反強磁性三角格子上 XY モデルの 二種類の相転移と そのユニバーサリティ - クラス 理学研究科 宇宙地球科学専攻 大阪大学 小渕智之 1

反強磁性三角格子上

XYモデルの

二種類の相転移と

そのユニバーサリティ

-クラス

理学研究科 宇宙地球科学専攻

大阪大学

小渕 智之

目標



2次元XYスピン系に起こるKT転移を通して、繰りこみ群

を解説すること

 情報の問題における繰りこみ群適用の可能性についても考 えたい 

もうちょっと身近なモチベーション

 身近な人たちのセリフ  「KT転移なんて幻想です。実際には無いんです。」  「平均場と繰りこみって何が違うんですか？」 

これらに（ある程度）答えることが目標

 もちろん自分の研究成果も話します。



ハミルトニアン



反強磁性三角格子の

XYモデル



対称性



グローバル回転

(SO(2)対称性)



鏡映反転にたいする

Z

₂

対称性

モデル

(

)

,

(

1

)

cos

, ,

−

=

−

=

⋅

−

=

J

∑

∑

J

j i j i j i j i XY

S

S

θ

θ

H

鏡

フラストレーションとカイラリティ



フラストレーション



イジングとベクトルスピンの違い

 イジング：フラストレーションをもろにうける ⇒大量の縮退、相転移無し  ベクトルスピン：適当に開いてフラストレーションを逃がせる ⇒相転移有り：秩序変数＝カイラリティ         × ⋅ =

∑

⊗ ∩ ∂ ∈ p i j z c p m 3 3 2 ) ( e S S

カイラル転移とスピン転移



系の対称性

 鏡映反転：Z₂対称性  グローバル回転：SO(2)対称性 

Mermin-Wagnerの定理

 2次元ではSO(2)対称性は破れない ＝スピンが固まる転移（強磁性など）はない 

2次元強磁性XYモデル

 Kosterlitz-Thouless(KT)転移という特殊な転移  XYモデルの周期性が生むトポロジカル欠陥による転移 

2次元反強磁性XYモデル：２回の転移が起き得る

 カイラル転移＝Z₂対称性の破れ  スピン転移＝KT的な転移

結果



手法：モンテカルロシミュレーション（普通のメトロポリス）

 ヒストグラム法＋オーバーリラクゼーション 

相図



ユニバーサリティークラス

 カイラル転移＝イジング（鏡映反転のZ₂対称性の破れ）  スピン転移＝KT的だが臨界指数のずれ（Non-universal KT）  先行研究  カイラル転移＝イジング、3-states ポッツ・・・  スピン転移＝準長距離秩序：KT転移、Non-universal KT、１次転移・・・  二つが同時に起きる派：1次転移、IsingかつKT転移・・・ T_s T 0 T_c

Chiral order Para phase Spin order

平均場じゃだめ？



答え：

2次元だと全然だめ



平均場→スピンが凍結する単純な相転移

⇔_{Mermin-Wagnerの定理}  定性的に既にだめ。  近似を上げても（ベーテとか）だめ。臨界指数とか絶望的。 

平均場＝期待値近傍の揺らぎを無視

←間違いの原因 

２次元のように低い次元では、揺らぎを適切に取り込ん

だ解析が必要

⇒繰りこみ群←

_{KT転移を準厳密に導出}



3次元イジングモデル

 At 強磁性転移 

境界条件

 周期境界条件→単一の強磁性ドメイン  反周期境界、逆向き固定境界→ドメインウォールの励起 

ドメインウォール自体の相転移

 表面の粗さの転移⇔ラフニング転移  転移温度  転移温度以下⇒平坦なドメインウォール

イジング系の表面転移（ラフニング転移）

∑

−

=

j i j i

S

S

,

H

5 . 4 ≈ = T_c T c r T T ≈ 0.5



ラフニング転移の記述

 Solid on Solid (SOS)モデル



分配関数

SOS模型

(

)

{ }

(

)

₍

₎









=

−

−

=

− − − − ∞ −∞ =

∑ ∏

2

,

,

, j i j i i h h h h j i ij h i j j i ij

e

e

h

h

B

h

h

B

Z

β β

β

X Y h j i h h − : Discrete Gaussian(DGSOS) : Absolute value SOS(ASOS)

SOSモデルと(強磁性)XYモデルの関係

DGSOS Duality＋ ポアソン和公式 Villainモデル XYモデル ユニバーサリティ CSWモデル ポアソン和公式 ←繰りこみ群で解析 ASOS

SOSモデルと(強磁性)XYモデルの関係

DGSOS Villainモデル XYモデル CSWモデル

(

)

∫

∏

∏ ∑

∞ −∞ = − − −

=

j i p p i i V ij ij j i

e

d

Z

, 2 2 2

2

π θ θ β

π

θ

(

)

∫

∏

∏

−

=

j i i i XY j i

e

d

Z

, cos

2

θ θ β

π

θ

(

)

(

)

         − − ≈ − 2 2 1 cos j i j i

θ

θ

θ

θ



VillainとXY

 ２πの周期性  力学変数Θの並進対称性  低温での振る舞い（スピン波）

→

_{VillainとXYは同じ（と信じられている）}

SOSモデルと(強磁性)XYモデルの関係

DGSOS

Villainモデル XYモデル

CSWモデル



Charged Spin Wave（CSW）モデル

 スピン波に電荷（離散自由度）が加わっている  電荷がなければ可解

(

)

{

∑ ∫ ∏

} ∞ −∞ = + − −

∑

∑

=

< > i j i i i i j i q q i i i CSW

d

e

Z

, 2 2 2 1 _{ϕ ϕ π ϕ} β

ϕ

SW q i CSW

Z

Z



 →



i= ∀ 0 , 可解 ←繰りこみ群で解析

CSWの繰りこみ群



いくつかの方法があるけれど

 サインゴルドンモデル（ 先に 小さい の和を取る）へ移行  波数空間繰りこみ群（一番ありふれた繰り込み群）で計算可 

繰りこみ群（の思想）とは？

1. 小さい（長さ）スケールをトレースアウト 2.残った自由度が成す系を別パラメータの同じ系と見なす 3. 1~2を繰り返す→大きいスケールの現象が自然と表出

( )

(

)

{

∑ ∫ ∏

} ∞ −∞ = + − −

∑

∑

=

< > i j i i i i j i q q i i i CSW

d

e

Z

, 2 2 2 1 _{ϕ ϕ π ϕ} β

ϕ

β

q

J

β

( )

=

∑

(

)

∑

( )

⇒

< > + − −

∫ ∏

i j i i j i y i i

e

d

Z

, 2 2 cos 2 2 1 sin πϕ ϕ ϕ β

ϕ

β

       = − 2 2β π e y

CSWの繰りこみ群



いくつかの方法があるけれど

 サインゴルドンモデル（ 先に 小さい の和を取る）へ移行  波数空間繰りこみ群（一番ありふれた繰り込み群）で計算可 

繰りこみ群（の思想）とは？

1. 小さい（長さ）スケールをトレースアウト 2.残った自由度が成す系を別パラメータの同じ系と見なす 3. 1~2を繰り返す→大きいスケールの現象が自然と表出

( )

(

)

{

∑ ∫ ∏

} ∞ −∞ = + − −

∑

∑

=

< > i j i i i i j i q q i i i CSW

d

e

Z

, 2 2 2 1 _{ϕ ϕ π ϕ} β

ϕ

β

q

( )

=

∑

(

)

∑

( )

⇒

< > + − −

∫ ∏

i j i i j i y i i

e

d

Z

, 2 2 cos 2 2 1 sin πϕ ϕ ϕ β

ϕ

β

       = − 2 2β π e y

( )

'

J

β

CSWの繰りこみ群



いくつかの方法があるけれど

 サインゴルドンモデル（ 先に 小さい の和を取る）へ移行  波数空間繰りこみ群（一番ありふれた繰り込み群）で計算可 

繰りこみ群（の思想）とは？

1. 小さい（長さ）スケールをトレースアウト 2.残った自由度が成す系を別パラメータの同じ系と見なす 3. 1~2を繰り返す→大きいスケールの現象が自然と表出

( )

(

)

{

∑ ∫ ∏

} ∞ −∞ = + − −

∑

∑

=

< > i j i i i i j i q q i i i CSW

d

e

Z

, 2 2 2 1 _{ϕ ϕ π ϕ} β

ϕ

β

q

( )

=

∑

(

)

∑

( )

⇒

< > + − −

∫ ∏

i j i i j i y i i

e

d

Z

, 2 2 cos 2 2 1 sin πϕ ϕ ϕ β

ϕ

β

       = − 2 2β π e y

( )

''

J

β

サインゴルドンの繰りこみ群



手順

1. 連続化（格子間隔a→0）, 2. フーリエ変換（波数空間へ移行） 3. 波数の大きい部分 を積分 4. 積分の影響をパラメータに押し込める 5. 3~4を繰り返して行った先を見る 

ポイント

 物理的意味：大きい波数成分の消去⇔小さい長さスケールの消去  4.が可能：有意な変数の個数が有限&それを尽くしている

( )

=

<

∑

>

(

)

∑

( ) + − −

∫ ∏

i j i i j i y i i

e

d

Z

, 2 2 cos 2 2 1 sin πϕ ϕ ϕ β

ϕ

β

       = − 2 2β π e y

( )

=

∫

{

−(∇ ( )) +

(

( )

)

}

Λ < <

∫

∏

x ϕ x π βϕ x

ϕ

β

2 2 cos 2 1 | | 0 sin 2 y d k k k

e

d

Z

( )

( )

kx k x d ϕ k ei ϕ =

∫

Λ < < Λ − Λ d | k |

(

)

(

' '

)

, , y β y β →

(

β, y

)

→

(

β_eff , y_eff

)

KT転移の描像



繰りこみの流れ



結論

 低温ではy→0⇒Spin WaveでOK  （但し、温度は、離散性の効果でより高温の に繰りこまれる）

( )

₍

_{( )}

(

₎

₍

)

₎







<

>

=

c eff SW c V

T

T

Z

T

T

Z

β

β

β

Para

_{( )}

β

β

β

_eff <

2

−

=

πβ

x

eff

β

(

)

( )

∑

∑

∝

< > + − − j i i i j i y

e

Z

, 2 2 cos 2 2 1 sin πϕ ϕ ϕ β は2/πから0に飛ぶ eff

β

スピン波の振る舞い



相関関数



KT転移を特徴づける量

 Helicity modulus Y：ひねりに対するFの変化率

 Vorticity modulus V：q_i=±1を導入した時のFの変化率

(

)

(

)

(

)









<

>

=

−

− − c c r r

T

T

r

T

T

e

η ξ

θ

θ

2 0 eff πβ η 2 1 =

(

c

)

T T c

T

T

e

c

↓

∝

− −

ξ

低温でずっと相関長発散←準長距離秩序 eff

β

∝

(

T L

)

v T v T L V , = ₀( ) + ₂( )ln

(

₍

)

₎

   < > > = c c T T T T T v 0 0 ) ( 2



ひねりの導入



Helicity Modulus



XYモデルにも定義可能

Helicity Modulus

L→∞ c T Y π 2 = ∞

(

∆

)

=

∫∏

−

∑

i

{

( − + ) +

(

− + +∆

)

}

y i i x i i eff

e

d

Z

i i eff SW 2 2 2

,

θ θ θ θ β

θ

β

(

)

β

β

β

β

eff eff SW d Z d Y = ∆ ∆ − ≡ = ∆ 0 2 2 , log 1

( )

∆ = −∑

{

(

− ₊

)

+

(

− ₊ + ∆

)

}

i i i x i i y XY cos θ θ cos θ θ H

話を戻して



反強磁性三角格子上の

XYモデルのモンテカルロシミュレーション



物理量

 カイラル磁化、複素磁化  ビンダー比  相関長(Ornstein-Zernike formを仮定)

 Helicity modulus, Vorticity modulus

∑

∆ ∈ ⋅

=

all

)

(

1

)

(

p c i c

e

m

p

N

m

q rp

q

_i i i s i e N m (q) = 2

∑

(K+q)⋅r S         − = ₂ 2 4 ) 0 ( 3 ) 0 ( 1 2 3 c c c m m g         − = ₂ 2 4 ) 0 ( 2 ) 0 ( 1 2 s s s m m g 1 ) ( ) 0 ( ) 3 / 2 sin( 2 1 min 2 , 2 , , = − q s c s c s c m m L π ξ

期待される振る舞い



カイラル転移点（

T

_c

）近傍

 2次転移  比熱の発散  ビンダー比、相関長のクロス  ユニバーサリティー：イジング？  有限サイズスケーリング 

スピン転移点（

T

_s

）近傍

 準長距離秩序（無限次相転移）  ビンダー比、相関長、 のマージ  Helicity modulusのジャンプ  ユニバーサリティー：Just KTか？否か？  転移点で ？

( )

ν η

χ

/ 1 2 ) , ( − − + = ∝ aL T L T L L T c c c c 1 25 . 0 = = ν η 1 < η Ising values Choi-Stroud, Minnhagen, Lee-Lee, Kawamura 2

v

Location of T

_c May be due to Grown Spin-Correlation length at T_c Behavior Change around L~200-300 51251 . 0 at 100 = ≈ _c s T ξ 1 = ν ) 25 ( 72 . 0 = ν ) 30 ( 512544 . 0 = c T

Critical Property of Chiral Transition

η≒0.25→Ising universality η

χ

_{≈ + ⋅} 2− ) ( ) ( ) , (T L a T b T L c

Reduced Vorticity around T

_s

L

T

v

T

a

L

T

V

(

,

)

≈

(

)

+

(

)

⋅

log

Scaling of Vorticity modulus:

)

(

2

T

v



準長距離秩序

( )

→ スケーリング形

x c T T c s

e

/ 1 − −

≈

ξ

Estimate of T

_s

(

)

x L − log Miyashita/1983, 0.502 S. Lee/1998, 0.501(2) Ozeki/2003, 0.508(1) 普通のKT解析,T_s=0.5025(5) （x=2） Non universal KT T_s=0.5038(9)（x~2.8(7))

Critical exponent



2通りの決め方

 帯磁率から決める

η

η

χ

_≈ 2− ) , (T L L s

( ) (

1 at 0.5038

)

220 . 0 = ≈ T

η

( ) (

1 at 0.5064

)

251 . 0 = ≈ T

η

Binder比等から決めた_{転移点とかなりずれる}

Critical exponent



2通りの決め方

 Helicity modulusから決める

η

πη

2 T Y = 22 . 0 =

η

25 . 0 =

η

T_s=0.5037(5),x=0.28(13):

Consistent with Non universal KT

T=0.5051(1):

解析のまとめ

Scaling Binderのクロス等 からの_Ts 帯磁率からの T_sとη Helicityからの T_sとη KT _{(log L)}-2 _0.5025(5) x=2(fix) T_s=0.5064(2) η＝0.25(fix) Tη＝0.25(fix)s=0.5051(1) x=2(fix) Non-KT _{(log L)}-x _0.5038(9) x=2.84(70) T_s=0.5038(fix) η＝0.220(1) Tη＝0.220(fix)s=0.5037(5) x=2.8(13) KTを仮定するとinconsistentな転移温度を導く →Non-Universal KT転移



モンテカルロで反強磁性三角格子上の

XYモデルを解析



カイラル転移→

Isingのユニバーサリティと考えて矛盾ない



スピン転移→

KTと考えると転移点がばらつく

→

_{KT likeだけどNon-universalな転移}

まとめと比較

Author/

Year Tc UniversalityatTc Ts Universality at Ts Size/Method

Miyashita et

al./1983 0.513 Ising 0.502 KT L=45/MC S. Lee et

al./1998 0.513(1) 3-state Potts 0.501(2) Non-universal KT L=102/MC Ozeki et al./2003 0.512(1) Ising 0.508(1) KT L=2000/ NER Our result /2011 0.512515(20) Ising 0.5038(9) Non-universal KT L=1152/ MC

SOSモデルと厳密解



Body-Centered SOS model (BCSOS)



BCSOS=ある種のアイスモデル(F model)

(H. V. Beijeren 1977)



2次元アイスモデル＝多くがSolvable→KTの厳密解

{

∑ ∏

} ∞ −∞ = − −

=

i j i h i j h h BCSOS

e

Z

, β

1

=

−

_j i

h

h

(

)

2

/

2

ln

8

,

2 c c T T c

T

c

T

T

e

c

π

ξ

∝

− −

↓

=

(←e.g. BCSOS)

ColoringとKT転移



Three coloring=アイスモデル

(A. Lenard, E. H. Lieb 1967)



Three ColoringはKT転移を起こす

 他のColoringだったら？  Coloringの問題一般に繰りこみ群は適用可？ 

情報の繰りこみ群

 色々な人が妄想してるけど堅実な切り口を見たこと無い  そういう人のとはちょっと目標が違うのかも・・・  まずは３色でやって色数増やしていくのがいいかも  だれかネタに困ったらやってみてください 2 1 3 2