1.1 確率分布

1

目 次

第1章 離散型確率分布 2

1.1 確率分布. . . . 2

1.2 多変数の確率分布 . . . . 4

1.3 期待値と分散 . . . . 7

1.4 共分散，相関係数 . . . . 10

1.5 モーメント毋関数 . . . . 11

第2章 連続型確率分布 17 2.1 密度関数. . . . 17

2.2 高次元の密度関数 . . . . 20

2.3 期待値と分散 . . . . 26

2.4 モーメント毋関数 . . . . 30

2.5 その他の連続型確率分布 . . . . 33

2.6 Γ関数 . . . . 38

2.7 B関数 . . . . 39

2.7.1 e^−x2の積分 . . . . 39

2.8 精密法 . . . . 45

2.8.1 ポアソン分布の精密法 . . . . 45

2.8.2 2項分布の精密法 . . . . 48

2.9 その他，統計に現れる確率分布 . . . . 50

2.9.1 ガンマ分布，ベータ分布と他の確率分布の間の関係 . . 51

第3章 条件付き確率，条件付き期待値 52 3.1 条件付き確率 . . . . 52

3.1.1 離散型 . . . . 57

3.1.2 連続型 . . . . 59

3.1.3 離散型と連続型の場合 . . . . 60

3.1.4 条件付き確率の性質 . . . . 61

3.1.5 最良推定値 . . . . 63

3.2 Bayesの話. . . . 64

3.3 Markov連鎖. . . . 66

3.4 極限定理. . . . 68

3.5 吸収壁ランダムウォーク . . . . 69

3.6 反射壁ランダムウォーク . . . . 71

3.6.1 エーレンフェストの壷 . . . . 71

3.7 ランダムウォーク . . . . 75

第4章 極限定理 78 4.1 大数の法則 . . . . 78

4.2 Weierstrassの多項式近似定理 . . . . 80

4.3 ポアソンの小数の法則 . . . . 81

4.4 L´evyの反転公式 . . . . 82

4.5 中心極限定理 . . . . 84

第5章 推定，検定 86 5.1 導入 . . . . 86

5.2 用語 . . . . 87

5.2.1 母集団 . . . . 88

5.2.2 必要なこと . . . . 89

第6章 その他 90 6.1 ジニ係数. . . . 90

3

第 1 ^{章 離散型確率分布}

1.1 ^確率分布

Sを有限または可算集合とする．各xi∈Sに確率piを表にする．

値 x₁ x₂ · · · 確率 p₁ p₂ · · · p_i≥0と∑

ip_i= 1をみたすとする．

これを確率分布とよぶ．とくにSが離散集合であるので，離散型確率分布 とよぶ．

Sは有限もしくは可算集合，確率分布は

• pi≥0

• ∑

ipi = 1 をみたす．

例 1 (等確率型)

#S=n, pi= 1 n

例 2 (二項分布) B(n, p)とも表す(0< p <1)，またq= 1−pを表す．

S={0,1,2, . . . , n}, p_i=_nC_ipⁱqⁿ⁻ⁱ

例 3 (幾何分布) Ge(p)とも表す(0< p <1)，またq= 1−pを表す．

S={0,1,2, . . .}, pi=pⁱq 例 4 (ポアソン分布) Po(λ)とも表す(λ >0)

S={0,1,2, . . .}, pi=e^−λλ^r r!

例 5 (負の2項分布) NB(n, p)とも表す(0 < p < 1)，またq = 1−pを 表す．

pk=n+k−1Ckpⁿq^k

始めてn回目の失敗をするまでの成功の回数kを表す．NB(1, p)は幾何分布 になる．

問題 1 負の2項分布は

P(X=k) = (−n

k )

pⁿ(−q)^k

と表すことができることを示し，さらに全体の確率が1に等しいことを示し てください．

解.

n+k−1Ckpⁿq^k = (n+k−1)!

k!(n−1)! pⁿq^k

= (n+k−1)(n+k−2)· · ·n

k! pⁿq^k

= (−n)(−n−1)· · ·(−n−k+ 1)

k! (−1)^kpⁿq^k

= (−n

k )

pⁿ(−q)^k ここで ∑∞

k=0

(−n k

)

pⁿ(−q)^k =pⁿ(1−q)⁻ⁿ= 1

□ 数学的に厳密な概念ではないが，Rに値をとる変数Xを確率変数という．

p_i=P(X =x_i)

により，事象xiが起きる確率piを定めると，xi全体の集合Sの上の確率分 布が定まる．

問題 2 Xが次の式をみたすとき定数C, Dを求めてください．

(1)

P(X=k) =nCkp^k×C^n−k, (0≤k≤n) (2)

P(X =k) =Cpq^k+D, (k≥0) (3)

P(X =k) =Cλ^k

k!, (k≥0)

問題 3 X −1 0 1 確率 ¹

6

1 2

をみたすとき，空欄を埋め，2X−1，X²，t^X，e^tXの確率分布を求めてく ださい．

1.2. 多変数の確率分布 5 解.

X −1 0 1

確率 ¹

6 1 3

1 2

2X−1 −3 −1 1 確率 ¹₆ ¹₃ ¹₂

X² 0 1 確率 ¹₃ ²₃ t^{X 1}_t 1 t

確率 ¹₆ ¹₃ ¹₂

e^tX _e¹t 1 e^t 確率 ¹₆ ¹₃ ¹₂

□

1.2 多変数の確率分布

X\Y y1 y2 · · · 和 x1 p11 p12 · · · p^X₁ x₂ p₂₁ p₂₂ · · · p^X₂ ... ... ... . .. ... 和 p^Y₁ p^Y₂ · · · 1 ここで

p^X_i =P(X =xi) =∑

j

pij, p^Y_j =P(Y =yj) =∑

i

pij

これらにより，XとY の確率分布が定まる．これを周辺分布という．

X x₁ x₂ · · · 確率 p^X₁ p^X₂ · · ·

Y y₁ y₂ · · · 確率 p^Y₁ p^Y₂ · · · 問題 4 X, Y が確率分布

X\Y 0 1 2 和

0 ₂₄^{1 1}₆ ¹₃ 1 ₁₂¹

2 ¹_{8 24}⁷

和 ₂₄⁵

にしたがうとき，まず穴を埋め，X+Y，XY，max{X, Y}，min{X, Y} の確率分布を定めてください．

解.

X\Y 0 1 2 和 0 ₂₄³ ₂₄^{1 1}₆ ¹₃ 1 ₁₂¹ ₁₂¹ ₂₄⁵ ₂₄⁹ 2 ¹_{8 12}¹ ₁₂¹ ₂₄⁷ 和 ₂₄⁸ ₂₄^{5 11}₂₄

X+Y 0 1 2 3 4

確率 ³

24 3 24

9 24

7 24

2 24

XY 0 1 2 4

確率 ¹³

24 2 24

7 24

2 24

max{X, Y} 0 1 2 確率 ₂₄³ ₂₄^{5 16}₂₄

min{X, Y} 0 1 2 確率 ¹³_{24 24}⁹ ₂₄²

□

問題 5 0< p1, . . . , pn <1，p1+· · ·+pn= 1について，X1, . . . , Xnの確率 分布が

P(X1=k1, . . . , Xn=kn) = n!

k1!· · ·kn!p^k₁¹· · ·p^k_nⁿ (k1, . . . , kn≥0, k1+· · ·+kn=n) をみたすとき，多項分布という．これが確率分布になっていることを確かめ

てください．

解.

∑

k1,...,kn:k1+···+kn=n

n!

k1!· · ·kn!p^k₁¹· · ·p^k_nⁿ= (p₁+· · ·+p_n)ⁿ= 1

□

p_ij =p^X_i ×p^Y_j

をすべてのi, jについてみたすとき，XとY は独立であるという．言い換え れば，

P(X =xi, Y =yj) =P(X =xi)×P(Y =yj) が成り立つとき独立である．2つ以上の確率変数の場合にも，

P(X =xi, Y =yj, Z=zk) =P(X =xi)×P(Y =yj)×P(Z=zk) などと積となるとき独立という．無限個の確率変数X1, X2, . . .のときには，

任意の有限個を取り出すとき，それらが独立なとき，独立であるという．

問題 6 XとY，Y とZ，ZとXはそれぞれ独立なのにX, Y, Zが独立でな い例を作ってください．

1.2. 多変数の確率分布 7 解.

P(X = 1, Y = 1, Z= 0) = 1

9， P(X = 1, Y = 0, Z= 0) = 1 9， P(X = 1, Y = 0, Z= 1) = 1

9, P(X = 0, Y = 1, Z= 0) = 1 9， P(X = 0, Y = 1, Z= 1) = 1

9， P(X = 0, Y = 0, Z= 1) = 1 9, P(X =Y =Z = 0) = 1

3

□

問題 7 (1) XとY が以下の表をみたすとき空欄を埋め，さらにmax{X, Y} の確率分布を求めてください．

X\Y 0 1 和 0 ₂₄^{1 1}₆

1 ¹₈

和

(2) XとY が独立なとき空欄を埋め，さらにX +Y の確率分布を求めて てください．

X\Y 0 1 和 0 ₂₄^{1 1}₆ 1

和

解.

(1)

X\Y 0 1 和

0 ₂₄¹ ₂₄^{3 1}₆ 1 ¹¹_{24 24}^{3 20}₂₄ 和 ¹⁸

24 6 24

max{X, Y} 0 1 確率 ₂₄^{1 23}₂₄

(2)

X\Y 0 1 和

0 ₂₄¹ ₂₄³ ₂₄⁴ 1 ₂₄^{5 15}₂₄ ²⁰₂₄ 和 ₂₄^{6 18}₂₄

X+Y 0 1 2

確率 ¹

24 8 24

15 24

□

問題 8 (1) X1, . . . , Xnが独立ならば，そのうちの任意の有限個の確率変数 も独立であることを示してください．

(2) 任意のX1, X2, . . . , Xnが独立ならば，X1, X2, . . .も独立であることを 示してください．

解.

(1) X1, . . . , Xn−1が独立なことを示せば，後はその繰り返しで示せる．

(2) 上の主張より明らか

□

1.3 期待値と分散

確率変数Xの期待値(平均)とは E(X) =∑

i

x_ip_i

問題 9 xiに確率piの錘りを置いたとき，回転モーメントが0に等しくなる 点が期待値であることを示してください．

期待値の性質

(1) E(X+Y) =E(X) +E(Y) (2) E(aX+b) =aE(X) +b

(3) XとY が独立ならば，E(XY) =E(X)×E(Y) 分散とは

V(X) =E[(X−E(X))²] =∑

i

(xi−E(X))²pi

また，標準偏差とは

σ(X) =√ V(X) 分散の性質

(1) V(aX+b) =a²V(X) (2) V(X) =E(X²)−(E(X))²

(3) XとY が独立ならば，V(X+Y) =V(X) +V(Y)

1.3. 期待値と分散 9 問題 10 サイコロ 2個X, Y を投げるとき，合計の目に対応する確率変数 X+Y，大きい方の目に対応する確率変数max{X, Y}, min{X, Y}の期待値 と分散を求めてください．

解. E(X) =E(Y) = ⁷₂，V(X) =V(Y) =³⁵₁₂ で独立である．

E(X+Y) = E(X) +E(Y) = 7 V(X+Y) = V(X) +V(Y) =35

6 xについて

P(max{X, Y} ≤x) =P(X ≤x, Y ≤x) =P(X≤x)×P(Y ≤x) なので

P(max{X, Y} ≤1) = 1 36 P(max{X, Y} ≤2) = 1

9 P(max{X, Y} ≤3) = 1 4 P(max{X, Y} ≤4) = 4 9 P(max{X, Y} ≤5) = 25

36 P(max{X, Y} ≤6) = 1 max{X, Y} 1 2 3 4 5 6

確率 ₃₆¹ ₁₂¹ ₃₆⁵ ₃₆^{7 1}₄ ¹¹₃₆

E(max{X, Y}) = 161 36 V(max{X, Y}) = 2555

1296 xについて

P(min{X, Y} ≥x) =P(X≥x, Y ≥x) =P(X ≥x)×P(Y ≥x) なので

P(min{X, Y} ≥1) = 1 P(min{X, Y} ≥2) = 25

36 P(min{X, Y} ≥3) = 4

9 P(min{X, Y} ≥4) = 1 4 P(min{X, Y} ≥5) = 1 9 P(min{X, Y} ≥6) = 1

36

max{X, Y} 1 2 3 4 5 6 確率 ¹¹₃₆ ¹_{4 36}⁷ ₃₆⁵ ₁₂¹ ₃₆¹ ここで

E(min{X, Y}) =

∑6 k=1

kP(X=k) =

∑6 k=1

P(X≥k) = 91 36 と計算することもできる．

E(min{X, Y}²) =301 36 より

V(min{X, Y}) = 35 6

□

問題 11 10種類のおまけが入っているお菓子がある．10種類全部集めるの に必要な個数の期待値を求めてください．n種類ならどうですか．

解. 1種類目は1つ買えば必ず手に入る．2種類目を得る確率は ⁹

10，など と10種類目を得る確率は ₁₀¹ などの幾何分布になっているので，期待値は

1 +10

9 +· · ·+10 1 = 10

(1 1+1

2+· · ·+1 9 + 1

10 )

nならば

n (1

1+1

2 +· · ·+ 1 n

)

≑n(logn+γ) γ≑0.57721はオイラー定数

γ= lim

n→∞

( _n

∑

k=1

1

k −logn )

□

問題 12

Y =X−E(X)

√V(X) とおくと，E(Y) = 0かつV(Y) = 1

問題 13 X1, . . . , Xnは独立で，V(X1) =· · ·=V(Xn) =vならば V(X1+· · ·+Xn

n ) = v

n

1.4. 共分散，相関係数 11

1.4 ^{共分散，相関係数}

XとY の共分散を

Cov(X, Y) =E[(X−E(X))(Y −E(Y))]

で定義する．さらに

ρ(X, Y) = Cov(X, Y)

√V(X)V(Y) を相関係数という．

問題 14 相関係数はXとY を正規化したXˆ = ^X√^−E(X)

V(X), ˆY = ^Y√^−E(Y)

V(Y) の共 分散ρ(X, Y) = Cov( ˆX,Yˆ)であることを確かめてください．

問題 15 相関係数が次元によらないことを確かめてください．

解.ちょっと拡張して，a, c >0について

ρ(aX+b, cY +d) =ρ(X, Y)

が容易に確かめられる． □

問題 16 XとYが独立ならば，Cov(X, Y) = 0をみたす．また，Cov(X, Y) = 0をみたしても，独立でない例を作ってください．

解.

Cov(X, Y) =E(XY)−E(X)E(Y) より，明らかである．また，

X\Y −1 0 1 和

−1 0 ¹₉ 0 ¹₉ 0 ¹₉ ⁵₉ ¹₉ ⁷₉ 1 0 ¹₉ 0 ¹₉ 和 ¹

9 7 9

1 9

は独立ではないが，E(X) =E(Y) = 0かつE(XY) = 0なので，Cov(X, Y) =

0 □

問題 17 |ρ(X, Y)| ≤1であること，およびρ(X, Y) =±1ならば，Y =aX+b をみたすa, bが存在することを示してください．また

ρ(X, Y) = 1⇒a >0. ρ(X, Y) =−1⇒a <0 もみたす．

解. t∈Rについて，

V(X+tY) =V(X) + 2tCov(X, Y) +t²V(Y) tの2次式として常に非負であるので，その判別式

D/4 = (Cov(X, Y))²−V(X)V(Y)≤0 である．これより，

(ρ(X, Y))²≤1 が出る．また，ρ(X, Y) =∓1ならば，

t=±

√ V(X) V(Y) のときには，V(X+tY) = 0になる．すなわち

X±

√ V(X)

V(Y)Y =定数

□

1.5 モーメント毋関数

確率変数Xに対して，

MX(t) =E[e^tX]

をモーメント毋関数という．他に，非負の整数値のみをとる確率変数につい ては

P_X(t) =E[t^X]

を確率毋関数，モーメント毋関数は確率変数によっては収束するtに注意を 払わなければならないので

ϕX(t) =E[e^itX]

を特性関数という．数学的には特性関数がもっとも意味をもつ．

1.5. モーメント毋関数 13 定理 1

M_X(0) = 1, M_X^′ (0) =E(X), M_X^′′(0) =E(X²)

問題 18 Xがそれぞれ2項分布B(n, p)，幾何分布Ge(p)，ポアソン分布Po(λ)，

負の2項分布NB(n, p)の期待値と分散を計算してください．さらに，モーメ

ント毋関数E[e^tX]を求めてください．

解.幾何分布は直接計算すると大変でしょう．

期待値 分散 モーメント毋関数 B(n, p) np npq (e^tp+q)ⁿ

Ge(p) ^p_{q q}^p2

q 1−e^tp

Po(λ) λ λ exp[e^tλ−λ]

NB(n, p) ^np_q ^np_q2

( q 1−e^tp

)n

□

問題 19 X は非負の整数値をとる確率変数とする．このとき

E(X) =

∑∞ k=0

P(X > k)

をみたすことをチェックし，これを用いて，幾何分布Ge(p)の期待値を求め てください．

解.

∑∞ k=0

P(X > k) =

∑∞ k=0

∑∞ l=k+1

P(X=l)

=

∑∞ l=1

l−1

∑

k=0

P(X=l)

=

∑∞ l=1

l P(X=l) =

∑∞ l=0

l P(X =l) =E(X) 幾何分布の場合

P(X > k) =

∑∞ l=k+1

pq^l=pq^k+1 1

1−q =q^k+1 したがって

E(X) =

∑∞ k=0

q^k+1=q 1 1−q =q

p

□

問題 20 Xは値0,1,2の3つの値をとる確率変数で期待値が⁷₆，分散が ¹⁷₃₆の とき，Xの確率分布を求めてください．

解.

Xの値 0 1 2

確率 ¹

6 1 2

1 3

□

問題 21 2項分布B(n, p)，幾何分布Ge(p)，ポアソン分布Po(λ)の期待値と 分散をモーメント毋関数を用いて計算してください．

解.

確率分布 M(t) M^′(t) M^′′(t)

B(n, p) (e^tp+q)ⁿ npe^t(e^tp+q)ⁿ⁻¹ npe^t(e^tnp+q)(e^tp+q)ⁿ⁻² Ge(p) ₁₋^p_etq

e^tpq (1−e^tq)²

e^t(1+e^tq)pq (1−e^tq)³

Po(λ) exp[e^tλ−λ] λe^texp[λe^t−λ] λe^t(1 +λe^t) exp[λe^t−λ]

□

定理 2 確率変数XとY がMX(t) =MY(t)をみたすならば，XとY は同 分布である．

証明はL´evyの反転公式からしたがう．

X, Y のモーメント毋関数は

M(X,Y)(t, s) =E[e^tX+sY]

一般にX1, . . . , Xnに対しては，t= (t1, . . . , tn)を用いて，X = (X1, . . . , Xn) MX(t) =E[etX]

により定義する．X₁, . . . , Xnが独立であることと MX(t) =

∏n i=1

MX_i(ti) とは同値である．

問題 22 X1, X2, . . .を均等な硬貨投げとする．

X¯ = X1+· · ·+Xn

n のモーメント毋関数を求めてください．

1.5. モーメント毋関数 15 解.

M1(t) =E[e^tX1] = 1 +e^t 2 であるので，

MX¯(t) = E[e^tX¯] =E[e^{(tX1+···+tXn)/n}]

= MX((t n, . . . , t

n))

=

∏n i=1

M_Xi(t n)

=

(1 +e^t/n 2

)ⁿ

この式をテイラー展開すると (1 + t

2n+· · ·)ⁿ→e^t/2

右辺は，常に値¹₂をとる確率変数(といえるかな)に等しい．これは大数の法

則になっている． □

問題 23 (2項分布の再生性) XとY がそれぞれ2項分布B(n, p)とB(m, p) にしたがい，独立とする．このとき，X+Y は2項分布B(n+m, p)にした がうことを示してください．

解.

MX+Y(t) = E[e^t(X+Y)]

= E[e^tX]×E[e^tY]

= (e^tp+q)ⁿ(e^tp+q)^m

= (e^tp+q)^n+m

これを確率分布で求めるのはなかなか大変である． □

問題 24 (Poisson分布の再生性) XとYがそれぞれポアソン分布Po(λ)と Po(µ)にしたがい，独立とする．このとき，X+Y はポアソン分布Po(λ+µ) にしたがうことを示してください．

解.

M_X+Y(t) = E[e^t(X+Y)]

= E[e^tX]×E[e^tY]

= exp[(e^t−1)λ]×exp[(e^t−1)µ]

= exp[(e^t−1)(λ+µ)]

これは確率分布を用いても容易に示せる．

P(X+Y =k) =

∑k l=0

P(X=l)×P(Y =k−l)

=

∑k l=0

e^−λλ^k

k!e^−µ µ^k−l (k−l)!

= e^−(λ+µ)1 k!

∑k l=0

kClλ^lµ^k−l

= e^−(λ+µ)(λ+µ)^k k!

□

問題 25 負の2項分布NB(n, p)

P(X =k) =n+k−1Cn−1pⁿq^k

は独立な幾何分布Ge(p)にしたがうY1, . . . , Ynの和X =Y1+· · ·+Ynの確 率分布であることを確かめてください．

解.負の2項分布のモーメント毋関数は，負の2項展開を用いると MX(t) = E[e^tX] =

∑∞ k=0

e^ktn+k−1Cn−1pⁿq^k

= pⁿ

∑∞ k=0

n+k−1Cn−1(e^tq)^k

= pⁿ

∑∞ k=0

(n+k−1)!

k!(n−1)! (e^tq)^k

= pⁿ

∑∞ k=0

(n+k−1)· · ·n k! (e^tq)^k

= pⁿ

∑∞ k=0

(−n)(−n−1)· · ·(−n−k+ 1)

k! (−e^tq)^k

= pⁿ

∑∞ k=0

−nCk(−e^tq)^k

= pⁿ(1−e^tq)⁻ⁿ

一方，幾何分布Ge(p)のモーメント毋関数は M_Y(t) =E[e^tY] =

∑∞ k=0

e^tkpq^k= p 1−e^tq

1.5. モーメント毋関数 17 であるので，その積は

M_Y1+···+Yn(t) = pⁿ (1−e^tq)ⁿ

またこのことから，幾何分布Ge(p)は負の2項分布NB(1, p)に等しいことが

わかる． □

問題 26 (負の2項分布の再生性) X, Y が独立で負の2項分布NB(n, p),NB(m, p) にしたがうとき，X+Y はNB(n+m, p)にしたがうことを示してください．

解.

M_X(t) = ( p

1−e^tq )n

, M_Y(t) = ( p

1−e^tq )m

であるから

MX+Y(t) =E[e^t(X+Y)=E[e^tX]×E[e^tY] = ( p

1−e^tq )n+m

□

第 2 ^{章 連続型確率分布}

2.1 ^密度関数

FX(x) =P(X ≤x) を分布関数と言います．

分布関数の性質

(1) FX(x)は単調増加関数

(2) lim_x→−∞F_X(x) = 0,lim_x→∞F_X(x) = 1 離散型の場合には，分布関数は階段型

X の値 x₁ x₂ · · · Xの確率 p₁ p₂ · · · ならば

FX(x) =

















0 x < x₁ p1 x1≤x < x2

p1+p2 x2≤x < x2

· · · · · ·

となります．それに対して，分布関数が微分可能な場合を連続型と言い，

fX(x) = d dxFX(x) を密度関数と言います．したがって，

FX(a) =

∫ a

−∞

fX(x)dx をみたします．この場合，

P(a < X≤b) =P(X ≤b)−P(X ≤a) =FX(a)−FX(b) であるので，

P(a < X ≤b) =

∫ b a

f_X(x)dx

2.1. 密度関数 19 をみたします．したがって，

P(|X−a|< ε)→0

となるので，1点の確率は0になり，確率を確率分布表で与えることはでき ません．

密度関数の性質 (1) f_X(x)≥0 (2) ∫_∞

−∞fX(x)dx= 1 例 6 一様分布U(a, b)

f(x) = 1

b−a x∈(a, b) 例 7 指数分布Exp(λ)

f(x) =λe^−λx x >0 例 8 正規分布N(m, v)

f(x) = 1

√2πve^{−(x−m)2/v}

問題 27 Xが正規分布N(m, v)にしたがうとする．このとき，Y = ^X√⁻v^mは 標準正規分布にしたがうことを確かめてください．

解. 一般には

P(Y ≤y] =P(X ≤y√

v+m) =

∫ y√v+m

−∞

√1

2πve^{−(x−m)2/2v}dx において，s= ^x√⁻v^mとおけばよい．

MY(t) =E[e^tY] =E[e^{t(X−m)/√v}] =e^−tm/sqrtvMX(t√ v) および

MX(t) =e^mt+vt2/2

を用いてもよい． □

問題 28 (1) 密度関数

f(x) =





1

3|x−2| 1≤x≤3 Cx² −1≤x <1 をみたすCを求めてください．

(2) [0, π]の上の密度関数Csin²xとするとき，Cを求めてください．

解.

(1) 1, (2) 2 π

□

問題 29 連続型の確率変数Xについて

P(X ≤x) =





C−De^−λx x≥0

0 x <0

とするとき，C, Dを定め，確率変数Xの密度関数を求めてください．

解.

P[X <∞] = 1

であることから，C= 1でなければならない．または，連続型であるときより．

lim

x↓0P(X≤x) = 0

を考えると，C=Dをみたすことがわかる．xで微分することにより f_X(x) =





Dλe^−λx x≥0 0 x <0 を得るが，∫_∞

0 fX(x)dx= 1より，D= 1が出る． □

問題 30 (対数正規分布) 正規分布N(m, v)にしたがう確率変数Xについて，

e^Xの密度関数を求めてください．

解. a >0について

F_eX(a) = P(e^X ≤a) =P(X ≤loga)

= 1

√2πv

∫ loga

−∞

e^{−(x−m)2/2v}dx したがって，

f_eX(a) = 1

√2πve^{−(loga−m)2/2v}1 a

□

2.2. 高次元の密度関数 21 問題 31 (自由度1のχ²分布) 正規分布N(0,1)にしたがう確率変数X に ついて，X²の密度関数を求めてください．

解. a >0について

FX²(a) = P(X²≤a) =P(−√

a≤X ≤√ a)

= 1

√2π

∫ ^√a

−√a

e^−x2/2 微分して

fX²(a) = 1

√2πae^−a/2

□

問題 32 (自由度2のχ²分布) 正規分布N(0,1)にしたがう独立な確率変数 X,Y について，X²+Y²の密度関数を求めてください．

解.X²,Y²の密度関数は自由度1のχ²分布であるから P(X²+Y²≤z) =

∫ _∞

−∞

∫ z−u

−∞

f_X2(u)f_Y2(v)dudv であるので，密度関数は

fX²+Y²(z) =

∫ _∞

−∞

fX²(u)fY²(z−u)du

=

∫ z 0

√1

2πue^−u/2 1

√2π(z−u)e^−(z−u)/2du

= e^−z/2 2π

∫ 1 0

1

zt(z−zt)z dt (u=zt)

= e^−z/2

2π B(1/2,1/2)

= 1 2e^−z/2

□

2.2 高次元の密度関数

確率変数XとY の結合分布が

P(a < X < b, c < Y < d) =

∫

f_(X,Y)(x, y)dxdy

で与えられる．より，高次元の場合も考えられる．この場合，密度関数は高 次元の関数となる．

(1) f_(X,Y)(x, y)≥0 (2) ∫

f_(X,Y)(x, y)dxdy= 1 などとなる．

問題 33 Dは[0,1]²の場合と(0,0),(1,0),(0,1)を頂点とする三角形とする 場合に

f(x, y) =Cx²y をみたすとき，それぞれのCを求めてください．

解. D= [0,1]²のときには，C= 6，三角形のときには

∫ 1 0

dx

∫ 1−x 0

x²y dy= 1 60

であるから，C= 60 □

問題 34 Dは原点を中心とする半径1の円の第一象限にある4分円とする．

f(x, y) =C√ x²+y² とするときCを求めてください．

解.dxdy=r drdθより

∫ 1 0

dr

∫ π/2 0

r²dθ= π 6

より，C=_π⁶ □

X の密度関数を求めてみよう

F_X(a) = P(X < a) =P(X < a,−∞< Y <∞)

=

∫ a

−∞

dx

∫ _∞

−∞

f_(X,Y)(x, y)dxdy この式をaで微分するとXの密度関数

fX(a) =

∫ _∞

−∞

f_(X,Y)(a, y)dy を得る．同様に

fY(b) =

∫ _∞

−∞

f(X,Y)(x, b)dx 結合分布から周辺分布を導くことができる．

2.2. 高次元の密度関数 23 XとY が独立であるとは

P(a < X < b, c < Y < d) =P(a < X < b)×P(c < Y < d)

などと表されることを言う．3つ以上の複数の確率変数の場合にも離散型と 同様に定義される．この場合，密度関数は

P(a < X < b, c < Y < d) =

∫ b a

dx

∫ d c

dyf(X,Y)(x, y) P(a < X < b)×P(c < Y < d) =

∫ b a

fX(x)dx

∫ d c

fY(y)dy がすべてのa, b, c, dについて成り立つのだから，

f_(X,Y)(x, y) =f_X(x)×f_Y(y)

が成り立つ．離散型と同様に独立であれば，周辺分布から結合分布を導くこ とができる．

問題 35 Dは[0,1]²のとき，

f(x, y) = 6x²y

Dが(0,0),(1,0),(0,1)を頂点とする三角形とする場合に f(x, y) = 60x²y

をみたすとき，XとY の密度関数を求めてください．XとY は独立ですか．

さらにP[X ≤¹₂]を求めてください．

解. D= [0,1]²のときには f_X(x) =

∫ 1 0

6x²y dy= 3x² f_Y(y) =

∫ 1 0

6x²y dx= 2y この場合には独立で，P(X≤ ¹₂] =¹₈

三角形のときには fX(x) =

∫ 1−x 0

60x²y dy= 30(x²−2x³+x⁴) fY(y) =

∫ 1−y 0

60x²y dx= 20(1−y)³y 独立ではない．

P[X≤x] = 10x³−15x⁴+ 6x⁵

なのでP(X ≤ ¹₂] = ¹₂．この場合，E(X) = ¹₂, V(X) = ₂₈¹，E(Y) =

1

3, V(Y) = ₆₃² □

問題 36 (X, Y)の密度関数がf_(X,Y)で与えられているとき，X+Y の密度 関数を求めてください．とくに，XとY がU(0,1)にしたがい，独立なとき の密度関数を求めてください．

解.

F_X+Y(a) = P(X+Y < a)

=

∫ _∞

−∞

dx

∫ a−x

−∞

f_(X,Y)(x, y)dxdy したがって，aで微分すれば

fX+Y(a) =

∫ _∞

−∞

f_(X,Y)(x, a−x)dx とくに，XとY がU(0,1)にしたがい，独立なときには

f_(X,Y)(x, y) = 1, 0≤x, y≤1 であるので，0< a−x <1であることに注意すると

fX+Y(a) =





∫a

0 dx=a 0< a <1

∫1

a−1 dx= 2−a 1≤a <2

□

問題 37 X, YはU(0,1)にしたがい独立なときP(X²+Y²< a)とP(max{X, Y}<

a)，P(min{X, Y}< a)を求めてください．

解. f(X,Y)(x, y) = 1 ((x, y)∈[0,1]²)であるので，

P(X²+Y²< a) = a²π/4 P(max{X, Y}< a) = a²

P(min{X, Y}< a) = 1−P(min{X, Y} ≥a) = 1−(1−a)²

□

問題 38 XとY がそれぞれ正規分布N(m1, v1)とN(m2, v2)にしたがい独立 なとき，X+Y の確率分布を求めてください．

解. N(m₁+m₂, v₁+v₂) □

2.2. 高次元の密度関数 25 問題 39 X とY がU(0,1)にしたがい，独立なとき，Z = max{X, Y}の密 度関数を求めてください．

解.0< a <1について

FZ(a) = P(max{X, Y} ≤a) =P(X ≤a, Y ≤a)

= P(X ≤a)×P(Y ≤a)

= a²

したがって，密度関数f_Z(a) = 2a □

問題 40 X,Y が独立でExp(λ)にしたがうとき，Z = min{X, Y}の密度関 数を求めてください．

解. a >0について

FZ(a) = P(min{X, Y} ≤a) = 1−P(min{X, Y}> a)

= 1−P(X > a, Y > a) = 1−P(X > a)×P(Y > a)

= 1− (∫ _∞

a

λe^−λxdx )2

= 1−([

−e^−λx]∞ a

)2

= 1−e^−2λa したがって

fZ(a) = 2λe^−2λa と再び指数分布になるが，max{X, Y}は密度関数は

2λe^−λa(1−e^−λa)

となり，指数分布にはならない． □

問題 41 (順序統計量) X, Y, ZがU(0,1)にしたがい独立なとき，順序を変 えてX⁽¹⁾≤X⁽²⁾≤X⁽³⁾ と表すとき，X⁽²⁾の密度関数を求めてください．

解. 0< a <1について

F_X(2)(a) = P(X⁽²⁾≤a)

= P(X, Y, Z≤a) +₃C₁P(X > a, Y, Z ≤a)

= a³+ 3a²(1−a)

したがって

f_Z(a) = 3a²+ 6a−9a²= 6a−6a²

□

問題 42 (高次元の正規分布) k次元のベクトルmと正定値k×k対称行列 V について，密度関数

f(x) = (√

2π)^k(detV)^−1/2exp[−1 2

t(x−m)V⁻¹(x−m)]

を高次元の正規分布という．これが密度関数であることを確かめてください．

解. V は対称行列なので，固有値はすべて実数である．また，正定値であ るとは，すべての固有値が正であることである．U⁻¹V U が対角行列になる ように選び，y=U⁻¹(x−m)とおくと，

f(x) = (√

2π)^−k(detV)^−1/2exp[−1 2

ty(U⁻¹V U)⁻¹y]

λ₁, . . . , λ_kを固有値とし，z_k =y_k/√

λ_kとおくと

∫

f(x)dx =

∫ (√

2π)^−k(detV)^−1/2exp[−1 2

ty(U⁻¹V U)⁻¹y]dy

=

∫ (√

2π)^−kexp[−1 2

tzz]dz

=

∏k i=1

∫ (√

2π)⁻¹e^−z2i/2dzi= 1 V は分散共分散行列である．

∫

x^txf(x)dx =

∫

Uy^tyU⁻¹(√

2π)^−k(detV)^−1/2exp[−1 2

ty(U⁻¹V U)⁻¹y]dy

= U

∫ 





√λ₁z₁ ...

√λkzk





(√

λ₁z₁, . . . ,√

λ_kz_k) exp[−1

2(z₁²+· · ·+z_k²)]dzU⁻¹

= U









λ₁ 0 · · · 0 0 λ2 · · · 0 ... ... . .. ... 0 0 · · · λ_k







U

= V

□

2.3. 期待値と分散 27

2.3 ^{期待値と分散}

密度関数fX(x)をもつ確率分布にしたがう確率変数Xの期待値は E(X) =

∫

xfX(x)dx 分散は

V(X) =E[(X−E(X))²] =

∫

(x−E(X))²f_X(x)dx 問題 43 X を(−∞,∞)に値をとる確率変数で

f_X(x) =











Ae^x+1 x <−1 Bx² −1≤x <0 Ce^−x x≥0,

がE(X) =−1，V(X) = 3とするとき，A，B，Cを求めてください．

解.A= ²₃, B= 0,C= ¹₃ □

問題 44 密度関数

f(x) = 1 π

γ (x−x0)²+γ²

をもつ確率分布をコーシー分布という．この分布が期待値をもたないことを 示してください．

解. まず，密度関数であることを示そう．(x−x0)/γ=yとおく．

∫ _∞

−∞

1 π

γ

(x−x0)²+γ²dx= 1 πγ

∫ _∞

−∞

1

1 + ((x−x0)/γ)²dx

= 1 π

∫ _∞

−∞

1 1 +y²dy

= [arctany]^π/2_−π/2= 1 一方，x∈[n−1, n)では

x

1 +x² ≥ n−1

n²+ 1 ≥ n−1

(n+ 1)² = 1

n+ 1 −2 1 (n+ 1)² この和は発散することから

∫ _∞

0

x 1 +x²dx

は発散する．したがって，期待値は存在しない． □

離散型と同様に 期待値の性質