解析学特論（担当：小森）演習問題（７月５日）

解析学特論（担当：小森）演習問題（７月５日）

問題

1. 1. R

の空でない連結開集合は、開区間

(a, b), (c, + ∞ ), ( −∞ , d), ( −∞ , + ∞ )

に限ることを示せ。ここで

(a, b) := { x ∈ R | a < x < b } , (c, + ∞ ) :=

{ x ∈ R | c < x } , ( −∞ , d) := { x ∈ R | x < d } , ( −∞ , + ∞ ) := R

と する。

2. R

の空でない開集合は高々可算個の開区間の

disjoint union

で表せる ことを示せ。

3. ϕ : R → R

を

ϕ(y) := y + 1

とし、

B ( R )

を

R

の

Borel

集合体とする。

このとき、

ϕ( B ( R )) = B ( R )

を示せ。

問題

2. R

² の２点

p = (x

1

, y

1

), q = (x

2

, y

2

)

に対し、

d(p, q) =

 



| y

1

− y

2

| (x

1

= x

2のとき)

1 + | y

1

− y

2

| (x

1

̸ = x

2のとき)

として、距離空間

X = ( R

²

, d)

を考える。（注意：

d

は通常の

R

² のユーク リッド距離でないので、X は２次元ユークリッド空間ではない。）

1.

原点

(0, 0)

中心で半径１の開球

B((0, 0), 1) := { (x, y) ∈ R

²

| d((x, y), (0, 0)) <

1 }

と、原点

(0, 0)

中心で半径１の閉球

B ((0, 0), 1) := { (x, y) ∈ R

²

| d((x, y), (0, 0)) ≤ 1 }

をそれぞれ図示せよ。

2.

閉球

B((0, 0),

¹₂

)

はコンパクトかコンパクトでないかを証明せよ。

3.

閉球

B((0, 0), 1)

はコンパクトかコンパクトでないかを証明せよ。

4. f ∈ C

_c

(X )

に対し、

{ x ∈ R | ∃ y ∈ R s.t. f (x, y) ̸ = 0 }

は有限集合であ ることを示せ。

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