数学 t t t t t 加法定理 t t t 倍角公式加法定理で α=β と置く. 三角関数

１．三角関数 (1) 基本関係













tan cot , sin cosec , cos sec  1  1  1













2 2 2 2 2 2 1 1 1 cosec cot , sec tan sin cos       (2) 還元公式     

 ) cos , sin( ) sin , tan( ) tan

cos(               

 ) cos , sin( ) sin , tan( ) tan

cos(                

 ) cos , sin( ) sin , tan( ) tan

cos(                

 ) sin , sin( ) cos , tan( ) cot

cos(       2 2 2        

 ) sin , sin( ) cos , tan( ) cot

cos(        

2 2





































tan tan tan tan ) tan( sin sin cos cos ) cos( sin cos cos sin ) sin(   1           (3) 加法定理































2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 tan cos cos , cos sin ) sin cos ( cos sin sin cos cos cos sin sin                (4) 倍角公式 加法定理で_{α＝βと置く} １．三角関数

１．三角関数 (5) 積和公式











cos( ) cos( )



sin sin ) cos( ) cos( cos cos ) sin( ) sin( cos sin





































             2 1 2 1 2 1 (6) 和積公式 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

















































                 sin cos sin sin cos sin sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos

１．三角関数 (7) 合成 ) sin( ), sin( _{1 2 2 2} 1 1 V t  v V t  v 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2



















cos cos sin sin tan ) cos( ) sin(

V

V

V

V

V

V

V

V

V

t

V

v

v

           (8) べき乗 ) cos cos (cos cos ), cos (cos cos ), cos (cos cos ), (cos cos 10 3 5 5 16 1 3 2 4 4 8 1 3 3 4 1 1 2 2 1 5 4 3 2          

























１．三角関数 (8) べき乗（続き） ) cos cos cos ( sin ) sin sin (sin sin ), cos (cos sin ), sin sin ( sin ), cos ( sin 10 2 15 4 6 6 32 1 10 3 5 5 16 1 3 2 4 4 8 1 3 3 4 1 1 2 2 1 6 5 4 3 2                 

































２．関数一般 (1) 対数関数 (2) 双曲線関数

a

X

X

X

p

X

Y

X

Y

X

Y

X

XY

b b a a p a a a a a a a log log log log log log log log , log log log       …底の変換公式 x x x x x x x x

x

x

x

  _        e e e e tanh , e e sinh , e e cosh 2 2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

tanh coth , sinh cosech , cosh sech  1  1  1 ｘ：実数・複素数

２．関数一般 (2) 双曲線関数（続き） x j jx x

jx cos , sinh sin

cosh  

j

e

e

x

e

e

x

jx jx jx jx 2 2   _    , sin cos x j jx x

jx cosh , sin sinh

cos  

３．行列演算 (1) 積の演算 (2) 転置行列 BC AC C B A AC AB C B A(  )   , (  )                 4 3 2 1 4 3 2 1 b b b b B a a a a A ,                         4 4 2 3 3 4 1 3 4 2 2 1 3 2 1 1 4 3 2 1 4 3 2 1 b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b a a a a AB                4 2 3 1 4 3 2 1 a a a a A a a a a A , ₍

_AB

_{) }

_B

_

_A

_

A

A

 

A

A

 転置行列の積は、下記が成り立つ が成り立つ行列Ａを「対称行列」という

３．行列演算 (3) 逆行列 (4) 固有値・固有ベクトル               1 0 0 1 E d c b a A , ) ( 0 1               

bc

ad

D

a

c

b

d

D

X

E

XA

AX

 O E bc ad A d a A2 (  )  (  )  _{ケイリー・ハミルトンの定理} 逆行列はどちらから掛 けても同じ結果              y x y x A  となるような x=y=0 でないベクトルがあるとき、_{固有値、(x,y)を固有ベクトルという} λをＡの 0 2 (a d )x  (ad bc )  x 固有値λの求め方：２次方程式 の解

４．微分 (1) 関数の微分

 

x p   px p1

ax

a

ax

ax

a

ax

ax

a

ax

2 sec ) (tan sin ) (cos cos ) (sin       

x

a

ax

ax

ax

a

ax

ax

ax

a

ax

2 cosec ) (cot cot cosec ) (cosec tan sec ) (sec        





) , ( log ln ) (log , ) (ln ) ( ln ) ( ), exp( ) exp( 1 0 1 1 0            

a

a

x

e

a

x

x

x

x

a

a

a

a

ax

a

ax

a a x x

ax

a

ax

ax

a

ax

ax

a

ax

2 sech ) (tan sinh ) (cosh cosh ) (sinh      

ax

a

ax

ax

ax

a

ax

ax

ax

a

ax

2 cosech ) (coth coth cosech ) (cosech tanh sech ) (sech         

４．微分 (2) 組合せ関数の微分

   





       

 



x



p



 

x



 

x

x

x

x

x

x

x

x

p p _{f f} f d d g f g f g f        1





2

 

2 1 ) f( ) ( f ) f( , ) g( ) ( g ) f( ) g( ) ( f ) g( ) f( x x x x x x x x x x                      (3) 合成関数の微分 ) g( ), f(u u x y   ) ( g ) ( f d d d d d d

_u

_x

x

u

u

y

x

y

_{ }    ) h( ), g( ), f(u u v v x y    ) ( h ) ( g ) ( f d d d d d d d d

_u

_v

_x

x

v

v

u

u

y

x

y

_{  }    

４．微分 ) g( ), f(t x t y         _     0

t

x

t

t

t

x

t

y

x

y

d d , ) ( g ) ( f d dd d d d ) f(y x            1 1 0

y

x

y

y

x

x

y

d d , ) ( f d d d d (4) 媒介変数関数の微分 (5) 逆関数の微分

５．積分 (1) 関数の不定積分 ) ( ) ( d ) ( , d 1 1 1 1 1 1            







C

p

p

b

ax

a

x

b

ax

C

p

x

x

x

p p p p

C

b

ax

a

b

ax

x

C

x

x

x

      





d ln , d 1 ln

C

x

x

x

C

x

x

x

C

x

x

x

       







cos ln d tan , cos d sin , sin d cos

C

x

x

x

x

x

C

x

x

x

x

x

                     









2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 sin d ) cos ( d sin sin d ) cos ( d cos ) , ( ln d , e d e  



  0   1



C

a

a

a

a

x

a

C

x

x x x x

５．積分 (1) 関数の不定積分（続き）

C

x

x

x

x

x

x

C

x

x

x

x

x

x

     





cos sin d sin sin cos d cos

C

a

x

x

a

x

C

a

x

x

a

x

       _{ }          _{ }  





2 2 2 2 2 2 ln x d ln x d 2 2 ) , ( ln ) (ln d log ) (ln d ln 1 0 1 1        





a

a

C

a

x

x

x

x

C

x

x

x

x

a

５．積分 (2) 組合せ関数の不定積分

 

 

C

x

x

x

x

p

C

p

x

x

x

x

p p         





 ) f( ln d ) f( ) ( f ) ( ) f( d ) ( f ) f( 1 1 1





x



x



x

x

x

x

x

d f g( ) g ( )d d d ) g( f d ) f( ), g(    























        

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

d ) ( f ) f( d ) f( ) g( d ) g( ) ( f ) g( ) f( d ) ( g ) f(

５．積分 (3) 様々な定積分 3 2 6 ( ) d ) )( ( d ) ( 









     



    



ax

bx

c

x

a

x

x

x

a

) , tan , , ( d ) ( ad ) ( d 2 0 0 0 0 2 0 4 1 0 2 2 0 2 2 0 2 2













              







p

p

a

a

a

x

x

a

a

x

x

a

a

a

x

x

pa a ) ( d e , d e

a

a

x

x

a

x

ax ax _{  }





    0 4 1 2 1 3 0 2 0 2 2





) ( d sin , d cos 0 2 0 0 0 2 0 



 



 k

kx

x

 k

kx

x

k

2 2 6 4 2 1 2 5 3 1 2 0 2 2 0 2 



        





n

x

x

n

x

x

n

_n

 ( ) d sin d cos

５．積分 (3) 様々な定積分（続き）



           0 2 2 0 ) odd ( ) even ( cos sin 2 _n m n m mm n nxdx mx







          



2 0 2 0 2 0 0 0

x

nx

mx

n

m

n

m

x

nx

mx

x

nx

mx

d sin cos ) ( ) ( d sin sin d cos cos       





cos cos d sin sin d ( ₍ ) ₎

n m n m x nx mx x nx mx 2 0 0 0   

６．数列・級数 (1) 等差数列 数列の和 一般項 a_n a (n ₁)d 1    初項をａ_１、公差をｄとする。



a

n

d



n

a

S

n i i n 2 ( 1) 2 1 1    



 (2) 等比数列 初項をａ_１、公比をｒとする。 数列の和 一般項

a

_n 

a

₁

r

n1 ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1       





r

na

S

r

r

r

a

a

S

n n n i i n 無限等比数列の和（但し|ｒ|＜１） a S S  

６．数列・級数 (3) 関数のテーラー展開



1



1 2 1 1 1 x )k   kx  k(k  )x 2  x  (



         0 4 3 2 1 4 1 3 1 2 1 1 n n x _x n x x x x ! ! ! ! e 



   _{  }        0 1 3 2 1 1 1 1 3 1 2 1 1 n n n _{x n} n x x x x ) ( ) ( ) ln( 



1



1 1

x

)1  

x



x

2 

x

3 

x

4 

x

 (



1



5 4 3 2 1 1

x

)2  

x



x

2 

x

3 

x

4 

x

 (



   _{      } 0 4 3 2 1 4 1 3 1 2 1 1 n n x _x n x x x x ! ! ! ! e 

６．数列・級数 (3) 関数のテーラー展開（続き）



        0 2 6 4 2 2 6 1 4 1 2 1 1 n n n x x x x x ! ! ! ! cosh 



          0 1 2 7 5 3 1 2 7 1 5 1 3 1 n n n x x x x x x )! ( ! ! ! sinh       

x

1

x

3 2

x

5 17

x

7

x

tanh



         0 2 6 4 2 2 1 6 1 4 1 2 1 1 n n n n x x x x x ! ) ( ! ! ! cos 



           0 1 2 7 5 3 1 2 1 7 1 5 1 3 1 n n n n x x x x x x )! ( ) ( ! ! ! sin        3 5 7 315 17 15 2 3 1

_x

_x

_x

x

x

tan

７．ベクトル解析 (1) 内積・外積 ) , , ( ), , , (

x

_a

y

_a

z

_a 

x

_b

y

_b

z

_b  B A  z y x i i i B A    (

y

_a

z

_b 

z

_a

y

_b )  (

z

_a

x

_b 

x

_a

z

_b )  (

x

_a

y

_b 

y

_a

x

_b ) C A B A C B A B A B A B A A B B A A A A                                     ) ( ) ( ) ( ) ( , ,

k

k

k

2 b a b a b ax y y z z x      B A B cos A    内積について、以下が成り立つ 内積： 外積： C A B A C B A B A B A B A A B B A 0 A A B A B A                                             ) ( ), ( ) ( ) ( , , , sin k k k  外積について、以下が成り立つ ΘをＡ、Ｂのなす角とする

７．ベクトル解析 (2) 座標変換 2次元平面 ｘ,ｙ⇔ｒ,θ                                         θ r y x y x θ r i i i i i i i i

















cos sin sin cos , cos sin sin cos ｘ,ｙ→ｒ,θ ｒ,θ→ｘ,ｙ 3次元空間 ｘ,ｙ,ｚ→ｒ,θ,ｚ（円筒座標）                                 z y x z φ r i i i i i i 1 0 0 0 0









cos sin sin cos 3次元空間 ｘ,ｙ,ｚ→ｒ,θ,ψ（球面座標）                           y x θ r i i i i





















sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin

７．ベクトル解析 (5) ベクトル関数の回転                                        y a x a x a z a z a y a_z y _{x z} y _x z y x i i i A A rot (3) スカラー関数の勾配

z

y

x

          i_x i_y i_z

z

y

x

          











i_x i_y i_z grad (4) ベクトル関数の発散

z

z

y

y

x

x

_{a a a}             A A div

７．ベクトル解析 (6) ベクトル積分の公式 閉曲面Ｓが包む体積Ｖについて、

z

A

y

A

x

A

_x y _z          A div なるベクトルＦがあって、これをＶについて積分したものについて下記が成り立つ。 （ガウスの積分定理）





   S V div A dV A d S 閉曲線Ｃが囲む面積Ｓについて、



A



S r A d d S C  



 



が成り立つ。（ストークスの定理）

８．フーリエ変換 (1) フーリエ級数 ・矩形波のフーリエ級数展開 周期Ｔ、振幅Ａ、デューティー50%



         _  1 2 1 1 2 2 2 2 _n

n

t

n

T

A

A

sin ( )





デューティー比ηが50%でない場合 （η＝τ/Ｔ）



   1 2 2 n

T

t

n

n

n

A

A











sin cos ・三角波のフーリエ級数展開 周期Ｔ、振幅Ａ、デューティー50%



         _  1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 _n

n

t

n

T

A

A

) ( ) ( cos





８．フーリエ変換 (1) フーリエ級数（続き） デューティーが50%でない場合（η＝τ/Ｔ）







                 1 2 2 2 2 2 _n

T

t

n

n

n

A

A















sin _cos ・鋸歯状波のフーリエ級数展開 周期Ｔ、振幅Ａ



   1 2 2 _n

n

T

t

n

A

A





sin ・周期デルタ関数のフーリエ級数展開 周期Ｔ



   1 2 2 1 n T nt T T  cos

９．フーリエ解析 (1) フーリエ級数（続き） ・半波整流波のフーリエ級数展開 周期Ｔ、振幅Ａ



     1 2 1 4 4 2 2 2 _n

n

T

t

n

A

T

t

A

A









cos sin ・全波整流波のフーリエ級数展開 周期Ｔ、振幅Ａ



    1 2 1 4 4 4 2 n

n

T

t

n

A

A







cos ・デューティー50％の台形波のフーリエ級 数展開 周期Ｔ、振幅Ａ、立上り時間＝立下り時 間＝τとすると、周波数特性は DC～1/πＴ はフラット 1/πＴ～1/πτ は20dB/dec 1/πＴ～ は40dB/dec

９．フーリエ解析 ・パーシバルの等式 (1) フーリエ級数（続き）

 

_







      1 2 2 2 0 2 2 2 2 1 4 1 1 n n n T T

f

t

t

a

a

b

T

/ / ( ) d 意味…ある信号の平均電力は、各スペクトルの電力の和に等しい 周期Ｔ、パルス幅ｔ、立上り／立下り時間＝０の矩形波ではｆ_０＝1/Ｔとして、 ・振幅が一定とみなせる範囲

t

nf



1 0  （ｎ：高調波の次数） デューティー比η（＝ｔ/Ｔ）を使って書けば、



1 

n

９．フーリエ解析 (2) フーリエ変換・逆変換 ・定義 関数ｆ(ｔ)のフーリエ変換Ｆ(ω)を次のように定義する。



  

f

t

t

F

(



) ( )e jt d



 

F

t

t

f

( ) (



)ejt d



2 1 関数Ｆ(ω)の逆フーリエ変換ｆ(ｔ)を次のように定義する。 ・矩形波パルスのフーリエ変換 パルス幅τ、振幅Ａの（ｙ軸中心の） 矩形波パルス 2 2









) sin( ) (

A

F

 ・三角波パルスのフーリエ変換 パルス幅２τ、振幅Ａの（ｙ軸中心の） 矩形波パルス 2 2     









) sin( ) (

A

F

９．フーリエ解析 (2) フーリエ変換・逆変換（続き） フーリエ変換の性質と様々な関数のフーリエ変換 ) ( ) (t a f t f a_{1 1}  _{2 2} a₁F₁() a₂F₂() ) (

at

f

     

a

F

a



1 ) (

t

f



F

(



) ) (t t₀ f  F ()ejt0 t j t f ( )e 0 ( ) 0    F t t f ( )cos₀ t t f ( )sin₀



F ( ₀)  F (  ₀)



2



F ( ₀)  F ( ₀ )



2 j



f (t )  f (t )



2 Re



F ()



９．フーリエ解析 (2) フーリエ変換・逆変換（続き） ) (

t

F

₂

_

_f

_(

_

₎ ) (

t

f

 jF () ) ( ) ( _t f n (

j

 F

)n (



)



 t

x

x

f

( )d (



)



( )δ(



)



0 1

_F

_F

j

 ) (t jtf 

F

(



)





jt



n

f

(

t

) F (n)()





f

1(

x

)

f

2(

t



x

)d

x

F1()F2() ) ( ) (x f t f_{1 2}

_



__

F

1(

y

)

F

2(





y

)d

y

2 1 ) ( eat u t

a

j



 1

９．フーリエ解析 (2) フーリエ変換・逆変換（続き） t a  e ₂2 ₂

a

a





2 at  e a a 4 2   _e 時間幅ａ、振幅１の矩形波ｐ_ａ(ｔ) ) ( ) sin( 2 2

a

a

a





) u( e t t at 2 1 ) (

j





a

t at  sin _() a p₂ ) u( e

t

t

n1 _{at 1}

９．フーリエ解析 (2) フーリエ変換・逆変換（続き） 2 2

b

a

j

b

  ) (



) u( sin eat bt  t ) u( cos eat bt  t

_j

j

_a

₂

a

_b

₂    ) (





2 2 1

t

a

 



a

a

 e 2 2

t

a

bt

 cos 2 2

t

a

bt

 sin



a b a b



a

     _ 



_{e e} 2



a b a b



a

j

      



_{e e} 2 ) δ(

t

１ ) δ(t t₀ ejt0

９．フーリエ解析 (2) フーリエ変換・逆変換（続き） ) ( δ

t

) ( δ(n) t (

j



)n



j

) u(

t

 δ() 1 j ) u(t t₀

_

_δ(

_

_{)  e}jt₀

_j

_

１ ₂



δ(



) ｔ ₂j δ() ｔｎ ₂



j

n δ(n)(



) t j₀ e 2 δ( ₀ ) t 0  cos t  sin



δ( ₀) δ( ₀)



   



δ(  ) δ(  )



     j

９．フーリエ解析 (2) フーリエ変換・逆変換（続き） ) u( cos₀t  t



δ( ₀) δ( ₀)



2 2 0 2

















    

j

) u( sin₀t  t



δ( ₀) δ( ₀)



2 2 0 0 2

















    

j

) u(

t

t

1₂







δ )( 

j

t 1 j  j 2 u() n

t

1



u( )



)! ( ) (



_

_

_

2 1 1

j

j

n

j

n    



     n T (t ) δ(t nT ) δ



      n

n

) δ( ) ( δ _{0 0} 0 ₀











_ デルタ関数列

９．フーリエ解析 (2) フーリエ変換・逆変換（続き）









( ) ( )d d ) ( ) ( _{2 1 2} 1 2 1

_F

_F

t

t

f

t

f





     







( ) d d ) (





      2 2 2 1

_F

t

t

f