28. 非正弦波交流回路における各種電力

(1)

28. 非正弦波交流回路における各種電力

28. Each Electric Powers for Non-Sinusoidal AC Circuit

講義内容 1. 非正弦波の瞬時電力

2. 非正弦波の有効電力・皮相電力

3. 非正弦波の力率

(2)

非正弦波の瞬時電力

²

瞬時電力 p(t)

非正弦波交流の

瞬時電圧，瞬時電流を





=



=

− +

+

=

+ +

=

1 m 0

) sin(

) (

) sin(

) (

k

k k

t k I

I t

i

t k V

V t

v











とすると，瞬時電力p(t)は次式で与えられる

 







=



=



=



=

− +

+ +

− +

+

− +

+ +



=

1 1

m m 1

m 0 m

0 1

m m 0 0

) sin(

) ( ) ( )

(

k n

n n

k n

k k

k

t n t

k I

V

t k V

I t

k I

V

t k t

k I

V I V

t i t v t

p































①

②

③

④

Z ) (t i

)

(t

v

(3)

有効電力（実効値表記）

³

有効電力 P[W]

瞬時電力の式の①，②，③，④の各項を代入して積分し，P を求める

有効電力の定義



 ^T p t dt P T

0 ( ) 1

➢ ①の積分

 

m m 0 1

m m

m m 0

1 1 1

1 sin( ) sin( )

cos

1 1

cos cos(2 2 2 ) cos

2 2

T

k k k k k

k

T k k k

k k k k k k k k

k k k

V I k t k t dt

T

V I k t dt V I V I

T

    

     



=

  

= = =

+ + −

= − + − = =

 

   

➢ ②の積分 2 2

m

m k

k k

k

I I

V = V ， =

実効値

➢ ③と④の積分は関数の直交性などにより 0 となる以上より，非正弦波の有効電力Pは

以下のように 各調波 の有効電力の総和となる ₌ ₊ ₊ ₊_

+

=



^

=

2 2

2 1

1 1 0

0

1 0

0

cos cos

cos



 I V I

V I

V

I V I

V P

k

k k

k

0 0 0 0

0

1 ^T

V I dt V I

T



 = 

(4)

②の積分の詳細

⁴

m m 0 1

1 ^T _k _k sin( _k) sin( _k _k)

k

T ^     

=

+ + −

 

^{定数を積分の外に出す}

m m 1 0

1 _k _k ^T sin( _k) sin( _k _k)

k

T ^     

=

 

+ + −

 

m m 1 0

1 1

cos(2 2 ) cos

2

T

k k k k k

k

V I k t dt

T ^    

=

 

− + − −

m m 0 0

1

1 1 1

cos cos(2 2 )

2 2

T T

k k k k k

k

V I dt k t dt

T ^    

=

 

=  − + − 

 

  

周期関数の1周期積分 ⇒ ゼロ

m m 0 1

1 1

2 cos

T

k k k

k

V I dt

T ^ 

=

 

定数を積分の外に出す＋積分結果の T と 1/T を約分

公式：^sin ^sin ¹^cos( ⁾ ^cos( ⁾ 

m k = − 2 m k+  − m k− 

m m 1

2 cos

k k

V I 



=



k k cos k

V I 



=



電流と電圧を 振幅（ 最大値 ）から 実効値 に変更： ^m ^m

2 2

k k

V I

V = ，I =

積分を2つに分離

電流と電圧の位相差：   = −_I _V ※象限が1と4の間にあれば逆も可

(5)

皮相電力と力率（実効値表記）

⁵

皮相電力 P

_a

[VA]

力率

電流の実効値電圧の実効値 

a

 P

) )(

(

₀²

+

₁²

+

₂²

+ 

₀²

+

₁²

+

₂²

+ 

=

= VI V V V I I I

0 0

1 0 0 1 1 1 2 2 2

2 2 2 2 2 2

0 1 2 0 1 2

cos cos cos

( )( )

k k k

k

V I V I

V I V I V I

VI V V V I I I



−

+ + + +

= =

+ + + + + +

 ^ _ _

※力率： PF (Power Factor)

2

[var] = P

a

1 cos −

無効電力　 

cos  = PF

cos = 　　　　　　　

 皮相電力

有効電力

(6)

例題

⁶

ある回路に電圧 ^{( )} ^10sin ^{5sin 3}

v t = t + ^ t + 6 ^ を印加したとき，^{( )} ^3sin ^{sin 3} i t = ^t − 6 ^+ t なる電流が流れた。次の値を求めよ。

(1) v(t)の実効値V_rms[V]， (2) i(t)の実効値I_rms [A]， (3) 負荷で消費される電力P[W]

(4) 皮相電力P_a[VA]， (5) 回路の力率

(1) v(t) の実効値 V

_rms

[V]

( ) 10sin 5sin 3

v t = t + ^ t + 6 ^ 基本波第3次高調波基本波の

振幅

第3次高調波の振幅

2 2 2

rms 0 1 2

2 2

2 m1 m2

0

2 2 2 2

m1 m3

2

10 5

7.91[V]

2 2

V V V V

V V

V

V V

= + + +

+ +

= +

+ +

= = 

cos

(7)

例題

⁷

(2) i(t) の実効値 I

_rms

[A]

基本波第3次高調波

2 2 2

rms 0 1 2

2 2

2 m1 m2

0

2 2 2 2

m1 m3

2

3 1

2.24[A]

2 2

I I I I

I I

I

I I

= + + +

+ +

= +

+ +

= = 

( ) 3sin sin 3

i t = ^t − 6 ^+ t

(3) 負荷で消費される電力 P[W]

有効電力

振幅振幅

1 1 1 3 3 3

3m 3m 1m 1m

1 3

cos cos

2 2 2 2

1 1

10 3 cos 0 5 1 cos 0

2 6 2 6

15.16

P V I V I

V I

 

 

= +

=   +  

   

=    − −  +     − 



各調波の皮相電力

×

各調波の力率

(8)

例題

⁸

(4) 皮相電力 P

_a

[VA]

a rms rms

7.91 2.24 17.72[VA]

P =  = V I

=  =

電圧の実効値電流の実効値

(5) 回路の力率

無効電力 P

_r

もこれらから導出することができる cos 

a

28. 非正弦波交流回路における各種電力