「数学5」(2変数関数の微分積分)
−13−
< 2 階偏導関数 2 >
2
変数関数z = f (x, y)
に対し，x
に関する偏導関数f
x(x, y)
を さらにy
に関して偏微分したものをz
xy= ∂
2z
∂ y∂x = ∂
∂y µ ∂z
∂x
¶
= f
xy(x, y) = ∂
∂y µ
f
x(x, y)
¶
= ∂
2∂y∂x µ
f (x, y)
¶
= ∂
∂y
∂
∂x f (x, y)
等の記号で表す。同様に，z = f (x, y)
のy
に関する偏導関数f
y(x, y)
をさらにx
に関して偏微分したものをz
yx= ∂
2z
∂x∂ y = ∂
∂x µ ∂z
∂y
¶
= f
yx(x, y) = ∂
∂ x µ
f
y(x, y)
¶
= ∂
2∂x∂y µ
f(x, y)
¶
= ∂
∂ x
∂
∂y f (x, y)
等の記号で表す。(
注) z
xy= ∂
∂ y µ ∂z
∂x
¶
= f
xyのx
のように，z(
またはf )
に近い変数が先に偏微分する変数 である。例
(1) f (x, y) = x
6− 5x
4y + 3x
2y
3− 4y
4 のときf
x(x, y) = 6x
5− 20x
3y + 6xy
3より
f
xy(x, y) = − 20x
3+ 18xy
2f
y(x, y) = − 5x
4+ 9x
2y
2− 20y
3より
f
yx(x, y) = − 20x
3+ 18xy
2(2) z = log (x
2+ 3y
2)
のとき∂z
∂x = 2x
x
2+ 3y
2 より∂
2z
∂y∂ x = − 12xy (x
2+ 3y
2)
2∂z
∂y = 6y
x
2+ 3y
2 より∂
2z
∂x∂ y = − 12xy (x
2+ 3y
2)
2(注) f
xy(x, y)
とf
yx(x, y)
が連続の場合には，両者は等しい。問
