045. 34x0∂ × q s. 0x1042. 25x10, O S l. 0x104. 22x10 △ 6 1. OxO.3. 5x104

Fig. 6 Turbulent energy Ic/ U* vs y/h at high Reynolds numbers. HighReynolds-numberSeries(HR) RUN Re RSiR ○ 1 2.0x103 1.34x1O3 0 2 S.OX10 2. 92x102 + 3 1. 0x104 5. 34x102 X y 5.OX104 2.25x103 0 5 1. Ox105 4.22x102 Φ 6 1.0x100 3.45x104

Fig. 7 Distribution of Reynolds stress -u/U. v*

HighReynolds-numberSeries(HR) RUN Rc Rsia O 1 2.Ox1O3 1.34x102 ▲ 2 S.0x10, 2. 92x107 + 3 1. OxO-5. 3qxO2 × 45. 0x10 2.25x10 0 5 1. 0xIOs 4. 22x10' Φ 6 1. 0x106 3.45x10

Fig. 8 Comparison of calculated values of energy dissipation with experimental data of Nezu (1977).

(a)ExperimentalValues Hot-FilmAnemometers(Nezu1977)

Case Single- Dual-Senior Sensor G-1 ● O G-2 Φ Φ G-3 △ ◎ G-4 ▲ △ G-5 り 6 Calculated Curves (1): ∈-k・u-31, R-1600 (2): ∈h/u3・3(1・5)kg/3 (b) Calculated Values Modified k-E Model

High Reynolds-number Series (HR) RUN Rc Rsl/1 ○ 1 2.Ox103 1.34x102 c 2 5.0x103 2.92x102 十 3 1.0x104 5.34x102 × 14 5.01x104 2.25x1103 0 5 1.0x104.22x102 4 6 1.0x103.45x102

修 正h-ε 乱 流 モ デ ル に よ る 開 水 路 乱 流 の 数 値 計 算 131 下 で こ のRe数 の 結 果 は 高 レイ ノ ル ズ数 と して の 計 算 に 大 き な 誤 差 が 生 じ る こ と が 判 明 した), Lo9-Wake則 の 式(28)と 修 正h-ε モ デ ル か ら計 算 され るU*は ほ ぼ 0. 4%以 内 で一 致 し, 十 分 に正 確 な こ とが わか る. Lo9 則 か らの 値 は3%以 内 で 一 致 し, 流 れ の抵 抗 則 の 工 学 的 な 目的 で は これ で も ほ ぼ満 足 され る と考 え る. (3)乱 れエ ネル ギ-お よび レ イ ノル ズ応 力 Fig. 6は, 乱 れ エ ネ ル ギ ーhの 分 布 で あ る. 図 中 の 実 線 は式(25)の 半 理 論 曲 線 で あ り, 104程 度 の 中 程 度 の Reで 成 立 す る8). Re=2000の 低 レイ ノル ズ 数 の 計 算 値 は式(25)か らか な りず れ る. しか し, R≧5000で の 中 程 度 のReで は 式(25)と の 一 致 は 良 好 で あ る. Re が105以 上 の 非 常 に高 レイ ノ ル ズ 数 に な る と, 本 修 正 h-ε モ デ ル は 標 準 型h-ε モ デ ル に 漸 近 し, 式(17)の hρ/U峯=3. 3が 境 界 条 件 に な る. この と き, 式(28)の 半 理 論 曲 線 の 実 験 係 数 も減 少 す る と考 え られ る が, 現 在 の と こ ろ, こ の よ う な高 レイ ノル ズ数 の実 験 デ ー タ は な く, 今 後 さ らに検 討 した い. Fig. 7は, レ イ ノル ズ応 カ-π/鵬 の 分 布 を示 す も の で あ る. Re≧5000で は 計 算 値 は良 好 に 直 線 分 布 して お り, 本 モ デ ル の整 合 性 ・妥 当性 が再 確 認 さ れ る. 従 来 のh-ε モ デ ル の 計 算 で は, y≡0と 当初 よ り設 定 して式 (8)を 単 純 化 した方 程 式 を解 く こと が大 半 で あ っ た が, 本 研 究 の よ う に, こ の仮 定 を導 入 しな くて も整 合 性 よ く, -π π お よ びPが 計 算 され た 意 義 は大 き く, こ の 修 正 h一εモ デ ル が段 落 ち流 れ な ど の急 変 流 に も適 用 可 能 な も の と考 え られ, 今 後 各 種 の流 れ に適 用 す る予 定 で あ る. な お, Re=2000で 計 算 結 果 が 直線 分 布 か らず れ た理 由 は, y5=20がyρ/h=0. 15に 相 当 し, 第1格 子 点 で の 壁 面 近 傍 の流 速 勾 配 が正 確 に計 算 で き な か っ た こ と に原 因 が あ り, こ の場 合 は, 6. の低 レ イ ノル ズ数 で の 計 算 を適 用 しな けれ ばな ら な い こ とが わか る. (4)乱 れ の 逸 散 率 お よび 発 生 率 Fig. 9は-, 乱 れ 逸 散 率 εh/U集 の 計算 値 と祢 津8)に よ る 実 験 値 と を比 較 した もの で あ る. 実 験 値 は, u変 動 の ス ペ ク トル解 析 の 慣 性 小 領 域 の-5/3乗 則 か ら求 め られ, 式(26)の 半 理 論 曲 線 が 提 案 され た8)…Re=2000の 計 算 値 は, 式(26)か らや は りず れ る が, Re≧5000の 高 レ イ ノル ズ 数 で は 壁 面 近 傍 を も含 め た ほ ぼ 全 断 面 で 計 算 値 と 実験 値 と の 一 致 は非 常 に よ く, 注 目に 値 す る. 次 に, 乱 れ の 発 生 率Gを 式(14)か ら 計 算 し, (0-ε)/ε の 形 でFig-9に 示 した. 0の 実 験 値 は, 祢 津8) が 与 え た ホ ッ トフ ィル ム 流 速 計 で 計 測 され た平 均 流 速 Uか ら差 分 し て求 め ら れ た もの で あ り, 実 験 精 度 は そ れ ほ ど 高 く はな い. 上 述 の よ う に, Re=2000の み 例 外 で あ る が, 他 のRunで は0. 1≦y/h≦0. 6でG=ε の エ ネ ル ギ ー の 平 衡 状 態 と な り, y/h≧0. 6で ε>0の 自由 水 面 領 域 に な る と い う中 川 ・祢 津 ら(1975)4)が す で に 提 案 して い る乱 れ エ ネル ギ ーの 平 衡 関 係 に基 づ い た開 水 路 乱 流 の 領 域 区 分 が 妥 当 で あ る こ と を数 値 計 算 上 か ら裏 づ け た こ との 意 義 は大 き い. 6. 低 レ イ ノ ル ズ 数 の 開 水 路 乱 流 の 数 値 計 算 結 果 (1)計 算 手 法 計 算 手 法 は, 5. (1)と 基 本 的 に は同 じで あ る が, y+ <100を 細 分 す る た め, y方 向 の刻 み 幅Ayを 等 比 級 数 的 に増 加 させ, 合 計52×42=2148個 の ス タ ッ ガー ド格 子 を設 定 した. Reは, 500か ら105ま で7通 り に変 化 さ せ, その 水 理 条 件 をLRシ リー ズ と してTable 1に 示 し た. な おCPU時 間 は各Runと も約4分 間程 度 で あ った… (2)平 均 流 速 分 布

Fig. 9 Comparison of calculated values of dissipation relations with experimental data. (a) Experimental Values (Nezu 1977)

Case O G-1 φ G-2 ▲ G-3 ▲ G-4 ⇔ G-5 Calculated Curves (1): e=K-uo3/Lx、R=1600 (2): ehlu3=3(1∼3)3/21 (b) Calculated Values

High Reynolds-number Series (HR) RUN Re Rsra O 1 2.0=104 1.34=10= E 2 5.0104 2.9210' + 3 1.0104 5.34=10' X U 5.0104 2.25=10' O 5 1.0104 x 0.2210' 4 5 1.0104 3.05=10"

132 祢 津 ・中 川:

Fig. 10 Numerical results of mean velocity distributions at low Reynolds numbers (LR). RUN Re Rsn o 1 5.0=102 3.82101 0 2 1.0x103 6.52x101 + 3 2.0x103 1.22x10 X 1 5.0x103 2.74x102 O 5 1.0x104 5.12x10 + 8 5.0x104 2.22x10 R 7 1.0=10 11.17=10'

Low Reynolds-number Series (LR)

Fig, 11 Calculated distribution of turbulent energy in the wall region.

Low Reynolds-number Series (LR) RUN Rt Rsl. 0 1 5.0.10' e 2 1.010' 63.8622.1100' + 3 2.0.10' 1.220 X 4 S.0.10' 2. 7 4.10' o 5 1.0.10' 5. 12.10' * 6 5.0.10' 2.22.10' R 7 1.0.10' 4. I Tl0'

Fig. 12 Calculated distribution of Reynolds stress in the wall region.

Low Reynolds-number Series (LR) RUN Rt Rsln O 1 5.0.10' 3.82.10' e 2 1.0.10' 6.62.10' + 3 2.0.10' 1.2210' X 4 5.010' 2.7410' .O 5 1.0' 10' 5.1210' 1 6 5.0=10' 2.2210' .0 7 1.010' 10 11.1710'

Fig. 13 Calculated distribution of dissipation in the wall region.

Low Reynolds-number Series (LR) RUN Rt Rs. O 1 5.0.10' 3.82.10' e 2 1.0.10' 6.6210' + 3 2.0.1 0' 1. 2 21 0' X 4 5.0.10' 2. 7 4.10' O 5 1.0.10' S. 1 2.1 0' t 6 5.0.10' 2. 22x10' R 7 1.0.10' 4. 1 7.1 0'

Fig. 14 Relation between turbulent generation and dissipation in the wall region.

lo. Reynolds-nuwber Series (LR) RUN R=M. O I 5.0x10' 3.12.10' n 2 1.0xt0' 6.62. 10' + 3 2.0.10' 1.22.10' x r 5.x10' 2. 7Vx10' o S 1.0.10' 5.12.10' * 6 5. ax 10' 2.22.10' x 7 I.alo4 12.10' O

修 正h一 ε乱 流 モ デ ル に よ る 開 水 路 乱 流 の 数 値 計 算 133

Fig. 10は, 平 均 流 速 分 布 の 計 算 結 果 で あ る. y+<10

の 粘 性 底 層 で はvan Driest曲 線 やU+=y+曲 線 に 非 常

に よ く一 致 す る. 低 レイ ノ ル ズ数 の 開 水 路 実 験 は, 実 験 制 御 や 計 測 が 非 常 に困 難 で あ り, 現 在 で も精 度 よ い デ ー タ は な い. た だ, Eckelmann(1974)16)が 油 流 を用 い て 動 粘 性 係 数 μを上 げ, ホ ッ トフ ィル ム 流 速 計 で 計 測 し た結 果(Re=2800と4100)が あ る の み で あ る. 彼 は, y+≧30の 実 測 値 は π=0. 377, A=5.9の 式(16)の 対 数 則 に よ く一 致 す る と提 案 した. この 実 験 での 対 数 則 を Fig. 10に 併 示 した. こ の実 験 値 は, Re<104で 計 算 値 と 一 致 す る よ う で あ る. こ こで 問 題 と な る の は, 5. の 高 レ イ ノ ル ズ 数 の 計 算 手 法(壁 関 数 手 法)で 示 さ れ た Fig-5と, 低 レ イ ノ ル ズ 数 の 計 算 手

法(Jones・Laun-derの 付 加 項 の 手 法)か ら得 られ たFig. 10が 同一 のRe

数 で必 ず しも数 値 的 に完 全 に は一 致 しな い こ と で あ る. こ れ は, 両 者 でAyの 刻 み 幅 が 大 き く異 な る た め と考 え られ, 乱 流 モ デ ル 自体 に致 命 的 な欠 陥 が あ る と は考 え ら れ な い. な お, 両 者 の 誤 差 はTable 1に 示 す よ う に, Re=104で5%以 内 で あ る. (3)乱 れ エ ネル ギ-お よび レ イ ノル ズ応 力 分 布 Fig. 11は, 乱 れ エ ネ ル ギ ーh/鵬 をy+に 対 して 図 示 し た内 部 変 数 表 示 で あ る. 最 も注 目 す べ き点 は, y+ =20でhは 最 大 値 を示 し, Re数 が 大 き い ほ ど 内部 領 域 (y+≦100)で ほ ぼ 一 定 値 に な る こ と が わ か る. この 最 大 値 はh/U≠4で あ り, Laufer(1954)の 実 験 値 と同 程 度 と な る17). 第2に 注 目 す べ き点 は, Re数 が 小 さ く な る と, 乱 れ エ ネ ル ギ ー は摩 擦 速 度 す な わ ち壁 面 せ ん断 応 力 に 比 べ て 小 さ く な り, Re=500で はh/鵬 の 最 大 値 は0. 7と な っ て, 流 れ は層 流 的 に な る こ と で あ る. 平 均 流 速 分 布 もFig. 10で 示 す よ う に, van Driest曲 線 か

ら ず れ て, む しろU+=y+の 層 流 分 布 に 近 づ く よ う で あ る. ま た, Table 1に 示 す よ う に, U*はU*L。gや U*Wak。 か ら しだ い に ず れ て く る. 開 水 路 乱 流 で はRe= 500が 限 界 レ イ ノル ズ数 で あ る と経 験 的 に い わ れ て い る が, 本 計 算 結 果 は これ を裏 づ け る重 要 な 内容 で あ る と考 え られ る. Fig.12は, レ イ ノル ズ応 カ-死 π/鵬 の分 布 で あ る. Re数 が 大 き く な る と, -π π=破 と な る一 定 せ ん 断 応 力 層 が 形 成 さ れ る こ とが 従 来 よ り指 摘 さ れ て い る が, 本 モ デ ル は この 特 性 を非 常 に良 好 に示 して い る. や は り, Re=500に な る と, -π/鵬 の最 大値 は, 0. 083と な り, レイ ノ ル ズ応 力 は粘 性 応 力 の1割 弱 と な る か ら, ほ ぼ層 流 的 挙 動 と い え る. (4)乱 れの 逸 散 率 お よ び発 生 率 Fig. 13は, 逸 散 率 を 内 部 変 数 表 示, す な わ ち ε+一

εμ/U峯 をy+に 対 して 図示 し た もの で あ る. ε+はy+=

10∼20で 最 大 値 を 示 し, Re数 が 大 き くな る と, ε+は y+に 対 して普 遍 特 性 を 示 す. こ の結 果 は, Laufer17)の 実 験 値 と数 値 的 に よ く一 致 す る. しか し, y+<5で は逸 散 率 の 合 計 は, 式(12)に 示 す よ う に(c+D)と な り, y+→oで は 一 定 値 と な る10). 現 在, 粘 性 底 層 内 の εの 実 測 値 は な く, 今 後 の 計 算 値 との 比 較 が ま たれ る. 最 後 に, Fig-14は, 乱 れ の 発 生 率oと 逸 散 率 εとの

比a=G: /ε をy+に 対 して 図示 した もの で あ る. Laufer

の 実 験 値 も併 示 し た. y+<5の 実 験 値 の精 度 に は検 討 を 要 す る が, こ の実 験 値 と計 算 値 と は良 好 に一 致 し, 注 目 に値 す る. y+≦6で は ε>Gと な り, 粘 性 底 層 はエ ネ ル ギ ー逸 散 領 域 に な る. y+>6でG>ε と な っ て, 乱 れ が 発 生 す る機 構 が よ く わ か る. ま た, y+≧50で は0=ε と な り, 乱 れ は平 衡 状 態 に達 す る こ とが わか り, 式(17) で 示 され た 標 準 型 のh-ε モ デ ル の 有 効 性 が 本 モ デ ル か ら立 証 さ れ る. さ ら に 興 味 あ る 点 は, Re=500で も G/ε は ほ ぼ 同 一 の 曲 線 上 に乗 り, 乱 流 が 層 流 化 して も そ の 構 造 自体 は 相 似 に 変 化 す る で あ ろ う こ と が 予 測 さ れ, 実 験 値 と の比 較 検 討 が今 後 残 され た研 究 テ ー マ で あ る. 7. 結 論 本研 究 は, 現在 の乱 流 の数 値 計算 手 法 に 関 して2大 別

され るh-ε モ デ ル とLarge Eddy Simulationの うち で,

前 者 の手 法 を詳 述 し, これ を 自 由 水面 を有 す る 開水 路 乱 流 の数 値 計算 に適 用 で き る よ うに修 正 した もの で あ る. 本 研 究 で は主 に 以 下 の 点 が 開 発 され た. (1)自 由 水 面 に よる 乱 れ の 減 衰 効 果 を モ デ ル化 した こと. (2)高 レ イ ノル ズ数 の 場 合 に は第1格 子 点y吉 を20 に と り, 計算 時 間 が 短 くな る壁 関数 を考 案 し, 工 学 的 手 法 と した こと. (3)低 レ イ ノ ル ズ 数 の 場 合 に はy+≦100の 内 部 領

域 を細 分 化 し, Jones. Launderの 付 加 項 を導 入 してy

=0か ら計 算 可 能 と した こ と. この 計 算 時 間 は, (2) の 手 法 よ りか か る が, 乱 流 特性 値 が 急 変 す る 内部 領 域 の 乱 流 構 造 を的 確 に 予 測 で き, 基礎 水 理 学 や 流体 力学 の発 展 に欠 か せ な い 手 法 に し た こ と. 以 上 の 乱 流 モ デ ル を 使 って 計 算 され た 結 果 は, 著 者 ら が1975年 以 来 継 続 し て行 っ て き た開 水 路 実 験 の デ ー タ (研 究 の 初 期 で はホ ッ トフ ィル ム 流 速 計 を, 最 近 で は高 精 度 の レ ーザ ー 流 速 計 を用 い て 計 測 され, そ の 都 度, 発 表 して き た実 験 値)と 比 較 検 討 され た. そ の 結 果, 両 者 の 一 致 は非 常 に 良 好 で あ り, 本 研 究 で 開 水 路 乱 流 用 に 開 発 さ れ た 修 正h一 εモ デ ル は か な り合 理 的 な 計 算 手 法 で あ る もの と結 論 され る. 本 乱 流 モ デル は, 逆 流 域 を含 む 剥 離 流 に も適 用 可 能 で あ り, 今 後, 段 落 ち流 れ や 河 床 波 上 の 乱 流 構 造 さ らに は

134 祢 津. 中川: 粗 面. 移 動 床 へ の 流 れ へ と この モ デ ル を適 用 して い き た い. 最 後 に, 本研 究 で用 い られ た コ ン ピュ ー タ ・コー ドは 前 述 し た よ う にGosman(1985)15)ら が 開 発 し た TEACHコ ー ドで あ り, これ に 関 す る 有 益 な 助 言 を い た だ い た 名 大 プ ラズ マ研 究 所 の 武 本 行 正 先 生 に謝 意 を表 し ます. ま た, 本 研 究 は, 昭 和60∼61年 度 の 文 部 省 科 学 研 究 費 試 験 研 究(代 表 ・中 川 博 次, No. 608501o0)お よ び一 般 研 究C(祢 津 家 久, No. 61550369)の 援 助 を受 けた こ とを 記 し, これ に 感 謝 す る. 参 考 文 献 l)小 林敏 雄. 狩野 正徳: Large-Eddy Simulationと 二 次元 クエ ッ ト乱流の数値解析, 生産研 究, 第38巻, 東大生産 技術研究所, pp. 8∼14, 1986.

2) Rodi, W.: Turbulence Models and Their Application in Hydraulics, IAHR, Delft, 1980.

3) Naot, D. and Rodi, W.: Calculation of Secondary Currents in Channel Flow, J. Hydraulics Div., ASCE, Vol. 108, HY-8, pp. 948-968, 1982.

4) Nakagawa, H., Nezu, I. and Ueda, H.: Turbulence of Open Channel Flow over Smooth and Rough Beds, Proc. JSCE, No. 241, pp. 155--168, 1975.

5)祢 津 家 久. 中 川 博 次: 一 様 開 水 路 お よ び 閉 管 路 の 三 次 元 乱 流 構 造 に関 す る研 究, 土 木 学 会 論 文 集, 第369号, n-5, pp. 89∼98, 1986.

6) Celik, I, and Rodi, W.: Simulation of Free-Surface Effects in Turbulent Channel Flows, Physico-Chemical Hydrodynamics, Vol. 5, pp. 217-227, 1984.

7) Jones, W. P. and Launder, B. E.: The Calculation of

Low-Reynolds-Number Phenomena with a

Equation Model of Turbulence, Int. J. Heat and Mass

Transfer, Vol. 16, PP. 1119∼1130, 1973. 8)祢 津 家 久: 開 水 路 流 の 乱 流 構 造 に関 す る 基 礎 的 研 究, 京 都 大 学 学 位 論 文, 1977. 9)祢 津 家 久 ・中川 博 次: 自 由 水 面 を考 慮 した 開 水 路 乱 流 の 数 値 計 算 手 法, 京 大 防 災 研 究 所 年 報, 第29号B-2, pp. 647∼673, 1986.

10) Patel, V. C., Rodi, W. and Scheuerer, G.: Turbulence Model for Near-Wall and Low Reynolds Number Flows

A Review, AIAA J., pp. 1308-1319, 1985. 11) Nezu, I. and Rodi, W.: Open-Channel Flow

ments with a Laser Doppler Anemometer, J. Hydraulic Eng., ASCE, Vol. 112, pp. 335-355, 1986. 12) van Driest, E. R.: On Turbulent Flow Near a Wa!!, J.

Aeron. Sci., Vol. 23, pp. 1007-1011, 1956. 13) Hussain, A. K. M. F, and Reynolds, W. C.:

ments in Fully Developed Turbulent Channel Flow, J. Fluids Eng., ASME, Vol. 97, pp. 568-580, 1975.

14)祢 津 家 久: 開 水 路 乱 流 の 乱 れ 強 度 に関 す る研 究, 土 木 学 会 論 文 報 告 集, 第261号, pp. 67∼76, 1977.

15) Gosman, A. D., Launder, B. E, and Reece, G. J.: Computer-Aided Engineering; Heat Transfer and Fluid Flow, John Wiley & Sons, 1985.

16) Eckelmann, H.: The Structure of the Viscous Sublayer and the Adjacent Wall Region in a Turbulent Channel Flow, J. Fluid Mech., Vol. 65, pp. 439-459, 1974. 17) Laufer, J.: The Structure of Turbulence in Fully

Developed Pipe Flow, NACA, TR-1174, 1954.

18)Patankar, S. V. (水 谷. 香 月(訳)): コ ン ピュ ー タに よ る熱 移 動 と流 れ の 数値 解 析, 森 北 出版, 1985.

19) Rodi, W.: Use of Advanced Turbulence Models for Calculating the Flow and Pollutant Spreading in Rivers,

3rd Int. Symp. River Sedim., Univ. of Mississippi, pp. 1369-1382, 1986.