1
周期関数、三角関数の直交性
講義ノート置き場： http://sasuke.hep.osaka-cu.ac.jp/∼yousuke.itoh/lecture-notes.html 問題 1.1. 以下の問いに答えよ。 1. [0, π) で定義された関数 f (x) = x を周期 π の周期関数にせよ。 2. [0, π) で定義された関数 f (x) = x を奇関数に拡張し、さらに周期 2π の 周期関数にせよ。 3. [0, π) で定義された関数 f (x) = x を偶関数に拡張し、さらに周期 2π の 周期関数にせよ。 問題 1.2. Euler の公式を使って三角関数の和積の公式を導出せよ。 α を適当な実数とする。よく知られているように、 ∫ 2π+α α dx = 2π, (1.1a) ∫ 2π+α α cos mxdx = 0, (1.1b) ∫ 2π+α α sin mxdx = 0, (1.1c) ∫ 2π+α α cos nx cos mxdx = πδmn, (1.1d) ∫ 2π+α αsin nx sin mxdx = πδmn, (1.1e) ∫ 2π+α
α
cos nx sin mxdx = 0 (1.1f) である。これらの関係を三角関数系の直交性と呼ぶことがある。
1.1
周期関数、三角関数の直交性:解説
区間 [a, b) で定義された関数 f (x) を周期 L≡ b − a の周期関数にしたも のを fp(x) と書くとする。[a + nL, b + nL) において fp(x) は fp(x) = f (x− nL), a + nL ≤ x < b + nL (1.2) となる。 1. [0, π) で定義された関数 f (x) = x を周期 π の周期関数にせよ。 (答) f (x) を周期関数に拡張した関数を F (x) と表記すると、n を任意 の整数として nπ≤ x < (n + 1)π のときに F (x) = x − nπ である。こ れは、 F (x) = x− nπ for nπ ≤ x < (n + 1)π (n ∈ Z) (1.3) と書いても良い。 2. [0, π) で定義された関数 f (x) = x を奇関数に拡張し、さらに周期 2π の 周期関数にせよ。 (答) 奇関数に拡張した関数を fo(x) と書くと、fo(x) = x (−π ≤ x < π) である。これを周期 2π の周期関数に拡張した関数を Fo(x) と書くと、n を 任意の整数として (2nπ−1) ≤ x < (2n+1)π の範囲では Fo(x) = x−2nπ となる。 3. [0, π) で定義された関数 f (x) = x を偶関数に拡張し、さらに周期 2π の 周期関数にせよ。 (答) 偶関数に拡張した関数を fe(x) と書くと、fe(x) =|x| (−π ≤ x < π) である。これを周期 2π の周期関数に拡張した関数を Fe(x) と書くと、n を 任意の整数として (2nπ−1) ≤ x < (2n+1)π のときに Fe(x) =|x−2nπ| となる。 4. Euler の公式を使って三角関数の和積の公式を導出せよ。 (答)ei(m+n)x= cos(m + n)x + i sin(m + n)x
=eimxeinx= (cos mx + i sin mx)(cos nx + i sin nx)
=(cos mx cos nx− sin mx sin nx) + i(sin mx cos nx + cos mx sin nx) (1.4) より
5. 三角関数の和積の公式を使って三角関数系の直交関係を示せ。 (答) ∫ 2π+α α dx = 2π, (1.7) ∫ 2π+α α cos nxdx = 0, (1.8) ∫ 2π+α α sin nxdx = 0, (1.9) cos mx cos nx = 1 2[cos(m− n)x + cos(m + n)x] , (1.10) ∫ 2π+α α cos mx cos nxdx = 1 2 ∫ 2π+α α [cos(m− n)x + cos(m + n)x] dx = [ 1 2(m−n)sin(m− n)x + 1 2(m+n)sin(m + n)x ]2π+α α = 0 m̸= n π +4m1 sin 2mx|2π+αα = π m = n (1.11) sin mx cos nx = 1 2[sin(m + n)x + sin(m− n)x] , (1.12) ∫ 2π+α α sin mx cos nxdx =1 2 ∫ 2π+α α [sin(m− n)x + sin(m + n)x] dx = [ − 1 2(m− n)cos(m− n)x − 1 2(m + n)cos(m + n)x ]2π+α α = 0 (1.13) sin mx sin nx = 1 2[cos(m− n)x − cos(m + n)x] , (1.14) ∫ 2π+α α sin mx sin nxdx = 1 2 ∫ 2π+α α [cos(m− n)x − cos(m + n)x] dx = [ 1 2(m−n)sin(m− n)x − 1 2(m+n)sin(m + n)x ]2π+α α = 0 m̸= n π−4m1 sin 2mx|2π+αα = π m = n (1.15)
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簡単な関数のフーリエ級数
区間−π ≤ x < π で定義された関数 f(x) のフーリエ級数は、 an = 1 π ∫ π −π f (x) cos nxdx, (2.1) bn = 1 π ∫ π −π f (x) sin nxdx (2.2) をフーリエ係数として、 f (x)∼ a0 2 + ∞ ∑ n=1 (ancos nx + bnsin nx) (2.3) と書ける。 問題 2.1. −π ≤ x < π で定義された以下の関数のフーリエ級数を求めよ。 1. 奇関数 f (x) = x 2. 偶関数 f (x) =|x|2.1
簡単な関数のフーリエ級数: 解説
−π ≤ x < π で定義された以下の関数のフーリエ級数を求める。 1. 奇関数 f (x) = x (答) n を自然数として、 an= 1 π ∫ π −π x cos nxdx = [ 1 nπx sin nx ]π −π− 1 nπ ∫ π −π sin nxdx = [ 1 n2πcos nx ]π −π = 0 (2.4) bn= 1 π ∫ π −π x sin nxdx = [ −1 nπx cos nx ]π −π + 1 nπ ∫ π −π cos nxdx =−2(−1) n n (2.5) したがって、 f (x)∼ − ∞ ∑ n=1 2(−1)n n sin nx (2.6) 一般に奇関数のフーリエコサイン係数 anはゼロになる。コサイン cos nx (n∈ N) は偶関数であり、偶関数をいくら足しても奇関数は表現できな いだろうということ。 2. 偶関数 f (x) =|x| (答) a0は a0= 1 π ∫ π −π|x|dx = 2 π ∫ π 0 xdx = π (2.7) n≥ 1 では、n を自然数として、 an= 1 π ∫ π −π|x| cos nxdx = 2 π ∫ π 0 x cos nxdx = [ 2 nπx sin nx ]π 0 − 2 nπ ∫ π 0 sin nxdx = [ 2 n2πcos nx ]π 0 = 2((−1) n− 1) n2π (2.8) bn= 1 π ∫ π −π|x| sin nxdx = 0, (2.9)したがって、 f (x)∼π 2 + ∞ ∑ n=1 2((−1)n− 1) n2π cos nx =π 2 − ∞ ∑ k=0 4 (2k + 1)2πcos(2k + 1)x (2.10) 一般に偶関数のフーリエサイン係数 bnはゼロになる。
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簡単な関数のフーリエ変換その２
問題 3.1. [−π, π) で定義された以下の関数 g(x) のフーリエ級数を求めよ。 g(x) = −1, −π ≤ x < 0, 1, 0≤ x < π (3.1) 問題 3.2. 上の問題の g(x) は [−π, π) で定義された関数 f(x) = |x| の微分で ある。 g(x) = f′(x) (3.2) f (x) のフーリエ級数と g(x) のフーリエ級数との関係を述べよ。[ヒント：f (x) のフーリエ級数の各項を項別微分せよ。]3.1
簡単な関数のフーリエ級数その２：解説
1. [−π, π) で定義された以下の関数 g(x) のフーリエ級数を求める。 g(x) = −1, −π ≤ x < 0, 1, 0≤ x ≤ π (3.3) an= 1 π ∫ π −π dxg(x) cos nx = 0, (3.4) bn= 1 π ∫ π −π dxg(x) sin nx = 2 π ∫ π 0 dx sin nx = [ − 2 nπcos nx ]π 0 = 2(1− (−1) n) nπ (3.5) よって g(x)∼ ∞ ∑ n=1 2(1− (−1)n) nπ sin nx = ∞ ∑ k=0 4 (2k + 1)πsin(2k + 1)x (3.6) 2. |x| のフーリエ級数は |x| ∼ π 2 − ∞ ∑ k=0 4 (2k + 1)2πcos(2k + 1)x (3.7) である。右辺を項別微分できるとすると、 d dx(右辺) = ∞ ∑ k=0 4 (2k + 1)πsin(2k + 1)x (3.8) となって、g(x) のフーリエ級数と等しい。4
偶関数・奇関数のフーリエ級数
[−π, π) で定義された積分可能な関数 f(x) を考える。f(x) が偶関数である とき、f (x) のフーリエ係数を計算してみよう。anは an = 1 π ∫ π −π f (x) cos nxdx = 1 π ∫ π 0 f (x) cos nxdx + 1 π ∫ 0 −π f (x) cos nxdx 第２項の積分で、x =−t と変数変換すると、 an = 1 π ∫ π 0 f (x) cos nxdx− 1 π ∫ 0 π f (−t) cos(−nt)dt 第２項の積分で、f (−t) = f(t) に注意して、 an= 1 π ∫ π 0 f (x) cos nxdx + 1 π ∫ π 0 f (t) cos ntdt = 2 π ∫ π 0 f (x) cos nxdx bnは bn = 1 π ∫ π −π f (x) sin nxdx x =−t と変数変換して、f(−t) = f(t) と sin(−nt) = − sin nt を使うと、 bn =− 1 π ∫ −π π f (t)(− sin nt)dt = −1 π ∫ π −π f (t) sin ntdt =−bn したがって、f (x) が偶関数であるとき、f (x) のフーリエ係数は an= 2 π ∫ π 0 f (x) cos nxdx, (4.1a) bn= 0, (4.1b) となる。 問題 4.1. [−π, π) で定義された関数 f(x) が奇関数であるとき、f(x) のフー リエ係数が以下のように書けることを示せ。 an = 0, (4.2) bn = 2 π ∫ π 0 f (x) sin nxdx (4.3) 問題 4.2. [−π, π) で定義された以下の関数のフーリエ係数を求めよ。 (1) x2 (2) x3 (4.4) 問題 4.3. [−π, π) で定義された以下の関数は区分的に連続な関数か？「はい」 か「いいえ」で答えよ。また、不連続点がある場合、不連続点における左右 極限値を答えよ。 (1) tan x (2) x3 (3) 問題 3.1 の関数 (4.5)4.1
偶関数・奇関数のフーリエ級数:解説
1. [−π, π) で定義された関数 f(x) が奇関数であるとする。anは an= 1 π ∫ π −π dxf (x) cos nx 積分区間を２つに分けて、 = 1 π ∫ π 0 dxf (x) cos nx + 1 π ∫ 0 −π dxf (x) cos nx 区間 [−π, 0] にわたる積分で積分変数を y = −x と変換して = 1 π ∫ π 0 dxf (x) cos nx + 1 π ∫ 0 π (−dy)f(−y) cos(−ny) 奇関数の性質 f (−y) = −f(y) を使うと = 1 π ∫ π 0 dxf (x) cos nx− 1 π ∫ π 0dyf (y) cos ny = 0 (4.6) bnも同様にすると、 bn= 1 π ∫ π −π f (x) sin nxdx 積分区間を２つに分けて、 = 1 π ∫ π 0 dxf (x) sin nx + 1 π ∫ 0 −π dxf (x) sin nx 区間 [−π, 0] にわたる積分で積分変数を y = −x と変換して = 1 π ∫ π 0 dxf (x) sin nx + 1 π ∫ 0 π (−dy)f(−y) sin(−ny) 奇関数の性質 f (−y) = −f(y) を使うと = 1 π ∫ π 0 dxf (x) cos nx +1 π ∫ π 0
dyf (y) cos ny = 2 π ∫ π 0 dxf (x) cos nx (4.7) より題意を得る。 2. [−π, π) で定義された以下の関数のフーリエ係数を求める。
(a) f (x) = x2 偶関数なので bn= 0。anは a0= 2 π ∫ π 0 x2dx = 2 3π 2, (4.8) an = 2 π ∫ π 0 x2cos nxdx = 4(−1) n n2 , (n > 0 のとき) (4.9) (b) f (x) = x3 奇関数なので an= 0。bnは bn= 2 π ∫ π 0 x3sin nxdx = 2(−1) n n ( 6 n2 − π 2 ) (4.10) 3. [−π, π) で定義された以下の関数が区分的に連続な関数か否かを答える。 また、不連続点がもしあればその左右極限値を求める。 (a) tan x は x =±π/2 で発散するので、区分的に連続な関数ではない。 lim x→π/2+0 =−∞, lim x→π/2−0 =∞, (4.11) lim x→−π/2+0=∞, x→−π/2−0lim =−∞, (4.12) (b) x3は区分的に連続な関数であり、区間 [−π, π) において不連続点 はない。 (c) g(x) = sgn(x) は区分的に連続な関数であり、区間 [−π, π) におい ては、x = 0 で不連続である。 lim x→+0= 1, xlim→−0=−1 (4.13)
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デルタ関数
有限和 Dn(x)≡ 1 2+ n ∑ k=1 cos kx (5.1) をディリクレ核と呼ぶ。 問題 5.1. n によらず ∫ π −π 1 πDn(x)dx = 1 (5.2) であることを確かめよ。 問題 5.2. デルタ関数を周期 2π に拡張した δp(x) = ∞ ∑ n=−∞ δ(x− 2πn) (5.3) という関数のフーリエ級数を求めよ。 問題 5.3. f (x) = x (−π ≤ x < π) を周期 2π の周期関数に拡張した関数の フーリエ級数は f (x)∼ − ∞ ∑ n=1 2(−1)n n sin nx (5.4) と求まった。f (x) を各項微分した級数をディリクレ核 Dn(x) を使って表せ。 また、f (x) を各項微分した級数のグラフを描け (デルタ関数は y 軸に並行な 線分で表して良い)。5.1
デルタ関数:解説
1. Dn(x) の定義式より、 ∫ π −π Dn(x)dx = ∫ π −π ( 1 2+ n ∑ k=1 cos kx ) dx = π (5.5) これは n によらない。 2. an= 1 π ∫ π −π δp(x) cos nxdx = 1 π ∫ π −π (· · · + δ(x + 2π) + δ(x) + δ(x − 2π) + · · · ) cos nxdx = 1, (5.6) bn= 1 π ∫ π −π δp(x) sin nxdx = 1 π ∞ ∑ n=−∞ ∫ π −π δ(x− 2nπ) cos nxdx = 0, (5.7) より δp(x)∼ 1 2+ ∞ ∑ n=1 cos nx = Dn(x) (5.8) (ただし、デルタ関数の無限和を項別積分するという乱暴なことをして いる。) 3. f (x) を項別微分すると、 f′(x)∼ − ∞ ∑ n=1 2(−1)ncos nx =− ∞ ∑ n=1 2 cos nπ cos nx =− ∞ ∑ n=1 {cos(nx + nπ) + cos(nx − nπ)} = 1− { 1 2 + ∞ ∑ n=1 cos(nx + nπ) +1 2 + ∞ ∑ n=1 cos(nx− nπ) } = 1− Dn(x− π) − Dn(x + π) (5.9)6
収束性
問題 6.1. [−π, π) で定義された以下の区分的になめらかな関数 f(x) を考え る。f (x) のフーリエ級数 S(x) について以下の問いに答えよ。 1. x = 0 で不連続な関数 f (x) = sgn(x) + 1 のフーリエ級数 S(x) の x = 0 における値 S(0) を答えよ。 2. x = 0 で連続な f (x) = cosh(sin2|x|) のフーリエ級数 S(x) の x = 0 に おける値 S(0) を答えよ。 問題 6.2. 以下の問いについて、理由とともに答えを述べよ。 1. [−π, π) で定義された関数 f(x) = |x|1/2は区分的に連続な関数か？ 2. [−π, π) で定義された関数 f(x) = |x|1/2は区分的に滑らかな関数か？ 問題 6.3. 問題 4.3 で x2と x3のフーリエ級数が、 x2∼ π 3 + ∞ ∑ n=1 4(−1)n n2 cos nx, (6.1) x3∼ ∞ ∑ n=1 2(−1)n n ( 6 n2 − π 2 ) sin nx (6.2) と求まった。x3/3 のフーリエ級数の項別微分 1 3 d dx ∞ ∑ n=1 2(−1)n n ( 6 n2 − π 2 ) sin nx = ∞ ∑ n=1 ( 4(−1)n n2 − 2(−1)nπ2 3 ) cos nx (6.3) が x2のフーリエ級数に一致しない理由を考察して述べよ。6.1
収束性：解説
1. 区分的に滑らかな関数のフーリエ級数は、関数が連続なときにはその 関数の値、関数が不連続なときには右極限値と左極限値の平均に一致 する。 1. S(0) = f (+0) + f (−0) 2 = sgn(+0) + 1 + sgn(−0) + 1 2 = 1 + 1 + (−1) + 1 2 = 1, (6.4) 2. S(0) = f (0) = cosh(sin2|0|)) = cosh 0 = 1, (6.5) 2. (a) |x|1/2は [−π, π) で有界で区分的に連続。 (b) |x|1/2の微分 sgn(x)/(2|x|1/2) は x = 0 で発散するので、区分的に 滑らかな関数ではない。 3. [−π, π) で定義された関数 f(x) の周期 2π の周期関数への拡張は、階段 関数 Θ(x) を使って F (x)≡ ∞ ∑ n=−∞ f (x− 2nπ)Θ(x − (2n − 1)π)Θ((2n + 1)π − x) (6.6) とかける。f (x) = x3/3 のときにこれを項別微分すると、 F′(x)≡ ∞ ∑ n=−∞ { (x− 2nπ)2Θ(x− (2n − 1)π)Θ((2n + 1)π − x) +(x− 2nπ) 3 3 δ(x− (2n − 1)π)Θ((2n + 1)π − x) −(x− 2nπ)3 3 Θ(x− (2n − 1)π)δ((2n + 1)π − x) } (6.7) この関数のフーリエ級数は n = 0 のとき、 a0= 1 π ∫ π −π dx ( x2+x 3 3 δ(x + π)− x3 3 δ(π− x) ) =2π 2 3 − π2 3 − π2 3 = 0 (6.8) n > 0 のとき an= 1 π ∫ π −π dx ( x2+x 3 3 δ(x + π)− x3 3 δ(π− x) ) cos nx = 4(−1) n n2 − 2(−1)nπ2 3 , (6.9) bn= 0, (6.10) 以上より、 F′(x)∼ ∞ ∑ n=1 ( 4(−1)n n2 − 2(−1)nπ2 3 ) cos nx (6.11)つまり、関数 x3のフーリエ級数の項別微分が x2のフーリエ級数に一致
しない理由は、x3を周期 2π の周期関数に拡張した関数の x = (2n+1)π
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パーセバルの等式、一般区間のフーリエ級数
区分的に連続な関数のフーリエ級数 f (x)∼a0 2 + ∞ ∑ n=1 (ancos nx + bnsin nx) (7.1) は平均収束し、以下の Parseval (パーセバル) の等式が成り立つ。 1 π ∫ π −π{f(x)} 2dx = a20 2 + ∞ ∑ n=1 (a2n+ b2n) (7.2) 問題 7.1. [−π, π) で連続かつ区分的なめらかな関数 x2を周期 2π の周期関数 に拡張した関数のフーリエ級数は x2= π 2 3 + ∞ ∑ n=1 4(−1)n n2 cos nx (7.3) である。この結果から以下を示せ。 ∞ ∑ n=1 1 n2 = π2 6 , (7.4a) ∞ ∑ n=1 1 n4 = π4 90, (7.4b) 関数 g(x) が a≤ x < b (b − a = L > 0) で定義される関数を周期 L の周 期関数に拡張した関数のフーリエ級数は an= 2 L ∫ b a g (ξ) cos2πnξ L dξ, (7.5a) bn= 2 L ∫ b a g (ξ) sin2πnξ L dξ (7.5b) というフーリエ係数によって g(x)∼ a0 2 + ∞ ∑ n=1 ( ancos 2πnx L + bnsin 2πnx L ) (7.6) と定義される。 問題 7.2. [−L/2, L/2) で定義された以下の関数を周期 L の周期関数に拡張 した関数のフーリエ級数を求めよ。 (1) x2 (2) x3 (7.7)7.1
収束性：解説
1. 以下を示す。 ∞ ∑ n=1 1 n2 = π2 6 , (7.8a) ∞ ∑ n=1 1 n4 = π4 90, (7.8b) まず x2= π 2 3 + ∞ ∑ n=1 4(−1)n n2 cos nx (7.9) に x = π を代入して、 π2=π 2 3 + ∞ ∑ n=1 4 n2 (7.10) よって π2 6 = ∞ ∑ n=1 1 n2 (7.11) また、x2のフーリエ級数にパーセバルの等式を適用する。x2のフーリ エ係数は a0= 2π2 3 , (7.12) an= 4(−1)n n2 , (7.13) bn= 0, (7.14) これより 1 π ∫ π −π{x 2}2dx = 2π4 5 , (7.15) a2 0 2 + ∞ ∑ n=1 (a2n+ b2n) = 1 2 ( 2π2 3 )2 + ∞ ∑ n=1 ( 4(−1)n n2 )2 = 2π 4 9 + 16 ∞ ∑ n=1 1 n4 (7.16) よって π4 90 = ∞ ∑ n=1 1 n4 (7.17)2. (a) [−L/2, L/2) で定義された関数 x2のフーリエ級数を求める。 an= 2 L ∫ L/2 −L/2 x2cos2πnx L dx, (7.18a) bn= 2 L ∫ L/2 −L/2 x2sin2πnx L dx (7.18b) ξ = 2πx/L とおくと ˜an, ˜bnを関数 x2が [−π, π) で定義された場合 のフーリエ係数として、 an= L2 4π2 1 π ∫ π −π ξ2cos nξdξ = L 2 4π2˜an, (7.19a) bn= L2 4π2 1 π ∫ π −π ξ2sin nξdξ = L 2 4π2˜bn (7.19b) [−π, π) で定義された関数 x2のフーリエ級数は問題 4.2 で求めて いるのでそれを使って、 x2= L 2 12 + ∞ ∑ n=1 L2(−1)n n2π2 cos 2πnx L (7.20) (b) [−L/2, L/2) で定義された関数 x3のフーリエ級数を求める。x2の ときと同様にして、 an = ( L 2π )3 ˜ an, (7.21a) bn = ( L 2π )3 ˜b n (7.21b) [−π, π) で定義された関数 x3のフーリエ級数は問題 4.2 で求めて いるのでそれを使って、 x3∼ ∞ ∑ n=1 L3(−1)n 4π3n ( 6 n2 − π 2 ) sin2πnx L (7.22)
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一般区間、複素形式のフーリエ級数、他
問題 8.1. 以下の関数を周期 L の周期関数に拡張した関数のフーリエ級数を 求めよ。 1. [−L/2, L/2) で定義された関数 f(x) = x。 2. [0, L) で定義された関数 f (x) = x。 問題 8.2. [−L/2, L/2) で定義された関数 f(x) = x を周期 L の周期関数に拡 張した関数のフーリエ級数を複素形式で求めよ。 問題 8.3. 区間 [−π, π) において区分的に滑らかな実数値関数 f(x), g(x) の フーリエ係数を (am, bm),(cm, dm) とするとき、 1 π ∫ π −π f (x)g(x)dx = 1 2a0c0+ ∞ ∑ n=1 (ancn+ bndn) (8.1) が成り立つことを示せ。8.1
一般区間、複素形式のフーリエ級数、他:解説
1. 以下の関数のフーリエ級数を求める。 (a) [−L/2, L/2) で定義された関数 f(x) = x のフーリエ級数を求める。 a0= 2 L ∫ L/2 −L/2 xdx = 0, (8.2) an= 2 L ∫ L/2 −L/2 x cos2nπx L dx = 0, (8.3) bn= 2 L ∫ L/2 −L/2 x sin2nπx L dx = 2 L [ − L 2nπx cos 2nπx L ]L/2 −L/2 + 1 nπ ∫ L/2 −L/2 cos2nπx L dx =−(−1) nL nπ (8.4) よって x∼ − ∞ ∑ n=1 (−1)nL nπ sin 2nπx L (8.5) (b) [0, L) で定義された関数 f (x) = x。 a0= 2 L ∫ L 0 xdx = L, (8.6) an= 2 L ∫ L 0 x cos2nπx L dx = 2 L [ L 2nπx sin 2nπx L ]L 0 − 1 nπ ∫ L 0 sin2nπx L dx =− 1 nπ [ − L 2nπcos 2nπx L ]L 0 = 0 (8.7) bn= 2 L ∫ L 0 x sin2nπx L dx = 2 L [ − L 2nπx cos 2nπx L ]L 0 + 1 nπ ∫ L 0 cos2nπx L dx =−L nπ (8.8) よって x∼L 2 − ∞ ∑ n=1 L nπ sin 2nπx L (8.9)2. [−L/2, L/2) で定義された関数 f(x) = x のフーリエ級数を複素形式で 求める。 c0= 1 L ∫ L/2 −L/2 xdx = 0, (8.10) cn = 1 L ∫ L/2 −L/2 x exp ( −2nπix L ) dx = 1 L [ − L 2nπix exp ( −2nπix L )]L/2 −L/2 + 1 2nπi ∫ L/2 −L/2 exp ( −2nπix L ) dx =i(−1) nL 2nπ (8.11) よって x∼ ∞ ∑ n=−∞,n̸=0 i(−1)nL 2nπ exp ( 2nπix L ) (8.12) 3. 区間 [−π, π) において区分的に滑らかな実数値関数 f(x), g(x) のフーリ エ係数を (am, bm),(cm, dm) とするとき、 1 π ∫ π −π f (x)g(x)dx = 1 2a0c0+ ∞ ∑ n=1 (ancn+ bndn) (8.13) が成り立つことを示す。 1 π ∫ π −π f (x)g(x)dx = 1 π ∫ π −π dxf (x) ( c0 2 + ∞ ∑ n=1 (cncos nx + dnsin nx) ) = c0 2π ∫ π −π dxf (x) +1 π ∞ ∑ n=1 ( cn ∫ π −π dxf (x) cos nx + dn ∫ π −π dxf (x) sin nx ) =a0c0 2 + ∞ ∑ n=1 (ancn+ bndn) (8.14) より題意を得る。
9
偏微分方程式
問題 9.1. 左端で一定温度 T0、右側で 0 度の場合の熱伝導方程式 ∂u(x, t) ∂t = k ∂2u(x, t) ∂x2 , (9.1a) u(x, 0) = f (x), (0≤ x ≤ L), (初期条件) (9.1b) u(0, t) = T0, u(L, t) = 0, (境界条件) (9.1c) の解を求めよ。また、 f (x) = T0 ( L− x L )3 (9.2) のときに、結果を図示せよ。 問題 9.2. 一様な金属の輪っかについて、温度の時間変化を熱伝導方程式を 使って求める。円周上の角度座標を x で表すと、境界条件は周期境界条件と なる。 ∂u(x, t) ∂t = k ∂2u(x, t) ∂x2 , (9.3a) u(x, 0) = f (x), (0≤ x < 2π), (初期条件) (9.3b) u(0, t) = u(2π, t), ∂u(0, t)∂x =
∂u(2π, t)
∂x , (境界条件) (9.3c)
9.1
偏微分方程式：解説
1. 左端で一定温度 T0、右側で 0 度の場合の熱伝導方程式 ∂u(x, t) ∂t = k ∂2u(x, t) ∂x2 , (9.4a) u(x, 0) = f (x), (0≤ x ≤ L), (初期条件) (9.4b) u(0, t) = T0, u(L, t) = 0, (境界条件) (9.4c) の解を求める。また、 f (x) = T0 ( L− x L )3 (9.5) のときに、結果を図示する。 (答) 線形微分方程式であるから、２つの解の重ね合わせはやはり偏微 分方程式を満たす。そこで、ある解 u1(x) が ∂u1(x, t) ∂t = k ∂2u 1(x, t) ∂x2 , (9.6a) u1(x, 0) = g(x), (0≤ x ≤ L), (初期条件) (9.6b) u1(0, t) = T0, u1(L, t) = 0, (境界条件) (9.6c) を満たすとする。すると、u2を ∂u2(x, t) ∂t = k ∂2u 2(x, t) ∂x2 , (9.7a) u2(x, 0) = f (x)− g(x), (0 ≤ x ≤ L), (初期条件) (9.7b) u2(0, t) = 0, u2(L, t) = 0, (境界条件) (9.7c) を満たすように構成すれば u = u1+ u2は元の問題の解になる。u2に 対する問題はすでに解いているので、最初の問題を考えると、 u1(x, t) =− T0 Lx + T0 (9.8) が解であることはすぐわかる。 ただしこのとき g(x) =−T0 Lx + T0 (9.9) である。以上より、 u(x, t) =−T0 Lx + T0+ ∞ ∑ Anexp ( −kπ2n2t L2 ) sinπnx L (9.10)ただし、 An= 2 L ∫ L 0 ( f (x) + T0 Lx− T0 ) sinπnx L dx (9.11) さらに f (x) = T0 ( L− x L )3 (9.12) のときは具体的な計算によって、 An = 2T0 L ∫ L 0 (( L− x L )3 + x L− 1 ) sinπnx L dx = 2T0 ∫ 1 0 ( (1− ζ)3+ ζ− 1)sin πnζdζ =−12T0 n3π3 (9.13) を得る。ただし、ζ = x/L とおいた。よって u(x, t) =−T0 Lx + T0− 12T0 π3 ∞ ∑ n=1 1 n3exp ( −kπ2n2t L2 ) sinπnx L (9.14) を得る。 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 図 1: 式 (9.14) で、100 項を足した部分和を図示したもの。ただし、横軸に x/L、縦軸に u(x, t)/T0、時間の単位を L2/(kπ2) としている。赤は t = 0 の ときで、加えて f (x) も図示している (が区別がつかない)。緑色と茶色はそれ ぞれ t/(L2/(kπ2)) = 0.02, 0.1。 2. 一様な金属の輪っかについて、温度の時間変化を熱伝導方程式を使って 求める。円周上の角度座標を x で表すと、境界条件は周期境界条件と なる。 ∂u(x, t) ∂t = k ∂2u(x, t) ∂x2 , (9.15a) u(x, 0) = f (x), (0≤ x < 2π), (初期条件) (9.15b) u(0, t) = u(2π, t), ∂u(0, t)
∂x =
∂u(2π, t)
ただし、f (x + 2π) = f (x) を満たすとする。このときの解を求める。
(答) 変数分離して
u(x, t) = e−kλ2t(Aeiλx+ Be−iλx), λ̸= 0,
u(x, t) = Ax + B, λ = 0
(9.16)
を得る。λ = 0 の解は境界条件を課すと u(x, t) =(定数) という解を得 る。λ̸= 0 の解は
u(0, t) = e−kλ2t(A + B) = e−kλ2t(Aei2πλ+ Be−i2πλ) = u(2π, t) (9.17a) ∂u(0, t)
∂x = e −kλ2t
iλ(A− B) = e−kλ2tiλ(Aei2πλ− Be−i2πλ) = ∂u(2π, t) ∂x (9.17b) より最初の条件から
B(1− e−2πiλ) = A(e2πiλ− 1) (9.18) ２番目の条件から、
B(1− e−2πiλ) = A(1− e2πiλ) (9.19) よって e2πiλ= 1 (9.20) したがって λ = n (整数) を得る。以上より、定数解も加えて u(x, t) = a0 2 + ∞ ∑ n=1 e−kλ2t(ancos nx + bnsin nx) (9.21) が境界条件を満たす解である。初期条件を満たすには、an, bnが f (x) のフーリエ係数であれば良い。（直接に計算したけども、この問題の解 はほとんど自明だろう。）
10
偏微分方程式その２
問題 10.1. 辺の長さ Lx, Lyの長方形の膜を張った太鼓の振動を考える。微 分方程式、初期条件と境界条件は、 − 1 c2 s ∂2u(x, y, t) ∂t2 + ∂2u(x, y, t) ∂x2 + ∂2u(x, y, t) ∂y2 = 0, (10.1a)u(x, y, 0) = f (x, y), ∂u(x, y, 0)
∂t = 0, (10.1b)
u(0, y, t) = u(Lx, y, t) = u(x, 0, t) = u(x, Ly, t) = 0, (10.1c) とする。f (x, y) = x(Lx− x)y(Ly− y) のときフーリエ級数の形で (10.1) 式 の解を求めよ。
11
偏微分方程式その
3
問題 11.1. 24 時間周期で太陽光が地面に照射するときの、地面下の温度変 化を知りたい。簡単のため、半無限の固体 (0≤ x < ∞) の表面の温度が周期 的に変わるというモデルを考える。 ∂u(x, t) ∂t = k ∂2u(x, t) ∂x2 , (11.1a)u(0, t) = ∆T0sin ωt, lim
x→∞u(x, t) = 0, (境界条件) (11.1b) としたときの解を求めよ1。また、様々な t について図を描け。ただし、ω = 2π/86400[Hz] とする2。 問題 11.2. 領域 D ={(x, y)|0 ≤ x ≤ Lx, 0≤ y ≤ Ly} においてラプラス方 程式の境界値問題 ∂2u(x, y) ∂x2 + ∂2u(x, y) ∂y2 = 0, (11.2) u(0, y) = 0, u(Lx, y) = 0, (11.3) ∂u(x, 0) ∂y = 0, ∂u(x, Ly) ∂y = sin πx Lx (11.4) を解け。また、得られた解の最大値・最小値とそれらを与える (x, y) の値を 答えよ。 1この ∆ は T 0と合わさって、∆T0で一つの量をあらわし、温度の変化量という意味で、ラ プラシアンではない。十分地下での温度が一定としてそれを「ゼロ度」とし、「ゼロ度」からの ズレを ∆T0としている。
