[ 振動の発生 ] 第 1 章土木振動学序論 [ 振動の発生 ] 外力と内力内力が釣り合って静止釣り合って静止した状態 :[: [ 平衡状態 ] 振動の発生振動の発生 :[ 平衡状態 ] が破られ復元力復元力が存在すると振動が発生するつまり (1) 平衡 ( 静止 ) 状態が破られる (2)

(1)

第

第１

１

１ １章

章

第

第１

１章

１

１ 章

章

　土

　

　土

　

土

土木

土

木振

木

振動

振

振動

振

動

動学

動

学序

学

学序

学

序論

序

序論

序

論

　

［

［振

振動

振

動

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発生

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振動

振

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［

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振動

振

振動

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発生

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　外力外外外力外外外外力力力力力力とととととととと内内力内内内力内内内力力力力力力がががががががが釣釣り釣釣り釣釣釣釣り合りりりり合り合合っ合合合合っってっっってっって静てて静ててて静静静止静止静静止止止止止止しししたししたししした状た状たたたた状態状状状態状状態：態態態：態態：：：：：：［［平［［［［［［平平平衡平平衡平平衡状衡状衡衡衡衡状態状状状状態状態］態態態］態態］］］］］］【【【【【【【【振振振動振振振振振動動動の動動の動動の発ののの発のの発生発発発発発生生生生生生生】】】】】】】】：：：：：：：：［［［［［［［［平平衡平平平平衡平平衡状衡状衡衡衡衡状態状態状状状状態態態態態態］］］］］］］］が破がが破ががががが破ら破ら破破破破られらららられられ、れ、れれれれ、、、、、、復復元復復復復元復復元元力元力元元元力力力力力力がががが存がが存がが存存在存在存存存在在在在在在すすすするるとるるととと振振動振振動動動がががが発発発発生生す生生すすするるるる。。つ。。つまつつまりままりりり、、、、すすすするるるるとと振とと振動振振動が動動ががが発発生発発生す生生するすするるる。。。。つつまつつまままりりりり、、、、（（（（１１）１１）））平平平平衡衡（衡衡（（（静静止静静止止止））状））状状状態態が態態ががが破破ら破破られらられれれるるるる（（（（１１１１））平））平平平衡衡（衡衡（（（静静静静止止）止止）状））状態状状態態態がが破がが破ら破破ららられれれれるるるる（（（（２２）２２）））運運運運動動が動動が発がが発生発発生生生すするすするるる（（（（２２２２））運））運運運動動動動がが発がが発発発生生す生生すすするるるる（（（（３３）３３）））復復復復元元元元力力が力力がががああああるるとるると、とと、振、、振振振動動状動動状態状状態に態態にににななななるるるる（（（（３３３）３）復））復復復元元力元元力が力力があががあああるるるるとと、とと、、、振振動振振動動動状状態状状態態態にになにになななるるるる静的に安定静的に不安定静的に中立

自由

自

自由

自

由度

由

由度

度（

度

度（

度

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deeeeggggrrrreeeeeeee ooooffff ffffrrrreeeeeeeeddddoooom

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deeeeggggrrrreeeeeeee ooooffff ffffrrrreeeeeeeeddddoooom

m

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x y z ux uy uz θz θx θy 並並並並進進進進運運運運動動：動動：：：並並並

並進進運進進運運運動動動動：：：：uuuuuuuuxxxxxxxx uuuu uuuuyyyyyyyy uuuu uuuuzzzzzzzz 回回回回転転転転運運運運動動：動動：：：回回回回転転運転転運運運動動動動：：：：θθθθθθθθxxxxxxxx θθθθθθθθyyyyyyyy θθθθθθθθzzzzzzzz 運運運運動動動し動し得しし得得得るる（るる（（（座座標座座標の標標ののの））））方方向方方向の向向ののの数数数数運運運運動動動し動ししし得得得得るる（るる（座（（座座座標標の標標ののの））方））方向方方向向向のの数のの数数数

振

振り

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子

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の自

の

自

自由

由

由度

度

振

振り

り子

り

子の

子

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の

自由

自

由度

由

度

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1

1 自

自

自由

自

由度

由

度

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x

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x

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1 1 12 12 2

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自

自由

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度

（

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自由

由

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由

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deeeeggggrrrreeeeeeee ooooffff ffffrrrreeeeeeeeddddoooom

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deeeeggggrrrreeeeeeee ooooffff ffffrrrreeeeeeeeddddoooom

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O

１ １自

１

１ １自

自由

自

自由

自

由度

由

由度

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度

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度

系モ

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デ

デル

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Siiiinnnngggglllleeee----ddddeeeeggggrrrreeeeeeee ooooffff

SSS

Siiiinnnngggglllleeee----ddddeeeeggggrrrreeeeeeee ooooffff

ffffrrrreeeeeeeeddd

doooom

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Mooooddddeeeellll))))

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doooom

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m M

m

M

Mooooddddeeeellll))))

：

自由自自自自自自由自由度由由由由由度度が度度度が度度が１ががが１がが１の１１１の１１のの構の構ののの構構構造構造構構造系造造造造系造系モ系モ系系系系モデモモモモデモデルデルデデデデルルルルルル O

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２ ２自

２

２ ２自

２

２ 自由

自

自由

由

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由

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woooo----ddddeeeeggggrrrreeeeeeee ooooffff

w

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M

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自由自自自自自自由自由度由由由由由度度が度度度が度度が２ががが２がが２の２２２の２２のの構の構ののの構構構造構造構構造系造造造造系造系モ系モ系系系系モデモモモモデモデルデルデデデデルルルルルル O

O

多

多自

多

多自

多

自由

自

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由

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度系

度

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モ

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デル

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ル

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Muuuullllttttiiii----ddddeeeeggggrrrreeeeeeee ooooffff

M

Muuuullllttttiiii----ddddeeeeggggrrrreeeeeeee ooooffff

M

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M

Mooooddddeeeellll oooorrrr SSSSyyyysssstttteeeem

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m M

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Mooooddddeeeellll oooorrrr SSSSyyyysssstttteeeem

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m

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多多自多多多自多多多自由自自自由自自由度由由度由由由度の度度度の度度のののののの構構構構造造系造造系系系モモデモモデデデルルルル構構構構造造造造系系モ系系モモモデデデデルルルル

(2)

１自由度系モデル　１自由度系モデル　　　２自由度系モデル　　２自由度系モデルｘｘｙｘ2 ｘ1

自

自由

由振

由

振動

振

動と

動

と強

と

強制

強

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振動

振

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自由

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振動

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制

制振

振

振動

動

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V

Viiiibbbbrrrraaaattttiiiioooonnnn &

V

Viiiibbbbrrrraaaattttiiiioooonnnn &

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& FFFFoooorrrrcccceeeedddd V

&

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Viiiibbbbrrrraaaattttiiiioooonnnn

V

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）

減減減減衰衰衰衰力力（力力（（（減減減

減衰衰衰衰力力力力（（（（DDDDaaaamDaaaamDDD mppppiiiinnnngggg FFFFoooorrrrcccceeeemmppppiiiinnnngggg FFFFoooorrrrcccceeeemmm ））））））））

定

定常

常振

常

振

振動

動と

動

と

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非定

非

定常

定

常

常振

振動

振

動

定

定常

常振

常

振

振動

動と

動

と非

と

非定

非

定常

定

常

常振

振動

振

動

O

定

定常

定

定常

定

常振

常

振

振動

振

振動

振

動（

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（

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Sttttaaaattttiiiioooonnnnaaaarrrryyyy V

SSS

Viiiibbbbrrrraaaattttiiiioooonnnn

V

Viiiibbbbrrrraaaattttiiiioooonnnn

V

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一定

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定

定の

定

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の

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回転

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転数

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回転

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る

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機械

機

機械

機

械

械に

械

によ

に

によ

に

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よ

よる

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る振

る

振

振動

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O

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定

定常

定

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常

振動

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振動

振

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動

動（

動

（

N

Noooonnnn----ssssttttaaaattttiiiioooonnnnaaaarrrryyyy V

N

Noooonnnn----ssssttttaaaattttiiiioooonnnnaaaarrrryyyy V

N

Viiiibbbbrrrraaaattttiiiioooonnnn

V

Viiiibbbbrrrraaaattttiiiioooonnnn

V

）

　

地

地震

地

地震

地

震に

震

震に

震

によ

に

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よ

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る

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る

構

構造

構

造物

造

造物

造

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物

物の

物

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の

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振動

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振動

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動

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非

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形

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線形

形

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動と

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非線

非

線

線形

形

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振

振動

動

Q

線

線形

線

線形

線

形振

形

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振動

振

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動

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V

Viiiibbbbrrrraaaattttiiiioooonnnn

V

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復元

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復元

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元力

元

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力

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び減

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、

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１

１ １次

１

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次式

次

次式

次

式で

式

で表

で

で表

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表

表さ

表

表さ

され

さ

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場合

場

場合

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の

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力

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kkkkxxxx

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減衰

減

減衰

減

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力

力：

力

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Q

非線

非

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非

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線

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形振

形

形振

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振動

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振動

振

動

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Noooonnnn----lllliiiinnnneeeeaaaarrrr V

N

Noooonnnn----lllliiiinnnneeeeaaaarrrr V

N

Viiiibbbbrrrraaaattttiiiioooonnnn

V

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V

）

　

１

１ 次式

次

次式

次

式

式で

式

で表

で

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表さ

表

され

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い

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場合

場

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合

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振

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振

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動

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　（

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元

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：

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、

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減衰

減

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力

力：

力

：

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d((((xxxx))))

ddd

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定常な振動状態を表す最も基本的な式

x

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A

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t

₋

_ϕ

)

っっっっｘｘｘ：ｘ：：：変変位変変位位位、、Ａ、、ＡＡＡ：：：：振振幅振振幅幅幅（（最（（最大最最大大大変変位変変位位位））、））、ｔ、、ｔｔｔ：：時：：時間時時間間間

調

調和

和

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振

振動

動

調

調和

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和

振動

振

動

（

Haaaarrrrm

H

Haaaarrrrm

H

moooonnnniiiicccc V

m

Viiiibbbbrrrraaaattttiiiioooonnnn

V

）

　

単弦

単

単弦

単

弦振

弦

弦振

振動

振

振動

振

動

x

=

A

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ω

t

−

ϕ

)

x=Acos

{

ω

(

t1+2π ω

)

−ϕ

}

=

A

cos

(

ω

t

1

+

2 π ϕ

−

)

=

A

cos

(

ω

t

1

−

ϕ

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周

周期

期

周

周期

期

TT

T

TT

T

：

T==

T

TT

T==

T

=22

=

=22

=

2

2 π

π

////

ω

x y P ω（rad/s） 0 0 A -A

(3)

-　 -　-　-　

周

周期

期

期、

、

、振

振動

振

動

動数

数

数、

、

、円

円振

円

振

振動

動

動数

数

数、

、位

、

位

位相

相

相角

角

周

周期

期、

期

、振

、

振動

振

動数

動

数、

数

、円

、

円振

円

振動

振

動数

動

数、

数

、位

、

位相

位

相角

相

角

O O 周周周周周期周周周期期（期（期期期期（（（（（（ppppeeeerrrriiiiooooddddppppeeeerrrriiiioooodddd））））））））:::: :::: ＴＴＴＴＴＴＴＴ==22====22==2222ππππππππ////////ωωωωωωωω（（（（（（（（単単単位単位単単単単位：位位位位：位：：：：：：ssssssss）））））））） O

O 振振動振振振振動振振動数動動動動動数数（数数数数数（（（（（（（ffffrrrreeeeqqqffffrrrreeeeqqqquuuueeeennnnccccyyyyquuuueeeennnnccccyyyy）：））））：）））：：：：：：１１１１１１１１秒秒間秒秒秒秒秒秒間間に間に間間間間に何ににに何にに何回何何何何何回回回振回回振回回振動振動振振振振動動動す動す動動すするすするすするかるかるるるるかかをかかをかかを表をををを表を表表表表表表ししししたたたたもものももののの。。。。ししししたたもたたもものもののの。。。。ｆｆｆｆｆｆｆｆ==11====11==1////1////11ＴＴＴＴＴＴＴＴ========ωωωωωωωω////((((2////((((2222222ππππππππ))))))))、、、、、、、、ωωωωωωωω==22===22===2222ππππππππffffffff（（（（（（（（単単位単単位単単単単位：位：位位位位：：：：：： 1 1 1 1////ssss 1 1 1 1////ssss、、、、、、、、HzzzzHHHzzzzHHHH （Ｈ（（（（Ｈ（（（ＨＨＨＨＨＨeeeerrrrttttzzzzeeeerrrrttttzzzz）））））））））））））））） O

O 円円円円円振円円振円振振動振振振動振動動動数動動動数数（数数（数数数（（（（（（cccciiiirrrrccccuuuullllaaaarrrr ffffrrrreeeeqqqcccciiiirrrrccccuuuullllaaaarrrr ffffrrrreeeeqqqquuuueeeennnnccccyyyyquuuueeeennnnccccyyyy））））））））::::::::角角角振角角振角角角振動振振振振動振動数動動動動動数数数、数数数数、、角、、、、、角角速角速角角角角速度速速度速速速度と度度と度度度とととととともももも呼呼呼呼ばばればばれれれ、、、、もももも呼呼ば呼呼ばばばれれ、れれ、、、１１１１周１１１１周周周期周期周周周期を期期を期期期を２をををを２を２２２２２２ππππππππ（（（（（（（（33663336633366006006000°0°））））））））ととしとしとととととしししたしししたたとたたたたとたととときときととききき、き、きき、１、、、、、１１秒１１１秒１１秒秒間秒間秒秒秒間間間間間間にににに角角角角度度が度度がどががどどどれれだれれだけだだけけけ進進進進むむかむむかかかををををににに

に角角度角角度度度ががががどどれどどれれれだだだだけけ進けけ進む進進むむむかかかかををををrrrraaaadddrrrraaaaddddiiiiaaaannnndiiiiaaaannnnでで表ででで表ででで表表し表表表し表したしししたししたもたたたもたたものもももものもの。の。のののの。。。。。。

Q

Q 　　　　　　　　ωωωωωωωω（（（（（（（（単単位単位単単単単単位：位位位位：位：：：：：：rrrraaaadddrrrraaaaddddd////ssss////ssss））））））））

O

O 位位位位位相位相位位相角相相相角相相角（角角（角角角（（（（（（pppphhhhaaaasssseeee aaaannnngggglllleeeepppphhhhaaaasssseeee aaaannnngggglllleeee））：）））））：）：：：：：：角速角角角角速角角角速度速速速速度速度度度の度の度度ののののずのずのずれずずれずずずれれれ。れ。れれ。。。。。。φφφφφφφφ（（（（（（（（単単位単単位単単単単位位位：位：位位：：：：：： rrrraaaadddd rrrraaaadddd））））））））

　

0

0 0....55

5

0

0 0....55

5 5 秒

秒

後

例例例例題題：題題：：：例例例例題題：題題：：：ffffffff11111111＝＝＝＝＝＝＝＝4H4444H444HzzzzHHzzzzHHH 、、、、、、、、ffffffff22222222＝＝＝＝＝＝＝＝1110011110010H00H0HHHzzzzHzzzzHH 時時時時刻刻刻刻時時時時刻刻刻刻 tttttttt11111111ででで同ででで同でで同位同同同同同位位相位位位相位位相。相。相相相相。。。。次。次。次に次次次に次次にに同に同ににに同位同位同同同同位位位相位位位相相相と相と相相相となとととなととななるなるなななるのるのるるるるのはのはののののは何は何はははは何秒何何秒何何何秒後秒秒後秒秒秒後か後後後後か後か？か？かかかか？？？？？？・・・・・・・・TTTTTTTT11111111== 11==== 11==1////ffff11////ffff1 1 1111 111= 11=== 11====1////441////441144 ==4 ==4= 00== 00=00....220....2202255255255ssss5ssss5 ・・・・・・・・TTTTTTTT22222222==== 11==== 111////ffff1////ffff11 2222 2222 == 11====== 1111////1111////11110010010 ==0 ==00= 00== 00=0....1100....110100111000ssss00ssss0 　　　　　　　

変

変位

位

位、

、

、速

速

速度

度、

度

、

、加

加

加速

速

速度

度

変

変位

位、

位

、速

、

速度

速

度、

度

、加

、

加速

加

速度

速

度

O O

変位

O O

速度

O O

加速度

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x 加速度 f=mx f=mx 速度変位 x 速【解説】　定常振動している「１点」の変位、速度、加速度について考える。ここでは、その動きを体感的に理解する目的で、図にあるように、ブランコに乗っている人の動きについて考える。　「変位」：ωt=0の時刻では、人はブランコの漕ぎはじめで、マイナス側の最大変位の位置にいて、 ωt=π/2の時刻では変位が０の位置， ωt=πではプラス側の最大変位となる。　「速度」： ωt=0およびωt=πの時刻では、変位の折り返し点に相当し、速度は０でる。徐々に速度は増加し、 ωt=π/2の時刻で最大の速度となる。　「加速度」： ωt=0からωt=π/2までの時刻は、その間で速度は増加していることから、加速度はプラスとなる。一方、 ωt=π/2からωt=πまでの時刻は、速度は減少していることから、その間の加速度はマイナスとなる。　 ωt=0およびωt=πの時刻での加速度は、次の図に示すような車の急発進時と急停車時の状況を考え、慣性力と加速度の方向が反対になるということから、理解できよう。　なお、車の急発進と急停車の例は、定常振動の例ではないことに留意が必要である。

(4)

mα α α mα 慣慣慣慣性性力性性力力力慣慣慣慣性性性力性力力力mmmmmmmmααααααααはは加はははは加はは加速加速加加加加速度速速速速速度度度度度度度αααααααα にににに比比例比比例例例しししし、、加、、加速加加速速速度度の度度ののの方方方方にににに比比比比例例例例しし、しし、、、加加速加加速度速速度度度のののの方方方方向向向向とと反とと反反反対対対対方方向方方向に向向ににに作作用作作用用用すすすす向向向向とととと反反反反対対方対対方方方向向に向向に作にに作作作用用用用すすすするるるる。。。。るるるる。。。。　　　　　　　　 +α v0_t0 v1 t1 v0 _v 1 t0 t1 -α ブブブブィィィィーーーーンンンン！！！！ブブブブィィィィーーーーンンンン！！！！キキキキィィィィーー！ーー！！！キキキキィィィーィーーー！！！！留留留留意意意意すすすすべべきべべきききここここととはととは、はは、、、変変変変位位位位はははは留留留留意意意意すすすすべべきべべきこききこここととはととははは、、、、変変変変位位位位ははははいいいいずずずずれれれれもも増もも増増増加加加加ししてししててていいるいいるがるるが、がが、、、いいいいずずずずれれれれもも増もも増加増増加し加加してししててていいいいるるるるがががが、、、、加加加加速速速速度度度度はは上はは上上上のの場のの場合場場合合合はははは＋＋＋＋（（（（慣慣慣慣加加加加速速速速度度度度はは上はは上上上のののの場場合場場合合合はははは＋＋（＋＋（（（慣慣慣慣性性性性力力力力ははははーー）ーー）））、、下、、下の下下ののの場場場場合合合合ははーははーーー性性性性力力力力ははははーー）ーー）））、、、、下下の下下ののの場場合場場合は合合はははーーーー（（（（慣慣慣慣性性性性力力力力はははは＋＋）＋＋）で））であでであるああるるる。。。。（（（（慣慣慣慣性性性性力力は力力は＋はは＋）＋＋）））ででででああるああるるる。。。。　　　　　　

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度記

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記

記録

記

記録

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録

0 10 20 30 40 50 60 -1000 -500 0 500 1000 時間（sec）加速度（gal） N N N NSSSS N N N NSSSS成成成分成成成成成分分分（分分分分（（最（（（最（（最最大最最大最最大大値大大大大値値値値：値値値：：：：：：：888118118888188111888ggggaaaallll88ggggaaaallll8 ）））））））） 0 10 20 30 40 50 60 -800 -600 -400 -2000 200 400 600 800 時間（sec）加速度（gal） EEEEWWWW

EEEEWWWW成成成分成成成成成分分分分分（分分（（最（最（（（（最大最大最最最最大値大値大大大大値：値値値：値値：：：：：：661166661166177177117ggggaaaallll777ggggaaaallll））））））））