粒子法を用いた流れのシミュレーション
日大生産工（学部） ○鈴木 孝一 日大生産工（院） 前田 泰幸
日大生産工 角田 和彦 日大生産工 豊谷 純 １．はじめに
コンピュータの性能の向上と計算法の発展 によって、コンピュータシミュレーションは 様々な分野で使われるようになってきた。
産業分野としても、科学技術計算あるいは CAEと呼ばれ、目覚ましく発展している。
その中で粒子法は新しい計算法として注目 され、流体解析と構造解析のどちらにおいて も盛んに研究されるようになってきた。
粒子法は、連続体を有限個の粒子によって 表し、連続体の挙動を粒子の運動によって計 算する方法である。各粒子は速度や圧力とい った変数を保持しながら移動する。また、差 分法や有限要素法で必要な格子は必要としな いため、自由表面や界面の大変形の取り扱い は容易である [1][2] 。
本論文では、粒子法の一つであるMPS
（Moving Particle Semi-implicit）法によっ て複雑な流れのシミュレーションを行い、適 正及び拡張性を示すことを目的としている。
2．MPS法 2-1．MPSとは
MPS法は越塚氏によって提案された粒子 法で、微分演算子に対応する粒子相互作用モ デルを用いて連続体の支配方程式を離散化す る手法である[3]。MPSという名称の
“Moving -Particle”はこの方法が粒子法であ り、ラグランジュ法であることを表してお り、”Semi-implicit”は非圧縮性の流れの解 析のために半陰的アルゴリズムを用いること を表す。
2-2．非圧縮性流れの計算法
非圧縮性流れの支配方程式を以下に示す。
0 Dt D
（1.1）
g u Dt P
Du 1 2
（1.2）
式（1.1）は質量保存則で、連続の式と呼ばれ、
式（1.2）は運動量保存則で、ナビエ-ストー クス方程式と呼ばれる。ただし、νは動粘性 係数である。D/Dtはラグランジュ微分で、流 体とともに移動する視点からの時間微分であ る。
連続の式は密度の時間変化がゼロ、すなわ ち、密度が時間に対して一定であることを意 味する。同時に速度の発散もゼロになる。差 分法では速度の発散がゼロであるという式を 用いるが、MPS法では密度が一定であるという 式を用いる。
式（1.2）のナビエ-ストークス方程式の左 辺は速度ベクトルに対するラグランジュ微分 であり、右辺の第1項は圧力勾配項、第2項は 粘性項、第3項は重力項である。
2-3．半陰的アルゴリズム
双曲型、放物型、楕円型を合わせもつ非圧 縮性流れの計算アルゴリズムとして、SMAC
（Simplified MAC）法[4]と同様な半陰的アル ゴリズムを適用する（図1参照）。
各時間ステップ時刻kにおける各粒子の位置、
速度、圧力が分かっているものとし、式(1.1) と式(1.2)は次のように計算される。
0
1
k Dt D
（2.1）
k
kk
g u Dt P
Du
2
1 1
（2.2）
Flow simulations using the particle method
Koichi SUZUKI , Yasuyuki MAEDA , Kazuhiko KAKUDA , Jun TOYOTANI
図1．半陰的アルゴリズム 3.数値計算例
3-1．水を注ぐシミュレーション
図2は他の容器に水を注ぐシミュレートを 示し、その初期状態(図2(a))及び、最終状態 (図2(b))の水粒子の挙動を表している。
(a)初期状態(t=0s)
(b)．最終状態(t=1.05731s) 図2.水を注ぐシミュレーション
3-3．液封式ポンプの流れ
図3では、空気と水が送り込まれる液封式ポ ンプの流れのシミュレートを示し、その初期 状態(図3(a))及び、最終状態(図3(b))の水粒 子の挙動を表している。
(a)初期状態(t=0ms)
(b)最終状態(t=1497ms)
図3．液封式ポンプの流れシミュレーション 4．おわりに
粒子法の一つであるMPS法を用いて、水を注 ぐシミュレーション、及び液封式ポンプ内の 流れのシミュレーションを通して、水粒子に よる動的な挙動を観察し、複雑な流れ現象へ の適用性、及び有効性を明らかにした。
「参考文献」
[1] 日本計算工学会編,越塚誠一著：計算力学 レクチャーシリーズ⑤,粒子法,丸善,2007.10 [2] 越塚誠一,鈴木幸人：IPSJマガジン vol.48 2007年10月号,粒子法によるマルチフィジク スシミュレータ
[3]Koshizuka, S. and Oka,: Moving-Particle Semi-implicit Method for Fragmentation of Incompressible Fluid, Nucl. Sci. Eng .,123, 421-434 (1996)
[4]Amsden, A.A. and Harlow,F.H.:The SMAC Method: A Numerical Technique for Calculating Incompressible Fluid Flows, LA-4370 (1970)
