1 「代数と数論の基礎」（中島匠一） 章末問題の追加 第 1 章 問題 1.17 n を自然数とする。数学的帰納法を使ってつぎの等式を証明せよ。 (1) 1 + 2 +· · · + n = n(n + 1)2 (2) 13+ 23+· · · + n3= (1 +· · · + n)2
(3) sin(x) + sin(2x) +· · · + sin(nx) = sin (nx 2 ) sin ( (n + 1)x 2 ) sin (x 2 ) 問題 1.18 n を自然数とする。x2− y2 = n をみたす整数 x, y が存在するための ( n に関する) 条件は 何か。 問題 1.19 a, b, c, d は自然数で ad− bc = ±1 である。このとき、gcd(a + b, c + d) = 1 であることを示せ。 問題 1.20 a, b を自然数とする。g = gcd(a, b) と ˜g = gcd(a− b, a + b) との間にはどんな関係が成り立 つか。 問題 1.21 a1, a2, b1, b2を自然数とする。等式
gcd(a1, b1) gcd(a2, b2) = gcd(a1a2, a1b2, b1a2, b1b2)
が成り立つことを証明せよ。 問題 1.22 m, n を自然数とする。m!(n!)mは (mn)! の約数であることを示せ。 問題 1.23 x, y, z ∈ N とする。3x+ 4y = 5z が成立するのは x = y = z = 2 のときに限ることを証明 せよ。 問題 1.24 実数列{an} が漸化式 an+2=|an+1| − an (n∈ N) をみたすとき、すべての n∈ N について an+9= anが成り立つことを示せ。 第 2 章 問題 2.17 X を集合とし、環 R = Map(X, R) を考える（例 2.21 参照；また、R は実数体（例 2.24 参 照）である）。 (1) R の元が可逆元となる条件は何か。 (2) R のベキ零元は 0 だけである事を示せ。 (3) R が整域であるための ( X に関する) 条件は何か。
2 問題 2.18 (1) f (T1, T2)∈ Z[T1, T2] とする。すべての整数 n1, n2について f (n1, n2) = 0 が成り立つなら f (T1, T2) = 0 であることを示せ。 (2) p を素数とする。f (T1, T2)∈ Fp[T1, T2], f (T1, T2)6= 0 であって、 すべての a1, a2 ∈ Fp について f (a1, a2) = 0 をみたすものの例をあげよ。 問題 2.19 変数 T1, T2, U1, U2に関して恒等式 (T12+ T22)(U12+ U22) = (T1U1− T2U2)2+ (T1U2+ T2U1)2 が成り立つことを確かめよ。 問題 2.20 恒等式 (T12+ T22+ T32)(U12+ U22+ U32) = f12+ f22+ f32 をみたす多項式 fj(T1, T2, T3, U1, U2, U3)∈ Z[T1, T2, T3, U1, U2, U3] (j = 1, 2, 3) は存在しないことを証明せよ。 問題 2.21 m を 2 以上の整数とし、剰余環 Z/mZ を考える。 (1) Z/mZ が 0 以外の零因子を持つための (m に関する) 条件は何か。 (2) Z/mZ が 0 以外のベキ零元を持つための (m に関する) 条件は何か。 問題 2.22 R1, R2 は零環でない可換環とし、R = R1× R2（環の直積）とする。 (1) R×= R×1 × R×2(={(a1, a2)∈ R | a1∈ R×1, a2∈ R×2} を証明せよ。 (2) R は整域でない事を示せ。 (3) I1, I2 をそれぞれ R1, R2 のイデアルとするとき I1× I2={(a1, a2)∈ R | a1∈ I1, a2∈ I2} は R のイデアルであることを確かめよ。 (4) R のイデアルはすべて (3) の形で与えられることを証明せよ。 (5) R のイデアル I = I1× I2が素イデアルであるための (I1, I2に関する) 条件は何か。 第 3 章 問題 3.17 G を群とする。G から G への群同型を群 G の自己同型と呼び、それら全体を Aut(G) で表 す。記号で表せば Aut(G) ={ϕ : G → G | ϕ は群同型 } である。 (1) 写像の合成によって Aut(G) に演算を定める。この演算に関して Aut(G) は群をなすことを示せ。( Aut(G) は G の自己同型群 (automorphism group) と呼ばれる)。
3 (2) σ∈ G に対して ϕσ: G→ G を ϕσ(τ ) = σ∗ τ ∗ σ−1 (τ ∈ G) で定める。ϕσ ∈ Aut(G) を示せ。( ϕσ は σ の定める G の内部自己同型 (inner automorphism) と呼ばれる。) (3) 写像 α : G→ Aut(G) を α(σ) = ϕσ (σ∈ G) で定める。この α は群準同型であることを示せ。 (4) (3) の写像 α について、Ker(α) は G のどんな部分群か。 問題 3.18 記号は問題 3.17 の通りとするとき、Aut(S3) および Aut(Cn) はどんな群か ( n∈ N )。ただ し、 S3は 3 次対称群（3.2 節参照）で、Cnは位数 n の巡回群（定義 3.11 参照）である。 問題 3.19 G は群で、Cent(G) は G の中心だとする（例 3.17 参照）。 (1) 剰余群 G/Cent(G) が巡回群なら G は可換群であることを示せ。 (2) G の自己同型群 Aut(G)（問題 3.17 参照）が巡回群であれば、G は可換群であることを示せ。
