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カルツァ・クラインの計算とクラインのゲージ理論

中嶋 慧

October 20, 2020

Abstract このノートでは、まず、クラインの1938年のSU(2)「ゲージ理論」を紹介し、そのラ グランジアン密度を求める。次に、パウリの1953年のSO(3)ゲージ理論を紹介する。最後 に、カルツァ・クライン理論の非可換ゲージ場版(キリングベクトルを使う定式化と使わな い定式化の両方)のラグランジアン密度を求める。

Contents

1 クラインの 1938 年の理論 3 2 クラインの「ゲージ理論」の5N ₇ 3 パウリの SO(3) ゲージ理論 (1953 年) 11 4 非可換カルツァ・クライン理論：藤井『超重力理論入門』 13 4.1 設定 . . . 13 4.2 ω˜a_BC . . . . 14 4.3 ω˜A BC . . . . 14 4.4 ω˜_AB . . . . 16 4.5 N . . . .˜ 17 4.5.1 N1 . . . . 18 4.5.2 N2 . . . . 18 4.5.3 N3 . . . . 19 4.5.4 キリング条件 . . . 19 5 非可換カルツァ・クライン理論：内山『一般ゲージ場論序説』 20 5.1 設定 . . . 20 5.2 ω˜A_B . . . . 21 5.3 N . . . .˜ 23

A 5_{G の計算 25} A.1 記号 . . . . 25 A.2 5_Γ cab . . . . 25 A.3 5_Γc ab . . . . 26 A.4 5G . . . . 27 A.4.1 rαβ . . . . 28 A.4.2 r4β . . . . 29 A.4.3 r44 . . . . 30 A.4.4 5_{G：局所慣性系 . . . . 30} A.4.5 上の計算で落とした項 . . . . 30 A.4.6 5G . . . . 31 A.5 5_{R . . . . 31} B スカラー場がある場合 32 B.1 5_{N . . . 32} B.2 5R . . . . 32 C キリング条件 34

1

クラインの

1938

年の理論

この章の参考文献は、[1] である。 以下、ギリシャ文字の添え字は 0, 1, 2, 3 を表し、ラテン文字の添え字は 0, 1, 2, 3, 4 を表す。 カルツァ・クライン理論の 5 次元時空の計量は、 γ44 = α , γ4µ = Aµ, γµν = gµν + 1 αA(µAν) (1.1) であり、逆行列は、 γµν = gµν, γ4µ=−1 αA µ_{, γ}44₌ 1 α + 1 α2AµA µ _(1.2) である。α は定数である。gαβ_は、g αβの逆で、ギリシャ文字は gαβ, gαβで上げ下げする。クラ インの 1938 年の理論では、Aµは行列で、x4に依存する。通常のカルツァ・クライン理論では、 Aµは電磁場と同定される。 クラインは、メソン場と核子場の相互作用を考えた。その際、5 番目の次元 x4_{を考え、場は} e−iqx4/β_{の x}4_{依存性を持つと仮定した。ここで、q は電荷である。β は定数である。} Aµ = βχµと置く。また、以下では α = 1 とする。 クラインは χµを、核子のアイソスピン 2 重項 ψ def= ( ψn ψp ) (1.3) (ψn, ψpはディラック場で、それぞれ中性子, 陽子を表す) に作用する 2 次行列 χµ = ( Aµ B˜µ Bµ Aµ ) (1.4) とした。Aµ(上述のとは別物) は x4に依らないが、 ˜Bµ, Bµは、 β∂4B˜µ = −ie ˜Bµ, (1.5) β∂4Bµ = ieBµ (1.6) に従うものと仮定する。e は電気素量である。Aµは電磁場と同定され、 ˜Bµ, Bµは正および負の メソンと同定される。 ¯ψ def= ( ¯ψn, ¯ψp) とし、 ¯ψA(A = n, p) は ¯ψA= ψ†iε0によって定義される。εa の定義は後述の (1.13) である。x4_{依存性は、} β∂4ψ = ie ( 0 ψp ) = ie ( 0 0 0 1 ) ψ, (1.7) β∂4ψ =¯ −ie(0, ¯ψp) (1.8) を仮定する。 ψ のラグランジアン密度の候補は、 L = − ¯ψ(γa∂a+ m)ψ = − ¯ψ(γµ∂µ+ γ4∂4+ m)ψ = − ¯ψ(γµ∂µ+ γ4 ie β ( 0 0 0 1 ) + m)ψ (1.9)

である。ここで、γa_は、 1 2(γ a γb + γbγa) = γab (1.10) で定義される。γa def = γabγaとすると、 1 2(γ a_γ b+ γbγa) = δab, (1.11) 1 2(γaγb+ γbγa) = γab (1.12) である。今、 1 2(εaεb+ εbεa) = ηab (ηab = diag(−1, 1, 1, 1, 1)) (1.13) で εaを定義し、γ4 = ε4と置く。γ4 = γ4aγa = γ4 + βχµγµなので、 γ4 = ε4− βγµχµ (1.14) となる1)_{。この表式を (1.9) に代入し、ε} 4に比例する項を落として、 L′ _{= − ¯ψ(γ}µ_D µ+ m)ψ, (1.15) Dµψ def = [ ∂µ− ieχµ ( 0 0 0 1 ) ] ψ (1.16) を得る。 上の Dµψ の表式は、SU(2) ゲージ理論の共変微分と少し異なる。今、 A1_µdef= B˜µ√+ Bµ 2 , A 2 µ def = iB˜µ√− Bµ 2 , A 3 µ def = Aµ (1.17) と置くと、 χµ = 1 √ 2(σ1A 1 µ+ σ2A2µ) + A 3 µ (1.18) と書ける。ここで、 σ1 = ( 0 1 1 0 ) , σ2 = ( 0 −i i 0 ) , σ3 = ( 1 0 0 −1 ) (1.19) である。また、 ( 0 0 0 1 ) = (1− σ3)/2 なので、Dµψ は、 Dµψ = [ ∂µ− ie { 1 √ 2(σ1A 1 µ+ σ2A2µ) + A 3 µ }1 − σ3 2 ] ψ (1.20) 1)_χ µはアイソスピン 2 重項に作用する行列であり、γµは ψn, ψpに作用する行列なので、χµは γµと可換であ る。

と書ける。これは、通常の共変微分 [ ∂µ− ie 2 3 ∑ k=1 Ak_µσk ] ψ (1.21) と異なる。 通常の 4 次元の理論では、重力場のラグランジアン密度は、G/(2κ) である。ここで、 G = gµν [ Γρ_γνΓγ_µρ− Γρ_γρΓγ_µν ] (1.22) である。これの γabに対する対応物を5G とする。gµνは x4に依らないとして、クラインは、 5_{G = G−} β2 4 χµνχ µν _(1.23) を得た。ここで、 χµν def = ∇µχν − ∇νχµ, (1.24) ∇µχν def = (∂µ− βχµ∂4)χν (1.25) である。これより、 χµν = ( Aµν B˜µν Bµν Aµν ) , (1.26) Aµν = ∂µAν − ∂νAµ+ ie(BµB˜ν − ˜BµBν), (1.27) Bµν = ∂µBν− ∂νBµ+ ie(AµBν− BµAν), (1.28) ˜ Bµν = ∂µB˜ν− ∂νB˜µ− ie(AµB˜ν − ˜BµAν) (1.29) を得る。 これらは、共変微分 (1.21) に対応する SU(2) ゲージ場の強さ F_µνa = ∂µAaν − ∂νAaµ+ e 3 ∑ b,c=1 εa_bcAb_µAc_ν (a = 1, 2, 3) (1.30) と対応する。ここで、εa bc= εabcはレビチビタの記号である。χµνは Fµνa を用いて、 χµν = 1 √ 2(σ1F 1 µν+ σ2Fµν2 ) + Fµν3 (1.31) と書ける。これは、通常の表式 Fµν ∝ 3 ∑ a=1 σaFµνa (1.32) とは異なる。_{∝ は定数倍を除いて等しいという意味である。} クラインは、(1.23) を、 5 G = G−β 2 4 Tr(χµνχ µν ) (1.33)

と解釈した。また、全系の作用として、 S = ∫ d4x √−gLtot, (1.34) Ltot = L′+ 1 2κ 5_G− µ 2_c2 2ℏ2 g µν_B µB˜ν (1.35) を採用した。ただし、β2 _{= 2κ とした。µ はメソンの質量であり、κ はアインシュタイン定数で} ある。g は gµνの行列式である。 付録 (1.23) では、(1.23) の導出を試みるが、途中で諦めて ∂4χµ= 0 の場合、つまり、通常の カルツァ・クライン理論の場合に限って計算する。 次の上では、5_{G に代わりに}5_{N を計算する。ここで、}5_{N は 4 次元の N の対応物で、N はス} カラー曲率 R や G と同じ役割を果たす量である。

2

クラインの「ゲージ理論」の

5

N

前章のクラインの「ゲージ理論」のラグランジアン密度を導出する。 (1.1) の計量は、 γabdxadxb = gµνdxµdxν + α(dx4 + 1 αAµdx µ₎2 _(2.1) である。以下、α = 1 とする。フレーム 1 形式を、 gµνdxµdxν = ηABθAθB, (2.2) θ4 def= dx4+ Aµdxµ (2.3) で導入する。ηABはミンコフスキー計量である。A, B, C, D は 0 から 3 を表す。このとき、 γabdxadxb = ηABθAθB+ θ4θ4 ≡ ˜ηABθAθB (2.4) となる。_{A, B は 0 から 4 を表す。A, B の上げ下げは ηAB}とその逆で、_{A, B, C, D の上げ下げ} は ˜η_ABとその逆で行う。 この章の以下の計算は、[3] を参考にした。今、 dθA = −˜ωA_B ∧ θB, (2.5) dθA = −ωA_B∧ θB (2.6) によって、˜ωA_B, ωA Bを定める。また、 ˜ ωA_B = ˜ωA_BCθC (2.7) と置くと、 −˜ωA B∧ θB = −˜ωABCθC∧ θB = −˜ωA_BCθC ∧ θB− (˜ωA_4B− ˜ωA_B4)θB∧ θ4− ˜ωA₄₄θ4∧ θ4 (2.8) である。よって、 ˜ ωA_BC = ωA_BC, (2.9) ˜ ωA_B4 = ˜ωA_4B(=−˜ω_{4 B}A ) (2.10) を得る。 ここで、 fµν def = ∂µAν− ∂νAµ, (2.11) cµ def = ∂4Aµ (2.12) とし、 A def= Aµdxµ ≡ AAθA, (2.13) cdef= cµdxµ≡ cAθA, (2.14) fµνdxµ∧ dxν ≡ fABθA∧ θB (2.15)

と置く。 さて、 dθ4 = ∂[µAν]dxµ∧ dxν + ∂4Aµdx4∧ dxµ = 1 2fµνdx µ_{∧ dx}ν _{+ c} µdx4∧ dxµ = 1 2fABθ A_{∧ θ}B_{+ c} Bdx4∧ θB = 1 2fABθ A_{∧ θ}B_{+ c} B(θ4− AAθA)∧ θB = (1 2fAB− A[AcB])θ A_{∧ θ}B_{+ c} Bθ4∧ θB = 1 2FABθ A_{∧ θ}B_{+ c} Bθ4∧ θB, (2.16) FAB def = fAB− AAcB+ ABcA (2.17) である。これより、 ˜ ω4_B =−1 2FABθ A_{− c} Bθ4, (2.18) ˜ ω4_BA =−1 2FAB (2.19) となる。(2.10) より、 ˜ ωA_B4 = −˜ω_{4 B}A = −1 2F A B (2.20) となり、 ˜ ωA_B = ωA_B− 1 2F A Bθ 4 _(2.21) となる。 また、˜ω_AB =−˜ω_BAのはずなので、 ˜ ωB₄ =−˜ω₄B = 1 2F B A θ A_{+ c}B_θ4 _(2.22) となる。 曲率 2 形式は、 ˜ ΩA_B = d˜ωA_B + ˜ωA_C∧ ˜ωC_B ≡ ˜rA B + ˜sAB (2.23) である。特に、 ˜ sA_B = ˜ωA_C∧ ˜ωC_B+ ˜ωA₄∧ ˜ω4_B, (2.24) ˜ s4_B = ˜ω4_C∧ ˜ωC_B (2.25)

である。 また、_{∗ をホッジ作用とし, ˜}R を γabに対するスカラー曲率とすると、 ∗ ˜R = ˜ΩA_B∧ e_AB, eAB def= ∗(θA∧ θB) (2.26) である。また、 ∗ ˜R = ˜RA_B∧ e_AB+ 2 ˜R4_B∧ e₄B (2.27) である。 今、 − ˜N def= ˜sA_B ∧ e_AB = ˜sA_B∧ e_AB+ 2˜s4_B∧ e₄B (2.28) とおく。gµνに対するこれを N と書く。N =N ∗ 1 とすると、 1 2κN (2.29) が、gµνに対するラグランジアン密度であった (N は、gµνに対するスカラー曲率 R と同等の役 割を果たす)。 ˜ sA_B = [ ωA_C− 1 2F A Cθ 4]_∧[ ωC_B− 1 2F C Bθ 4] + [₁ 2F A C θ C + cAθ4 ] ∧[− 1 2FDBθ D _{− c} Bθ4 ] ≈ ωA C ∧ ω C B− 1 4F A C FDBθC ∧ θD (2.30) である。ここで、_{≈ は、˜s}A B∧ eABの計算で落ちる項を落とした、という意味である。ただし、 θA∧ θB∧ e_CD = (δA_Cδ_DB − δA_Dδ_CB)∗ 1 (2.31) を用いた。また、 ˜ s4_B = [ − 1 2FACθ A_{− c} Cθ4 ] ∧[ωC_B− 1 2F C Bθ 4] ≈ −1 4FACF C Bθ 4_{∧ θ}A_{− c} Cθ4∧ ωCB (2.32) となる。_{≈ は、˜s}4 B∧ e4Bの計算で落ちる項を落とした、という意味である。 上の計算より、 − ˜N =−N + [₁ 4FBAF AB _{− 2 ·}1 4FACF CA_{− 2c} AωABB ] ∗ 1 =−N + [₁ 4FABF AB _{− 2c} AωABB ] ∗ 1 (2.33) である。 ˜N =5_{N ∗ 1 と置くと、} 5_{N = N −} 1 4FµνF µν _{+ 2c} µωµνν, (2.34) Fµν def = ∇µAν − ∇νAµ, (2.35) ∇µAν def = ∂µAν − Aµcν = (∂µ− Aµ∂4)Aν (2.36)

となる。クラインの解釈では、 5_{N = N −} β2 4 Tr(χµνχ µν_{) + 2βTr(∂} 4χµ)ωµνν (2.37) となる。x4_{依存性の仮定より、Tr(∂} 4χµ) = 0 であり、上式の最後の項は落ちる。

3

パウリの

SO(3)

ゲージ理論

(1953

年

)

この章の参考文献は [1] である。パウリから A. Pais への手紙を解説する。 4 次元時空を M とし、S2を 2 次元球面とする。パウリは、 ˜M def= M × S2という 6 次元空間 を考えた。カルツァ・クライン理論は、M _{× S}1_{の理論なので、その自然な拡張である。} M の座標を xµ_{, S}2 _{の座標を y}a_{(a = 1, 2, 3 で (y}1₎2 _{+ (y}2₎2 _{+ (y}3₎2 _{= r}2_{, r は定数) とし、} zA= (xµ, ya) とする。この節では、ギリシャ文字の添え字は 0, 1, 2, 3 を表し、ラテン小文字の 添え字は 1, 2, 3 を表すものとする。 ˜M の計量を gAB(z) とすると、その変換則は、 g′_AB(z′) = ∂z I ∂z′A ∂zJ ∂z′BgIJ (3.1) である。特に、座標変換 (xµ, ya)→ (xµ, y′a) , ya= Ra_b(x)y′b (3.2) を考える。Ra b(x) は SO(3) の元である。この時、 g′_ab = Rc_aRd_bgcd= RcaR d bδcd = δab, (3.3) g_aµ′ = Rb_a ( gbµ+ ∂Rc_d ∂xµ y ′d_g bc ) (3.4) である。gbc = δbcである。今、

gaµ = Aabµ(x)yb (3.5)

を仮定する。Aabµ(x) は ycに依らない。このとき、 g_aµ′ = A′_abµy′b (3.6) である。一方、(3.4) より、 g′_aµ = Rc_a ( AcdµRdb+ ∂Rd_b ∂xµ δcd ) y′b (3.7) なので、 A′_abµ = Rc_aAcdµRdb+ R c aδcd ∂Rd b ∂xµ (3.8) を得る。これは、 A′a_bµ = R_caAc_dµRd_b+ R_ca∂R c b ∂xµ = (R−1)a_cAc_dµRd_b+ (R−1)a_c∂R c b ∂xµ (3.9) とも書ける。添え字の上げ下げは δab, δabで行った。(3.2), (3.4) を書き直すと、 y′a = Sa_b(x)yb, (3.10) A′_µ = SAµS−1− ∂µS· S−1 (3.11)

となる。ただし、S = (Sa b) のような行列を用いた。S = R−1である。(3.11) は SO(3) のゲー ジ場の変換則である。つまり、Aa bµは SO(3) のゲージ場である 2)_。 パウリは、 Fa_bµν = ∂µAabν− ∂νAabµ+ A a cµA c bν− A a cνA c bµ (3.12) を場の強さとした。実際、これは SO(3) のゲージ場の強さである。 2)_g

aµを Aabµ(x)ybと展開した時の係数が SO(3) ゲージ場となる。カクツァ・クライン理論では、g4µが電磁場

4

非可換カルツァ・クライン理論：藤井『超重力理論入門』

藤井『超重力理論入門』[2] の、カルツァ・クライン理論の非可換ゲージ場版を解説する。

4.1

設定

時空 M と内部空間 N の積 ˜M = M × N を考える。M の座標 xα˜_{とし、N の座標を y}µ_とし、 zΞ = (xα˜, yµ) とする。M の計量を ηabθaθb (4.1) とし、 ˜M の計量を η_ABθAθB (A = (a, A)) (4.2) とする。また、 θA = θA_ΞdzΞ (4.3) であり、 θa_α˜ = ba_α˜(x), (4.4) θa_µ = 0, (4.5) θA_µ = hA_µ(y), (4.6) θA_α˜ = KA_r(y)Ar_α˜(x) (4.7) である [2]。r はゲージ場のラベルである。KA r(y) はキリングベクトルで、 Kµ_r∂µKνs− K µ s∂µKνr = −f t rsK ν t, (4.8) Kµ_r = (h−1)µ_AKA_r (4.9) を満たす。この時、 KA_r = hA_νKν_r (4.10) であり、 ∂µKAr = ∂µhAνK ν r+ h A ν∂µKνr (4.11) となる。なお、 θA = hA_µdyµ+ KA_rAr (4.12) である。ここで、 Ar def= Ar_α˜dxα˜ = Ar_aθa (4.13) とした。 以下、ラテン小文字の上げ下げは ηabとその逆で行い、ラテン大文字の上げ下げは ηABとそ の逆で行う。

4.2

ω

˜

a_BC この章の以下の計算は [3] を参考にした。 今、 dθA = −˜ωA_B ∧ θB, (4.14) dθa = −ωa_b ∧ θb (4.15) によって、˜ωA_B, ωa_bを定める。また、 ˜ ωA_B = ˜ωA_BCθC, ωa_b = ωa_bcθc (4.16) と置くと、 −˜ωA B∧ θB =−˜ωABCθC∧ θB =−˜ωA_bcθc∧ θb − (˜ωA_bC − ˜ωA_Cb)θC ∧ θb− ˜ωA_BCθB∧ θC (4.17) である。よって、 ˜ ωa_bc = ωa_bc, (4.18) ˜ ωa_bC = ˜ωa_Cb, (4.19) ˜ ωa_BC = ˜ωa_CB (4.20) を得る3) _。

4.3

ω

˜

A_BC また、 dθA = ∂[µhAν]dy µ_{∧ dy}ν _{+ ∂} µKArdy µ_{∧ A}r_{+ K}A rdA r _(4.22) である。ところで、 hA_µdyµ = θA− KA_rAr, (4.23) dyµ = (h−1)µ_A(θA− KA_rAr) (4.24) である。よって、 ∂µKArdy µ _{= (h}−1₎µ B(θ B_{− K}B sA s_)∂ µKAr = (h−1)µ_B∂µKArθ B_{− A}s_(h−1₎µ BK B s∂µKAr ≡ ∂BKArθ B_{− A}s_(h−1₎µ BK B s∂µKAr = ∂BKArθ B_{− A}s_Kµ s∂µKAr (4.25) 3)_{正確には、} ˜ ωa_[bc] = ωa_[bc] (4.21) しか言えない。˜ωa bc= ωabcは、˜ωabcを多脚場の微分から計算して分かる。

となる。これより、 ∂µKArdy µ_{∧ A}r _{= ∂} BKArθ B_{∧ A}r_{− K}µ [s∂µK A r]A s_{∧ A}r = ∂BKArθ B_{∧ A}r_{− K}µ [s∂µK A r]A s_{∧ A}r _(4.26) である。ここで、 Kµ_s∂µKAr = K µ s∂µhAνK ν r+ h A νK µ s∂µKνr (4.27) なので、 Kµ_[s∂µKAr] = K µ s∂[µhAν]K ν r− h A ν 1 2f t srK ν t = Kµ_s∂[µhAν]Kνr− 1 2f t srKAt (4.28) となる。よって、 ∂µKArdyµ∧ Ar = ∂BKArθB∧ Ar− As∧ ArKµs∂[µhAν]Kνr+ 1 2f t srKAtAs∧ Ar (4.29) となる。また、 ∂[µhAν]dy µ_{∧ dy}ν = ∂[µhAν](h−1) µ B(θ B_{− K}B rA r )∧ (h−1)ν_C(θC − KC_sAs) = ∂[µhAν](h−1) µ B(h−1) ν CθB∧ θC −∂[µhAν](h−1) ν CK µ rA r_{∧ θ}C_{− ∂} [µhAν](h−1) µ BK ν sθ B_{∧ A}s +∂[µhAν]K µ rK ν sA r_{∧ A}s _(4.30) である。今、 HA_µν def= ∂[µhAν], (4.31) HA_BC def= HA_µν(h−1)µ_B(h−1)ν_C (4.32) のように記号を定めると、 ∂[µhAν]dy µ_{∧ dy}ν _{= H}A BCθ B_{∧ θ}C _{− H}A BCK B rA r_{∧ θ}C _{− H}A BCK C sθ B_{∧ A}s +∂[µhAν]K µ rK ν sA r_{∧ A}s _(4.33) となる。よって、 dθA = HA_BCθB∧ θC− HA_BCKB_rAr∧ θC− HA_BCKC_sθB∧ As ∂BKArθ B_{∧ A}r₊1 2f t srK A tA s_{∧ A}r_{+ K}A rdA r = HA_[BC]θB∧ θC+ [ ∂BKArθ B_{+ 2H}A [BC]K B rθ C]_{∧ A}r +KA_rFr, (4.34) Fr def= dAr+ 1 2f r stA s_{∧ A}t (4.35)

を得る。ところで、 ωA_BC def= HA_BC + 2ηD(B∂[βhDα](h−1) Aα_(h−1₎β C) (4.36) とすると、ωA [BC] = HABCである。よって、 dθA = ωA_BCθB∧ θC+ [ ∂CKAr+ 2ω A [BC]K B r ] θC ∧ Ar_bθb +KA_r1 2F r bcθ b_{∧ θ}c (4.37) となる。ここで、 Fr = 1 2F r bcθ b_{∧ θ}c _(4.38) と置いた。よって、 ˜ ωA_BC = ωA_BC, (4.39) ˜ ωA_bc = 1 2K A rF r bc, (4.40) ˜ ωA_Cb− ˜ωA_bC = [ ∂CKAr+ 2ω A [BC]K B r ] Ar_b (4.41) を得る4)_。

4.4

ω

˜

_AB (4.41) は、 ˜ ωACb+ ˜ωbAC = [ ∂CKAr+ 2HABCKBr ] Ar_b (4.43) と書き直せる。(4.20) より、˜ωb[AC] = 0 なので、 ˜ ωACb = [ ∂[CKA]r− 2H[AC]BKBr ] Ar_b (4.44) を得る。よって、 ˜ ωbAC = [ ∂(CKA)r− 2H(AC)BKBr ] Ar_b (4.45) となる。 4)_{正確には、} ˜ ωA_[BC] = ωA_[BC] (4.42) しか言えない。˜ωA BCωABCは、˜ωABCを多脚場の微分から計算して分かる。

˜ ωab = ωab+ ˜ωabCθC = ωab+ ˜ωaCbθC = ωab− ˜ωCabθC = ωab− 1 2KArF r abθ A ≡ ωab+ Aab (4.46) ˜ ωAB = ωAB+ ˜ωABcθc = ωAB+ [ ∂[BKA]r− 2H[AB]CKCr ] Ar ≡ ωAB+ AAB (4.47) ˜ ωAb = ˜ωAbaθa+ ˜ωAbCθC = ˜ωAbaθa− ˜ωbACθC = 1 2KArF r baθ a₋[_∂ (CKA)r− 2H(AC)BKBr ] Ar_bθC ≡ ωAb+ AAb (4.48)

4.5

N

˜

S_AB def= ˜ω_AC∧ ˜ωC_B, (4.49) ˜ N def= S_AB∧ eBA = Sab∧ eba+ 2SaB ∧ eBa+ SAB∧ eBA ≡ N1+ 2N2+ N3 (4.50) とする。ここで、 eBA def= ∗(θB ∧ θA) (4.51) である。また、 Ωdef= ∗1 (4.52) とし、 ˜N = ˜N Ω と置く。このとき、 θA′B′ ∧ eAB = (ηA′AηB′B− ηA′BηB′A)Ω (4.53) である。

4.5.1 N1 Sab = ˜ωaC∧ ˜ωCb = ˜ωac∧ ˜ωcb− ˜ωCa∧ ˜ωCb = (ωac+ Aac)∧ (ωcb+ A c b)− (ωCa+ ACa)∧ (ωCb+ A C b) ≈ ωac∧ ωcb− ωCa∧ ωCb. (4.54) ここで、_{≈ は N1}の計算に不要な項を落とした、という意味である。よって、 N1 = N− 1 4KArF r adK A sF s be(η db_ηea_{− η}da_ηeb_)Ω = N− 1 4κrs(y)F r abF s,ba_Ω = N + 1 4κrs(y)F r abF s,ab_{Ω (4.55)} となる。ここで、 κrs def = KArKAs (4.56) であり、 N def= ωac∧ ωcb∧ e ba _{≡ N Ω (4.57)} とした。 4.5.2 N2 SaB = ˜ωaC∧ ˜ωCB = ˜ωac∧ ˜ωcB− ˜ωCa∧ ˜ωCB =−(ωac+ Aac)∧ (ωBc+ A c B)− (ωCa+ ACa)∧ (ωCB+ A C B) ≈ −ωac∧ ABc− Aac∧ ωBc− ωCa∧ ωCB− ACa∧ ACB =−Aac∧ ωBc+ ABc∧ ωac+ ωCB∧ ωCa− ACa∧ ACB (4.58) N2 = SaB ∧ eBa = (−A_acBω_Bca+ A_BcBω_aca+ ωC B_B ω_Caa− A_CaBAC a_B )Ω = (−1 4κrs(y)F r abF s,ab_{+ A}cB B ω a ac + ω C B B ω a Ca − ACaBACBa)Ω = (−1 4κrs(y)F r abF s,ab_{+ A}cB B ω a ac )Ω. (4.59)

ωCabは a, b について反対称なので、ωCaa = 0 であり、ACaB, ACBaは C, B についてそれぞれ対

称, 反対称なので、ACaBACBa= 0 である。

よって、 N1+ 2N2 = N− 1 4κrs(y)F r abF s,ab Ω + 2A_BcBω_acaΩ (4.60)

4.5.3 N3 SAB = ˜ωAC∧ ˜ωCB = ˜ωAC∧ ˜ωCB− ˜ωAc∧ ˜ωBc = (ωAC+ AAC)∧ (ωCB+ A C B)− (ωAc+ AAc)∧ (ωBc+ A c B) ≈ ωAC∧ ωCB− AAc∧ ABc. (4.61) よって、 N3 = N′− AAc∧ ABc∧ e BA_{, (4.62)} N′ def= ωAC∧ ωCB∧ e BA _{≡ N}′_{(y)Ω (4.63)} となる。 ˜ N = N + N′− 1 4κrs(y)F r abF s,ab_{Ω + 2A} cB B ω a ac Ω− AAc∧ ABc∧ e BA ≡ (N + N′_(y)−1 4κrs(y)F r abF s,ab_{)Ω + 2A} cB B ω a ac Ω− AAc∧ ABc∧ e BA _(4.64) 最後の 2 項が余分だが、実は以下に述べる理由で 0 となる。 4.5.4 キリング条件 付録 C で示すように、キリング条件 ∇(µKν)r = 0 (Kνr = hAνKAr) (4.65) と ∂(CKA)r− 2H(AC)BKBr = 0 (4.66) が等価なので、 ABc = 0 (4.67) であり、 ˜ N = N + N′_(y)−1 4κrs(y)F r abF s,ab _(4.68) となる。

5

非可換カルツァ・クライン理論：内山『一般ゲージ場論序説』

内山『一般ゲージ場論序説』[4] の、カルツァ・クライン理論の非可換ゲージ場版を解説する。

5.1

設定

§ 4.1 の記号を使う。ただし、内部空間の次元はゲージ場の数と同じとする。 ˜M の計量 γΞΣ は、 γ_{α ˜˜β} = g_{α ˜˜β} + κµνAµα˜A ν ˜ β, (5.1) γαµ˜ = Aνα˜Mνµ(y), (5.2) γµν = MλµMλν, (5.3) Mµ_ν def= (L−1)µ_ν (5.4) である。ギリシャ小文字の上げ下げは κµνとその逆で行った。ただし、 κµν = −fλµσfσνλ (5.5) であり、fλ µσは群の構造定数である。fλµν = κλδfδµνは完全反対称である。また、Lµν は、 ∂αLλµL α ν − ∂αLλνL α µ = f σ µνL λ σ (5.6) を満たす。 計量は、 γΞΣdzΞdzΣ = gα ˜˜βdx ˜ α_dxβ˜_{+ γ} µνdwµdwµ, (5.7) dwµ = dyµ+ Lµ_νAν_α˜dxα˜ (5.8) となる。今、 g_{α ˜˜β} = ηabθaα˜θ b ˜ β, (5.9) γµν = ηABθAµθ B ν, (5.10) θa def= θa_α˜dxα˜, (5.11) θA def= θA_µdwµ = θA_µ(dyµ+ Lµ_νAν) , Aν = Aν_α˜dxα˜ (5.12) とすると、 γΞΣdzΞdzΣ = ηABθAθB (5.13) となる。今、 κµν = ηABUAµUBν (5.14)

と展開すると、 θA_µ = UA_νMν_µ (5.15) である。よって、 θA = UA_ν(Mν_µdyµ+ Mν_µLµ_λAλ) = UA_ν(Mν_µdyµ+ Aν) (5.16) を得る。 以下、ラテン小文字の上げ下げは ηabとその逆で行い、ラテン大文字の上げ下げは ηABとそ の逆で行う。

5.2

ω

˜

A_B § 4.2 と同様にして、 ˜ ωa_bc = ωa_bc, (5.17) ˜ ωa_bC = ˜ωa_Cb, (5.18) ˜ ωa_BC = ˜ωa_CB (5.19) を得る。 また、 dθA = UA_ν(∂[λMνµ]dy λ_{∧ dy}µ + dAν) (5.20) である。ところで、 Mν_µLµ_α = δν_α (5.21) を微分して、 ∂λMνµL µ α+ M ν µ∂λLµα = 0, (5.22) ∂λLµα = −L µ ν∂λMνβL β α (5.23) を得る。よって、(5.6), 即ち、 ∂αLλ[µL α ν] = 1 2f σ µνL λ σ (5.24) は、 Lλ_γ∂αMγ_βLβ_[µLαν] =− 1 2f σ µνL λ σ, Lλ_γ∂[αM γ β]L β µL α ν =− 1 2f σ µνL λ σ, ∂[αMγ_β]LβµL α ν =− 1 2f γ µν, ∂[αMγ_β]LαµL β ν = 1 2f γ µν (5.25)

となる。一方、 UA_νMν_µdyµ = θA− UA_νAν dyµ = Lµ_ν[Vν_AθA− Aν] , Vν_A def= (U−1)ν_A (5.26) である。よって、 ∂[λMνµ]dy λ _{∧ dy}µ = ∂[λMνµ]L λ α[V α Aθ A_{− A}α ]∧ Lµ_β[Vβ_VθB− Aβ] = 1 2f ν αβ[V α Aθ A_{− A}α ]∧ [Vβ_BθB− Aβ] = 1 2f ν αβV α AV β Bθ A_{∧ θ}B + 1 2f ν αβA α_{∧ A}β −fν αβV [α Aθ A_{∧ A}β] _(5.27) となる。したがって、 dθA = UA_ν1 2f ν αβ(V α BV β Cθ B_{∧ θ}C_{− V}[α Bθ B_{∧ A}β]_{) + U}A νF ν ≡ 1 2f A BCθ B_{∧ θ}C₋ 1 2f A Bγθ B_{∧ A}γ_{+ U}A νF ν ≡ 1 2f A BCθ B_{∧ θ}C₋ 1 2f A BγA γ cθ B_{∧ θ}c₊1 2U A νF ν bcθ b_{∧ θ}c _(5.28) となる。ここで、 Fν = dAν +1 2f ν αβA α_{∧ A}β (5.29) である。これより、 ˜ ωA_BC = ωA_BC def= 1 2(f A BC + 2f A (BC)), (5.30) ˜ ωA_bc = 1 2U A νFνbc, (5.31) ˜ ωA_cB− ˜ωA_Bc = 1 2f A BγAγc (5.32) となる5)_。 よって、 ˜ ωab = ωab− 1 2UAνF ν bcθ A ≡ ωab+ Aab. (5.34) また、(5.32) は ˜ ωcAB+ ˜ωABc = − 1 2fABγA γ c (5.35) 5)_{正確には、} ˜ ωA_[BC] = ωA_[BC]= 1 2f A BC (5.33) までしか言えない。˜ωA BC= ωABC は多脚場の微分から計算して分かる。

となり、 ˜ ωABc =− 1 2f[AB]γA γ c, (5.36) ˜ ωcAB =− 1 2f(AB)γA γ c (5.37) となる。 よって、 ˜ ωAB = 1 2f A BCθ C ₋1 2f[AB]γA γ cθ c ≡ ωAB+ AAB (5.38) および、 ˜ ωAb = ˜ωAbcθc− ˜ωbABθB = 1 2U A νF ν bcθ c₊ 1 2f(AB)γA γ bθ B ≡ ωAb+ AAb (5.39) を得る。

5.3

N

˜

§ 4.5 と同様にして、 N1 = N + 1 4UAµU A νF µ abF ν,ab_Ω = N + 1 4κµνF µ abF ν,ab_{Ω (5.40)} や、 ˜ N = N − 1 4κµνF µ abF ν,ab_{Ω + N}′_{+ N}′′_{, (5.41)} ˜ N = N − 1 4κµνF µ abF ν,ab_+N′_+N′′ _(5.42) を得る。ここで、 N′ = ωAC∧ ωCB∧ e BA = (ω_ACBωC A_B − ω_ACAωC B_B )Ω, (5.43) N′ _{= ω} ACBωCBA− ωACAω C B B = const. (5.44) であり、 N′′ = 2A_BcBω_acaΩ− AAc∧ ABc∧ e BA = 2A_BcBω_acaΩ + (−A_AcBA_BcA+ A_AcAA_BcB)Ω, (5.45) N′′ _{= 2A}cB B ωaca− AAcBABcA+ AAcAABcB (5.46)

である。fαβγ = καδfδβγの完全反対称性から、 A_BcB = 1 2f B BγAγc = 1 2f α αγA γ c = 0 (5.47) であり、 AAcBABcA = 1 4f(AB)γf (AB) δA γ cA δ,c = 1 4f(αβ)γf (αβ) δA γ cA δ,c = 0 (5.48) となる。よって、 ˜ N = N − 1 4κµνF µ abF ν,ab +N′, (5.49) N′ _{= ω} ABCωBCA− ωACAω C B B = 1 4fαβγf βγα = 1 4fαβγf αβγ _{= const. (5.50)} となる。

A

5

G

の計算

A.1

記号

第 1 章の設定で考える。 クリストッフェル記号は、 Γσ_µν = 1 2g σλ (∂µgλν+ ∂νgλµ− ∂λgµν)≡ gσλΓλµν (A.1) である。γabに対する Γλµν, Γσµνを5Γcab, 5Γcabと書く。特に5Γλµνは、 5_Γ λµν = Γλµν + ˜Γλµν (A.2) である。ここで、Γλµνは gµνから計算され、˜Γλµν は A(µAν)/α から計算されたものである。 以下、 fµν def = ∂µAν− ∂νAµ, (A.3) Sµν def = ∂µAν+ ∂νAµ, (A.4) cµ def = ∂4Aµ (A.5) とする。

A.2

5

Γ

cab まず、5_Γ cabを求める。 ˜ Γλµν = 1 4α(∂µAλAν+ Aλ∂µAν + ∂νAλAµ+ Aλ∂νAµ− ∂λAµAν − Aµ∂λAν + +∂µAνAλ + Aν∂µAλ+ ∂νAµAλ + Aµ∂νAλ− ∂λAνAµ− Aν∂λAµ) = 1 4α(fµλAν + AλSµν+ fνλAµ+ SµνAλ+ Aνfµλ+ Aµfνλ) = 1 4α({fµλ, Aν} + {fνλ, Aµ} + {Sµν, Aλ}) w = 1 2α(fµλAν + fνλAµ+ SµνAλ) (A.6) である。= は Aw µを数とみなした場合の等号である。

また、 Γ4µν = 1 2(∂µAν + ∂νAµ− 1 α∂4[A(µAν)]) = 1 2Sµν − 1 4α({cµ, Aν} + {Aµ, cν}) w = 1 2Sµν − 1 2α(cµAν + Aµcν), (A.7) Γλ4ν = 1 2( 1 α∂4[A(λAν)] + ∂νAλ − ∂λAν) = 1 2fνλ+ 1 4α({cλ, Aν} + {Aλ, cν}) w = 1 2fνλ+ 1 2α(cλAν + Aλcν), (A.8) Γ44ν = 1 2(∂4Aν + ∂νγ44− ∂4Aν) = 0, (A.9) Γλ44 = 1 2(∂4Aλ+ ∂4Aλ− ∂λg44) = cλ, (A.10) Γ444 = 0. (A.11)

A.3

5

Γ

c_ab 5_Γc abを求める。 以下、行列のかけ算は可換だと考えて扱う。 5 Γσ_µν = gσλ(Γλµν+ ˜Γλµν) + g4σΓ4µν = Γσ_µν+ 1 2α(f σ µ Aν + fνσAµ+ SµνAσ) − 1 2αA σ_S µν+ 1 2α2A σ_(c µAν + Aµcν) = Γσ_µν+ 1 2α(f σ µ Aν + fνσAµ) + 1 2α2A σ_(c µAν + Aµcν) = Γσ_µν+ 1 2α(e σ µ Aν + eνσAµ). (A.12) ここで、 eµν def = fµν+ 1 αcµAν (A.13)

5_Γ4 µν = γ 4λ_(Γ λµν + ˜Γλµν) + γ44Γ4µν =−1 αAλΓ λ µν − A λ 1 2α2(fµλAν + fνλAµ+ SµνAλ) +(1 α + 1 α2A γ Aγ) [₁ 2Sµν − 1 2α(cµAν + Aµcν) ] =−1 αAλΓ λ µν − A λ 1 2α2(fµλAν + fνλAµ) + 1 2αSµν− 1 2α( 1 α + 1 α2A γ Aγ)(cµAν + Aµcν) =−1 αAλ 5 Γλ_µν+ 1 2αSµν− 1 2α2(cµAν + Aµcν), (A.14) 5 Γσ_4ν = gσλΓλ4ν + γ4σΓ44ν = 1 2f σ ν + 1 2α(c σ Aν + Aσcν), (A.15) 5 Γσ₄₄ = gσλΓλ44+ γ4σΓ444 = cσ, (A.16) 5_Γ4 4ν = γ 4λ_Γ λ4ν + γ44Γ44ν =− 1 2αfνλA λ_{− A}λ 1 2α2(cλAν + Aλcν), (A.17) 5_Γ4 44 = γ 4λ_Γ λ44+ γ44Γ444 = 0. (A.18) 5_Γ µ def = 5Γa_µa = 5Γν_µν+5Γ4_µ4 = Γµ+ 1 2α(e ν µ Aν + eννAµ)− 1 2αfµλA λ_{− A}λ 1 2α2(cλAµ+ Aλcµ) = Γµ+ 1 2α2(cµA ν Aν + AνcνAµ)− Aλ 1 2α2(cλAµ+ Aλcµ) = Γµ. (A.19) ここで、Γµ def = Γρ µρ. 5_Γ 4 def = 5Γa_4a = 5Γα_4α = 1 2f σ σ + 1 2α(c σ_A σ+ Aσcσ) = 1 αc σ_A σ. (A.20)

A.4

5

G

重力場のラグランジアン密度は、G/(2cκ) である。ここで、 G = gµν [ Γρ_γνΓγ_µρ− Γρ_γρΓγ_µν ] = gµνΓρ_γνΓγ_µρ− gµνΓαΓαµν (A.21)

である。5 次元の対応物は、 5_{G =} 5_Γd cb 5_Γc adγ ab₋5_Γ c5Γcabγ ab ≡ 5 G1 −5G2 (A.22) である。 5_G 1 = 5Γdcβ 5_Γc αdg αβ ₊5_Γd cβ 5_Γc 4dγ 4β ₊5_Γd c4 5_Γc αdγ α4₊5_Γd c4 5_Γc 4dγ 44 =5Γδ_γβ5Γγ_αδgαβ+5Γδ_4β5Γ4_αδgαβ+5Γ4_γβ5Γγ_α4gαβ +5Γ4_4β5Γ4_α4gαβ +5Γδ_γβ5Γγ_4δγ4β+5Γδ_4β5Γ4_4δγ4β +5Γ4_γβ5Γγ₄₄γ4β+5Γ4_4β5Γ4₄₄γ4β +5Γδ_γ45Γγ_αδγα4+5Γδ₄₄5Γ4_αδγα4+5Γ4_γ45Γγ_α4γα4+5Γ4₄₄5Γ4_α4γα4 +5Γδ_γ45Γγ_4δγ44+5Γδ₄₄5Γ4_4δγ44+5Γ4_γ45Γγ₄₄γ44+5Γ4₄₄5Γ4₄₄γ44 =5Γδ_γβ5Γγ_αδgαβ+ 2·5Γδ_4β5Γ4_αδgαβ +5Γ4_4β5Γ4_α4gαβ +2·5Γδ_γβ5Γγ_4δγ4β + 2·5Γδ_4β5Γ4_4δγ4β + 2·5Γ4_γβ5Γγ₄₄γ4β +5Γδ_γ45Γγ_4δγ44+ 2·5Γδ₄₄5Γ4_4δγ44 = rαβgαβ+ 2r4βγ4β+ r44γ44, (A.23) rαβ =5Γδγβ 5 Γγ_αδ+ 2·5Γδ_4(β5Γ4_α)δ+5Γ4_4β5Γ4_α4, (A.24) r4β =5Γδγβ5Γ γ 4δ+ 5_Γδ 4β5Γ44δ+5Γ4γβ5Γ γ 44, (A.25) r44 =5Γδγ45Γ γ 4δ+ 2· 5_Γδ 445Γ44δ (A.26) 5_G 2 = sαβgαβ + 2s4βγ4β+ s44γ44, (A.27) sαβ = Γγ5Γγαβ + 5_Γ 45Γ4αβ, (A.28) s4β = Γγ5Γγ_4β +5Γ45Γ44β, (A.29) s44 = Γγ5Γγ44 (A.30) A.4.1 rαβ まず、rαβを求める。 5_Γδ γβ 5_Γγ αδ = Γ δ γβΓ γ αδ+ ˜Γ δ γβΓ γ αδ+ Γ δ γβΓ˜ γ αδ+ ˜Γ δ γβΓ˜ γ αδ = Γδ_γβΓγ_αδ+ 1 2α(e δ γAβ+ eβδAγ)Γ γ αδ+ 1 2αΓ δ γβ(eαγAδ+ e γ δ Aα) + 1 4α2(e δ γ Aβ + eβδAγ)(eαγAδ+ e γ δ Aα) = Γδ_γβΓγ_αδ+ 1 2α(e δ γAβ+ eβδAγ)Γ γ αδ+ 1 2αΓ δ γβ(e γ α Aδ+ e γ δ Aα) + 1 4α2(e δ γ e γ α AβAδ+ eγδe γ δ AβAα+ eβδe γ α AγAδ+ eβδe γ δ AγAα) (A.31)

2·5Γδ_4β5Γ4_αδ = 1 2α [ − 2Aλ5Γλαδ+ Sαδ− 1 α(cαAδ+ Aαcδ) ][ f_βδ+ 1 α(c δ Aβ + Aδcβ) ] (A.32) ここまで来て、cµ = 0 と置く。つまり、クラインの 1938 年の計算から、1926 年の計算に移る。 まず、しばらく局所慣性系で計算する。落とした項は後で計算する。 このとき、 5_G 2 = 0 (A.33) となる。また、 5_Γδ γβ5Γ γ αδ = 1 4α2(f δ γ fαγAβAδ+ fγδf γ δ AβAα+ fβδfαγAγAδ+ fβδf γ δ AγAα) = 1 4α2(f δ γ f γ δ AβAα+ fβδfαγAγAδ+ 2Aλfδλf(αδAβ)). (A.34) 2·5Γδ_4β5Γ4_αδ ≈ − 1 2α2Aλ(f λ α Aδ+ fδλAα)fβδ = − 1 2α2(f λ α f δ β AλAδ+ Aλfδλf δ β Aα). (A.35) ここで、_{≈ は、g}αβ_{と縮訳させたら落ちる項を落とした、という意味である。} 5_Γ4 4β 5_Γ4 α4 = 1 4α2fβρfασA ρ_Aσ _(A.36) よって、 rαβ ≈ 1 4α2f δ γ f γ δ AβAα (A.37) となる。 A.4.2 r4β r4β = ˜Γδγβ 5_Γγ 4δ+ 5_Γδ 4β 5_Γ4 4δ (A.38) ˜ Γδ_γβ5Γγ_4δ = 1 4α(f δ γ f γ δ Aβ+ f δ β f γ δ Aγ) (A.39) 5_Γδ 4β 5_Γ4 4δ = − 1 4αf δ β fδλAλ (A.40) r4β = 1 4αf δ γ f γ δ Aβ (A.41)

A.4.3 r44 r44 =5Γδγ4 5_Γγ 4δ = 1 4f δ γ f γ δ (A.42) A.4.4 5G：局所慣性系 5_{G =} 5_G 1 = 1 4α2f δ γ f γ δ AβAαgαβ −2 αA β_· 1 4αf δ γ f γ δ Aβ +(1 α + 1 α2A ρ Aρ) 1 4f δ γ f γ δ = − 1 4αfαβf αβ (A.43) A.4.5 上の計算で落とした項 上の計算で落とした項を計算する。 落とした項に′を付けると、 5 G′₂ =5G2. (A.44) r_αβ′ ≈ Γδ_γβΓγ_αδ+ 1 2α(f δ γ Aβ+ fβδAγ)Γ γ αδ+ 1 2αΓ δ γβ(fαγAδ+ f γ δ Aα) − 1 2α(AλΓ λ αδfβδ+ AλΓλβδfαδ), (A.45) r′_4β = Γδ_γβ5Γγ_4δ = 1 2Γ δ γβf γ δ , (A.46) r₄₄′ = 0 (A.47) r′_αβ ≈ Γδ_γβΓγ_αδ+ 1 2αf δ γ AβΓ γ αδ+ 1 2αΓ δ γβf γ δ Aα (A.48) 5_G′ 1 = G1+ 1 αf δ γ A α_Γγ αδ −1 αA β_Γδ γβf γ δ = G1. (A.49)

ここで、G1は gαβに対するものである。G2, G も同様とする。 また、 s44 = 0. (A.50) sαβ = ΓγΓγ_αβ + 1 2αΓγ(f γ α Aβ+ f_βγAα) (A.51) s4β = Γγ5Γγ4β = Γγ 1 2f γ β (A.52) 5_G′ 2 = 5_G 2 = G2+ 1 αΓγf γ α A α −1 αΓγA β_f γ β = G2 (A.53) よって、 5 G′ = G1− G2 = G (A.54) A.4.6 5G 以上より、 5_{G = G−} 1 4αfαβf αβ _(A.55) が示された。

A.5

5

R

リーマン接続でのスカラー曲率は、 R = gµν [ ∂ρΓρµν− ∂νΓρµρ+ Γ ρ γρΓ γ µν − Γ ρ γνΓ γ µρ ] = gµν [ ∂ρΓρµν− ∂νΓρµρ ] − G (A.56) である。γabに対するスカラー曲率を5R とすると、 5_{R = R−} 1 4αfαβf αβ _(A.57) となる。この計算は付録 B を参照。

B

スカラー場がある場合

カルツァ・クライン理論で、g44がスカラー場の場合、 γ44 = ϕ2, γ4µ = ϕ2Aµ, γµν = gµν+ ϕ2AµAν (B.1) となり (ギリシャ文字の添え字は 0 から 3 を表す)、計量は、 ηabθaθb+ θ4θ4 (B.2) となる。ただし、 θ4 = ϕdx4+ ϕA (A = Aµdxµ) (B.3) である。Aµも ϕ も x4には依存しないとする。ラテン小文字の添え字は 0, 1, 2, 3 を表し、その 上げ下げはミンコフスキー計量 ηabとその逆で行う。

B.1

5

N

dθ4 = dϕ∧ dx4+ dϕ∧ A + ϕdA = dϕ∧( 1 ϕθ 4_{− A})_{+ dϕ∧ A + ϕdA} = 1 ϕdϕ∧ θ 4 + ϕdA ≡ 1 ϕϕaθ a_{∧ θ}4₊1 2ϕfabθ a_{∧ θ}b_{. (B.4)} これは、(2.16) で、F → ϕf, cA→ −ϕa/ϕ としたものであるから、(2.34) より、 5_{N = N −} ϕ2 4 fµνf µν _{− 2}∂µϕ ϕ ω µν ν. (B.5) となる。

B.2

5

R

§ 2 と同様にして、 ˜ ωab = ωab− 1 2ϕfabθ 4 , (B.6) ˜ ω4b = − 1 2ϕfabθ a + 1 ϕϕbθ 4 (B.7)

となる。よって、 d˜ωab = dωab− 1 2 [ fabdϕ∧ θ4+ ϕdfab∧ θ4+ ϕfabdθ4 ] = dωab− 1 2 [ fabdϕ∧ θ4+ ϕdfab∧ θ4− ϕfabω˜4c∧ θ c] ≈ dωab+ 1 2ϕfabω˜ 4 c∧ θ c ≈ dωab− 1 4ϕ 2_f abfcdθc∧ θd (B.8) となる。ここで、_{≈ は d˜ωab∧ e}ab_{の計算に不要な項を落とした、という意味である。よって、} d˜ωab∧ eab = dωab∧ eab− 1 2ϕ 2_f abfab∗ 1 (B.9) となる。 また、 d˜ω4b = − 1 2 [ fabdϕ∧ θa+ ϕdfab∧ θa+ ϕfabdθa ] − 1 ϕ2ϕbdϕ∧ θ 4₊ 1 ϕdϕb∧ θ 4₊ 1 ϕϕbdθ 4 ≈ − 1 ϕ2ϕbdϕ∧ θ 4₊ 1 ϕdϕb∧ θ 4₊ 1 ϕϕb 1 ϕϕaθ a_{∧ θ}4 = 1 ϕdϕb ∧ θ 4 ≡ −1 ϕ∂aϕbθ 4_{∧ θ}a _(B.10) である。よって、 d˜ω4b∧ e4b = − 1 ϕη ab ∂aϕb∗ 1. (B.11) 以上より、 5_{R = R−}ϕ2 4 fµνf µν ₊ 2 ϕ [ − ηab_∂ aϕb+ ϕbωbaa ] = R−ϕ 2 4 fµνf µν ₋ 2 ϕg µν_∇ µ∂νϕ (B.12) となる。また、 √ −γ =√−gϕ (B.13) である。よって、 √ −γ ·5_{R =} √_−g[_ϕR−ϕ3 4 fµνf µν]_{− 2g}µν√_−g∇ µ∂νϕ =√−g [ ϕR−ϕ 3 4 fµνf µν]_{− 2∂} µ( √ −ggµν_∂ νϕ). (B.14)

C

キリング条件

キリング条件 ∇(µKν)r = 0 (C.1) と ∂(CKA)r− 2H(AC)BKBr = 0 (C.2) の等価性を示す。ここで、Kνr = hAνKArであり、 ∂CKAr = (h−1)µC∂µKAr (C.3) である。 (C.1) は、 ∂µKνr+ ∂νKµr− 2ΓλµνKλr = 0   (C.4) である。ところで、 ∂µKνr = ∂µ(hAνKAr) = hA_ν∂µKAr+ ∂µhAν · KAr (C.5) なので、(C.4) は、 hA_(ν∂µ)KAr + (∂(µhAν)− Γ λ µνh A λ)KAr = 0 (C.6) となる。また、 (h−1)µ_B(h−1)ν_C(∂(µhAν)− Γ λ µνh A λ) = −ω A (BC) (C.7) なので、(C.6) より、 ∂(BKC)r− ωA(BC)KAr = 0 (C.8) を得る。ところで、

ωABC = HABC + 2H(BC)A, (C.9)

ωA(BC) = 2H(BC)A (C.10)

なので、(C.8) は、

∂(BKC)r− 2H(BC)AKAr = 0 (C.11)

References

[1] Lochlainn O’Raifeartaigh, “The Dawning of Gauge Theory”, Princeton University Press (1997).

[2] 藤井保憲『超重力理論入門』(産業図書, 2005 年).

[3] 佐藤 文隆, 小玉 英雄『一般相対性理論』(岩波書店, 1992 年). [4] 内山龍雄『一般ゲージ場論序説』(岩波書店, 1987 年).