(1)微細化による特性への影響
松田順一
平成２６年度 集積回路設計技術・次世代集積回路工学特論資料
本資料は、以下の本をベースに作られている。
概要
• チャネル長変調
• 短チャネルデバイス
– 短チャネル効果（電荷配分）
– ドレイン～ソース電圧の効果
– 逆短チャネル効果
• 狭チャネルデバイス
– 狭チャネル効果
– 逆狭チャネル効果
• パンチスルー
• キャリア速度飽和
• ホットキャリア効果
• スケーリング
• ソースとドレイン抵抗
• 薄い酸化膜と高ドーピング効果
• 微細物理モデルの統合
• 付録
– BSIMでの閾値電圧（短チャネル効果：擬似２次元）
チャネル長変調
（CLM: Channel Length Modulation）
P
n+
n+
p
l
L
'
DS
DS V
V
'
DS
V
m
E
1
E
ソース ドレイン
ドレイン側の空乏層によりチャネル長が変化
空乏層
チャネル
ピンチオフ領域の長さ導出（１次元解析）
値に置き換える。
をそれが起こる電界の
が起こる場合、
先にキャリア速度飽和
（注）ピンチオフより
は以下で表される。
となる。ここで、
は
領域の長さ
とすると、ピンチオフ
かかる電圧：
ピンチオフ領域に
とし、境界条件を
ピンチオフ点を
。
アソンの方程式を解く
ドレイン方向正）のポ
チャネル方向
1
2
1
'
'
1
2
2
0
0
:
(
A
s
D
D
D
DS
DS
D
A
s
p
p
DS
DS
qN
V
V
qN
l
l
V
V
x
x
x
チャネル長変調による飽和電流（１）
。
に合うように選ばれる
は、実測値（電流）
と
で定数であるが、これ
る。
を以下の形にして用い
ここで、
上好まれる。）
形がコンピュータ計算
で近似できる。（この
の場合、
≪
または
される。
を用いて以下の如く表
は、
飽和領域の電流
D
s
D
DS
DS
D
A
p
p
p
DS
DS
p
p
DS
p
DS
DS
p
DS
q
B
V
V
N
B
l
l
L
l
I
I
L
l
L
l
I
l
L
L
I
I
l
I
2
1
1
'
1
'
'
'
2
1
1
1
チャネル長変調による飽和電流（２）
2 1
2
'
'
'
1
'
'
'
1
'
'
1
'
'
1
'
2
,
1
2
1
1
1
2
2
1
'
B
B
N
L
B
V
V
V
V
V
I
V
V
B
N
L
I
L
l
I
I
I
V
V
N
B
V
V
V
V
N
B
V
l
V
V
N
B
V
l
V
V
l
D
A
A
A
A
DS
DS
DS
DS
DS
D
A
DS
p
DS
DS
DS
D
DS
DS
A
DS
DS
V
V
DS
DS
D
A
DS
p
D
DS
DS
D
A
DS
p
DS
DS
p
DS
DS
但し、
は以下で表される。
となる。ここで、
は、以下となる。
すると、以下になる。
の周りでテイラー展開
を
チャネル長変調による飽和電流（３）
1
2
1
2
2
1
1
2
'
2
'
'
'
'
A
T
GS
A
DS
DS
DS
DS
DS
DS
DS
DS
T
GS
ox
DS
DS
DS
T
GS
ox
DS
DS
DS
DS
A
DS
DS
DS
DS
DS
A
DS
DS
DS
DS
DS
V
V
V
V
V
V
dV
dI
V
V
V
V
V
V
C
L
W
I
V
V
V
V
C
L
W
I
V
V
V
V
V
V
I
I
V
V
V
V
I
I
I
る。
を求めると、以下にな
を等しいとして
の
）
（
の非飽和領域の電流式
上記の飽和領域と以下
）
（
または、
。
を以下のようにも表す
飽和電流
より低い飽和電流
は '
DS
DS V
V
飽和領域のモデル
DS DS A
DS
DS I V V V
I ' 1 '
' '
'
1
DS DS A DS
DS
DS I V V V V
I
1
2
1
A
T
GS
A
DS
V
V
V
V
V
'
DS
V
A
V
A
V
0
0
0
DS
I
DS
I
DS
I
DS
V
DS
V
DS
V
'
DS
V
V
ピンチオフ領域の長さ導出（：２次元解析）
。
は実験的に決められる
となる。
は
で近似すると、
を
ここで、
。
度飽和時の電界である
は電子または正孔の速
、
はドレインの接合深さ
方向の最大電界、
は
ここで、
。
は以下になる
を導出すると、
次元解析により
E
E
DS
DS
a
p
p
a
DS
DS
m
j
m
j
ox
j
ox
ox
s
a
a
DS
DS
m
m
a
DS
DS
a
p
p
p
V
V
V
V
l
l
l
l
V
V
d
x
d
t
d
t
l
l
V
V
l
V
V
l
l
l
l
'
'
1
1
2
1
2
2
'
1
'
*
1
ln
const)
(
3
,
ln
2
*Y. A. Elmansy and A. R. Boothroyd, “A Simple two-dimensional model for IGFET operation in the saturation region,”
IEEE Transaction on Electron Devices, vol. ED-24, pp.254-262, 1977.
チャネル長の違いによるI
DS
vs.V
GS
特性
短チャネル
長チャネル
GS
V
0
DS
I
fixed
:
small
very
fixed,
:
W
VDS
短チャネル効果（電荷配分：１）
表す。
は閾値電圧の変化量を
である。
で表される。ここで、
はまた、
層電荷であり、
は実効空乏
である。ここで、
は、
閾値電圧
タの実効
短チャネルトランジス
TL
SB
B
B
TL
SB
FB
T
TL
T
T
T
B
SB
B
B
FB
T
T
V
V
Q
Q
V
V
V
V
V
V
V
V
Q
V
Q
Q
V
V
V
0
'
'
1
0
0
'
1
0
'
'
1
0
1
,
SB
V
0
)
(
SB
TL V
V
)
(
SB
T V
V
)
(
SB
T V
V
長チャネル
短チャネル
短チャネル効果（電荷配分）
1
2
1
1
'
'
j
B
j
B
B
d
d
L
d
Q
Q
SB
B
B
FB
T V
Q
Q
V
V
0
'
'
1
0
L
n
+
d
J
P
n
+
d
B
d
J
d
B
d
B
B
Q
B
Q
'
'
B
B
B
B
Q
Q
Q
Q
空乏層
短チャネル効果（電荷配分：２）
但し、 は定数
て、以下で表す。
が大きい場合も考慮し
で近似される。
は
の場合、
≪
となる。
は
、
である。これを使うと
但し、
は
空乏層幅
の導出
1
1
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
0
'
'
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
:
L
d
Q
Q
d
d
L
d
Q
Q
Q
Q
d
d
d
d
L
d
Q
Q
Q
Q
qN
V
d
d
Q
Q
B
B
B
j
B
B
B
B
B
B
j
B
j
B
j
B
B
B
B
A
s
SB
B
B
B
B
短チャネル効果（電荷配分：３）
SB
ox
ox
s
TL
TL
SB
SB
FB
T
T
B
B
V
L
t
V
V
V
L
V
V
V
V
Q
Q
0
1
0
1
0
0
'
'
1
2
1
は以下の如くになる。
となる。また、
は
の近似式を用いると、
を含む
L
V
TL
1
短チャネル効果
（ドレイン～ソース電圧の影響）
SB DS
ox
ox
s
TL
SB
DS
SB
SB
FB
T
TL
T
DS
SB
DS
SB
SB
DS
DB
DB
SB
BD
BS
BD
BS
BD
BS
B
B
B
B
V
V
L
t
V
V
V
V
L
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
d
d
d
d
d
d
L
Q
Q
Q
Q
2
0
1
0
2
0
1
0
0
2
0
2
0
0
0
1
1
'
'
'
'
2
1
25
.
0
2
2
2
1
1
は以下になる。
と
、
が小の場合に成り立ち
となる。上記近似は
但し、
但し、
であるため、
ドレイン側の空乏層幅
はそれぞれソース側と
と
ここで、
は定数
但し、
は以下になる。
た場合、
ドレイン電圧が増大し
短チャネル効果
（ドレイン～ソース電圧の影響：２次元解析）
で成立する。
≫
は
なお、上記
メータである。
はフィッティングパラ
深さであり、
はチャネル下の空乏層
ここで、
は以下である。
）
（特性長：
接合電位であり、
ンとチャネル間の
はソースまたはドレイ
ここで、
。
は以下の如くになる
と、
擬似２次元解析による
B
TL
B
ox
B
ox
s
bi
L
DS
bi
TL
TL
d
L
V
d
d
t
e
V
V
V
1
length
stic
Characteri
3
3
3
0
*
*Z-H Liu, et. Al., “Threshold voltage model for deep-submicrometer MOSFET’s,” IEEE Transaction on Electron Devices,
Vol. 40, pp.86-95, 1993.
17
T
V
0
L
逆短チャネル効果
短チャネル効果
T
V
短/逆短チャネル効果
P基板
ゲート
ゲートによる空乏層
N+
反転層
N+
層による空乏層
ゲート
N+
反転層
P基板
ゲートによる空乏層
N+
層による空乏層
チャネル幅の違いによるI
DS
vs.V
GS
特性
狭チャネル
幅広チャネル
GS
V
0
DS
I
long
fixed,
:
small
very
fixed,
:
L
VDS
LOCOS分離の狭チャネル効果（１）
SB
B
B
TW
SB
FB
T
TW
T
TW
T
T
T
B
B
B
SB
B
B
FB
T
T
V
Q
Q
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
Q
Q
Q
V
Q
Q
V
V
V
0
'
'
1
0
0
'
'
1
'
1
0
'
'
1
0
1
,
1
は以下である。
と
で表される。ここで、
はまた、
である。
、
実効空乏層電荷であり
は、
である。ここで、
は、
実効閾値電圧
タの
狭チャネルトランジス
TW
V
)
(
SB
T V
V
)
(
SB
T V
V
SB
V
0
幅広チャネル
狭チャネル
狭チャネル効果（電荷配分）
B
Q
B
Q
B
d
W
B
d
'
'
B
B
B
B
Q
Q
Q
Q
空乏層
LOCOS分離の狭チャネル効果（２）
ox
SB
ox
s
SB
SB
SB
TW
TW
SB
SB
FB
T
T
B
B
B
B
B
V
W
t
V
W
V
V
W
V
V
V
W
V
V
V
V
W
d
Q
Q
Q
Q
0
4
0
4
0
0
4
0
4
0
0
4
4
'
'
1
'
'
1
2
2
2
1
1
2
1
LOCOS
は以下になる。
また、
は以下になる。
これから
る。
パラメータとして用い
であり、フィティング
は通常
ここで、
る。
を以下の如く近似でき
の場合、
'
0
2
2
ox
A
s
A
s
SB
B
C
N
q
qN
V
d
狭チャネル効果
逆狭チャネル効果
T
V
T
V
0
W
LOCOS
STI
狭/逆狭チャネル効果
空乏層
空乏層
酸化膜
酸化膜
STI分離の狭チャネル効果（１）
1
2
2
STI
'
'
1
1
'
1
0
'
0
F
ox
ox
B
B
B
ox
B
FB
T
T
F
F
ox
B
FB
T
T
C
WL
C
WL
C
Q
Q
Q
WL
C
Q
V
V
V
C
C
WL
C
Q
V
V
V
下を得る。
上２式を比較して、以
る。
は実効空乏層電荷であ
ここで、
る。
はまた、以下で表され
ある。
はフリンジング容量で
ここで、
は、以下である。
果による
の場合の狭チャネル効
STI分離の狭チャネル効果（２）
F
W
W
V
V
V
V
t
t
t
F
F
W
W
Q
Q
C
t
t
t
L
C
C
SB
FB
T
T
ox
Fox
ox
B
B
F
Fox
ox
Fox
ox
F
F
0
0
1
2
ln
4
2
ln
2
。
は、以下の如くになる
したがって
但し、
から以下を得る。
である。この
はフィールド酸化膜厚
ここで、
。
は、以下である
パンチスルー
N+
N+
P基板
ドレインに
よる空乏層
ソースに
よる空乏層
ゲート
N+
N+
P基板
ドレインに
よる空乏層
ソースに
よる空乏層
ゲート
バルクパンチスルー
表面パンチスルー
バルクパンチスルー
による成分
Log I
DS
V
GS
VDS3＞
VDS2＞
VDS1
VDS3
VDS2
VDS1
キャリアの速度飽和
• キャリアの速度飽和を含む電流式
• 電界が臨界電界より小：
• 電界が臨界電界より大：
c
DS
DSN
DSN
LΕ
V
I
I
1
,
,
速 度 飽 和 を 含 ま な い
速 度 飽 和 を 含 む
max
d
c
v
Ε
臨界電界
x
d
c
x Ε
v
Ε
Ε
≪
max
d
d
c
x Ε
v
v
Ε
≫
0
x
GS
d V Ε
v ( )
max
d
v
d
v
Ε
Ε
キャリア速度飽和の解析（１）
から
まで積分する。
となる。これを、
であるから、
は
領域での電流
となる。一方、非飽和
であるから、
ここで、
式で表す。
を経験的な以下の関係
DB
CB
SB
CB
CB
I
CB
c
DSN
d
I
DSN
DSN
CB
c
CB
CB
c
CB
c
d
d
CB
x
c
x
c
x
d
d
d
V
V
L
x
V
V
x
dx
dV
Q
W
dx
dV
I
x
v
Q
W
I
I
dx
dV
dx
dV
dx
dV
dx
dV
v
x
v
dx
dV
v
v
v
0
1
1
)
(
1
1
1
1
1
)
(
1
'
'
max
max
キャリア速度飽和の解析（２）
c
DS
saturation
velocity
including
not
DSN
saturation
velocity
including
DSN
V
V I CB
DSN
DS
SB
DB
V
V I CB
c
DS
DSN
V
V I CB
c
SB
DB
DSN
L
V
I
I
dV
Q
L
W
I
V
V
V
dV
Q
L
V
L
W
I
dV
Q
W
V
V
L
I
DB
S B
DB
S B
DB
S B
1
1
,
,
'
'
'
と、以下になる。
を一定として比較する
と
での式
転モデル（直接導出）
この式を完全対称強反
である。
ここで、
る。
積分の結果、以下を得
キャリア速度飽和の解析（３）
c
DS
p
DS
DS
T
GS
ox
DS
p
DS
DS
c
T
GS
T
GS
DS
DS
DS
DS
DS
DS
DS
c
DS
DS
DS
T
GS
ox
DS
L
V
L
l
L
V
V
V
V
C
W
I
l
L
L
V
V
L
V
V
V
V
V
V
V
dV
dI
V
V
L
V
V
V
V
V
C
L
W
I
'
2
'
'
'
'
'
'
'
2
'
1
2
1
2
1
2
0
,
1
2
る。
に置換えて、以下にな
を
に、
を
、
また、飽和時の電流は
は以下になる。
飽和時の
から
となる。
と、
速度飽和効果を入れる
照強反転モデルの式に
簡単化されたソース参
キャリア速度飽和の解析（４）
となる。
であるから、
一定であるとすると、
に依存しなく、
が場所
ここで、チャネル電荷
にほぼ比例する。
は
すなわち、
と仮定してある。
≪
、
で近似できる。ここで
は
って、
も小さくなる。したが
が小さくなると、
max
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
1
d
I
DS
T
GS
ox
I
T
GS
DS
p
c
T
GS
ox
c
DS
DS
T
GS
ox
DS
DS
DS
v
Q
W
I
V
V
C
Q
x
V
V
I
L
l
V
V
WC
L
V
V
V
V
L
W
C
I
I
V
L
I
DS
-V
DS
特性：速度飽和の有無
速度飽和のない場合 速度飽和のある場合
DS
I IDS
DS
V
DS
V
0
0
2
2
'
GS T
ox
DS
V
V
C
L
W
I
I
DS
WC
ox'
V
GS
V
T
c
ホットキャリア効果
－
－ － － －
－
－
－
－ －
－
－
－
－
－
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
－ －
－ +
電子の流れ
正孔の流れ
（基板電流）
N+
電子/正孔ﾄﾗｯﾌﾟ
過剰界面準位
ゲート
酸化膜
空乏層端
P基板
ドレイン
I
D
I
DB
・電子/正孔ﾄﾗｯﾌﾟ
・過剰界面準位
↓
・閾値電圧上昇
ｿｰｽ･ﾄﾞﾚｲﾝ逆方向
閾値電圧上昇顕著
・ﾄﾞﾗｲﾌﾞ能力低下
ﾄﾞﾚｲﾝ抵抗増加
基板電流vs.ゲート～ソース電圧
30
10
,
3
1
exp
'
'
～
～
i
i
DS
DS
i
DS
DS
i
DS
DB
V
K
V
V
V
V
V
K
I
I
DB
I
GS
V
0
DS
V
ホットキャリア対策
ーLDDトランジスター
N
-N+
N
-N+
ゲート
P基板
電界低減
↓
インパクトイオン化低減
↓
ホットキャリア低減
ドレイン
ソース
スケーリング
空乏層
p-sub
ゲート
n n
n n
p-sub
定電界スケーリング（１）
1
:
2
2
1
:
1
1
1
2
:
,
1
:
,
:
1
1
:
,
,
,
1
'
0
'
'
'
2
B
CB
A
s
B
B
ox
A
s
bi
A
s
A
j
ox
Q
V
N
q
Q
Q
C
N
q
C
V
qN
d
V
N
d
t
W
L
はスケールされない。
になる。
は
になる。また、
加と面積縮小から、
は、単位面積当りの増
容量
にする。
び閾値電圧も、
この場合、動作電圧及
空乏層幅
にする。
空乏層幅も
になる。
（３次元）
デバイスが
定電界スケーリング（２）
（電圧）
（電流）
（面積）
単位面積当り消費電力
（電圧）
）
（
一定）
の傾き（
弱反転領域での
（電圧）
（電圧）
（容量）
ドレイン電流
/
:
1
1
1
1
2
2
1
/
:
1
1
1
vs.
log
2
:
1
1
2
'
2
'
2
SB
F
DS
GS
DS
DS
DS
T
GS
ox
DS
V
n
V
V
I
V
V
V
V
C
L
W
I
定電界スケーリング（３）
（容量充電時間）
）
ジスタ当りの消費電力
（トラン
ィレイプロダクト）
電力遅延積（パワーデ
回路スピード
）
、電圧
容量充電の変化率
（
容量充電時間
、
（容量）
（電流）
容量充電の変化率
:
1
1
1
1
:
1
,
1
/
:
1
1
1
3
2
C
I
dt
dV
定電界スケーリング（４）
（電流）（コンタクト抵抗）
下
コンタクトでの電圧低
）
ンタクト面積
（コ
コンタクト抵抗
（配線抵抗）
（電流）
配線内での電圧低下
（配線抵抗）
）
（配線容量
の時定数
配線の容量と抵抗から
（配線断面積）
（配線長）
配線抵抗
（配線断面積）
（電流）
配線内の電流密度
2
2
2
2
2
1
1
:
1
1
1
1
/
1
1
/
1
1
ソースとドレイン抵抗
ゲート
反転層
メタル
n
sub
p
ソース拡散層
1
R
R
3
R
メタル 反転層
ソースとドレイン抵抗を入れたMOS
トランジスタ
DS
V
DS
V
～
G
B
D
S
R R IDS
ソースとドレイン抵抗の解析（１）
L
RW
C
V
V
V
V
V
L
W
C
I
I
V
V
V
C
L
W
I
V
V
RI
V
V
V
V
V
V
C
L
W
I
V
V
RI
V
V
V
ox
R
DS
T
GS
T
GS
R
ox
DS
DS
DS
T
GS
ox
DS
DS
DS
DS
T
GS
DS
DS
T
GS
ox
DS
DS
DS
DS
DS
DS
DS
'
'
'
2
2
'
2
,
1
2
2
2
。
を解くと、以下になる
となる。これから、
のとすると、
の項は、無視できるも
小さい場合を考え、
の
いま
の寄与は少ないとし、
への
更に、
で置換える。
を
において、
で表される。以下の式
は、
ース電圧
実効的なドレイン～ソ
～
～
～
～
ソースとドレイン抵抗の解析（２）
と仮定してある。
≪
≪
となる。ここで、
を無視）
（ここで、
を代入すると、
に以下の
得られた電流式の
1
,
1
1
1
1
1
0
'
'
0
0
T
GS
R
T
GS
DS
T
GS
T
GS
R
ox
DS
T
GS
T
GS
R
ox
T
GS
DS
SB
B
T
GS
eff
eff
V
V
V
V
V
V
V
V
V
L
W
C
V
V
V
V
V
L
W
C
V
V
I
V
V
V
薄い酸化膜と高ドーピングの効果
Å
界
ゲート酸化膜の限
通してのトンネル効果
（４）ゲート絶縁膜を
である。
･
ここで、
のシフト
強反転での
荷の量子化）
の増大効果（反転層電
（３）量子効果による
ートの空乏化
（２）ポリシリコンゲ
）
･
（
ートモデルの限界）
リア分布：チャージシ
（量子論によるキャ
増大
ゲート酸化実効膜厚の
（１）量子効果による
15
)
cm
C
(
V/
500
:
cm)
C
(
10
32
11
,
3
2
2
-2
0
0
0
'
3
2
'
2
0
3
1
9
1
3
1
'
'
1
B
V
d
Q
Q
B
V
d
d
t
t
B
Q
Q
B
d
d
t
t
s
s
T
s
s
m
s
B
B
s
T
p
m
s
ox
ox
ox
I
B
m
m
s
ox
ox
ox
電流式に考慮すべき微細ｻｲｽﾞ効果
• 閾値電圧の変化
– チャネル長Lの影響：短（逆短）チャネル効果
– チャネル幅Wの影響：狭（逆狭）チャネル効果
– ドレイン電圧V
DSの影響（DIBL）
• 高電界による移動度の低下
– キャリアの表面散乱（電流と垂直方向）
– キャリアの速度飽和（電流の方向）
• 飽和領域におけるチャネル長変調
微細サイズ効果を取込んだ電流式
• 実効閾値電圧
• 非飽和領域の電流：
• 飽和領域の電流：
DS SB
T
SB TL
DS SB
TW
SB
T L W V V V V V L V V V W V
V , , , , , ,
DS SB
B SB
DS
c
T
GS
DS
DS
SB
DS
T
GS
ox
DS
L
V
V
V
V
W
L
V
V
V
V
V
V
W
L
V
V
L
W
C
I
1
,
,
,
1
2
,
,
, 2
'
c
DS
p
SB
B
SB
DS
T
GS
DS
DS
SB
DS
T
GS
ox
DS
L
V
L
l
V
V
V
W
L
V
V
V
V
V
V
W
L
V
V
L
W
C
I
'
2
'
'
'
1
,
,
,
1
2
,
,
,
'
DS
DS V
V ≪
'
DS
DS V
V ≫
閾値電圧導出
－短チャネル効果（擬似２次元）－
0
)
,
(
s
dx
y
x
dV
ゲート
ソース ドレイン
L
dep
X
)
( y
E
s
ds
bi V
V
bi
V
dep
X
y
L
0
y
x
Gaussian box
境界条件 ⇒
記号の定義と境界条件
付録
Gaussian boxにGaussの法則適用（１）
• ｙ方向電界のフラックス
• ｘ方向電界のフラックス
y
X
y
E
y
X
y
y
x
E
y
y
x
E
X
y
x
E
y
y
x
E
dep
y
dep
y
y
dep
y
y
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
gs FB s
ox
x
si
dep
x
si
ox
s
FB
gs
x
dep
x
C
y
V
V
V
y
E
y
X
E
y
C
y
V
V
V
y
y
E
y
X
E
)
(
)
,
0
(
0
)
,
(
)
(
)
,
0
(
)
,
(
V si
S
dv
dS
n
E
Gaussの法則
付録
Gaussian boxにGaussの法則適用（２）
• Ｇａｕｓｓの法則の適用
•
•
y
X
qN
y
C
y
V
V
V
y
X
y
E
dep
si
peak
si
ox
s
FB
gs
dep
y
)
(
dep
dep
s
y
y x
y
E
y
E
y
X
X
E
y
0
,
(
,
)
(
0
,
)
(
),
gs FB s
ox peak dep
s
dep
si V
V
V
y
C
qN
X
dy
y
dE
X
(
)
(
)
ox
ox
ox
s
s y
dV
y
dy
C
T
E
(
)
(
)
,
dep
peak
ox
s
FB
gs
ox
s
dep
si qN
X
T
y
V
V
V
dy
y
V
d
X
(
)
)
(
2
2
dep
X
⇒ チャネルに沿う空乏層幅の平均
⇒ フィッテングパラメータ
付録
表面電位の微分方程式
• 下記微分方程式を解く
– 境界条件
• (1-1)式の整理
bi
ds
s
bi
s V
V
L
V
V
V
(
0
)
,
(
)
（基板電位：グラウンド）
dep
peak
ox
s
FB
gs
ox
s
dep
si qN
X
T
y
V
V
V
dy
y
V
d
X
(
)
)
(
2
2
(1-1)
gs FB
ox
dep
si
ox
si
peak
ox
dep
si
ox
s
s
V
V
T
X
qN
B
T
X
A
B
y
AV
dy
y
V
d
,
)
(
)
(
2
2
(1-2)
付録
表面電位の解法
－微分方程式を解く（１/５）－
(1-3)
）
とする。（定数変化法
の関数と見なして
を
の解を、
次に、
任意定数
を得る。
となる。従って、以下
とおくと、
式において、
式の同次式
y
A
y
A
s
s
s
y
A
y
A
s
y
s
s
s
e
y
C
e
y
C
y
V
y
C
C
B
y
AV
dy
y
V
d
C
C
e
C
e
C
y
V
A
A
e
y
V
y
AV
dy
y
V
d
)
(
)
(
)
(
,
)
(
)
(
:
,
)
(
0
)
(
)
3
1
(
0
)
(
)
(
)
2
1
(
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
(1-4)
(1-5)
(1-6)
(1-7)
付録
表面電位の解法
－微分方程式を解く（２/５）－
B
e
A
C
e
A
C
Ae
C
e
A
C
Ae
C
e
A
C
dy
y
V
d
e
A
C
e
A
C
e
A
C
e
A
C
dy
y
dV
y
A
y
A
y
A
y
A
y
A
y
A
s
y
A
y
A
y
A
y
A
s
'
2
'
1
2
'
2
1
'
1
2
2
'
2
'
1
2
1
)
6
1
(
)
10
1
(
)
7
1
(
)
(
)
8
1
(
2
)
7
1
(
0
)
(
1
)
7
1
(
を得る。
式に代入すると、以下
式を
式と
式から以下となる。
階微分は
式の
いた。
ここで、以下とお
階微分は以下となる。
式の
付録
(1-8)
(1-9)
(1-10)
(1-11)
表面電位の解法
－微分方程式を解く（３/５）－
y
A
y
A
s
y
A
y
A
y
A
y
A
e
D
e
D
A
B
y
V
D
D
D
e
A
B
y
C
D
e
A
B
y
C
e
A
B
C
e
A
B
C
2
1
2
1
2
2
1
1
'
2
'
1
)
(
)
7
1
(
)
15
1
(
)
14
1
(
:
,
2
)
(
2
)
(
)
13
1
(
)
12
1
(
2
2
)
11
1
(
)
9
1
(
得る。
式に代入して、以下を
式を
式と
任意定数
式から、以下を得る。
式と
式から以下を得る。
式と
付録
(1-12)
(1-13)
(1-14)
(1-15)
(1-16)
表面電位の解法
－微分方程式を解く（４/５）－
L
A
bi
bi
ds
L
A
bi
bi
ds
bi
ds
L
A
L
A
bi
bi
ds
s
bi
s
e
V
A
B
V
V
A
B
L
A
D
e
V
A
B
V
V
A
B
L
A
D
D
D
V
V
A
B
e
D
e
D
V
A
B
D
D
V
V
L
V
V
V
sinh
2
1
sinh
2
1
)
14
1
(
)
(
,
)
0
(
2
1
2
1
2
1
2
1
は以下となる。
と
これから、
得る。
式に適用して、以下を
を
境界条件
付録
(1-17)
(1-18)
(1-19)
(1-20)
表面電位の解法
－微分方程式を解く（５/５）－
t
sL
s
th
gs
s
s
ox
ox
dep
peak
FB
gs
t
t
sL
bi
t
t
sL
ds
bi
sL
bi
bi
ds
s
s
l
A
V
V
V
T
X
qN
V
V
A
B
l
L
l
y
L
V
V
l
L
l
y
V
V
V
V
V
A
B
L
A
y
L
A
V
V
A
B
L
A
y
A
A
B
y
V
y
V
D
D
1
sinh
sinh
sinh
sinh
sinh
sinh
sinh
sinh
)
(
)
(
)
16
1
(
0
2
1
ここで、
は以下になる。
と、
式に代入して整理する
を
と
0
th
V
付録
表面電位の解
• 表面電位のチャネル位置依存性
s
ox
ox
dep
peak
FB
th
s
th
gs
sL
t
t
sL
bi
t
t
sL
ds
bi
sL
s
T
X
qN
V
V
V
V
V
l
L
l
y
L
V
V
l
L
l
y
V
V
V
V
y
V
0
0
sinh
sinh
sinh
sinh
)
(
⇒ 長チャネル閾値電圧
⇒ 長チャネル表面電位
付録
閾値電圧
－短チャネル効果（擬似２次元）－
• の場合の表面電位最小位置
• 最小表面電位
• 閾値電圧
sL
bi
ds V
V
V
≪
2
)
(
0 0
min
V
y
y
L
V
s
s
th th
t
ds
s
bi
th
th V
V
l
L
V
V
V
L
V
0 0
2
2
cosh
2
2
)
(
t
t
ds
sL
bi
sL
s
l
L
l
L
V
V
V
V
V
sinh
2
sinh
2
min
th
gs
s
s V
V
V
min
,
at
付録
閾値電圧変化
－短チャネル効果（擬似２次元）－
• 近似
• 短チャネル効果による閾値電圧変化
L
l
t ≪
t
t t
t
t
t
t
t
l
L
l
L
l
L
l
L
l
L
l
L
l
L
l
L
t
e
e
e
e
e
e
e
e
l
L
2
2
1
2
1
2
1
2
2
cosh
2
1
2
2
2
2
2
2
2
L lt L lt
ds
s
bi
th L
V
V
e
e
V
(
)
2
2
2
付録
