有限変形非線形粘弾性体の構成方程式の導出とその応用(梗概)

NII-Electronic Library Service

Lig.,,g2.,,..,,,,,.,,

{OTU,:",a,i,.O,fi.S.tg".Ci"A'r})"",d.E,O,",?t'J".c.tko.".?n,g,itheering

_{glE[g\gfTnsre,m,e.T"iffva,t.Err}

.t

DEVELOPMENT

AND

APPLICATION

OF

FINITE

NONLINEAR

VISCOELASTIC

CONSTITUTIVE

LAW

by

MASANORI

IZUMI*,

SATOSHI

KURITA**,

TORU

TAKAHASHI"'

and

SONG-TAO

XUE'"'

'

Members

of

A.

I.

J.

1.

Introduction

The

nonlinear

analyses

of soil-structure

interaction

_problems

have

_come

into

_great

_{notice since}

_they

_are

_important

for

tall

buildings

and nuclear

power

plants.

One

of

these

_problems

is-the

study on nonlinear soil.

Many

soil models

have

been

_presented

to

study

the

nonlinearity of soil

in

recent

_years

based

on various characteristics

of

soil,

for

examples as

Kinematic

Cap

Model,

Hardin-Drnevich

Model,

Ramberg-Osgood

Model

_and

_Ohsaki-Hara

_Model,

and

also

great

successes

have

been

achieved

[references

1),2),3),4),5)],

We

have

also

derived

a

_general

constitutive

law

foi

finite

nonlinear viscoelastic

material

with

fading

memory while soil

is

considered as nonlinear viscoelastic

material

in

reference

6).

Generally,

stttdies on viscoelastic material can

be

divided

into

two

_paTts,

one

is

on

the

materials

with

fading

memory

and

the

other

is

on

the

materials with smooth memory

[references

7),8)].

Commonly

_study

_on

_fading

memory material often uses

integral

type

consEitutive equation

<in

other words

functional

_type

material) while study on

smooth

_{memory material uses rate}

type

(in

other words strain-rate-dependent rnaterial).

It

has

been

_pointed

_out

by

Eringen

that

the

constitutive equations

for

fading

memory and

for

smooth mernory

are

the

same while using

the

infinitesimal

linear

theory

in

refeTence

8),

In

this

paper,

trying

to

_complete

constitutive

theory

of

finite

nonlinear viscoelastic material, we will

develope

the

genera}

rate-type constitutive

law

for

material with smooth

memory

in

contrast with

the

functionai

type

law

of material with

fading

_memory

in

reference

6}.

Even

in

_a

_sense,

_{smooth memory material}

_can

be

_{regarded as}

_a

_special

type

of

fading

_{memory material.if}

history

of constitution of

fading

memoTy material

is

so

smooth

that

it

possesses

Taylor

series expansions at

present

time,

example

can

be

raised

is

the

limit

case.

the

_{infinitesimal}

_linear

_case

_which

has

been

_pointed

before.

However

rate-type constitutive

law

is

more

used

in

engineering,

for

example, we often use

the

word "dashpot"

which

is

the

infinitesimal

linear

viscoelastic material with smooth memory.

In

reference

6),

we

have

also

_pointed

out

that

the

displacement

fie}d

equation

is

too

'complicated

to

be

solved

even

in

one

dimension,

in

other words, we could not

_grasp

the

wave

_propagation

simply, and

in

_this

_paper

we will

meet

the

same

_problem.

For

_this

reason,

it

is

necessary

to

do

some

further

simplifications

for

this

two

laws.

One

simplifying

method

is

to

_use

the

_material

linear

_theory,

_{where we can obtain}

_two

_special

_laws

_:the

_one

_is

_finite

_linear

_law

of rate-type

and

the

other

is

finite

linear

law

of

functional

type,

_The

other method

is

to

use

the

infinitesimal

strain, where we can also obtain

two

laws

_:

one

is

infinitesimal

nonlinear

iaw

of rate-type

and

the

other

is

infinitesimal

nonlinear

law

_of

functional

type,

One

dimensional

displacement

field

equation

is

_presented

respectively, which will

be

useful

to

study

waye

_propagation.

'

To

complete

_constitutive

theory

_of

finite

_{nonlinear viscoelastic･material}

_by

_developing

_{a new}

general

constitutive

law

of rate-type and

to

_present

four

special

types

of rate-type

law

and

functional

_type

_law

are

the

_purposes

of

this

paper,

Z

Development

and

SimpSitication

ot

Strain-Rate-Dependent

Constitutive

_Equations.

It

has

been

shown

in

references

7),8),

that

the

constitutive

equations of strain-rete-dependent _mateJials

have

_the

following

forms

'

i

_Professor,

_Tohoku

_Univ.

,

Dr,

Eng.

**

_Assoc.

_Prof.

_,

_Tohoku

_Univ.

,

Dr.

Eng.

#'

_Graduate

_Student,

_Tohoku

_Uniy.

,

(Munnscript

}eceived

Juty

18,19SS/Paper Accepted October 17,'1989)

-NII-Electronic Library Service

tict==j"x"Mxi,LTx,(C,

e,

e,

X)･･･-･･･--･i-･･･-････-･-･･-･･･････-･･:-･-･･･-･･-･･--･-････-･･････-･･･-･-････-･･--･･(2.1)

E=e(C,

C,

e,

x)--･･---･--.-･---･---･･---･---･･--･-･･-･･---(2.2)

o==e(c,

e,

e,

x)･-･･-･･-･･-････-･･-･･･････-･-･--･･･-･･･--･････-t･････-･---･-･･-･･-････-･･･--･--･･-･･････-･････--(2.3>

di=e-

de

:=

di(c,

e,

e,

x)

-･･･-･･････--･--･･･-･･ny･･････-･･･-･･･-･--･･･-･･･････t･-･･･-･--･････････････････-･･･---･･･-<2.4)

where,

all

symbols

have

the

same meaning as

those

used

in

references

6),7)

and8>.

We

rewrite

them

in

the

following.

e

is

ternperature;

n

is

entropy

density;

s

is

internal

energy;

tm

is stress

tensor;,

xi

is

spatial

coordin'atgs;

X,

is

material

coordinates;

,

is

a comma,

indices

after

the

comma

indicate

partial

differentiation

with respect

to

X,

when

they

are

majuscules, and with respect

to

xk when

they

are minuscules;

CxL

means

Green's

deformation

tensor;

gb

means

Helmholtz

free

energy,

_gb=E-eo,

in

fact,

as

_pointed

in

refeTence

8),

gb

has

relation with

stress

-

l

･

potential

as

Agb{C,

C,

e,

X)=Z(C,

C,

e,

X)

J-

can

be

determined

by

using

j'=Mc,

j=det(xv)

or

J'=Alp.

A,

p

mean mass

density

of materiat

frame,

and

of spatial

fTame,

respectively;

Mc

means

the

third

principal

invariant

of

the

Green

deformation

tensors

Mc;detCn;

It

is

'suggested

in

reference

7>,8)

that

Pioia-Kirchhoff

_{pseudestresses}

could

be

expressed

in

two

parts

as:

T=ET(C,

e,

X)+.T{(i),

e,

X)･-･･-････-･･-････-･･･････-･---･････-･･･-･･･････--L･･-･･-･･････--･-･-･-･--･･-･･･-(2.5)

where ET means

purely

elastic

part

oT means

dissipative

part.

'In

_contrast

_Lo

_functional

_{materials we can assume}

_for

_simplicity

_that

_the

_viscous

_part

takes

the

following

form

:

DTxL(Cxt,

C.,,

e)=9"".(e)eMN+shx,.NpQ(e)CNNepQ+････-･

-･････-･････--････-･････-･･････-･･---････t･････-･･････-･(2.6)

where,

9KwN

and

9xLMNpQ

are

all

functions

bf

temperature

and $atisfy

the

symmetry conditions,

Considering

the

_general

constitutive

law

of

finite

nonlinear

elastic

material which

has

been

very well studied

and

developed

in

reference

9),

and making

the

elastic

part

of equatiQn

(2.

5)

to

be

the

same, we can

finally

obtain

the

constitutive

law

for

strain-rate-dependent material.

(In

fact

if

we

substitute

all

these

equations

into

the

Clausius-Duhem

inequaiity

which

had

been

described

in

reference

6),

we can also simply write out

the

constitutive

equation

for

strain-rate-dependent matenal as

follows

by

making use of

the

same

method

in

reference

6).

Here

for

simplificatien

we omit

the

development).

tkt

=±

ft

XMKXt,L

[2

oOc;?,

+

9,wN(e)

(i

MN+

9rL...Q(e)eMN

e.Q+･･.-]･････････････････････-･t･-･--･･-･････････-･･･

(2.

7)

where

Z

is

the

elastic

stress

_potential

'

Adi(c,

e,

x)=Z(c,

e,

x)･･･････-･･-････-･--･･･-･･-････-･･･････････--･･-･････-･･･････-･･････-･･-･･-･････-･･-･･･(2.8)

Equation

(2.7)

is

correct

for

large

strain and

for

mateTial nonlinearity

so

that

it

is called

finite

nonlinear

constitutive

equation

for

strain-rate-dependent viscoelastic material.

We

will consider equation

(2.

7)

only

up

to

second-order

_power

for

viscous

part

in

the

following

in

contrast with

/

that

of reference

6).

'

tki=:

x-Kx,,.

[2

_oaclil,

+

gr,..(e)b.,+

g....,.(e)b..

e,q]･････-･･･--･･-････-･･･････-･･-････-･･･････････････--･･･

(2.

g)

Further

simplifications

can

be

obtained using

Lagrangian

Strain

Tensors

EKL

in

order

to

repiace

Green's

Deformation

Tensors

CrL,

using

material

linear

theory

for

elastlc

parts

and

using

Theory

of

Invariants.

At

last,

the

constitutiye equation

for

isotropic

finite

nonlinear materials with smooth

memory

is

-

l

tkt=j']xesxi,L[aOKL+biE"aKL+2btEx!.+2ciEttarL+4c2En

･

+4diEtiE"aKL+4dttr(ExLENN)aft+4d3EttErL+4dEKsEtt]･･･''''･'-''''''"'･-'''･-･-･'-'･･-･････-･･･(2.10)

where,

a,

bi,

bk

ci,

ch

di,

d2,

ds,

and

d4

are all constants

{In

Linear

Elastic

Mechanics

b,

and

b,

are called "Lame

constants").

3.

Displacement

Field

Equation

As

in

reference

6),

in

this

work we can apply

the

equation

(2.

10)

to

examples such as simple shear

deformation,

NII-Electronic Library Service

one

dimensional

_simple

extension.

Because

it

is

tedious

in

writing

long

equations about simple shear

de'formation

and one

dimensional

simple

extension,

we omitted

the

processes

here.

But,

it

is

important

to

_point

out

here

that

_the

effect of

the

_nonlinearity

is

to

_produce

a

higher

harmonic

term

while applying

this

law

_to

one

dimensional

simple extenslon.

The

following

is

the

study

on one

dimensionai

displacement

field

equation.

Cauchy's

equation of motion

in

the

material coordinate can

be

written as

'

(ZrLX4L),r+A(flt-ak}:=O'''''''''"''H''''''-"''H"'-"'''''''''''"'-''"'''''''"'''-''"''H''-･-･････--･･･････t-･･･(3.0

where,

f

is

body

force

clensity

_per

unit mass and

_a

is

acceleration.

Using

equation

(2.

10)

it

is

not

difficult

to

write

out

_T.,xu

in

one

dimension

T

_aaxX

=

oaxX

(a+bE+cE+dE')･---･･---･･-･---･-･---･-

(3.

2)

where, _a,

b,

_c

_and

d

have

been

tacitly

assumed as constants

in

one

dimensional

constitutive equation,

Lagrangian

strain

tensor

E

has

the

following

relation with

displacement

vector

U

E-

gSi

+,i-

(

ZSi

)2

---･･---･-･---･---･----H

_(,.

_,)

Finally

we achieve

_the

one

dimensional

displacement

field

equation

_:

,o.

((i+

g:

)(

.+b[

g.u

+s(g.u

)2]+,(,a.'

_,u,

+

gy

_,ai

g,)

･

+d(,Oi

_,Ui+

gY

,ei

,U,

)Zl]-A

a,i,U,

_-of

･･-･･･-･･-･･････････.･...,,,.,.,...H...,,,.,.H..h...,,.

(,.,)

If

boundary

condition

and

initia}

conditioh are

given,

we can

obtain

the

displacement

field

theoretically,

but

_this

eqgation

is

too

_complicated

_to

_be

_solved

_immediately.

_Nevertheless

_for

_a

_given

_{real material,}

_it

_can

_be

_applied

practically

with

numerical

methods.

In

equation

(3.4)

if

f=O,

this

equation

describes

the

one

dimensional

wave

propagatlon.

4.

Applying

Methed

4,l.

Preliminary

The

two

_general

constitutive

laws

developed

in

this

_paper

and

in

reference

6)

are sufficient

to

describe

_the

'nenlinearity

of viscoelastic materials

theoretically.

But

unfortunately

they

are

difficult

_to

be

solved or

to

be

applied

practically

to

engineering

_as

has

been

_pointed

_out

_before.

_Here

_we

try

to

do

more simplifications

for

these

two

_laws

and make

_their

application

to

engineering

_possible,

Generally

two

simplifying methods are used.

The

one

is

material

linear

theory

_which

is

_{often used}

_te

_investigate

_the

_finite

_displacement

_of

_continuous

_media.

_The

_other

_is

infinitesimal

strain

theory.

We

will use

both

of

them

to

do

simplifications

in

_the

following.

4.2.

Finite

linear

law

of rate-type

,We

begin

simplifying with equation

(2.

1O).

Finite

linearity

means

linear

in

material

(not

only with

elastic

_part

but

also

viscous

_part)

but

nonlinear

in

_the

relation

of strain and

displacement

(that

means using

finite

strain

in

constitutive equation).

If

we make assumption

further

that

the

bedy

is

unstressed until

t=O,

(2.

10)

will

beceme

tnt=JL'xitKxt,L[btEtt6;rL+2b2ExL+2CiEtt6beL+4C2En]''''''''''''''''''''''''"'''''''H''-''"''H'''''''''''-''''(4.1>

Cauchy's

equation

of motion and

Lagrangian

strain

tensor

relation with

displacement

vector

in

material

coordinate

can

be

written as

'

(71rLxul,K+ft<fi-aD=O''''''''''H-''"'-''-''"''''''-''''''''''''''''''''''''''''･･-''''''''-'''･･･-･･･-･･･''･･･-･-･･････(4.2)

71,,=71,.-･･････-･･･--･･･-･･････-･･･-･･･--･･-･･･････-･:･･---･-･･･････-･-･･-･･･-････-･･-････-･･････････････-･･･--･--･･････-(4.3)

2E.,;Ul,,+a,,+abe.Uk,,en,,････････-･･-･･･････-････-･･-･･--･-･-･･･-･･･-･･･---････････････-･-･･-･････-･･･････-･･<4.4)

Using

equations

(4,

1),

(4.

_2),

(4.

₃₎

and

(4.

_4),

we can easily

6btain

the

displacement

field

_equation,

_Here

_we

only

_present

_the

displacement

field

equation

in

one

dimension.

,a.

((i+

e,.U

)lb[

a,.U

+g(

a,.U

)']+c(

,ai

,U,

+

g.U

',ai

,U,

)ll-th

e,Z,U,

-AfH---･----

(4.

s)

where

b,

c are constants

in

one

dimension.

4.3,

Infinitesimal

nonlinear

law

of rate-type

Assuming

that

the

body

is

unstressed until

time

t=o,

then

we can rewrite

the

constitutive equation

(2.

10)

as

NII-Electronic Library Service

follows

:

ttt=j'ixuKxi,L[biEtt6)vL+2b2ExL+2ciEtia(L+4ctEKt

+4diE"EjjaKt,+4dttr(ErLEHN)SKL+4d3EitEreL+4d4ErctEtL]L･''-"'･･'･･････････'-････-････-････････-･････(4.6)

Here

we use

the

infinitesimal

strain

tensor

IEf

instead

of

Lagrangian

strain

tensor

E

such as

2Eu=Uk,L+U).x"''''''"''"'--''''H''"'''-'''H''`"'''''''''''''"'''"''H''''"''''''''''''''''''''"'-'''''''''''H''-{4.7)

where

Uk

is

the

displacement

vector.

We

also need

the

expression

-xM,=(a.,+Uk,.}a.,=:(ak.+E..+R.,)a.,･-･･-･･･--･･･-･･-･L･･-････････--･･･････-･･-･･･････-･･･--･･--･･-･･-･････(4.s>

where,

fiNK

means

infinitesimal

rotation

tensor.

In

the

following

part

of

this

section, we will use

the

spatial coordinate

instead

of material

coordinate,

which need

the

following

relation

between

Euleriap

strains and

Lagrangian

strains

･

E.=e,,a,,a,,

?.,=lli.,6k.a.-･･･-･･･--････････････････-･･････--･････-････････････--･--･･････････-･･････--･-･･(4,g)

Introducing

(4.7),

(4,8),

and

(4.9)

into

(4.6},

making

the

elastic

part

to

be

linear,

we obtain

the

constitutive equation

for

isotropic

material

(here

for

simplicity we write

e

by

e)

'

'

tM=Bieit6hi+2B,eict+Cieitaki+Csbm+

･

+D,e"e,,fi.,+D,tr(b.b..)a,,+D,b.a.+D,e.b.-･････-･･･-･･-･･･････-･････-･･･-････････････-･--･･-･･･{4,lo)

here,

Bi,

Bi,

Ci,

Ci,

Di,

Db

D3

and

D4

are all constants.

The

displacement

field

equation

can

easily

be

obtained with

(4.

10),

Cauchy]s

equation of motion, and

Eulerian

strains

in

spatial

ceordinate

in

the

fellowing

(where

u

is

the

displacement

in

spatial cooTdinaye>

(txLXst),N+P(fit-ak)=O''''''''''''''''-''''''''''''''''''''''''''-''''H'''''''"''v-''H'･-･--'''-･･･-･･-･････--･･･(4.11)

trcL=tw''H'''''''H'-H''''''''''-'''"'-''''''H''"''''"'''''''-''''-''-H''':''"'''''':'"''''''H'''''''''''''''''''''''H(4.12)

e,,=112(uv+u,,n･--････-･･-･･･-･･･-･-･-･-･･･････-･･･--･･･････････--･･･--･･･････-････････-･･･････--･･････････-･･･-･････(4,13)

.,

Especially

in

one

dimension,

(4.Io)

becomes

.

t=be+cb+de'･---･-･---･--･---･･----･---･---･-･---･---(4,14)

And

the

displacement

field

equation

in

one

dimension

is

b

O,2.l+c

,a.3,",,+d

50.2,",

,21",,

==p

a,':

_{-of''''''''"''''"'''''''''''"''''''''''''"''"'''''''''''''''"''-''(4.}

_is)

'

where,

b,

c and

d

are

constants

in

one

diimension,

4.4,

Finite

linear

law

of

functional

type

_,

Finite

linear

constitutive equation

for

isotropic

functional

materials

{materials

with

fading

memory) can

be

obtained

by

rewriting equation

(3.6)

of reference

6)

and

_putting

the

consideration of

material

linearity.

Here

we assume

that

the

body

is

unstressed until

t=O

_,

'

titt=j'ixwxi,L(SiE`tcrKL+2S!EKL+.L"[?1(t-s)E"(s}"KL+2h(t-s)En(s)]dsl･･････-･････-･･･････････････(4.16)

This

equation

is

the

same with

that

in

references

10),11).

We

can

easily

obtain

the

displacement

field

equation

if

we use

the

constitutive equation

(4.16)

together

with equations

(4.2),

{4.3}

and

(4.4),

Because

it

is

tedious

to

write out

the

displacement

field

equation

in

three

dimensions,

we only

_present

the

one

diniensional

displacement

field

equation

'

,O.

((i+

g.U

)(B

[(

g.U-

+}

(

g.U-)']+Jft

,(t-,)

[

a,!.Ui

g)

+

ellits)

O,2.Ui

g)

]

_cl,l]

-th

a,',U,

-thf

･--･-････-･･-･･･---･･-･･-･･･--･･･････''''''''''''r'-'-''H''''''''''-''''''''''''''''''H'''''''-''"''-'''(4.i7)

where

P

is

constant

and

_r(t-s)

is

memory

function

in

one

dimension.

4,5.

Infinitesimal

nonlinear

law

of

functional

type

.

Assurne

that

the

body

is

unstressed untiL

t==O,

then

we can rewrite

the

constitutive

equation

for

functional

viscoelastic

materials

m

the

following

[we

obtain

this

equation

from

equation

(3,6)

of reference

6)]

tst=j'ix-sx[,L(/9iE"6;rL+2BiEKL+.L't[71(t-g)E"(s}fiKL+2n(t-s)Er,.(s)]dsl---･/････････････････････(4.18}

Here

the

characteristic of

integral

tells

us

that

the

double

integral

can not appear

in

constitutive

law

because

the

'

strain

is

infinitesirnal

so

that

the

powers

of strain can not appear

in

constitutive

law.

.

'

NII-Electronic Library Service

Employing

the

infinitesimal

strain

tensor

theory

which

had

been

expressed

in

equations

(4.

7>,

(4.

8),

and

(4,

_9),

replacing

the

symbol

E

by

e

for

simplicity,

and making

the

elastic

part

to

be

linear,

we

can

obtain

the

constitutive

equation

for

infinitesimal

isotropic

nonlinear material with

fading

memory

using

the

same method

in

section

4.

3.

Here,

of course, as

in

section4,3, we write all

the

equations

in

the

following

_part

of

this

section

in

spatial coordinate.

t.=ke.6k,+2ke,,+.j["[k(t-s)e,,(s)a.,+2e<t-s)e.,{s)]ds････････-･･･-････-･-･･･-･･-･････-･--･--･････(4,19)

where,

G

and

"

are elastic constants,

a,

&,

are memory

functions.

This

constitutive

equation

is

the

_general

linear

equation

to

be

used

in

engineering.

This

results

in

an

important

property

of

functional

material

that

the'

constitutive

law

for

infinitesimal

_strain

is

linear.

The

displaeement

field

equation can

be

easily

obtained

by

using

(4.

11),

(4.

12),

(4.

_13),

and

(4.

_19).

Here

as

an

example, _{we only consider one}

dimension,

in

_this

_{case equation}

_(4.19)

_becomes

t=fie+Jg"7(t-s)e(s)ds-･･-･･--･･-･･･････-･･････････････････-･････････････-･--･･-････････････-･･-･･････-･･--･･(4.2o)

Then

the

_one

dimensional

displacement

_field

_equation

_is

_:

B

eEir2

,g

+Xt

r(t-

s)

_e21"at

ds=p

Oa't\

-ofH'''-'''''''''''''"'''"''"'--"''H''''''"'''''''H''"''''''-''''''"(4-2i}

5.

Conclusion

A

constitutive

law

_which

is

_applicable

for

_soil

has

been

_developed

_in

_this

paper

when soil

is

considered as material

with

_{smooth memory.}

TWo

laws

deveioped

in

this

_paper

and

in

reference6)

deal

with

the

finite

strain nenlinear viscoelastic material.

They

can

express sufficiently

the

nonlinearity

of

soil

theoretically,

but

unfortunately

both

_of

them

_are

_too

_complicated

_for

_{an engineering application,}

_For

_this

_reason,

we

have

done

simplifications which concentrate _{our airn}

on

finite

strain or on material nonlinearity

for

both

_these

laws,

_{and one}

dimensional

displacement

field

equations are

_given

respectively.

Studies

in

future

can

be

expected as

the

following

three

_parts.

The

first

is

_to

_use

_these

_two

_laws

_to

_study

_the

_wave

propagation

in

soil with numerical methods.

The

second

is

to

develope

equations

for

soil-structure

interaction

by

using

these

two

_censtitutive

laws

instead

of

linear

theory

which

is

used

_to

study

interaction

_problem

now.

The

third

is

to

check

_{eut mathematically}

that

whether

these

two

laws

are

the

same or

not

theoretically,

because

it

has

been

pointed

out

by

Eringen

that

the

two

linear

theories

are

the

same,

'

Reterences

1>

Tanaka,

Y.

1

Nonlinear

Respense

Analysis

of

Soil-Stfucture

Interaction

Systernswith

Kinematic

Cap

Medel

_;The

₂₃

thJapan

National

Conference

on

Soil

Mechanics

and

Foundation

Engineering,

_{pp.l169-1172,}

1988

･

2}

Ohsaki,

Y.

:

Sorne

Notes

on

Masing's

Law

and

Non-linear

Resppnse

of

Soil

Deposits,

J.

of

Faculty

of

Eng.,

Univ,

of

Tokyo,

VoL

XXrV,

No.4,

Sept.,

1980

.

'

3)

Ohs,aki,

Y.

:

Dynamic

Nonlinear

Model

and

One-Dimensional

Nonlinear

Response

of

Soil

Deposits,

Research

Report

_8Z-o2,

Dept.

ef

Architecture,

Uniy,

of

Tokye,

MaTch,

1982

4)

Hara,

A.

:

Non-linear

St[ess-strain

Model

of

Soil

_and

Elasto-Plastic

Response

_of

Soil

Deposits,

_Annttal

_Report

of

Kajima

Institute

of

Construction

Technology,

_Vel.28,

₁₉₇₉

5)

Ishihara,

Kenji.

:Fundarnent

of

Soil

Dynarnics,

Kajima

Institute

Publishing

Comp.

_Ltd.

_{in

_Japanese)

₁₉₇₆

6)

Izurni,

M.

et

_aL

:Functional

Finite

Nonlinear

ViscoeLastic

Constitutive

_Law,

_Journal

_ef

_Structural

and

Construction

Engineering

(Transactions

of

AIJ>

No.406,pp.45-54,

Dec.

I989

7)

Eringen,

A.C.

:

Nonlinear

Theory

of

Continuous

Media,

McGTaw-Hill

Book

Cempany,

_New

_York,,

₁₉₆₂

8)

Eringen,

A,C.

:

Mechanics

_of

Continlla,

Robert

E.

Krieger

Publishing

Company,

Huntington,

New

York,

lgsO

9}

Eringen,

A.C.,

Suhubi.

E,S.

:EIastodynamies,

Academic

Press,

New

York

and

London,

1974

lo)

Christensen,

R.

M.

:

A

Nonlinear

Theory

_of

Viscoelasticity

forApplication

to

ElastomeTs,

_Journal

of

Applied

Mechanics,

VoL47,

pp.762-768,

December

1980

'

11)

Christensen,

R.M,

_and

Feng,

W.

W.

:

NonlinearCompressive

Deformationof

Viscoelastic

Porous

_Materials,

Mechanics

of

Materials,

pp.239-247,

2

(1983>

'

12}

A.I.J.

:

Recent

_Advancement

_of

St[uctural

Mechanics

in

Building

Engineering,

_A.I.J.,

_Tokyo.

_(in

_Japanese}

₁₉₈₇

NII-Electronic Library Service

1

論　

文

】

UDC ：624

．

042

．

7 ：624

．

04 日本 建 築学会構造系論文報告 集 第

407

号

・

1990

年 1 月

有 限

変

形非

線

形

粘弾性

体

の

構

成

方程 式

の

_導出

とそ

の

応用 （

梗概 ）

正 会 員 正 会 員 正

会 員

正 会 員

和

栗

高

薛

泉

田

橋

正

松

　 哲

＊

　 哲

＊ ＊

、 徹

＊ ＊ ＊

　　涛

＊ ＊ ＊

　

1．

序

　

地 盤

と

構 造 物

の

_動的相

互 作 用 問 題

において

非

線

形 的

な

解析

は

高 層 構 造 物

や

原 子 炉

建

屋に

対

し て重

要

であ る た め に

，

現 在 注 目 さ

れつ つ _{あ る}

。

_その

中

で の

重 要

な

問

題の

一

つ は

，

土

の

非 線 形 挙 動

を 理

論

的

に

明

ら かに

す

ること で あ る。

土

の

非

線 形 的

な

挙 動 を

表

す た めの モデル には

例

え ば

，

Kinematic

　

Cap

モ

デ

ル

，

　

Harding

−Drnevich

モ デル

，

Ramberg

−Osgood

モ デル

，

_{大 崎}

一

原

モ

デ

ル な ど が あ り

，

そ れ ぞ れ，

土

に

特 有

な

性 質

を

表

して い る

［

文 献

1）

，

2

）

，

3 ）

，

4 ）

，

5）

〕

。

　

筆

者

らはすで に

文 献

6 ）

で

土 を 非 線 形 粘 弾 性 連

続体

と し て と らえ_，

Fading

　memory

を 持

つ

汎 関 数

型

有 限

変

形

非線

形 粘 弾 性 体

の

普 遍 的

な

構

成 方 程 式 を導 出

し

，

その

応

用

を

示

し た

。

粘 弾 性 体

にっ いて は，

Fading

　memory を

持

つ

_{粘弾性体 （}

構 成 方 程 式

が ひ

ず

み汎

関

数

に

依 存

す るの で

，

通

常

，

汎 関 数 型 粘 弾 性

体

と

呼

ば

れ て い る

〉

と

，

Smooth

　memory

を持

っ

粘

弾性 体

（

構 成 方 程 式

がひ

ず

み

速 度

に

依

存

す るので

，

通 常

，

ひ

ず

み

速

度

型 粘 弾 性 体

と

呼

ば れて いる

）

の 二つ に

分 け

て

考

え るこ と

が

一

般 的

で あり，

例

え ば

Eringen

に より

線 形

粘弾

性 体

の

構 成 方 程 式

を

導

く

理 論 的

な

研 究

が 行

わ れて いる

［

文

献

7 ）

，

8

）

］

。

よっ て

本 論文

では

，

有 限 変 形 非 線 形

粘弾性 体

の

構 成 理 論

を

完 成

さ せ る た めに_，

既

に

文 献

6）

で

導 出

した

Fading

皿em

−

ory

を

持

つ

非 線

形 粘 弾 性 体

と

対

比 させ ながら

，

　

Smooth

memory を

持

つ ひ

ず

み

速 度

型

粘弾

性 体

の

普 遍 的

な

有

限

変

形 非 線 形 構 成 方 程 式 を導 出

す る。 その

上

で

，

これ ら の 二 つ の

粘弾性

理 論

の

応 用

を

図

る た めに_，

様

々 な

簡 易

化 を 行 い

，

さ らに_，

簡 易 化

さ れ た

各

々 の

構 成 方 程 式

に

対

して_，

一

_次

_元の

変 位 方 程

式

を導 出

す る

。

な お

簡 易 化

の た め

_，

微

小 変 形 理 論

と

材

料線 形

理

論

を

用

い てい る

。

　

2，

構

成

方 程 式

の

導 出 と簡 易 化

　

Eringen

_［

文 献

7

）

，

8

）

］

に よ れ

ば

ひ

ず

み

速 度 型

粘 弾性

体

の

基 本 構 成

方

程

式 は

（

2

．

1

）

一

（

2

．

4

）

式で

表

され

る

。

　t _{東北 大 学 　 教 授}

・

_工博 1＊ _東

_北大学

_{助 教 授}

・

_工博 ＊ ＃ _{東 北 大 学}



_{大 学 院生}

　 　

098Sff7

月

18

日原 稿 受 理

，

1989 年

10

月

17

日採 用決 定 ）

Smooth

　mernory を

持

つ

有 限 変 形 非

線

形

粘 弾性

体

の

普 遍

的

な

構 成

方

程 式

は，

最 終 的

に

（

2

．

7

）式

の よ うに

導 出

す ることが で き る。 こ こ で

文 献

7

）

，

8

）

に

基

づ き，

文 献

6 ）

との

対 応 を 考 慮

して

，

_（

2

．

5

）式

と

（

2

，

6）

式

が

仮 定

され てい る

。

その

弾 性 部 分

は

文

献

9 ＞

と同

一

で あ る。 さ らに，

文

献

6

）

と 同 じ

簡 易 化

手

法 を適 用 す

る と

，

等方 有

限 変 形

非 線 形

粘弾

性 体

の

_構

成

方

程 式

は

（

2

．

10

）式

で

_表

さ れ る

。

な お

，

（

2．

10

）式

の

弾

性 部

分

は

線

形 化 し

て い る。

　

3．一

次 元 変 位 方 程

式

　

上

述

の

構 成 方 程

式 を 用いれ ば

，

文 献 6 ）

の

中

で

展 開

し た もの と

同 様

の

応 用

例

を示

す こ

と

ができ る が

，

非常

に

_複

雑

な

式

と なる の で

_省略

し

，

こ こ で は

例

と し て，

一

_{次 元 変}

位

方程式

を導 出

した

。

結

果と し て

，

物

質

座

標

に

対

する

変

位

方程

式

は

（

3

．

4

）式

と な り， これに よ り

粘 弾性体 中

の

．

波 動 伝

播 現

象 を把 握

す るこ

と が

で

き

る。 この

方程式

の

解

析 解

を

求

める ことは

一

般

に 困

難

で

あ

るが

，

数

値解析手

法

を 用

いて

解

くこ

と

は

可 能

で あ る と

考

え ら れ る。

　

4．

応 用

方 法

　 4

．

1

．

緒　

言

　

本

論

文

お よ

び 文 献

6

）

で

提案

し た二つ の

_{有 限 変 形 非}

線

形 粘 弾

性

理

論

は

，

理 論

的

に は

，

有 限 変 形 粘 弾

性 体

の

非 線

形 性

を

表

現 する に は十 分であ ろ う が

，

工

学 的

応 用

に

関

し て は

難点

が ま

だ

残

っ て いる

。

簡 単

に

説 明 す

れ

ば

，一

次 元

の みの

変

位 方 程 式

でも

，

実

際

に

応 用 す

る た め に は か な り

複

雑

であるとい う

問

題 が 存

在

する の であ る

。

　

そこで

，

こ こ では

運

続

力 学

に お

け

る

一

般 的

な

手

法

に

従

っ て

，

有

限

変 形

と

材料

非 線 形 と 同 時

には

扱

わ

ず

，

有 限

変

形 を

仮 定

し た

場

合 は

材 料 ぽ線 形

，

ま た は

材 料 非 線 形 を

仮

定

した

時

には ひ

ず

みは

微 小

で あ る と

仮

定

して_， ひずみ

速 度 型

お よび 汎

関 数 型 構 成 方 程

式 を

簡 易 化

する。

一

般

の

応 用

に

当

たっ て は こ の

扱

い で

十 分

で

あ

ると

考

え ら れ る

。

以 下

に その

方 法 を述

べ _る

。

　

4

．

2

．

有 限

変 形

線 形

ひずみ速 度 型

粘 弾 性 体

　

有

陬変

形 線 形

の

意 味

は

，

大

き く二つ の

部 分

に分 け ら れ

　

る

。一

つ は

有 限

変 形 ひ

ず

み理

論

式

（

4

，

4

） を使

うことで

　

あり

，

も う

一

つ は

材 料 的線

形

，

つ ま り上 述の

構 成 方

程

式

一

₈₄

一

N工 工

一

Eleotronio _Library

NII-Electronic Library Service

に おいて

_材料

の

_弾性部

_分

と

粘

性 部 分

の

_{両 者 を そ}

_{れ ぞ}

_れ

_線

形 化

す ることで

あ

る

。

結

果

と し て， ひ

ず

み

速 度 型 粘 弾 性

体

の

有

限 変 形 線 形 構 成 方 程 式

は

（

4

．

1 ）

式

である こと が

簡 単

に

分

か る の で， これ に

関

す る

一

次 元 変 位 方

程式

は

（

4

．

　

5

_）式

の よ う に

導

くこと がで き る。

　 4

．

3

．

　

微 小 変 形 非 線

形ひ

ず

み速

度 型 粘 弾性 体

　

微 小 変 形 非 線 形

という

仮 定

を

導

入

す

る こ

と

は_，

上 述

の

構 成 方 程 式 （

2

．

10）

に おいて

，

材料

は

非 線 形

の

ま ま

で ひ

ず

み と

変 位

の

関 係 を 線 形 化

す ることで ある

。

つ ま り

微 小

ひずみ理

論 式 （

4

．

7＞

を

使

うこ とに なる。 こ こで，

弾性

部

分

は

線 形

に

と ど ま

る

。

結

果

と して

，

物 質 座 標

に

関

す る

構 成

方 程 式

は

（

4

．

6）

式

の よ うに

_示

さ れる

。一

般

_に

，

微

小 変 形 力 学 問 題

で は

_{空 間}

座

標

に

_対

して

方 程 式 を導

出

す る の で

，

こ こで，

Euler

ひ

ず

み と

Lagrangian

ひ

ず

みの

関

係

式 （

4

．

9

） を利 用

して

，

物質

座

標

に

関

する

構 成

方 程 式

（

4

．

6 ）

を空

間

座

標

に

_{関 す}

る

構 成 方 程 式

に

書

き

換

え る と

，

（

4

．

10 ）

式

の よ う に な る。

最 後

に，

空 間 座

標

に

関

する

Cattchy

運 動 方 程 式

と

Euler

ひ

ず

み を 用い て

，

空

間

座

標

に

関

する

一

_次

元の

_変

_{位 方 程 式 （}

₄

．

₁₅

_{） を導}

_くこと ができ る。

　4

．

4

．

有 限 変 形

線

形 汎

関 数 型 粘 弾 性 体

　

前 述

4

．

2 節

の

_方法

_，

す な わ

ち材 料 線 形

理

論

を

汎 関 数 型

粘 弾 性 体

に

適 用

す ることに より

，

有 限 変 形 線 形

汎

関 数 型

粘 弾 性 体

の

_{構 成 方 程 式}

は

（

4

．

16

）式

の よ う に 示 さ れ

，

そ の

_物質

座

標

に

_関

す る

一

次 元 変 位 方 程

式

は

（

4．

ユ

7

）

式

の

よ

うに

導

くこと がで き る。

　

4

，

5．

　

微 小

変

形 非 線 形 汎 関 数 型 粘 弾

性

体

　

前 述

4．

3

節

の

方 法

，

す な わ ち微 小

ひ

ず

み 理

論

を

汎 関 数

型

粘

弾 性 体

に

用

い る

と

，

材

料 非線

形 を

表

す二

重 積 分

の

項

は

微 小

ひ

ず

み の

2 乗

なの で

消 去

さ れ

，

結 果 的

に_，

微 小

変

形 非 線 形 汎 関 数 型 粘

弾性体

の

構 成 方 程 式

は

（

4

．

19

）式

の よ うに

示

さ れ

，

その

空

間 座

標

に

関

する

一

次元 変 位 方 程

式

は

（

4

．

21 ）式

の よ うに

_導

くこ と がで

き

る

。

　

5．

結 　 論

　

本 論 文

で は

，

土

の動 力

学 挙

動 を

表 現

す る た めに_，

Smooth

　

memory

を

持

つ

粘

_{弾 性 体}

の

有 限 変 形 非 線 形 構 成

方 程 式 を 導 出

し た

。

さ ら に

文 献

6

）

で

す

で に

導 出

し た

Fading

　memory

を持

っ

粘

弾

_{性 体}

の

_{構 成 方 程 式}

と と

も

に_，

微 小

ひ

ず

み の

仮 定

， ま た は

材

料 線 形

の

仮 定 を導

入 し て 理

論 的

に

簡 易 化

し

，

実

際

に

．

応 用

で き る

形

に した

。

その

結 果

か ら

得

られ た 四

種

類

の

_{粘 弾 性 体 各}

々 につ い て の

一

次

元

変

位 方 程 式

を

導 出

し た。

　

今 後

の

検 討

項

目

と しては

，

以 下

の

3

点 を考

えている

。

第

一

に

，

本

論

文

で

導 出

し た

一

次 元 変 位 方 程

式

を

基

に

，

_粘

弾性体 中

の

_波

_{動 伝 播 現 象}

につ いて

数 値 計 算

に よっ て

検

討

す ること

。

第

2

に

，

地 盤

と

構 造 物

の

相 互 作 用

解析

におい て

，

現

在

， 線 形 と

仮 定

さ れて い る

地 盤

の

条件

を，

本 論 文

で

示

し た

非線

形

粘

弾 性 体

に

置

き

換

え て

定 式 化

し， さ ら に

実 際

の

_相

互

作用

問

題

の

数

値

解 析 手 法

へ の

応 用 を

は か るこ

と

。

第 3

に

，

微 小 変 形 線 形 粘

弾 性

体

では_，

汎

関

数 型

と ひ

ず

み

速 度

型の

構 成 方 程 式

が

条

件 付

きで

一

致

して いる が，

非線

形

粘

弾性 体

において

も 同

じ よ う に

一

致 す

る か

ど

う か の

検

_討

を

行

い

，

理 論

の

統

一

的 表 現

を

目 指 す

こ と， で あ る。

一 85 − 一

N工 工

一

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