幾何学的当てはめのための最尤推定
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(2) Vol.2009-CVIM-168 No.6 2009/8/31. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report. ただし, (∂ξ/∂x) は写像 ξ(x) のヤコビ行列であり, (∂ξ/∂x)α は x = xα を代入することを ξα. ¯ α にノイズ ∆xα 意味する. 式 (9) で評価する ξα の共分散行列は, データ xα がその真値 x が加わったものとして, ∆xα の 2 次以上の項を省略して計算した ξα の共分散行列と一致 する.. ξα. 最尤推定の幾何学的解釈はこうである. 変数変換したベクトル ξα の次元を M とすると,. ξα は M 次元空間の N 個の点であり, (u, ξ) = 0 はこの空間中の超平面を表す. 最尤推定. ( ξ , u) = 0 図1. は超平面との距離をユークリッド距離で測るのではなく, 誤差の出やすさを考慮した各点の. マハラノビス距離の二乗和を最小にするように超平面を当てはめる.. 共分散行列で重み付けしたマハラノビス距離で測って, もっとも誤差が小さくなる超平面を ただし, 次のように置いた.. M LS ≡. N ∑. ξα ξ> α. 当てはめる問題と解釈できる（図 1）. ¯ に関して線形であるから, ラグランジュ乗数を導入して, これを削除すること 式 (8) は ξ α ¯ を直接に推定する代わりに ができる. 真の位置 ξ. (6). α. α=1. これは u の二次形式であるから, よく知られているように, これを最小にする単位ベクトル. ¯ = ξ − ∆ξ ξ α α α. u は行列 M LS の最小固有値に対する単位固有ベクトルである3) . 本稿の後の節で紹介す. (10). と書き, 補正量 ∆ξα を推定してもよい. このとき, 式 (7) は次のように書ける.. る最尤推定の計算方法は反復解法であり, その初期値として最小二乗法の解を与えることが 多い.. J=. 4. ξ 空間の最尤推定. N ∑. (∆ξα , V [ξα ]−1 ∆ξα ). (11). α=1. 式 (8) は次のように書ける.. x を変数変換した ξ = ξ(x) 空間での誤差が正規分布に従うと仮定すると, 最尤推定は. (ξα − ∆ξα , u) = 0. データの共分散（の逆数）で重み付けした, 次のマハラノビス距離（の二乗和）の最小化と なる?1 .. J=. N ∑. ¯ , V [ξ ]−1 (ξ − ξ ¯ )) (ξα − ξ α α α α. N ∑. (7). (∆ξα , V [ξα ]−1 ∆ξα ) −. α=1. α=1. これを拘束条件. α = 1, ..., N (8) ¯ ¯ のもとで最小にする ξα , u を求める. ここで, ξα は ξα の真値である. 元のデータ xα が ξα = ξ(xα ) の共分散行列 V [ξα ] を次のように評価する. ∂ξ ∂x. λα ((ξα − ∆ξα , u)). (13). α=1. 2V [ξα ]−1 ∆ξα − λα u = 0. ). (. V [xα ] α. ∂ξ ∂x. (14). 式 (14) より, 次式を得る.. ¯ α に期待値 0, 共分散行列 V [xα ] のノイズを独立に加えたものであるとき, 変換した 真値 x. V [ξα ] =. N ∑. と置き, ∆ξα で微分して 0 と置くと, 次のようになる.. ¯ , u) = 0, (ξ α. (. (12). 制約条件 (8) を消去するために, ラグランジュ乗数 λα を導入して,. λα V [ξα ]u 2 これを式 (12) に代入すると, λα が次のように定まる.. (15). 2(u, ξα ) (u, V [ξα ]u). (16). ∆ξα =. )> (9) α. λα =. ?1 変数変換した ξ が定数の成分を含むと, 式 (9) で評価される共分散行列 V [ξα ] は特異行列となる. このときは 式 (7) 中の V [ξα ]−1 を一般逆行列に置き換えればよい.. 2. c 2009 Information Processing Society of Japan.
(3) Vol.2009-CVIM-168 No.6 2009/8/31. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report. 式 (15) を式 (11) に代入すると, 次のようになる.. ( x α , yα ). N 1∑ 2 = λα (V [ξα ]u, V [ξα ]−1 V [ξα ]u) 4. J. α=1. (17). N 1∑ 2 = λα (u, V [ξα ]u) 4. 図2. α=1. 点列への直線当てはめ. これに式 (16) を代入すると次式が得られ, これを最小にする u を求めればよい.. J=. N ∑ α=1. 6. 最尤推定による幾何学的当てはめ. (u, ξα )2 (u, V [ξα ]u). (18) 本節ではコンピュータビジョンによく現れる幾何学的当てはめの問題として, 直線当ては め, 楕円当てはめ, 基礎行列の計算を例に具体的に最尤推定の計算方法を示す.. 5. 最尤推定解の計算 式 (18) の形の式を最小化する計算法として, 代表的なものは Chojnacki ら2) の FNS 法,. 【例 1】 直線当てはめ: 与えられた点 (xα , yα ), α = 1, ..., N に直線. Leedan ら7) の HEIV 法, および射影的ガウス・ニュートン法9) がある. ここでは比較的実. Ax + By + Cf0 = 0. 装が簡単な Chojnacki らの FNS 法について紹介する. 式 (18) を u で微分すると, 次のよ うになる.. ∇u J. =. N ∑ 2(u, ξα )ξα α=1 N. =. (u, V [ξα ]u). ∑ 2ξ (ξ> u) α α α=1. (u, V [ξα ]u). − −. を当てはめる問題を考える（図 2）. ξ(x, y), u を. N ∑ 2(u, ξα )V [ξα ]u α=1 N. ξ(x, y) = (x y f0 )> ,. (u, V [ξα ]u)2. ∑ 2(u, ξ )V [ξ ]u α α α=1. M≡. るとすると, xα = (xα yα f0 )> の共分散行列 V [xα ] および, (∂ξ/∂x)α は次のようになる から,. α=1. (u, V [ξα ]u). ,. L≡. N ∑ (u, ξα )V [ξα ] α=1. (3). 0. V [xα ] = 0. σ2. 0 ,. . (. ∂ξ ∂x. 次の固有値問題を解き, 最小固有値 λ に対する単位固有ベクトル u を求める.. (21). . ). 0. 0. = 0. 1. 0 . 0. 0. 0. . α. . 1. . (24). . 1. 0. 0. V [ξα ] = σ 2 0. 1. 2 0 ≡ σ V0 [ξα ]. 0. 0. 0. . 0. X ≡M −L. 0. . u に適当な初期値を与える（例えば最小二乗法の解を与える）. Xu0 = λu0 ,. . σ2. 0 0 0 ξα の共分散行列は, 次のように評価できる.. 定性を考慮して, ||u|| = 1 と正規化する. Chojnacki らの FNS 法の手順は次の通りである.. (2). . (20). (u, V [ξα ]u)2. 式 (18) を最小化するには式 (19) を 0 とする u を求めればよい. ただし, 解 u の定数倍の不. (1). (23). xα , yα , α = 1, ..., N に平均 0, 標準偏差 σ の正規分布に従うノイズが独立に加わってい. (u, V [ξα ]u)2. ただし, 次のように置いた.. ξα ξ> α. u = (A B C)>. と定義すると?1 , 式 (22) は, 式 (3) の形になる.. (19). = 2(M − L)u N ∑. (22). . (25). ここで, V0 [ξα ] を正規化共分散行列と呼ぶことにする. 式 (18) の最小化は σ 2 には依存しな. 符号を除いて u ≈ u0 なら u0 を返して終了する. そうでなければ, u ← u0 としてス ?1 f0 は画像サイズ程度の定数である. これにより, データベクトルの成分のオーダーがそろい, けた落ちによる計 算精度の低下を防ぐ目的がある.. テップ 2 に戻る.. 3. c 2009 Information Processing Society of Japan.
(4) Vol.2009-CVIM-168 No.6 2009/8/31. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report. . が成立する.. . x. . . . . x0. . ( y , F y 0 ) = 0. (30). f0 f0 ここで F はそれぞれの画像を撮影したカメラの相対位置や内部パラメータによって定まる. ( x α , yα ). ランク 2 の行列であり, 基礎行列と呼ばれる. 2 画像間で与えられた N 組の対応点 (xα , yα ), 図3. 0 (x0α , yα ), α = 1, ..., N から基礎行列を計算する問題を考える（図 4）. ξ(x, y), u を. 点列への楕円当てはめ. ξ(x, y, x0 , y 0 ) = (xx0 xy 0 xf0 yx0 yy 0 yf0 f0 x0 f0 y 0 f02 )> ,. いので, 最尤推定の計算は, 式 (20) の V [ξα ] を V0 [ξα ] に置き換えて行ってもよい.. と定義すると, 式 (30) は, 式 (3) の形になる.. 【例 2】 楕円当てはめ: 与えられた点 (xα , yα ), α = 1, ..., N に楕円. Ax2 + 2Bxy + Cy 2 + 2(Dx + Ey)f0 + F f02 = 0. 0 (xα , yα ), (x0α , yα ), α = 1, ..., N の x 座標と y 座標に独立に平均 0, 標準偏差 σ の正規分. (26). 布に従うノイズが独立に加わっているとすると, (∂ξ/∂x)α は次のようになるから,. . を当てはめる問題を考える（図 3）. ξ(x, y), u を. ξ(x, y) = (x2 2xy y 2 2xf0 2yf0 f02 )> ,. u = (A B C D E F )>. (. (27). と定義すると, 式 (26) は, 式 (3) の形になる.. ∂ξ ∂x. ) α. (. ∂ξ ∂x. . ). 2x. 2y. 0. 2f0. 0. = 0. 2x. 2y. 0. 2f0. 0. 0. 0. 0. 0. . α. 0. x2α. xα yα 0 2 V [ξα ] = 4σ xα 0 0. xα yα x2α. +. yα2. 0. xα. 0. 0. xα yα. yα. xα. 0. xα yα. 2 yα. 0. yα. 0. yα. 0. f02. 0. 0. xα. yα. 0. f02. 0. 0. 0. 0. 0. 0. f0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. x0. y0. f0. 0. 0. 0. 0. y. 0. 0. f0. 0. 0 0 . x. 0. 0. y. 0. 0. f0. 0. (32). V [ξα ] = σ 2 ×. . (28). . ≡ 4σ 2 V0 [ξα ] . >. y0. ξα の共分散行列は, 次のように評価できる.. 0. ξα の共分散行列は, 次のように評価できる.. . . 0 x 0. >. 0 . x0. =. xα , yα , α = 1, ..., N に平均 0, 標準偏差 σ の正規分布に従うノイズが独立に加わってい るとすると, (∂ξ/∂x)α は次のようになるから,. (31). u = (F11 F12 F13 F21 F22 F23 F31 F32 F33 )>. (29). x2α + x02 α. 0 x0α yα. f0 x0α. xα yα. 0. 0. f0 xα. 0. 0 x0α yα. 2 x2α + yα. 0 f0 yα. 0. xα yα. 0. 0. f0 xα. f0 x0α. 0 f0 yα. f02. 0. 0. 0. 0. 0. xα yα. 0. 0. 2 yα + x02 α. 0 x0α yα. f0 x0α. f0 yα. 0. 0. xα yα. 0. 0 x0α yα. 2 02 yα + yα. 0 f 0 yα. 0. f0 yα. 0. 0. 0. f0 x0α. f0 yα0. f02. 0. 0 0. 0. . 0 0 . . 0 . f0 xα. 0. 0. f0 yα. 0. 0. f02. 0. f0 xα. 0. 0. f0 yα. 0. 0. f02. 0 0 0 . 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 . ≡ σ V0 [ξα ] 2. 【例 3】 基礎行列の計算: 同一シーンを異なる位置から撮影した 2 画像において, 第 1 画像. (33). の点 (x, y) が第 2 画像の点 (x0 , y 0 ) に対応しているとき, 対応点間には次のエピ極線方程式. 4. c 2009 Information Processing Society of Japan.
(5) Vol.2009-CVIM-168 No.6 2009/8/31. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report. ( x α , yα ). 式 (9) と同様に, (∂ξ/∂x)α は写像 ξ(x) のヤコビ行列に x = xα を代入したものである. 制. ( x’α , y’ ) α. 約条件 (38) を消去するために, ラグランジュ乗数 λα を導入して, N ∑. (∆xα , V [xα ]−1 ∆xα ) −. α=1 N. 図 4 基礎行列の計算. =. ∑. (∆xα , V [xα ]. −1. ∆xα ) −. ∑. ∂ξ ∂x. ). ( λα. α=1. ). α. ∆xα , u) − (ξα , u). (. ∂ξ (∆xα , ∂x. )> α. ). (40). , u) − (ξα , u). と置き, ∆xα で微分して 0 と置くと, 次のようになる.. うに, 各点 (xα , yα ) の各座標に独立な正規分布に従うノイズが加わっていると考える方が自. 式 (41) より, 次式を得る.. 然である. しかし, 非線形変換した ξα のノイズは厳密には正規分布ではない.. ¯ α , V [xα ] (xα − x. (. (34). ¯ α )) (xα − x. (. ). (. λα = (35). (41). )> u. (42). α. ). 2(u, ξα ) (u, V [ξα ]u). (43). (44). 式 (42) を式 (37) に代入すると, 次のようになる.. α=1. ¯ α , u を求めるものである. 真の位置 x ¯ α を直接に推定する代わりに を最小にする x ¯ α = xα − ∆xα x. E (36). N ∑. (∆xα , V [xα ]−1 ∆xα ). =. N ( )> ( )> 1∑ 2 ∂ξ ∂ξ λα (V [xα ] u, u) 4 ∂x α ∂x α α=1. N ( ) ( )> 1∑ 2 ∂ξ ∂ξ = λα (u, V [xα ] u) 4 ∂x α ∂x α. と書き, 補正量 ∆xα を推定してもよい. このとき, 式 (35) は次のように書ける.. E=. u=0 α. λα ∂ξ ∂ξ > ( V [xα ] u, u) = (ξα , u) 2 ∂x α ∂x α 式 (9) の関係を用いると, λα が次のように定まる.. のもとで, 次のマハラノビス距離（の二乗和） −1. )>. λα ∂ξ V [xα ] 2 ∂x これを式 (39) に代入すると次のようになる.. 独立なノイズが加わったものとみなし, x 空間での最尤推定を考える. これは, 拘束条件. N ∑. ∂ξ ∂x. ∆xα =. ¯ α に期待値 0, 共分散行列 V [xα ] の正規分布に従う そこで, 元のデータ xα はその真値 x. (ξ(¯ xα ), u) = 0. (. 2V [xα ]−1 ∆xα − λα. 前節までの ξ 空間での最尤推定は, ノイズモデルが必ずしも適切ではない. 例に挙げたよ. E=. (( λα (. α=1 N. α=1. 7. x 空間の最尤推定. N ∑. (37). =. α=1. α=1 N λ2α (u, V. ∑. (45). [ξα ]u). α=1. 式 (34) は次のように書ける.. (ξ(xα − ∆xα ), u) = 0. これに式 (44) を代入すると次式が得られ, これを最小にする u を求めればよい.. (38). ξα = ξ(xα ) と置き, テーラー展開 ξ(xα − ∆xα ) = ξα − (∂ξ/∂x)α ∆xα + · · · を代入し. E=. て, 第 1 近似として補正項 ∆xα の 2 次の項を無視すると, 次式を得る.. (. (. ∂ξ ∂x. α=1. ). α. ∆xα , u) = (ξα , u). N ∑. (u, ξα )2 (u, V [ξα ]u). (46). これは式 (18) と一致している. これは, x 空間の最尤推定の第 1 近似が ξ 空間の最尤推定. (39). と一致することを意味している. 従って, 先の節で紹介した FNS 法などによってこれを最. 5. c 2009 Information Processing Society of Japan.
(6) Vol.2009-CVIM-168 No.6 2009/8/31. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report. ∆u. ˆ とすると, 式 (36), (42), (44) から真値 x ¯ α の第 1 近 小にする u が計算できる. その解を u ˆ α が次のように推定できる. 似x ˆ α = xα − x. (u, ξα )V [xα ] (u, V [ξα ]u). (. ∂ξ ∂x. )> u. u. (47). ^ u. α. O ∆u. 式 (47) は真値の第 1 近似であるから, これから更に高次の補正項を推定することにより, 真 値の近似値を更に補正してより真値に近づけながら最尤推定解を推定する方法が金谷ら4) に よって提案されている.. 8. 推定精度の評価. 図5. 最尤推定に限らず, 推定した解の精度を評価することは非常に重要な問題である. シミュ. 不偏推定量に対して次の不等式が成り立つ?15),6) .. レーションデータを用いた実験のように解の真値が既知であれば, 真の解と推定値との差を. ¯ −1 , V [u] M. 評価できる. 本稿で定義した幾何学的当てはめの解 u は単位ベクトルとしているから, その. ¯ ξ ¯> ξ α α ¯ ]¯ (¯ u , V [ξ α u). (51). ら1) は式 (51) の第 1 式の右辺を KCR(Kantani-Cramer-Rao) 下界と呼んだ. そして u が. であり, 次のように表せる.. ¯u ¯ Pu ≡ I − u. N ∑. ただし, は左辺から右辺を引いたものが半正値対象行列であることを意味する. Chernov. ¯ に垂直な平面に射影したもの る方向の大きさで測る（図 5）. 幾何学的には ∆u は u を u. ¯ )u = P u u, ∆u = u − (u, u. ¯ ≡ M. α=1. ¯ に直交する方向に生じる. そこで, 推定値 u の誤差 ∆u を u ¯ に直交す 微小変化は真の解 u. >. 推定値の精度評価. ¯ であれば, O(σ 4 ) を除いて式 (51) が成立すること 不偏推定量でなくても σ → 0 で u → u (48). を示した. 式 (50) を実際に評価する際には, 期待値の計算部分を次のように異なるノイズを加えた. 行列 P u は単位ベクトルに垂直な平面上への射影行列である. そこで, 計算の信頼性を次の. K 回の試行結果の二乗平均の平方根に置き換えればよい.. 共分散行列で評価する. >. >. V [u] = E[∆u∆u ] = E[(P u u)(P u u) ]. v u K u1 ∑ D=t ||P u u(a) ||2. (49). K. ここで, E[·] は誤差 ∆u に関する期待値を表す. 式 (34) のトレースの平方根. D=. √. trV [u] =. √. E[||∆u||2 ] =. √. E[||P u u||2 ]. (52). a=1. ここで, u(a) は a 回目の試行で得られた解を表す. また, KCR 下界とこの RMS 誤差を比 ¯ −1 のトレースを計算すればよい. 較する際には, RMS 誤差の計算と同様に行列 M. (50). を RMS 誤差, もしくは平方平均二乗誤差と呼ぶ.. 9. 幾何学的当てはめの精度評価. このとき, どのような推定方法で u を計算しても, データに誤差がある限り, V [u] がある 値よりも小さくならない, すなわち精度には超えることができない理論限界が存在する. ノ. 本節では, 再び直線当てはめ, 楕円当てはめ, 基礎行列の計算を例にして, 最尤推定によっ. イズ ∆ξα の分布を期待値 0, 共分散行列 V [ξα ] の独立な正規分布とみなせば, u の任意の. て計算した解の精度評価について説明する.. ¯ は特異行列となる. このときは逆行列を一般逆行列に置 ?1 変数変換した ξ が定数の成分を含むと, 式 (37) の M き換えればよい.. 6. c 2009 Information Processing Society of Japan.
(7) Vol.2009-CVIM-168 No.6 2009/8/31. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report 0.004. 0.9. 0.003. 0.5. 0.002. 0.001. 0. 1. 2. (a). (b). (c). (d). 3. 4. σ. 5. 0. 1. 2. (a). (b). (c). (d). σ. 3. 図 6 直線当てはめの精度評価, (a) シミュレーションデータ, (b) RMS 誤差, 実線:FNS 法, 破線:最小二乗法, 点 線:KCR 下界, (c) σ = 1 のときの直線当てはめの結果, (d) σ = 5 のときの直線当てはめの結果.. 図 7 直線当てはめの精度評価, (a) シミュレーションデータ, (b) RMS 誤差, 実線:FNS 法, 破線:最小二乗法, 点 線:KCR 下界, (c) σ = 1 のときの楕円当てはめの結果, (d) σ = 3 のときの楕円当てはめの結果.. 【例 4】 直線当てはめの精度評価: 直線 3x + 6y − 4f0 = 0, f0 = 600.0 上の N 点, (¯ xα , y¯α ),. α = 1, ..., N に期待値 0, 標準偏差 σ の正規分布に従うノイズを付加したデータ (xα , yα ) か ら最尤推定によって直線を当てはめ, その RMS 誤差と KCR 下界を比較する. 直線上に N = 30 点のシミュレーションデータを作成したものが, 図 6(a) である. これに. N 点, (¯ xα , y¯α ), α = 1, ..., N に期待値 0, 標準偏差 σ の正規分布に従うノイズを付加した. 期待値 0, 標準偏差 σ = 0, ..., 5, 刻み幅 0.1 の正規分布に従うノイズを付加したデータに対. データ (xα , yα ) から最尤推定によって楕円を当てはめ, その RMS 誤差と KCR 下界を比較. して, FNS 法を用いて直線を当てはめる. 各 σ に対して異なるノイズを付加して 1000 回の. する.. 試行を行い, RMS 誤差を経産した結果が図 6(b) である. 実線が FNS 法の RMS 誤差, 破線. 楕円上に N = 10 点のシミュレーションデータを作成したものが, 図 7(a) である. これに. が最小二乗法の RMS 誤差, 点線が KCR 下界である. 図 6(c), (d) はそれぞれ σ = 1, 5 の. 期待値 0, 標準偏差 σ = 0, ..., 3, 刻み幅 0.1 の正規分布に従うノイズを付加したデータに対. ときの最小二乗法と FNS 法で当てはめた直線の例である. これらの結果からわかるように. して, FNS 法を用いて楕円を当てはめる. 各 σ に対して異なるノイズを付加して 1000 回の. 直線当てはめでは, 最小二乗法と FNS 法の解に差はない. このことは, ||u|| = 1 のもとで. 試行を行い, RMS 誤差を計算した結果が図 7(b) である. 実線が FNS 法の RMS 誤差, 破線. は, 最尤推定の最小化すべき式 (46) と最小二乗法の式 (18) が同じになることから明らかで. が最小二乗法の RMS 誤差, 点線が KCR 下界である. 図 7(c), (d) はそれぞれ σ = 1, 3 の. ある. 10). ときの最小二乗法と FNS 法で当てはめた楕円の例である. RMS 誤差を比較すると, 最小二. .. 【例 5】 楕円当てはめの精度評価:中心 (0, 0), 長軸 200, 短軸 100（単位は画素）の楕円上の. 乗法がノイズが増えると急激に精度が低下し, FNS 法は最小二乗法に比べて精度が高いこ. 7. c 2009 Information Processing Society of Japan.
(8) Vol.2009-CVIM-168 No.6 2009/8/31. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report. 0.4. 0.3. 0.2. 0.1. 0. (a). 1. 2. 3. 4. σ. 5. (b). (a). 図 8 直線当てはめの精度評価, (a) シミュレーションデータ, (b) RMS 誤差, 実線:FNS 法, 破線:最小二乗法, 点 線:KCR 下界. 図 9 直線当てはめの精度評価, (a) シミュレーションデータ, (b) RMS 誤差, 実線:FNS 法, 破線:最小二乗法, 点 線:KCR 下界. とがわかる. また, 得られた解による楕円の描画結果を見ると, FNS 法の方が真の楕円に近. 参. い楕円が得られていることがわかる. 0 ), α = 1, ..., N 【例 6】基礎行列の精度評価: 異なる 2 画像間の N 組の対応点 (¯ xα , y¯α ), (¯ x0α , y¯α. に期待値 0, 標準偏差 σ の正規分布に従うノイズを付加したデータ (xα , yα ),. 0 (x0α , yα ). (b). 考. 文. 献. 1) Chernov, N. and Lesort, C.: Statistical efficiency of vurve fitting algrithms, Comput. Stat. Data Anal., 47-4, pp.713–728 (2004). 2) Chojnacki, M., Brooks, M. J., van den Hengel, A. and Gawley, D.: On the fitting on surfaces to data with covariances, IEEE Trans. Patt. Anal. Mach. Intell., Vol.22, No.11, pp.1294–1303 (2000). 3) 金谷健一: これならわかる最適化数学–基礎原理から計算方法まで–, 共立出版 (2005). 4) 金谷健一, 菅谷保之: 幾何学的当てはめの厳密な最尤推定の統一的計算法, 情報処理学 会論文誌, コンピュータビジョンとイメージメディア, Vol.2, No.1, pp.53–62 (2009). 5) Kanatani, K.: Statisitical Optimization for Geometric Computation: Theory and Practice, Elsevier Science, Amsterdam, The Netherlands (1996); Dover, New York (2005). 6) 金谷健一: 最尤推定の最適性と KCR 下界, 情報処理学会研究報告, 2005-CVIM-156-18, pp.59–64 (2005). 7) Leedan, Y. and Meer, P.: Heteroscedastic regression in computrer vision: Problems with bilinear constraint, Int. J. Comput Vision, Vol.37, No.2, pp.127–150 (2000). 8) 岡谷貴之: バンドルアジャストメント, 情報処理学会研究報告, 2009-CVIM-167-37, pp.1–16 (2009). 9) 菅谷保之, 金谷健一: 基礎行列の高精度計算法とその性能比較, 情報処理学会研究報告, 2006-CVIM-153-22, pp.207–214 (2006). 10) 菅谷保之, 金谷健一: 画像の三次元理解のための最適化計算 [I] –直線当てはめ–, 情報 処理学会誌, Vol.92, No.3, pp.229–233(2009). 11) 山田健人, 金澤 靖, 金谷健一, 菅谷保之: 2 画像からの 3 次元復元の最新アルゴリズ ム, 情報処理学会研究報告, 2009-CVIM-168-15, (2009).. から. 最尤推定によって基礎行列を計算し, その RMS 誤差と KCR 下界を比較する. 図 8(a) のシミュレーションデータに対して, 期待値 0, 標準偏差 σ = 0, ..., 5, 刻み幅 0.1 の正規分布に従うノイズを付加し, FNS 法を用いて基礎行列を計算する. 各 σ に対して異な るノイズを付加して 1000 回の試行を行い, RMS 誤差を計算した結果が図 8(b) である. 実 線が FNS 法の RMS 誤差, 破線が最小二乗法の RMS 誤差, 点線が KCR 下界である. 最小 二乗法では, ノイズの増加に従って精度が低下するが, FNS 法では KCR 下界にほぼ一致す るような高精度な解が得られている. 図 9 は実画像から手動で 100 点の特徴点を抽出して, FNS 法により基礎行列をして, 山田 ら11) らの方法で 3 次元復元を行った結果である.. 10. お わ り に 本稿では幾何学的当てはめの最尤推定法について解説した. コンピュータビジョンの分野 でよく現れる幾何学的当てはめの問題は, データとモデルパラメータが線形拘束条件で表さ れる場合が多く, 本稿ではこの場合についてのみ取り扱った. 本稿の内容は歴史的背景など には触れずに, 実際の問題ですぐに活用できることを目的として, 最尤推定法の具体的な計 算方法や推定値の信頼性評価について述べた. また, これらについて直線当てはめや楕円当 てはめなどの具体例を示した.. 8. c 2009 Information Processing Society of Japan.
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