高次元ブラックホール

(1)

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Introduction GR & Dimensions BH in4D GR BHs inD >4 Topology Stability Symmetry Summary

. .

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.

高次元ブラックホール

石橋明浩

ＫＥＫ素粒子原子核研究所

セミナー＠中央大理工学部素粒子論教室 2009年8月31日

石橋明浩 KEK Theory Center

(2)

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導入：なぜ高次元時空を考えるのか？

基礎理論：力の統一の試み（ストリング理論など）

現象論モデル：ブレーン宇宙/大きな余剰次元 4次元時空の理解：次元を一般化して考える

高次元統一理論の構築、物理的結論の導出

⇒

高次元ブラックホール研究

(3)

. . . . . .

導入：主題

目的:

. .

. . .

. .

最近の高次元ブラックホール研究一端の紹介

焦点:

４次元ブラックホール研究の成果とその高次元一般化の試み

(4)

. . . . . .

Outline

.

導入

相対論と空間次元

4

次元ブラックホール高次元ブラックホールまとめ

(5)

. . . . . .

一般相対論と空間次元

(6)

. . . . . .

空間拡がりとダイナミクスの自由度

T

t x G g

X

MN mu

４次元宇宙を高次元空間に埋め込むと...

g_µν =G_{M N}∂X^M

∂x^µ

∂X^N

∂x^ν

外在的な見方：４次元宇宙の計量が外部時空の計量GM N

から誘導された（c.f.,ストリング理論、ブレーン宇宙の視点）

内在的な見方: 余分な座標方向X⁵, X⁶, . . . は

g_µν で決まる４次元世界の中の力学的な場の自由度空間次元：

⇒

可能なダイナミクスの自由度

(7)

. . . . . .

一般相対論と次元

重力一元論

:

４次元の電磁気＋重力をまとめて高次元時空から導く４次元: g_µν, A_µ: R_µν−1

2Rg_µν = 8πGT_µν 高次元: GM N : RM N −1

2RGM N =0(真空) 例：５次元のKaluza-Klein 理論

GM N =







A₁ gµν

.. .

A₄ A1 · · · A4 ϕ²







５次元成分G55=ϕ²,Gµ5=Aµは４次元時空上の“力学的自由度”

(スカラー場ϕと電磁ポテンシャルAµ)

と見なせる

(8)

. . . . . .

一般相対論と次元： Kaluza & Klein コンパクト化

余剰次元はどうなっているのか？

3 - dim. space macroscopic

large 3 - dim. space

macroscopic

large

& extra - compact space L

問：５次元方向がどれだけ小さければよいか？

E ≥ c~

L L: 余剰次元のスケール

以上のエネルギーを投入しないと、５次元方向の自由度は励起しない。

（X⁵が動かなければその方向(次元)は存在しないのと同じ）

(9)

. . . . . .

一般相対論と次元 : ブレーン宇宙と新しいコンパクト化

素粒子の標準モデルは高次元時空の中の４次元部分空間

（ブレーン宇宙）に閉じ込められている

(Akama 82 Rubakov-Shaposhnikov 83)

3 - dim. brane L

•重力だけが余剰次元の中へも染み出すことができる

⇒

^{余剰次元方向の励起}(Kaluza-Kleinモード)に関しては重力だけ気にかければよい

(10)

. . . . . .

一般相対論と次元 : ブレーン宇宙と新しいコンパクト化

大きな余剰次元モデル（Arkani-Hamed, Dimopoulos & Dvali ’98)

m²_pl =Lⁿ×M_Dⁿ⁺² D= 4 +n, n:余剰次元の数

•ⁿ>2だとM_D∼TeVでL≤0.1mm(実験からの制限を満たす)

3 - dim. brane

L n

: vol. of extra-dim

TeVスケール加速器実験LHCによる検証可能性 (高次元ミニ・ブラックホール生成とホーキング蒸発)

(11)

. . . . . .

相対論と空間次元 : ブレーン宇宙と新しいコンパクト化

曲った余剰次元モデル（Randall & Sundram ’99）

余剰次元方向は（数学的には）無限に拡がっていてもかまわない

3 - dim. brane

L

curved extra-dim.

余剰次元の曲率(スケールL)のおかげで、物理的な体積は４次元のブレーン宇宙近傍に集中

(12)

. . . . . .

まとめ : 一般相対論と次元

空間次元

⇔

^{拡がりの方向}

⇔

^{ダイナミクスの自由度}

⇒

統一理論の構築に必要な自由度を与えうる

余剰空間次元

⇒

^{コンパクト化が必要}

Kaluza-Klein

の方法に加えて、新しいコンパクト化の方法と

してブレーン宇宙のアイデア

⇒

高次元時空モデルの多様な可能性

(13)

. . . . . .

４次元宇宙のブラックホール

(14)

. . . . . .

宇宙のブラックホール

Black Hole＝重力が強すぎて、光でさえ逃れられない領域

どこへ向って逃れることができないのか？

⇒

光にとっての十分な遠方

(15)

. . . . . .

一般相対性理論での十分遠方

^孤立系 ⁼漸近平坦性＋光的無限遠（遠方でMinkowski計量的）

An isolated object

" Star "

Observer's world-line

"Time-like Infinity"

"STAR" Observer

Null Infinity

⇒

^{計量の共形変換}

⇒

光的無限遠(null infinity) は十分遠方の観測者の理想化

(16)

. . . . . .

一般相対性理論の孤立系（強い重力源のとき）

^{十分遠方の観測者} ^の理想化

=漸近平坦性＋光的無限遠方(I⁺: null infinity )

null infinity

event horizon singularity

black hole

observer's world-line

十分遠方の観測者から見渡せない領域=ブラック・ホール

(17)

. . . . . .

ブラックホールのホライズン

事象地平面(イベント・ホライズン）H =ブラックホール領域の境界

Time

ホライズンは光的超曲面

⇒

光的測地線で生成される

(18)

. . . . . .

面積則: (Hawking 71)

. .

. . .

.

ブラックホールのホライズンの断面面積Aは減少しない: ∆A>0

Remark: 熱力学第2法則との類似:

エントロピーSは減少しない:∆S >0 (Bekenstein 73)

Question: 平衡熱力学系との対応は？ (熱力学第０、第１法則は？)

⇒

^定常 ^{ブラックホール}(ダイナミクスの終状態)の物理

(19)

. . . . . .

定常時空:

時空計量が遠方での自然な時間座標 t に依らない。

· · · その様な座標系がとれる

(20)

. . . . . .

定常ブラックホール：シュヴァルツシルト計量

静的球対称ブラックホールを記述するアインシュタイン方程式の漸近平坦な真空解 (Schwarzschild ’16)

形 (トポロジー)：２次元球面

パラメーター：質量M 電荷Qを与えることも可:

(Reissner ’16 – Nordstrom ’18) 線形摂動に対して安定

(Regge & Wheeler ’57 – Kay & Wald ’87)

ホライズンの表面重力 κ= 1/4M

(21)

. . . . . .

ホライズンの表面重力

シュヴァルツシルト計量

ds²=−(1−r_H/r)dt²+ dr²

1−rH/r +r²dΩ² : r_H= 2M

t

Null infinity Singularity

Horizon 静的観測者 t^a= (∂/∂t)^a は加速度運動

t^c∇ct^a=κ(r)(∂/∂r)^a

ホライゾンでの加速度×赤方偏移： r→rH: t^c∇ct^a=κ(rH)t^a 表面重力 κ=κ(rH) = 1/4M:

(22)

. . . . . .

定常ブラックホール：カー計量

回転している定常ブラックホールを記述するアインシュタイン方程式の漸近平坦な真空解 (Kerr ’63)

トポロジー：２次元球面

パラメーター：質量M 角運動量J 角運動量に上限: |J|< M² J →0でシュヴァルツシルト解に電荷Qを与えることも可:

(Newman ’65) 少なくとも線形重力摂動に対して安定

(Teukolsky ’72 — Whiting ’89)

(23)

. . . . . .

定常ブラックホール力学

ブラックホール力学 (Bardeen, Carter & Hawking 73)

質量や角運動量が微小に違う２つの定常ブラックホールを比べる

M J M + ∆M J+ ∆J

⇒

^κ⁼^{const. ,} ^∆M ⁼_8π^κ ^∆A^{+ Ω}^H^∆J

A:ホライズンの面積 ΩH:ホライズンの角速度

(24)

. . . . . .

定常ブラックホール熱力学

.

. . .

.

κ=const. , ∆M = 1

8πκ∆A+ ΩH∆J

平衡熱力学第0、第1法則と対応

T =const. , ∆E=T∆S−P∆V

量子効果

⇒

^{温度の決定:} ^T ⁼ _2π^κ (Hawking 75)

⇒

ブラックホールエントロピー: S= A 4

(25)

. . . . . .

ブラックホール熱力学と一意性定理

定常ブラックホールが平衡熱力学系と対応するなら、いくつかの少数のパラメーターで完全に特徴付けることが可能なはず．．．

一意性定理: (Israel-Carter-Robinson-Mazur-Bunting-Chrusciel)

. .

.. .

.

真空または高々電磁場を含む、定常なブラックホール解は、

その質量M、電荷Q、角運動量J で一意に定められる

真空で回転しているBlack Hole

⇒

^Kerr^{（カー）解}

(26)

. . . . . .

『物体を特徴付ける』

SIZE

大雑把な大きさ

重量角運動量

A

B

扁平ぐあい

四重極モーメント

· · · ^{多重極モーメント}

∞個のパラメーター

(27)

. . . . . .

ブラックホール一意性

一意性定理:

.

.. .

. .

真空または高々電磁場を含む、定常なブラックホール解は

たった３つのパラメーター M、J、Q、で完全に特徴付けられる

· · · Black Holes Have No Hair

我々の宇宙のBlack Holeは（その材料や形成過程の詳細はともかく）

その最終（定常）状態はKerr計量でよく記述される

(28)

. . . . . .

ブラックホール一意性定理の物理的意義

宇宙には、様々な状況下でのブラックホールがおよそ10²⁰個以上も存在するかもしれない。

(29)

. . . . . .

(30)

. . . . . .

(31)

. . . . . .

(32)

. . . . . .

ブラックホール一意性定理の物理的意義

宇宙には、様々な状況下でのブラックホールがおよそ10²⁰個以上も存在するかもしれない。

一意性定理 +





宇宙検閲官仮説

Kerr（カー）計量の摂動安定性

⇒

ほとんどの状況で、時空計量は本質的にはカー計量で非常によく記述される

(33)

. . . . . .

一意性定理の物理的意義

宇宙のブラックホールはKerr計量で十分よく記述される

(34)

. . . . . .

一意性定理の物理的意義

“In my entire scientific life ... the most shattering experience has been the realization that an exact solution of general relativity, discovered by the New Zealand mathematician Roy Kerr,

provides the absolutely exact representation of untold numbers of massive black holes that populate the Universe”

Chandrasekhar (チャンドラセカール)

“Truth and Beauty” (1987)

(35)

. . . . . .

まとめ : 4 次元のブラックホール

漸近平坦の場合の基本性質

形（トポロジー） · · · · ２次元球面的

一意性 · · · · 質量M 、角運動量J、電荷Q

で完全に特徴付けられる (Q= 0ならKerr計量)

安定性 · · · · 安定

⇒

ダイナミクスの終状態を記述

. .

.. .

.

4次元でのこれら基本的性質は高次元ではどうなるのか?

(36)

. . . . . .

高次元では . . .

漸近平坦で真空定常な高次元ブラックホールの場合

トポロジー · · · · 球面的である必要はない

安定性 · · · · 多くの不安定（と予想される）解

一意性 · · · · ^{一般に成り立たない}!

(37)

. . . . . .

高次元のブラックホール

(38)

. . . . . .

高次元時空と余剰次元

余剰次元はどうなっているのか？

3 - dim. space macroscopic

large 3 - dim. space

macroscopic

large

& extra - compact space

L

(39)

. . . . . .

高次元ブラック・オブジェクト

マクロな３次元空間＋コンパクトな余剰次元方向

ブラック・ストリング

3 - dim. space L

horizon R

•高次元方向にそのまんま伸びている

ブラック・ホール

3 - dim. space L

horizon R

•全ての空間方向についてコンパクト

(40)

. . . . . .

ブラック・ストリング解 : ５次元真空解の例

(5)GM NdX^MdX^N =⁽⁴⁾gµνdx^µdx^ν+ dZ²

3 - dim. space L

horizon R

Z

５次元方向を横軸にして描くと· · ·

L

3 - dim. space

R

3 - dim. space

5th - dim.

Z =一定面は通常の４次元真空ブラックホール解

(41)

. . . . . .

高次元時空での安定性・不安定性

ブラック・ストリングは（一般に）不安定 (Gregory & Laflamme ’93) 摂動を加えると

⇒

^{不安定モード}

L R

3 - dim. space

5th- dim.

不安定な解はどうなるのか？分裂？

有限のアフィン時間では分裂できない (Horowitz & Maeda 01)

数値計算· · · 未決着

(Choptuik et al 03)

(42)

. . . . . .

高次元時空での安定性・不安定性

C.f. 質量Mのまわりの質点の円(ケプラー)運動:

ポテンシャル ϕ=−GM

rⁿ⁻² +L²/2M

r² n：空間の次元

f

４次元時空:安定な円軌道

f

６次元以上円軌道は不安定５次元円軌道は存在しない

(43)

. . . . . .

高次元ブラックホール : 静的真空解

高次元のシュヴァルツシルト・ブラックホール解 (Tangherlini 63)

トポロジー· · · · (D−2)-次元球面

安定性 · · · · 線形摂動安定 (AI & Kodama 03) 総じて４次元のシュヴァバルツシルト・ブラックホールと同じ。

しかし高次元にはたくさんの親戚がいる。

S

^p

S

^D-2-p

ホライズンの形を単なる(D−2)-次元球面からアインシュタイン多様体に置き換えたもの不安定になる場合も多くの存在

(Gibbons & Hartnoll 02)

(44)

. . . . . .

高次元ブラックホール：真空定常回転ホール解

高次元のカー・ブラックホール解 (Myers & Perry 82) トポロジー · · · · (D−2)-次元球面的

安定性 · · · · 安定？

独立な複数の回転: ５次元、６次元、２個の独立な回転面

⇒

２個の独立な角運動量 J1J2

７、８次元

⇒

^{３個の角運動量}^etc· · ·

(45)

. . . . . .

おさらい : 独立な回転

回転軸

Z-軸まわりに回転

回転面

２次元回転面で方向を既定

X²+Y²

| {z } 回転面

+Z²= 1

(46)

. . . . . .

空間次元と独立な回転面の数

２次元球の可能な独立回転面:

X²+Y²

| {z } 回転面

+Z²= 1

３次元球の可能な独立回転面:

X²+Y²

| {z } 回転面

-1

+Z| {z }²+W² 回転面

-2

= 1

回転面

２次元回転面で方向を既定

(47)

. . . . . .

D>6では、いくらでも速く回転できる

( C.f. ４次元では回転に上限があった（|J| ≤M²）)

Ultra-spinning hole

ホライズンの存在

⇔

^{0 = 1 +}^(J/M)_r2 ² − GM r^D−3

(48)

. . . . . .

回転ブラック・ホールの相図

１軸回転のみの場合

4D Kerr hole

2 Horizon Area

J

M fixed

( )

Extremal limit

5D Myers-Perry hole 2 Horizon Area

J

M fixed

( )

Extremal limit (singular)

6D Myers-Perry hole 2 Horizon Area

J

M fixed

( )

(49)

. . . . . .

回転ブラック・ホールの相図

２軸回転の場合

(50)

. . . . . .

高次元での驚き!

５次元、回転ブラック・リング解 (Emparan & Reall 02) トポロジー· · · · S¹×S²(リング)

質量M と角運動量J で一意に決定できない

(51)

. . . . . .

５次元ブラック・ホールとリングの相図

Thin Ring

Fat Ring

Rotating Hole

2 Area

J

3 Black Objects same M

( )

同じ(M, J₁, J₂= 0)に対して１個のブラック・ホールと２個のブラック・リングが存在

. .

. . . .

.

４次元のときの様な一意性定理は、もはや成立しない

(52)

. . . . . .

Partial uniquness in D > 4

Uniquness results under additional assumptions Static holes: (Gibbons, Ida & Shiromizu 02) 5Drotating holes w/IsomU(1)×U(1):

–

for rotating holes w/S³topology (Morisawa-Ida 04)

–

for rings w/S²×S¹

(Hollands & Yazadjiev 07 Morisawa-Tomizawa & Yasui 07)

–

for holes in 5D minimal supergravity

(Tomizawa-Yasui & AI 09)

(53)

. . . . . .

高次元ブラックホール基本性質のまとめ

漸近平坦で真空定常な高次元ブラックホールの場合

安定性 · · · · 多くの不安定（と予想される）解

トポロジー · · · · 球面的である必要はない

一意性 · · · · 一般に成り立たない!

⇒

もっと多様な解の存在可能性

(54)

. . . . . .

Exact vacuum solutions in D = 5

•

– Solutions akin to Emparan-Reall’s ring

(M, J₁ ̸= 0, J₂ = 0) Black-ring w/ two angular momenta(M, J1̸= 0, J2̸= 0)

(Pomeransky & Sen’kov 06)

•

– Multi-black objects in vacuum gravity:

Black di-rings

(

“ring”+ “ring”

)

(Iguchi & Mishima 07) Black-Saturn

(

“hole”+ “ring”

)

(Elvang & Figueras 07) Orthogonal-di-/Bicycling-Rings

(

“ring”+ “ring”

)

(Izumi 07 Elvang & Rodriguez 07)

(55)

. . . . . .

(56)

. . . . . .

５次元ブラック・オブジェクトの熱力学

.

. . .

.

第１法則 ∆M =X

i

µ 1

8πκi∆Ai+ Ωi∆Ji

¶

一般に κ₁̸=κ₂

⇒

定常だが非熱平衡状態！？

(57)

. . . . . .

高次元ブラックホール研究の課題

高次元では一意性定理が成り立たず、多様なブラックホール厳密解が存在する（今後も見つかっていくだろう）

課題：厳密解の分類、解の持つべき一般的性質、系統的理解

◃ どんな”形”（トポロジー）が可能か？

I 高次元ブラックホールは、はたして安定か？

J 高次元ブラックホールの重力摂動 I 対称性の観点から解の多様性を制限できないか？

I 高次元でのブラックホール熱力学対応は？

J 高次元ブラックホールの対称性

(58)

. . . . . .

高次元ブラックホールのトポロジー

(59)

. . . . . .

高次元 Black Hole のトポロジーに対する制限

D >4トポロジー定理: (Galloway & Schoen 05 Galloway 07)

. .

. . .

.

事象地平面（連結部分）の断面Σのトポロジーは、Σがそのスカラー曲率が正となる計量を持ち得るタイプに限る

Remarks:

例えばS^D⁻²( ホール )、S¹×S^D⁻³( リング )、及び、それらの連結和S^m× · · · ×Sⁿ など· · · D= 5の場合S¹×S²とS³及びS³/Γの連結和連結和

(60)

. . . . . .

高次元ブラックホールの安定性

(61)

. . . . . .

高次元の静的ブラックホールの安定性解析

D>4静的ブラックホール真空解の線形重力摂動

”軽く叩いて”反応を見る gab →gab+ ∆gab

安定性解析: 不安定モードの有無

∆gab∼exp(+Ωt) (Ω>0) 準固有振動: 特徴的音色

∆gab∼exp(−iωt−Ωt) (ω∈R) 4次元の場合

(Regge & Wheeler 57 - Kay & Wald 87)

(62)

. . . . . .

D>4静的ブラックホールに対する重力摂動のマスター方程式:

.

.. .

.

ω²Φ =AΦ :=

µ

−∂²

∂r_∗² +U(r)

¶

Φ, Φ∝exp (−iωt)

もしA>0

⇒

^ω²^>^0: ^ω^{は実数}

⇒

^安定

４次元の場合、ポテンシャルU(r)>0なので、直ちにA >0 高次元ではU(r)の下限は一般に負

⇒

^{安定性は非自明}

(63)

. . . . . .

自己共役演算子Aのスペクトル解析

⇒

^{静的真空解の場合}^{任意次元で} ^安定 (AI & Kodama 03)

(64)

. . . . . .

Ultra-spinning black hole inD>6

ホライズンが扁平: ブラック・ブレーン的

⇒

Gregory-Laflamme的な不安定性?

不安定予想 (Emparan & Myers 03) 数値解析 (Dias-et al 09)

c.f.５次元の場合は安定（？） (Murata & Soda 08)

(65)

. . . . . .

おさらい：

ブラック・ブレーン（ストリング）のGregory–Laflamme不安定性

L

3 - dim. space

R

3 - dim. space

5th - dim.

摂動を加えると

⇒

^{不安定モード}

L R

3 - dim. space

5th- dim.

(66)

. . . . . .

—-細いブラック・リングは局所的にはブラック・ストリング的

おそらく不安定

⇒

^{終状態は？} 非一様なブラック・リング？

(67)

. . . . . .

D > 6 ブラックホールの相図（予想）

Area = Entropy

J

Stable (probably) unstable Static-hole

(AI-Kodama) (Emparan-Myers) Ultra-spinning Rotating-ring

(68)

. . . . . .

高次元ブラックホールの対称性

(69)

. . . . . .

定常時空:

時空計量が、遠方での自然な時間座標 t に依らない。

· · · その様な座標系がとれる

より正確には

その軌道が完備で、無限遠方で時間的となる様なKillingベクトル場t^a が存在すること

i.e., ∇at_b+∇bt_a= 0

(70)

. . . . . .

Killing Horizon

定義:

光的超局面N がKillingホライズン

: ⇔

^{軌道が完備な}^Killing

vectorK^a が存在し、N に対してK^a は垂直

N の表面重力κ

: ⇔

^{以下の式に従う}^N ^上の関数

∇^a(K^bKb) =−2κK^a · · · ·(∗)

Remarks:

• Eq. (∗)

⇔

^K^b^∇^b^K^a⁼^κK^a

• Event horizon (事象地平面)Hとは独立な概念

(71)

. . . . . .

Killing horizon vs Event Horizon

Multi extreme charged black holes in de Sitter space

(Kastor-Traschen 93)

ds²=− 1

U²dt²+e^2HtU²dx², U :=X

i

µ

1 + Mi

e⁻^Ht|x−x_i|

¶

The event horizon of two extremal black holes in de Sitter space—non-stationary—is

not

a Killing horizon

(72)

. . . . . .

一意性定理と時空対称性

対称性・剛性定理: (Hawking 73)

. .

. . .

.

４次元の回転している定常ブラックホール時空は軸対称

Remarks:

定常性を保つ事への特別ボーナスとして軸対称性もいただく

⇒

^{対称性の数だけ}^Einstein^{方程式を予め積分可}

⇒

４次元での一意性定理の証明の要

(73)

. . . . . .

ブラックホールの対称性・剛性

主張:

.

. . .

.

(1)

定常ブラックホールの事象地平面はKillingホライズン

(2)

回転している場合は、軸対称性も持つ

ホライズンは無限遠方に対して剛体回転 · · · ブラックホール剛性

剛性

⇒ ^{Black Hole}

^温度一定

⇒

^{Black Hole}^{熱力学の基盤}

(74)

. . . . . .

剛性定理の高次元への拡張の問題点

D= 4での

Hawking

の証明は

イベントホライズンの断面Σが2次元球面である事が本質的

⇒

高次元への拡張は、全く非自明

. .

.

目標: ブラックホール剛性定理を

時空次元や、ホライズンのトポロジーに依らないで証明

(75)

. . . . . .

証明の方法

ホライズン上で“候補”となる

Killing field

K^aを見つる

t H

S K

Σ

断面Σの選択とK^a

t

^a: 時間並進のKilling field

候補としての資格

K^aK_a= 0

and

£_tK^a= 0

on

H

£_Kg_ab = 0

on

H

α=const.

(K

^c∇cK^a=αK^a

) on

H Σを勝手に選んだのではαは定数にならない要）: αが定数となる様に上手くΣを選ぶ

(76)

. . . . . .

証明の要

正しい断面とK^aを求めるために解くべき方程式は、断面Σ上で

.

. . .

.

S

^a

D

_a

Ψ(x) = J (x)

の型で与えられる S^aはt^aから断面上に誘導されたベクトル

S

この方程式を解く、即ちS^aの軌道に沿って積分するときに時空次元と断面Σのトポロジーが重要な役割を果たす

(77)

. . . . . .

4 次元の場合の証明 Hawking 73

fixed point

4次元では,ホライズンの断面Σは必ず2 次元球面的なため、S^aの軌道はΣ上で必ず閉じる

. .

. . .

.

方程式をS^a の閉じた軌道に沿って積分することで有界な解を求めることが出来る例えば、表面加速度（温度）κ は

κ(x) = 1 P

Z _P

0

α[ϕs(x)]ds κ=constも示せる

高次元ブラックホール

. .

. . .

.

.