THE HEIGHT AT THE FIXED POINT ON THE LINEARIZED GROWH CURVE IN THE SECOND PHASE

TRUぬthematics 24−1 〔1988）       TlIE I・旺…IGHT AT．TI田FIXED POINT      ・． ．．’一・「・ ．．・・．

       ON THE LINEARIZBD GROWTH CURVE IN THE SECOND PHASE

       M）tosaburo MASUYAMA       〔胎ceW麺岬8・、・988・…ise輌・i・・6・i988）「． ．1°Th・b・x・d it・鵬・n the・n・xt・P・g・i・・卿t・d f・・m・thg r・ference［5］with・・m・   modifications．       「       ’  ．      二        L・t・汐一hirt2．・be・h・．belgh・．・f・h・Z・th i㎡iWa・・垣S． r寧唾・gica・ 、 age t in the second phase、〔the adolescent period）． Then the coefficient of   variation （CV） is about 4％． Hence the equations 〔1）． and （2〕．hold ［2i3］．        Th・c・rre1・・i・rt・・eξfi・ig・・〔CC）・b・tyeep・i・nq’・bi・i・一゜・998・’°τ1ess［4L ・・th・t th・・e1・ti・n・（3）and（4〕・with C．r D・h・1d叩pr9麺t・1y・寧r・el・ti。・   （3〕 is verified graphically in． Fig． 1 G 2， based on the National Sam1）1e Survey   as of 1983 ［7L      ．』』』 ’   ：        ． 』        By definition， X．（t） ＝》z． rt／ must be．・estimated旬the longitudina1．．survξツ， bu…U・e the cr・ss−r・9？i・na・、・ne・’s？．・h・…he・・t・・d1妬迦γh卸C．’…11   biases of order O．ヱ rcm）．       −        Assuming the strict cQnvgrgence of growth lines ．（2），we set shrto）＝Oat    ．   the fixed point rら σノ，砲ich implies ．    ．    ．       ．  ’．

  （5）  ．h・rカ。ノ1−・ノ・わ・ 、      、．

  2°Acc・rding t・th・S・rv・y［7］，we・bt・in      ’

       『2．rカ ノ ＝ 198．80 ± ヱ．94 rαηノ    ‘        ・   ．．     』 』 』、        O f・rthe rang・・3・ヱ7 ry・・ノ・f・b・y・・Th・CC b・tab・en・h（t）・aPd・h・rt．ノi・equa1 t・   −0．9949． And       ．  ．．』．    ．   ．、  、．、！       、．hT 「t。∼．＝．．189・9°，1 1・57・「・川、． t．t…． f°「the「ange 11∼ヱ7「卿ノ．°f gi「1s・The． CC bet鳩en％「麺d．h・似lis：equal   to −0．9954●      ・・         、        These two estimates are too large con唖）ared with the regression esti皿ates     ・   obtained by the pilot study， using the relation （4）． The discrepancy seems to   haVe arisen．． from the assumption of the．strict eonvergence of growth 1．ines．．一・． ・ ・−  Nbte：The obseIved．CV 6f height at the end’of’growth is abOut− ’3％∫whi：ch’is．very．   small compared with the alnong−person SD of X＝ZoθC，砲ere C denotes the 75

76

_M．MASUYAMA

THE ALMOST−ONE FARAM1正R H￥POTFESlS   THE BIoLoGlcAL PRocEss xrt） I s PRIMITIVE， OR FUNDA岡EN「AL FOR THE LIFE．      −t・   （IF NECESSARY， Xrt） I S TRANSFORMED IN ADVANCE IMO A NEW VARIA丁E， WH！CH IS DEN（汀ED旨AGAIN BY．xrt）．）   THE INDIVI肌、W駅1旭IUW OF聖「幻 FOR i ＝ 1， 2⊃ …  診 」V IS SUFFICIENTLY SMA山WH‖…RE’nE VARIAB！し『Y IS REPRESE．g『ED BY A D！惰ENS！ONUESS MEASURE．   ヒT・i、一駐距純P艀田TI拒（｝，． ’1−｝−tE…i−ru lNDIVI㎜⊇噸bz lS A PdslTlvE DI“，ENSIONLESS・coNsTANT， THEN’  − yrt） BElNG ITS 窟…FERENCE P撤）CESS， M…HAME ・（1）．． dAriノ’dei．r dY／dち   ． ．． THIs MEANs THAT THE HEcHANIsH oF REGし‖＿ATI．qN FOR THE VELOCITY IS IDFNT耳（礼一 Ii：Hls’戸RdPER TIME IS．usED， BY；㌔一’  ． INTEGRATION，紺…OBTAIN c∼）   Xi rt）＝ai＋birrt）・   IF N三SE丁 yrt） ＝X・（t）， WE OBTAIN NATURAL ODND1TIONS α・ ＝ O AND 1）・ ＝ ヱ，   THE DoT DENσTEs Tl・fE陸…AN wlTH REsPEcT         コ TO W｛… INDEX t．  ONE （GENoTIC） FAcToR Is PREDoMINENT IN τH旺… PROCESS． ．  PARAME丁ERS CONTAINEI〕 IN τHE EXPLICIT ．F（濃H OF．Xi rち， ARE M」丁U創］LY DEPENDENT．    THE（紬ali．ATIdw COEFドICI白πρBE聴団 ・t’．Bb bi IS’EQUAL’Tσ一11”．−．    THERE EXIST TWO CONSTANTS σAND・D  SUCH THAT  （4）  αi＝c一の〃  ORτ十‖…RE EXISTS A F！XED POI↑『「 r刀」 CJ ON ・’嘯gE LINEARI之ED cuRvE．（2）．★    MY SP眺1舶， PO1肝s rbi・α∂艇  ON A・．FIXED・L！NE ？一σ一 Z為《ON・TFiE u−∂  PLANE．    嘘RM冊ua boNDITI〔別S， WE HAVE 』  THE RELATION O＝D・   THE・STANnARD EEvl酊1㎝（F Xi ！S A’”1 LINEAR FUNCT’1qN OF ヱrt，： （3） ・。ω一・［・α一8カyω］， ・階iRE”6α州D eb DENO正．冊拒ST͡’

@  ・

DEVIA丁10NS OF ai AND bi RESPECTIVELY．   IN・REALITY川匪E F眠蹴…N’TAL・RELATIoNs（2），（3）AND（4）喘）ouLY・APPRoxlMA正LY、 SO THAT矩 SAY ’ALト⑩ST−（維PARA惰訂1ER’ AND ’QしいSJ−FlXED’ INSTEAD OF ’ONE PARA揃ER’ ：AND’FIXED’ RESPECTIVELY，      ．      ’ de @Accordi ng to circumstances，  ［6．］」・．     ”  ・   ” the LS estimate of r1）s C） may be a statistical artifact

77 1 HEIGHIb eAT THE FIXED POIM

68N

N ．oる．︹臣 O留

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頑 6。。

78

’M．MASUYma

concentration of a normal constituent in blood． The SD is usually equal to O．ヱ ∼ 0．2，if we use the ’モ盾高高盾氏@logarit㎞， whiCh「corresp㎝ds to O．23∼0．470n the natural logarithmic scale． The only exceptions are f㎞damental substamces ill blood， fbr which the SD of X is less than O．ヱ 【1，6］．      It may mean that eVen tho㎎h the…mo㎎一person variability of each ch㎝ical constituent is large，：our hum◎ral system is we11−controlled within a person to reach  his aimed−at final height． But still the regulation of the velocity （1） seems  insufficient to reach such a final state of the small variability．

REFERENCES

［1］ ［2］ ［3］ ［4］ ［5】 ［6】 ［7］ Masuyama， M．〔19ブ9）：Human BiochemicaZヱ＞nditiduaZ 防at・iabi Zit多θ8 ⑳τ4 their   c？uasi−oonstaney． Se Zeoted Pa砂eヱ7s o了〃． tdasuyctmα・ The Researdh Institute   of the Life Insurance Welfare， Tokyo．       』． Masuyama， M．〔1980）：On the linearized grc就h curve， TRU Matheuatios，16−2，   137−154．      − Masuyama， M．〔1981）：On the adolescence growth spurt and the variability of   height， ibid．， 17−1， 1−10． Masuyama， M．〔1981）：Linearized growth curve during adolescent period and   principle of least CV， ibid．， 17−2， 169−187．、 Masuyama， M．，Ogata， H．，and Kaniwa， N．〔1984）：Kinetics of urinary   excτetion rate from the viewpoint of the a1皿ost一㎝e paraneter h）Tpothesis，   ibid．， 20−2， 213−224． Masuyama， M．〔1985）：！ZVze A Znz）st−one Parcuneter flgPothes−is ApP Zied to Au oc）Zogy   and Pha「macoki’netics・ Se Zeeteと『Pcrpe？s of丑f． Masuyamct． The Research   Institute of the Life Insurance Welfare， Tokyo． Ministry of EdUCation 〔1984）：d2kk∂hクken TOkeityOsαHOkokusyo・ DEPARTMENT OF APPLIED MATH正MATICS    SC；EN（玉UNIVERSITY OF TOKYO