数学
IA
講義ノート
September 25, 2017
積分 冬学期の主な内容は積分である。 積分は微分の逆というより、本来の意味では部分を足し上げて全体を求めることである。 一次元の積分(定積分) I = [a, b], f (x) を I 上定義された有界な関数とする。 ∆ = (a0= a < a1<· · · < am= b)となる点の増大列を I の(有限個区間への) 分割 (partition) という。ここで Ik= [ak−1, ak] I = I1∪ · · · ∪ Im Ik∩ Ij=たかだか一点 である。 ここで S (∆, f (x)) = m ∑ k=1 ( inf x∈Ik f (x) ) w (Ik) とおく。ただし w (Ik)は Ikの幅 ak− ak−1である。同様に S (∆, f (x)) = m ∑ k=1 ( sup x∈Ik f (x) ) w (Ik) とおく。 ( inf x∈If (x) ) w (I)≤ S (∆, f (x)) ≤ S (∆, f (x)) ≤ ( sup x∈I f (x) ) w (I) が常に成立する。 ∆をより細かくする。例えば Ikを2 つに分割する。 Ik = Ik′ ∪ Ik′′ inf x∈Ik (x)≤ inf x∈Ik′f (x) inf x∈Ik (x)≤ inf x∈Ik′′f (x) w (Ik′) + w (Ik′′) = w (Ik) なので、 ( inf x∈Ik f (x) ) w (Ik)≤ ( inf x∈Ik′ f (x) ) w (Ik′) + ( inf x∈Ik′′ f (x) ) w (Ik′′) よって、∆ を細分化したものを ∆′とすると、 S (∆, f )≤ S (∆′, f ) 同様に S (∆′, f )≤ S (∆, f) ∆ = ∆0, ∆1, ∆2,· · · とより細分すると S (∆0, f )≤ S (∆1, f )≤ · · · ≤ S (∆n, f )≤ S (∆n, f )≤ · · · ≤ S (∆1, f )≤ S (∆0, f )∆の分割をさらに細かくした時の極限 lim ∆ S (∆, f ) = ˆ I f (x) dx = ˆ b a f (x) dx を f (x) の I における下積分(lower integral)、 lim ∆ S (∆, f ) = ˆ I f (x) dx = ˆ b a f (x) dx を f (x) の I における上積分(upper integral) と呼ぶ。 定義 ˆ I f (x) dx = ˆ I f (x) dx
となるとき、f (x) は I 上積分可能または可積分(integrable Riemann, integrable in the sence of Riemann) であると言い、一
致した値を ˆ I f (x) dx = ˆ b a f (x) dx と書いて、f (x) の I における積分(integral of f(x) on I) と呼ぶ。 例 (1) 連続関数は積分可能 (2) f (x) = { 0 x :有理数 1 x :無理数 w (Ik) > 0 { supx∈I kf (x) = 1 infx∈Ikf (x) = 0 S (∆, f ) = m ∑ k=1 1w (Ik) = w (Ik) = b− a S (∆, f ) = 0 (3) I = [−1, 1] f (x) = { 1 x∈{1,12,13,· · ·} 0 それ以外 となり積分可能。 命題 (1) f (x) , g (x) が I 上で積分可能なら f (x) + g (x) も積分可能。 ˆ I (f (x) + g (x)) dx = ˆ I f (x) dx + ˆ I g (x) dx (2) f (x) が積分可能、c 定数のとき、cf (x) も積分可能で、 ˆ I cf (x) dx = c ˆ I f (x) dx 証明 (1) inf x∈Ik (f (x) + g (x))≥ inf x∈Ik f (x) + inf x∈Ik g (x) S (∆, f ) + S (∆, g)≤ S (∆, f + g) ≤ S (∆, f + g) ≤ S (∆, f) + S (∆, g) ∆を細くすると差が0 に近づくので、この両辺の差も 0 に近づく。 (2) 略
定理 I = [a, b]上の連続関数 f (x) は一様連続(uniformly continuous) である。すなわち、ε > 0 を任意に取ると、δ > 0(I, f に依存) があって、x, y ∈ I, |x − y| < δ なら |f (x) − f (y)| < ε 注：普通の連続 どんな x∈ I, ε > 0 に対してもある δ > 0 があって… 定理 D⊂ Rn有界閉集合 f (x) = f (x1, x2,· · · , xn) D上の連続関数 は一様連続 すなわち ε > 0 に対し δ > 0 があって x, y∈ D で d (x, y) < δ なら |f (x) − f (y)| < ε 証明 一様連続でないと仮定して矛盾を導く。 ある ε > 0 があってどんな δ > 0 に対しても x, y∈ D が存在して { |f (x) − f (y)| ≥ ε d (x, y) < δ とする。 δ1> δ2>· · · → 0 とすると、xi, yi∈ D があって、 d (xi, yi) < δi→ 0 |f (xi)− f (yi)| ≥ ε xiは D 上の点列。部分列で置き換えれば xi→ x∞∈ D に収束。 d (yi, xi)→ 0 なので、yi→ x∞= y∞に収束。 f (x)は x = x∞で連続でない。 ∵ xi→ x∞, yi→ x∞ f (x)が x∞で連続なら、十分に大きい i に対して |f (xi)− f (x∞)| < ε 2 |f (yi)− f (x∞)| < ε 2 ∴ |f (xi)− f (yi)| < ε よって矛盾 系 I = [a, b]上の連続関数は可積分である。 証明 ε > 0に対し δ > 0 があって|x − y| < δ なら |f (x) − f (y)| < ε |x − y| ≤ δ なら |f (x) − f (y)| ≤ ε 分割 ∆ に現れる小区間 Ikの幅が全て δ 以下なら supx∈I k f (x)− inf x∈Ik f (x) < ε S (∆, f )− S (∆, f) = ∑ (sup x∈Ik f − inf x∈Ik f ) w (Ik) = εw (I) εは任意だったので、 0≤ ˆ f (x) dx− ˆ f (x) dx < εw (Ik)
注意 証明を見ると w (∆) = max k w (Ik) が十分小なら S (∆, f )− S (∆, f) も充分に小。ただし f は連続。(Darbowx の定理) 連続でなくて可積分の時は一般に成り立たない。 復習(一変数関数の積分) I = [a, b] 有界閉区間 f (x): I 上定義された有界 ∆: {a0= a < a1<· · · < ar= b} I の分割 Ik = [ak−1, ak]: 小区間 とする。ここで I = r ∪ k=1 Ik である。 S (∆, f (x)) = m ∑ k=1 ( inf x∈Ik f (x) ) w (Ik) S (∆, f (x)) = m ∑ k=1 ( sup x∈Ik f (x) ) w (Ik) において ∆ を細くすると S は増加、S は減少する。この極限´If (x) dx,´If (x) dxが一致する時 f (x) は I 上積分可能である。 また、f (x) が I 上連続⇒ f (x) は積分可能である。 積分の性質 (1)
f (x)を I = [a, b] 上の関数、a < c < b, I = I1∪ I2, I1= [a, c], I2= [c, b]とすると、f (x) が I 上積分可能⇔ I1, I2双方で積分
可能で ˆ I f (x) dx = ˆ I1 f (x) dx + ˆ I2 f (x) dx これを区間に対する積分の加法性という。 (2) f (x) , g (x)が I 上積分可能⇒ f (x) + g (x) が I 上積分可能で ˆ I {f (x) + g (x)} dx = ˆ I f (x) dx + ˆ I g (x) dx c定数のとき、cf (x) も積分可能で ˆ I cf (x) dx = c ˆ I f (x) dx この二つの声質を合わせて積分の線形性と呼ぶ。 (3) f (x)≧ 0 で積分可能⇒´If (x) dx≧ 0 これを積分の単調性と呼ぶ。 注意 f (x) > 0となる x が無数にあったとしても´ f (x) dx = 0となることがある
注意 有限個の x の値について f (x) の値を変えても積分には影響しない。 (4) f (x)が積分可能⇒|f (x)| も積分可能 ∵ 0 ≦ S (∆, |f|) − S (∆, |f|) = ∑(sup|f (x)| − inf |f (x)|) w (Ik) ≦ ∑(sup f (x)− inf f (x)) w (Ik)→ 0 (5) f (x) , g (x)が I 上積分可能⇒ f (x) g (x) も積分可能 ∵ f, g有界 |f (x)| , |g (x)| ≤ C と仮定して良い。(C は定数) x, y∈ I で
|f (x) g (x) − f (y) g (y)| = |f (x) g (x) − f (y) g (x) + f (y) g (x) − f (y) g (y)|
≦ |g (x)| |f (x) − f (y)| + |f (y)| |g (x) − g (y)| ≦ C (|f (x) − f (y)| + |g (x) − g (y)|) 0 ≦ ∑ (sup x∈Ik f (x) g (x)− inf x∈Ik f (x) g (x) ) w (Ik) ≦ C∑(sup f (x)− inf f (x)) w (Ik) + C ∑ (sup g (x)− inf g (x)) w (Ik)→ 0 (6) f (x)積分可能で f (x)̸= 0, I 上 1 f (x) ≦ c > 0 ⇒ 1 f (x) も積分可能
定理(微積分学の基本定理, foudamental theorem of calculs) ※´aaf (x) dx = 0を約束する。
f (x): I = [a, b] 上連続 a≦ x ≦ b としたとき a < x < b, I = [a, x] ∪ [x, b] なので f (x) は [a, x] 積分可能 ここで F (x) =´axf (x) dxとおくと、F (x) は [a, b] で微分可能で、I 上連続。 { F′(x) = f (x) F (a) = 0 さらに、 G (x): I = [a, b] 上連続で (a, b) 上微分可能 のとき、G′(x) = f (x)なら G (x) = F (x) + G (a) となる。 注意 f (x)が連続の仮定は本質的なものである。 証明 F (x + h)− F (x) = ˆ x+h a f (x) dx + ˆ x a f (x) dx = ˆ x+h x f (t) dt
ここで inf t∈[x,x+h]f (t)≦ f (t) ≦ supt∈[x,x+h]f (t) なので、α = inft∈[x,x+h]f (t) , β = supt∈[x,x+h]f (t)とすると、 α× h ≦ ˆ x+h x f (t) dt≦ β × h α× h ≦ F (x + h) − F (x) ≦ β × h f (t)は連続だったので、h→ 0 のとき α, β → f (x) α≦ F (x + h)− F (x) h ≦ β α→ f (x) , β → f (x) より極限が存在し f (x) に等しい。 F′(x) = f (x) F (a) = 0は自明 次に、G′(x) = F′(x)とすると、 H′(x) = (G (x)− F (x))′ = 0 平均値の定理より H (c)− H (a) = (c − a) H′(y) = 0 このとき c を動かしても H (c) = H (a) となり、定数である。 よって G (x) = F (x) +定数 系 f (x): I 上連続 G′(x) = f (x)となる、連続で (a, b) 上微分可能な関数とする(こういう G (x) を f (x) の不定積分と呼ぶ) と、 ˆ b a f (x) dx = G (b)− G (a) となる。これを [G (x)]ba と表記する。 系(部分積分, integral by substitution) f (x) , g (x): C1 級とする。 ˆ b a f (x) g′(x) dx = [f (x) g (x)]ba− ˆ b a f′(x) g (x) dx 証明 (f (x) g (x))′= f′(x) g (x) + f (x) g′(x) ˆ b a (f (x) g (x))′dx = ˆ b a f′(x) g (x) dx + ˆ b a f (x) g′(x) dx [f (x) g (x)]ba− ˆ b a f′(x) g (x) dx = ˆ b a f (x) g′(x) dx
系(置換積分, integral by parts) f (x): I = [a, b] 上連続 φ (x): J = [α, β] → [a, b] 単調増加で微分可能 ˆ b a f (x) dx = ˆ β α f (φ (s))dφ dsds ∵ x = φ (s)、F (x) =´axf (x) dxとおく。 G (β) = F (b) = ˆ b a f (x) dx F (φ (s)) = G (s) G′(s) = (F (φ (s)))′= F′(φ (s)) φ′(s) G (β) = ˆ β α G′(s) ds = ˆ β α f (φ (s))dφ dsds 例(部分積分) ˆ b a log xdx = ˆ b a x′log xdx = [x log x]ba− ˆ x (log x)′dx = [x log x]ba− ˆ dx = b log b− a log a − b + a 例(置換積分) ˆ dx √ 1− x2 = ˆ 1 √ 1− x2dx = ˆ 1 √ 1− sin2s× dx dsds = ˆ ds = arcsin b− arcsin a 系(積分の平均値定理) f (x): I = [a, b] 上連続とする。 このときある a < c < b があって ˆ b a f (x) dx = f (c) (b− a) を満たす。 ∵ F (x) =´axf (x) dxとおく。((a, b) 上微分可能) 平均値の定理より F (b)− F (a) = (b − a) F′(c)となる c が存在 積分計算 F′(x) = f (x)となる F (x) がわかれば積分は計算できる。 F (x) = ˆ x a f (x) dx +定数 = ˆ x f (x) dx + C
例 (1) ˆ ∼xxdx = { 1 1+xx 1+α+ C α̸= −1 log x + C α =−1 (2) a̸= 0 において ˆ x eaxdx =e ax a + C ˆ x log xdx = x log x− x + C (3) ˆ
sin atdt =−cos at
a
ˆ
cos atdt = sin at
a ˆ x tan xdx = ˆ x sin x cos xdx = ˆ ( −(cos x)′ cos x ) dx = − log cos x (4) x = sin sの置換を用いて、 ˆ dx √ 1− x2 = ˆ 1 cos s(cos s) ds = s = arcsin x また x = tan s の置換を用いて ˆ dx 1 + x2 = ˆ 1 1 cos2s × 1 cos2sds = s = arctan x (5) a̸= b とする。 x−b x−a = sの置換を用いて、(x = sa−b s−1) ˆ √ (x− a) (x − b)dx = ˆ √( sa− b s− 1 − a ) ( sa− b s− 1 − b ) b− 1 (s− 1)2ds = ˆ √ s ( b− a s− 1 )2 b− 1 (s− 1)2ds = ˆ ±√sb− a s− 1 b− 1 (s− 1)2ds ここから s = t2とおくと根号を含まない t の分数式となる。 ※三角関数の分数式も不定積分が求まる。
注意 ´ √dx 1−x3 のようなものは既知の関数では表せない。 種々の関数の不定積分 p (x)を x の多項式として√p(x) 1−x2 の積分を考える。(−1 < x < 1) x = sin sとおいて、dxds = cos s ˆ p (x) √ 1− x2dx = ˆ ( p (sin s) cos s cos s ) ds = ˆ p (sin s) ds
となり、sin s の多項式の積分となる。sinmsは sin ns の一次結合で表せるので、ここから積分値を求めることができる。
p(x) √ x2±1について考える。 ここで双極関数を次のように定義する。 { sinh x = ex−e2−x cosh x = ex+e−x 2 これを用いて、 √ x2+ 1のとき x = sinh s とおくと、 d sinh s ds = cosh s √ sinh2s + 1 = cosh s √ x2− 1 のとき x = cosh s とおくと、 d cosh s ds = sinh s √ cosh2s + 1 = sinh s よって ˆ p (x) √ x2± 1dx = ˆ p ( sinh s cosh s ) ds となり、e±mxの一次結合の形で表せる。 x = sinh sの逆関数を考える。t = es(> 0)とおいて、 x = e s− e−s 2 = t− t−1 2 t2− 2xt − 1 = 0 t = x +√x2+ 1 s = log ( x +√x2+ 1 ) 1 x2+1の積分を考える。x = tan s とおいて、 dx ds = ( 1 + tan2s) x2+ 1 = 1 + tan2s
ˆ dx x2+ 1 = ˆ ds = arctan x √ x−b x−a× p (x) の積分を考える。 x−b x−a = s 2とおいて、 ( s2− 1)x = s2a− b x = s 2a− b s2− 1 ˆ √ x− b x− a× p (x) dx = ˆ s ( s2a− b s2− 1 の有理式 ) ( sの有理式)ds = (sの多項式)+ m(α)∑ α,a=0 定数 (x− α)a + ∑ r··· 定数 + 定数 x ( (x− a)2+ b2)r p (X, Y )を X, Y の有理式とする。f (x) = p (cos x, sin x) は不定積分が求まる。 s = tanx2とおくと、 cos x = X0= 1− s2 1 + s2 sin x = Y0= 2s 1 + s2 dx ds = 1 ds dx = 1 1 2 ( 1 + tan2 x 2 ) = 2 1 + s2 ˆ f (x) dx = ˆ p (cos x, sin x) dx = ˆ p ( 1− s2 1 + s2, 2s 1 + s2 ) 2ds 1 + s2 となり、s の有理式の積分で表せる。 部分積分 ˆ b a f′(x) g (x) dx = [f (x) g (x)]ba− ˆ b a f (x) g′(x) dx
部分積分の応用(Taylor の定理) f (x) を [a, b] を含む開集合上の Cn+1級の関数とし、 f(n+1)(x) < M, x∈ [a, b] とする。
f (x) = f (a) +· · · +f (n)(a) n! (x− a) n +誤差項 ここで 誤差項 ≤M(x− a) n+1 (n + 1)! 積分を使うとこれをスマートに証明できる。
証明 ˆ x a (x− t)n n! f (n+1)(t) dt = [ (x− t)n+1 n! f (n)(t) ]x a + ˆ x a (x− t)n−1 (n− 1)! f (n)(t) dt = −(x− a) n n! f (n)(a) + [ (x− t)n (n− 1)!f (n−1)(t) ]x a + ˆ x a (x− t)n−1 (n− 1)! f (n−1)(t) dt f (x)− f (a) − · · · −(x− a) n n! f (n)(a) = ˆ x a (x− t)n n! f (n+1)(t) dt 右辺 ≤ M ˆ x a |x − t|n n! dt = M|x − a| n+1 (n + 1)! 台形計算 f (x)を [a, b] を含む開区間の C2級関数とする。f (x) に対する積分の近似計算を行う。 [a, b]を N 等分した値を a0,· · · , aN、h = b−aN とする。 ˆ f (x) dx ≑ h ( 1 2f (a0) + f (a1) +· · · + f (aN−1) + 1 2f (aN) ) = TN(f ) と近似する。 定理 ˆ f (x) dx− TN(f ) ≤ M6 h2(b− a) 証明 ˆ ai+1 ai [ 1 2(x− ai) (x− ai+1) ] f′′(x) dx = [ 1 2(x− ai) (x− ai+1) f ′(x) dx]ai+1 ai − ˆ ai+1 ai 1 2{(x − ai) + (x− ai+1)} f ′(x) dx = − [ 1 2{(x − ai) + (x− ai+1)} f (x) dx ]ai+1 ai + ˆ ai+1 ai f (x) dx = −1 2(ai+1− ai) f (ai+1)− 1 2(ai+1− ai) f (a) + ˆ ai+1 ai f (x) dx = − ( 1 2hf (ai+1) + 1 2hf (a) ) + ˆ ai+1 ai f (x) dx = −h 2(f (ai) + f (ai+1)) + ˆ ai+1 ai f (x) dx ∴ ˆ f (x) dx− TN(f ) ≤ˆ f′′(x)(x− ai) ( x− ai+1) 2 dx |f′′(x)| ≤ M だったので、 誤差 ≤ M∑ ˆ ai+1 ai (x− ai) (x− ai+1) 2 dx = M 12 ∑ (ai+1− ai)3 = M 12(N h) h 2 = M 12h 2(b− a) = M 12(b− a) 3 × 1 N2
これが一般には最善の評価(optimal estimate) となる。 また、p′(x)を x の多項式とすると ˆ p′(x) log xdx = p (x) log x− ˆ p (x)dx x また、´p (x) exdxに対しても ˆ p (x) exdx = [p (x) ex]− ˆ p′(x) exdx というように次数を下げていけば、多項式×exの形に積分できる。 重積分 R2⊃ R = {(x, y) |a ≦ x ≦ b, c ≦ y ≦ d}(長方形) として、R 上の有界関数の積分である。 f (x, y): R 上定義された有界関数 ∆: 長方形 R の小さな長方形への分割 ∆ ={Rij|Rij={(x, y) |ai−1≦ x ≦ ai, cj−1≦ y ≦ cj}} S (∆, f ) =∑ inf (x,y)∈Rij f (x, y) Area (Rij) ここで Area (Rij) = (ai− ai−1) (cj−1− cj)である。 ∆をより細かく分割したものを ∆′とする。 S (∆, f )≦ S (∆′, f ) S (∆, f ): inf を sup に変えたもの S (∆′, f )≦ S (∆, f) ∆ = ∆0, ∆1, ∆2· · · : 分割の細分の列 S (∆0, f )≦ · · · ≦ S (∆n, f )≦ S (∆n, f )≦ · · · ≦ S (∆0, f ) ∆を細かくした時の極限 ˆ R f (x, y) dxdy = lim ∆ S (∆, f )≧ lim∆ S (∆, f ) = ˆ R f (x, y) dxdy S = Sが成立するとき f は R 上積分可能(integrable) である。 その値を ˆ R f (x, y) dxdy と表記し、[重] 積分 ([double] integral) と呼ぶ。 命題 f, gは R 上積分可能である。 (1) α, β: 定数 ˆ R (αf + βg) dxdy = α ˆ R f dxdy + β ˆ R gdxdy これを積分の線形性(liniauty) と呼ぶ。 (2) f ≧ 0 なら ˆ R f dxdy≧ 0 これを積分の単調性(monotonicity) と呼ぶ。 (3) R =∑Rk: より小さい長方形への (重なりのない) 分割 ⇒ f は Rk上でも積分可能で ˆ R f dxdy =∑ k ˆ Rk f dxdy
これを積分領域に関する加法性(adidturity) と呼ぶ。 (4) |f| も積分可能である。なぜなら
{
sup|f| − inf |f| ≦ sup f − inf f
S (∆, f )− S (∆, f) =∑(sup f− inf f) Area (∼) による。
(5) fg = f (x, y) g (x, y) も積分可能。なぜなら |f| , |g| ≦ M とすると
sup f g− inf g ≦ M (sup f − inf f) + M (sup − inf g) による。 一般の有界集合 D における積分 D⊂ R = 長方形 とする。 f (x, y): R 上定義された有界関数 としたときの´Df (x, y) dxdyを定義する。このとき、まず次のような関数を定義する。 f:R 上有界として、(x, y) ∈ R 上で φD(x, y) = { 1 (x, y)∈ D 0 (x, y) /∈ D と定義する。これを特性関数(characteristic function) と呼ぶ。(有界関数) ˆ R φD(x, y) dxdy ← ∑ inf (x,y)∈Rij φD(x, y) AreaRij = ∑ Rij∈D AreaRij ˆ R φD(x, y) ← ∑ sup φD(x, y) AreaRIJ = ∑ RIJ∩D̸=ϕ AreaRij ∑
(sup φD− inf φD) AreaRij =
∑ Rij∩D̸=ϕ Rij̸⊂D AreaRij = ∑ Rijは D の境界点を含む AreaRij 命題 ˆ R φD(x, y) dxdy = ˆ R φD(x, y) dxdy は「分割を細かくしたとき境界を含む小長方形の面積の和→0」と同値である。
このとき D は面積確定(D is of de nite area) と言い、´RφD(x, y) dxdyを D の面積(area) という。
ここで´
RφD(x, y) dxdyを内面積(inner area)、
´
RφD(x, y) dxdyを外面積(outer area) と呼ぶ。
命題 f, gを連続関数とすると
D ={(x, y) |a ≦ x ≦ b, f (x) ≦ y ≦ g (x)}
証明 f (x) , g (x): [a, b] 上の連続関数で一様連続とすると、 ∀ε > 0 に対してもある δ > 0 があって |x1− x2| < δ ⇒ |f (x1)− f (x2)| < ε 少長方形の水平方向の長さを δ 以下、垂直方向の長さを ε 以下とすると、 上の境界と交わる長方形の面積の和≦ (b − a) ε 下の境界も同様となり、面積確定となる。 命題 D: 面積確定 f: R 上連続 ˆ D f dxdy ( = ˆ R f φDdxdy ) が存在し、f は D 上積分可能 ∵ φD: R 上積分可能 f: R 上積分可能 → f φDも積分可能 命題 線形性・単調性・D の面積確定な分割に関する加法性も同様に成立する。 命題 f (x, y)は R 上連続 D⊂ R で、g, h は x の連続関数として、 D ={a ≦ x ≦ b, g (x) ≦ y ≦ h (x)} とすると、 ˆ D f (x, y) dxdy = ˆ b a (ˆ h(x) g(x) f (x, y) dy ) dx 証明 a≦ t ≦ b として Dt={a ≦ x ≦ t, g (x) ≦ y ≦ h (x)} F (x) = ˆ Dt f (x, y) dxdy とおく。 F′(t) = lim h>0 ´ Dt+hf dxdy− ´ Dtf dxdy h ˆ Dt+h f dxdy− ˆ Dt f dxdy = ˆ Dt+h−Dt f dxdy hは非常に小さいので、t≦ x ≦ t + h より、 |f (x, y) − f (t, y)| < ε ∴ ˆ Dt+h−Dt f (x, y) dxdy− ˆ Dt+h−Dt f (t, y) dxdy ≦ ε (h (t) − g (t) + ε) h F (x) = ˆ x a (ˆ h(x)f (x,y)dy g(x) dy ) dx 累次積分(iterated integral) とよぶ。
例 半円の面積 0≦ y ≦√r2x2 ˆ r −r (ˆ √ r2−x2 0 1dy ) dx = ˆ r −r √ r2− x2dx = ˆ π 2 −π 2 (r cos t) (r cos t) dt = r2 ˆ π 2 −π 2 cos2tdt = r2 ˆ π 2 −π 2 cos 2t + 1 2 dt = πr 2 2 半球の体積 ˆ D √ 1− x2− y2dxdy = ˆ 1 −1 (ˆ √ 1−x2 −√1−x2 √ 1− x2− y2dy ) dx 変数変換 一変数の場合 x = φ (t) , φ (α) = a, φ (β) = bとする ˆ b a f (x) dx = ˆ β α f (φ (t)) φ′(t) dt a0, a1,· · · , aN: [a, b] の分割 α0, α1,· · · , αN: [α, β] の対応する分割 とすると、 (ak− ak−1)≑ φ′(αk) (αk− αk−1) ∑ f (ak) (ak− ak−1)≑ ∑ f (φ (αk)) φ (αk) (αk− αk−1) ( → ˆ f dt≑ ˆ f (φ (t)) φ′(t) dt ) 二変数の場合 { x = φ (s, t) y = ξ (s, t) φ, ξ: C1級 (s, t): 小さな長方形 R = {α ≦ s ≦ α + δ, β ≦ t ≦ β + ε} 上を動くとする。 x ≑ φ (α, β) + φs(α, β) (s− α) + φt(α, β) (t− β) y ≑ ξ (α, β) + ξs(α, β) (s− α) + ξt(α, β) (t− β) x, yはほぼ平行四辺形の内部を動く事がわかる。 その4 頂点は (φ (α, β) , ξ (α, β)),(φ (α, β) + δφs(α, β) , ξ (α, β) + δξs(α, β)),(φ (α, β) + εφt(α, β) , ξ (α, β) + εξt(α, β)),(φ (α, β) + δφs(α, β) + εφt(α, β) , ξ (α, β) + δξs(α, β) + εξt(α, β)) となり、面積は det( δφs εφt δξs εξt ) = δε det( φs φt ξs ξt ) 同様に (s, t, u) 空間の領域 Γ が、 x = x (s, t, u) y = y (s, t, u) z = z (s, t, u)
によって (x, y, z) 空間の D に一対一で写されるとすると、 ˆ D f (x, y, z) dxdydz = ˆ Γ f (x (s, t, u) , y (s, t, u) , z (s, t, u)) det xyss xytt xyuu zs zt zu dsdtdu と表せる。 例 { x = r cos θ y = r sin θ r, θ: 新しい変数 xr= cos θ xθ=−r sin θ yr= sin θ yθ= r cos θ det ( xr xθ yr tθ ) = r ˆ D f (x, y) dxdy = ˆ G f (x (s, t) , y (s, t)) det ( xs xt ys yt ) dsdt ˆ DR ex2+y2dxdy = ˆ G er2rdrdθ = ˆ 2π 0 (ˆ R 0 er2rdr ) dθ = 2π ˆ R 0 er2rdr = 2π ˆ R2 0 esds 2 = π [es]R02 = π ( eR2− 1 ) 途中 r2= sとおいた。 ここで Γ = (0≦ r ≦ R, 0 ≦ θ ≦ 2π) として (ˆ A −A e−x2dx ) (ˆ A −A e−y2dy ) = ˆ D e−(x2+y2)dxdy π ( 1− e−A22 ) = ˆ D′ (∼) dxdy ≦ ˆ D (∼) dxdy ≦ ˆ D′′ (∼) dxdy = π(1− e−A) √ π √ 1− e−A22 ≦ ˆ A −A e−x2dx≦√π√1− e−A2
ˆ ∞ −∞ e−x2dx = lim A→∞ ˆ A −A e−x2dx =√π f (x) = e√−x2 π のグラフを考える。まず幅を √ t倍したもののグラフを考えて 1 √ πe −(√x t )2 = f (t, x) とおく。ここで f (x) = f (1, x) 横を√t倍すると f ( t,√tx ) = √1 πe −x= f (x) g (t, x) = e− x 2 t √ πt とおくと、 ˆ ∞ −∞ g (t, x) dx = 1 g (t, x)を正規分布関数という。通常パラメーターを取り替えて、 N (σ, x) = √1 2πσe −1 2x2σ と表記する。これは平均値0、標準偏差 σ の正規分布関数である。 また σ = √ t 2とおいて、 N (µ, σ, x) = √1 2πσe −(x−µ)2 2σ2 は平均値 µ、標準偏差 σ の正規分布関数である。 また、 F (t, x) = e −x2 4t 1√π√t は、Ft= Fxxを満たす。 すなわち ( ∂ ∂t− ∂2 ∂x2 ) F = 0 これは一次元熱方程式という。 ∵) d dt ( 1 √ t ) =−1 2t ( 1 √ t ) を用いて、 Ft= ( −1 2t+ x2 4t2 ) F Fx=− x 2tF Fxx= ( −1 2t+ (x 2t )2) F = Ft 熱方程式の意味 時刻 t での直線上の温度分布を F (t, x) とする。t から t + ∆t の間に右から区間に流れこむ熱量は 定数× Fx(t, x + ∆x) ∆t、右から流れだす熱量は 定数× Fx(t, x) ∆tとできて、熱の増加は 定数× (Fx(t, x + ∆x)− Fx(t, x)) ∆t≑ 定数 × Fxx(t, x) ∆x∆t 温度の増加は 定数× Fxx(t, x) ∆t 従って Ft(x, y) = Fxx(x, y) これは温度分布の時間変化を表す。
別の解釈(random walk) たくさんの粒子が時間 ∆t ごとに左右のどちらかに確立1 2 で動く(Brownian motion)。 直線を細かい区間 ε に分割し、区間に含まれる粒子の個数を F (t, n) とすると、右から流入する粒子数の期待値は 1 2F (t, n + 1) 左から流入する粒子数の期待値は 1 2F (t, n− 1) 出て行く個数の期待値は F (t, n) よって、単位時間あたりの増加数は 1 2F (t, n + 1) + 1 2F (t, n− 1) − F (t, n) F (t, n)が F (t, x)(2 回微分できる関数) に x = n を代入したものだと考えると、 1 2F (t, n + 1) + 1 2F (t, n− 1) − F (t, n) ≑ Fxx(t, n) 従って Ft(t, x) = Fxx(t, x) 拡散方程式とも言う。 σG = ˆ ∞ −∞ x2e2σ2x2 √ 2πσ2dx 2 = ˆ R⊭ x2y2e−x2 +y22σ2 2πσ2 dxdy = ˆ Γ
r4cos2θ sin2θe−2σ2r2
2πσ2 rdrdθ = (ˆ 2π 0 cos2θ sin2θdθ ) ˆ ∞ 0 r4e−2σ2r2 r 2πσ2 dr = σ4 Nx(σ, x) =− x σ2N (σ, x) Nxx(σ, x) = ( −x σ2 + x2 σ4 ) N (σ, x) Nxx= 0⇔ x = ±σ t→ ∞ にすると → 0 t→ 0 にすると熱 √1 2πte −x2 t が一点に集中する。 広義積分と応用 一変数における、今までの微分は、 [a, b]有限用区間 f (x)有界関数 などに限られていた。これを一般化して、(a, b) 上の(非) 有界関数の積分などを定義したい。 例 (0, 1], ´01√dxx ε > 0として、 ˆ 1 ε dx √ x= [ 2√x]1ε= 2− 2√2→ 2 (ε → 0) というようにしたい。
定義 I = (a, b] [a, b) (a, b) 上の関数 f (x) に対し、() 1. I に含まれる任意の有限閉区間 I′に対し、f は I′上有界で、積分可能 2. h, k > 0 に対し、 lim h→0 ˆ b a+h f (x) dx lim k→0 ˆ b−k a f (x) dx lim k→0,h→0 ˆ b−k a+h f (x) dx が存在 が成立するとき、極限値を広義積分(inproper integral) といい、 ˆ b a f (x) dx 例 ˆ b 1 xαdx = [ x1+α 1+α ]b 1 α̸= −1 [log x]b1 α =−1 b→ ∞ の極限がある⇔ α < −1 このとき、´1∞xαdx = −1 1+α ˆ 1 0 dx √ 1− x2 ˆ 1−k h dx √ 1− x2 = [arcsin x] 1−k h → π 2 − 0 = π 2(k→ 0, h → 0) 定理(Cauchy の判定条件) [a, b) 上の関数で先の条件を満たすもの limk→0 ´b−k a f (x) dxが存在⇔どんな ε > 0 に対してもある δ > 0 があって、0 < k1< k2< δならば、 ˆ b−k2 a f (x) dx− ˆ b−k1 a f (x) dx = ˆ b−k1 b−k2 f (x) dx < ε 系 f (x)は [a, b) 上の関数で条件を満たす´ab|f (x)| dx があれば´abf (x) dxもある。 ∵ ˆ b a |f (x)| dx が存在 ⇔ ˆ b−k1 b−k2 |f (x)| dx → 0 ⇒ 0 ≦ ˆ b−k1 b−k2 f (x) dx ≦ ˆ b−k1 b−k2 |f (x)| dx → 0 例 ´π∞sin xx dxは存在 ´∞ π |sin x| x dxは∞ に発散 逆は成立しない。
系 [a, b)上の連続関数 f (x) に対し、x が b に近いとき、|f (x)| < (b − x)α, α > −1 が成立していれば、´abf (x) dxは存在。 (b̸= ∞) ∵ ˆ b−k1 b−k2 |f (x)| dx ≦ ˆ b−k1 b−k2 (b− x)αdx = [ −(b− x) 1+α 1 + α ]b−k1 b−k2 = k 1+α 2 − k 1+α 1 a + α → 0 [a, +∞) については、x が十分大きいとき、|f (x)| ≦ xαなら´∞ a f (x) dxが存在。 ˆ M N f (x) dx = [ x1+α 1 + α ]M N → M1+α+ N1+α 1 + α → 0 例 (0,π4]上の関数´ π 4 0 log sin xdxは存在。 0 < β < 1である x−βに対し、|log sin x| < x−β(x > 0 が十分 0 に近いとき) sin x = xsin x x
log sin x = log x + logsin x
x xβlog x→ 0 xβlogsin x x → 0 ∴ xβ|log x| → 0 多変数の場合 f (x, y): 面積 (体積)D 上の関数 Dの中の面積確定の有界閉領域 D′については´D′f (x) dxが存在すると仮定。(f (x) が連続なら OK) Area (D′) < Area (D) Area (Dk′)→ Area (D) であるとき、(D′ 1⊂ D′2⊂ · · · ⊂ D) ˆ D′k |f (x, y)| dxdy の極限があるとき、 lim ˆ Dk′ f (x, y) が存在し、それを f (x, y) の D 上の広義積分という。 存在することの証明) m > nとして、 ˆ D′m f (x, y) dxdy− ˆ D′n f (x, y) dxdy = ˆ D′m\D′n f (x, y) dxdy ≤ ˆ D′m\D′n |f (x, y)| dxdy = ˆ D′m |f| dxdy − ˆ D′n |f| dxdy → 0
例 ˆ R2 e−x2−y2dxdy = π 定義 x > 0, Γ (x) =´0∞e−ttx−1dtとする。 ここで´0∞e−ttx−1dtは、t = 0 の近くでは e−t≈ 1, tx−1積分できる t→ ∞ のときは、e−ttx−1< t−2となり、広義積できる。 このとき、Γ (x) をガンマ関数(Gamma function) と呼ぶ。 定義 x, y > 0 B (x, y) = ˆ 1 0 tx−1(1− t)y−1dt これをベータ関数(Beta function) と呼ぶ。 命題 1. Γ (1) = 1, Γ(1 2 ) =√π 2. Γ (x) > 0 3. Γ (x + 1) = xΓ (x), Γ (n + 1) = n!(n は正の整数) 4. Γ (x) = 2´0∞e−r2r2x−1dr 証明 2. は被積分関数 (integrand) が正であることからいえる。 1. の前半: Γ (−1) = ˆ ∞ 0 e−tdt =[−et]∞0 = 1 3: Γ (x + 1) = ˆ ∞ 0 e−ttxdt =[−e−ttx]∞0 + x ˆ ∞ 0 e−ttx−1dt = xΓ (x) 4: t = r2とおく。 Γ (x) = ˆ ∞ 0 e−ttx−1dt = ˆ ∞ 0 e−r2r2x−22rdr = 2 ˆ ∞ 0 e−rr2x−1dr 1. の後半: Γ ( 1 2 ) = 2 ˆ ∞ 0 e−r2dr = ˆ ∞ −∞ e−r2dr = √π 定理 1. B (x, y) = 2´π2 0 sin 2x−1θ cos2y−1θdθ 2. B (x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x+y)
証明 1: B (x, y) = ˆ 1 0 tx−1(1− t)y−1dt t = sin2θとおく。 1− t = cos2θ B (x, y) = ˆ π 2 0
sin2x−2θ cos2y−2θ2 sin θ cos θdθ
= 2 ˆ π 2 0 sin2x−1θ cos2y−1θdθ 2: 第一象限の領域を D とする。 Γ (x) Γ (y) = 4 ˆ ∞ 0 e−s2s2x−1ds ˆ ∞ 0 e−t2t2y−1dt = 4 ˆ D e−(s2+t2)s2x−1t2y−1dsdt 極座標を用いて { s = r cos θ t = r sin θ とおく。このとき D は { 0 < r <∞ 0 < θ <π2 となる。 Γ (x) Γ (y) = 2 ˆ ∞ r=0 e−r2r2x+2y−2rdr× 2 ˆ 2π 0 cos2x−1θ sin2y−1θdθ = Γ (x + y) B (x, y) ∴ B (x, y) = Γ (x) Γ (y) Γ (x + y) 例 1. ˆ π 2 0 sin2x−1θ cos2y−1θdθ = 1 2B (x, y) = Γ (x) Γ (y) 2Γ (x + y) ˆ π 2 0 sinnθdθ = 1 2B ( n + 1 2 , 1 2 ) = √ πΓ(n+1 2 ) 2Γ(n2 + 1) Γ (n) = (n − 1)! Γ(n +12)=(n−12) (n−32)· · ·12Γ(12)=√π(n−12)· · ·12 ˆ 1 2 0 sinnθdθ = {(2m−1)!! (2m)!! π 2 n = 2m (2m)!! (2m+1)!! ただしここで (2m)!! = 2m (2m− 2) (2m − 4) · · · 2, (2m + 1)!! = (2m + 1) (2m − 1) · · · 1 応用 (1) n 次元の球の体積 Brn={(x1,· · · , xn)|x21+ x 2 2+· · · + x 2 n≦ r 2)}
を半径 r の n 次元球体(n-dimentional ball of radius r) とする。 1 次元の球: −r ≦ x1≦ r 長さ 2r の線分
Brnの体積を Vn,rとすると、 Vn,r = rnVn,1= rnVn Brn={−r ≦ xn≦ r, x21+· · · + x 2 n−1≦ r 2− x2 n } Brn∩ {xn= a} = B√n−1r2−a2 よって、r = 1 である B√n−1 1−a2では、 V =(1− a2)n−1Vn−1 となる。 Vn= ˆ 1 −1 (√ 1− y2)n−1V n−1dy y = xn= sin θ, dy = cos θdθ より、 Vn = Vn−1× 2 ˆ π 2 0 cosn−1θ cos θdθ = Vn−1× B ( n + 1 2 , 1 2 ) n≧ 3 とすると、 Vn = Vn−1B ( n + 1 2 , 1 2 ) = Vn−2B ( n 2, 1 2 ) B ( n + 1 2 , 1 2 ) = Vn−2 Γ(n2)Γ(12) Γ(n+12 ) Γ(n+12 )Γ(12) Γ(n2+ 1) = 2π nVn−2 よって、 V3= 2π 3 × V1= 4 3π, V5= 2π 5 × 4π 3 = 8π2 15 ,· · · V4= 2π 4 × V2= π2 2 , V6= 2π 6 × V4= π3 6 ,· · · (2) ワリスの公式 (Wallis' formula) π = lim n→∞ 2 ( 1−212 ) ( 1−412 ) · · ·(1−(2n)12 ) = ∏ 2 ∞ k=1 ( 1−(2k12) ) log (π 2 ) =− ∞ ∑ k=1 log ( 1− 1 (2k)2 ) kが十分大きいとき、 log (π 2 ) ≑ − log ( 1− 1 (2k)2 ) ≑ 1 (2k)2
ただし、 ∞ ∑ k=N +1 1 (2k)2 ∼ 定数 N となるため、誤差が大きく、実用的な計算には向かない。 ∵ B (x + 1, y) = x x + yB (x, y) Γ (x + 1) Γ (y) Γ (x + y + 1) = xΓ (x) Γ (y) (x + y) Γ (x + y) nを自然数として、 B ( n + 1,1 2 ) = n n +12B ( n,1 2 ) = ... = ( n· · · 1 n +12)· · ·32B ( 1,1 2 ) = ( n! n +12)· · ·32 Γ (1) Γ(12) Γ(32) B ( n +1 2, 1 2 ) = ( n−12)· · ·12 n· · · 1 B ( 1 2, 1 2 ) = ( n−12)· · ·12 n! Γ(12)Γ(12) Γ (1) = ( n−1 2 ) · · ·1 2 n! π B(n +12,12) B(n + 1,12) = ( n +12) (n−12)2· · ·(32)2(12) (n!)2 π 2 = ( n +12) (n−12) n2 × ( n− 1 + 12) (n− 1 −12) (n− 1)2 × · · · × ( k + 12) (k−12) k2 × · · · × 3 2× 1 2 1 × π 2 = ( n ∏ k=1 ( 1− 1 (2k)2 )) ×π 2 これは limB(n+ 1 2, 1 2) B(n+1,1 2) → 1を示せば十分。 B (x, y) = ˆ 1 0 tx−1(1− t)ydt tを固定すると tx−1は x に関して単調減少。 ∴ B (x, y)≧ B ( x + 1 2, y ) ≧ B (x + 1, y) = x x + yB (x, y) B (x + 1, y) = x x+yB (x, y)は以前示した。 ∴ 1≦ B ( n,12) B(n +12,12) ≦ B(n,12) B(n + 1,12) = n +32 n + 1 → 1 (3) Stirling の公式
n! ≑ √2πnn+12e−n = √2πe(n+12)log n−n すなわち、 lim n→∞ n! nne−n√n = √ 2π ∵ Wallis' 公式の途中より、 π = lim n→∞ (n!)2 ( n + 12)2· · ·(12)2 ( n +1 2 ) √ π = lim n→∞ n! ( n +1 2 ) · · ·1 2 √ n +1 2 = lim 2 nn! (2n + 1)· · · 1 √ n +1 2 = lim2 2n(n!)2 (2n)! 1 √ n +12 ´2 1 log xdxを台形公式で近似計算する。 ˆ 2 1 log xdx≑ 1 n ( 1 2log 1 + log ( 1 + 1 n ) + log ( 1 + 2 n ) +· · · + log ( 2− 1 n ) +1 2log 2 ) 誤差はn12 の定数倍以下である。 ∴ 両辺に n をかけて引き算すると、 0← log ( 1 + 1 n ) +· · · + log ( 2− 1 n ) + log 2−1 2log 2 −2n log 2 + n → 0 lim n→∞ ( 1 +n1)· · ·(1 + n−1n )×(1 + nn)en 22n → 1 左辺 = (n + 1)· · · (n + n) e n 22nnn√2 = (2n)!e n 22nnnn!√2 この2 つを合わせると Stirling の公式が導出できる。((2n)!n! に代入) 関数の内積とFourier 展開 実ベクトル空間 V V は集合であり、V の元 f, g とスカラー(実数)α, β に対し αf + βg ∈ V が決まる。 1· f = f 0· f = O (αβ) f = α (βf ) γ (αf + βg) = γαf + γβg
αf + βf = (α + β) f
I⊂ R 区間において、I 上の実数値関数全体はベクトル空間である。
(αf ) (x) = α (f (x))
(f + g) (x) = f (x) + g (x) ただし無限次元。
I上連続な関数全体 C0(I)⊃I 上一回連続微分可能関数 C1(I)⊃ C2(I)
ベクトル空間の内積 V ∋ f, g に対し (f, g) ∈ R が決まっていて、 (1) (f, g) = (g, f) (2) (f, f) ≧ 0, (f, f) = 0 ⇔ g = 0 (3) (αf1+ βf2, g) = α (f1, g) + β (f2, g) (αf1+ βf2, g) = ˆ (α1+ βf2) gdx = α ˆ f1gdx + β ˆ f2gdx = α (f, g) + β (f, g) 積の積分は内積を定める。 例 I = [−π, π] cos nx, sin nx m + n̸= 0 なら´−ππ cos (m + n) xdx = 0 m− n ̸= 0 なら´−ππ cos (m− n) xdx = 0 (cos mx, cos nx) = ˆ π −π cos mx cos nxdx = ˆ π −π cos (m + n) x + cos (m− n) x 2 dx = 2π m = n = 0 π m = n > 0 0 m̸= n m≧ 0, n > 0 では、 (cos mx, cos nx) = ˆ π −π cos mx cos nxdx = 0 m, n > 0では、 (sin mx, sin nx) = ˆ sinmx sinnxdx = ˆ π −π cos (m− n) x − cos (m + n) x 2 dx = { π m = n > 0 0 m̸= 0 1 (x) = 1とすると、 (1, 1) = 2π
( 1 √ 2π, 1 √ 2π ) = 1 ( 1 √ 2π, cos nx √ π ) = 0 ( cos nx √ π , cos mx √ π ) = { 1 n = m 0 n̸= m ( sin mx √ π , sin nx √ π ) = { 1 m = n 0 m̸= n ( 1 √ 2π, sin mx √ π ) = 0 ( cos mx √ π , sin nx √ π ) = 0 1 √ 2π, cos x √ π , cos 2x √ π ,· · · , cos mx √ π sin x √ π, sin 2x √ π ,· · · は互いに直行し、長さ1 のベクトル。これを正規直交 (onyhonormal vector) という。 a0, ak, bkを定数として、 f (x) = a0+ N ∑ k=1 akcos kx + N ∑ k=1 bksin kx は [−π, π] 上の連続関数。 f (x) = 0⇔ a0=· · · = aN = b1=· · · = bN = 0 ∵ ⇐ は自明。⇒ は、 0 = ˆ f (x)sin kx√ π dx = bk f (x) = 0と仮定し、 0 = ˆ f (x)cos kx√ π dx = ak 一般にベクトル空間 V と V 上の内積、正規直交ベクトル v1, v2, v3,· · · に対して、a ∈ V に対し、α1∈ R, (a1v1) = α1を定め ると、 |a|2 = (a.a)≧ |a − α1v1|2≧ |a − α1v1− α2v2| ≧ ( a− N ∑ i=1 αivivk ) = 0 (1≦ k ≦ N) ( a− N ∑ i=1 αivivk ) = 0 (k≦ N) 特に V が有限次元で、(v1,· · · , vN)が V の基底なら a = N ∑ i=1 αivi ∴ 帰納的議論により、 |a|2 ≧ |a − α1v1| 2
(a− α1v1, v1) = 0 を示せば良い。 (a− α1v1, a− α1v1) = (a, a)− 2α1(a, v1) + α21(v1, v1) = (a, a)− α21≦ (a, a) 以上が成立 ⇔ α1= (a, v1) = 0 ⇔ a は v1と直交 (a− α1v1, v1) = (a, v1)− α1(v1, v1) = 0 有限次元で v1,· · · , vN が V の基底なら、 a = N ∑ i=1 αivi と（一意的に）書ける。 αk= (a, vk) = ak(vk, vk) = ak { 1 √ 2π cos mx √ π , sin nx √ π } は一次独立。 事実(Fourier) { 周期 2πをもつR 上の連続関数}={[−π, π] 上の連続関数 f で f (−π) = f (π)} 周期 2π の連続関数 f (x) は、 a0 √ 2π + ∞ ∑ m=1 amcos mx√ π + ∞ ∑ m=1 bmsin mx√ π と級数として表すことができる。 a0= ˆ π −π f (x) √ 2πdx = ( f,√1 2π ) am= ˆ π −π f (x)cos mx√ π dx = ( f,cos mx√ π ) bm= ( f,sin mx√ π ) fN = f− ( f,√1 2π ) 1 √ 2π− N ∑ m=1 ( f,cos mx√ π ) cos mx √ π − N ∑ m=1 ( f,sin mx√ π ) sin mx √ π (fN, fN)→ 0 (f, f ) = a20+ ∞ ∑ m=1 a2m+ ∞ ∑ m=1 b2m
応用 一次元の熱方程式の境界値問題 xが 0 から π までの範囲で温度が f (t, x) で表せるような場合を考える。 f (t, 0) = 0, f (t, π) = a (t) , g (x) = f (t, x) , gt(−x) = gt(x) ∂f ∂τ = ∂2f ∂x2 f (0, x) = h (x) f (t, x) = gt(x) = a0(t) 1 √ 2π + ∑ am(t) cos mx √ π + ∑ bm(t) sin mx √ π x̸= −π, 0, π なら ∂f ∂τ = ∂2f ∂x2 Left-side = a√′0(t) 2π + ∑ a′m(t)cos mx√ π + ∑ m′m(t)sin mx√ π Right-side = 0 −∑m2am(t) cos mx √ π − ∑ m2bm(t) sin mx √ π ∴ a′0= 0a0= α0constant a′m=−m2amam= αme−m 2t b′m=−m2bmbm= βme−m 2t t = 0のとき h (x) = √α0 2π + ∑ αmcos mx √ π + ∑ βmsin mx √ π αk = ( h (x) ,cos mx√ π ) 等、と書いた係数が上の係数。 波動方程式 [−π, π] ∂2f ∂t2 = c 2∂2f ∂x2 f (t, 0) = f (t, π) = 0 f (t, x) = a√0(t) 2π + ∑ am(t) cos mx √ π + ∑ bm(t) sin mx √ π x f (0, x) = h (x) a′′0(t) =−m2c2a0(t) am= αmcos cmt + βmsin cmt Both-edge = 0 → αm= 0 am= βmsin cmt 定まった振動数の整数倍の振動数が出てくる。 a0 √ π+ ∑ amcos mx√ π + ∑ bmsin mx√ π
他の例 I = [−1, 1] Vn = { n次以下の多項式} (f, g) =´−11 f· gdx とすると、Vnの内積が定まる。 Pk(x) = 1 2kk! dk dxk ( x2− 1)k (pk, pl) = { 2 2n+1 k = l 0 k̸= l pk(x)を k 次Legendre 多項式 (Legendre porinomial of degree k) と呼ぶ。
l≦ m とする。 (pl, pm) = 1 2l+ml!m! ˆ 1 −1 dl dxl ( x2− 1)l· d m dxm ( x2− 1)mdx = constant [ dl dxl ( x2− 1)l d m−1 dxm−1 ( x2− 1)m ]1 −1− constant ˆ 1 −1 dl+1 dxl+1 ( x2− 1)l d m−1 dxm−1 ( x2− 1)dx = −constant [ dl+1 dxl ( x2− 1)l d m−2 dxm−2 ( x2− 1)]+constant ˆ 1 −1 dl+2 dxl+2 ( x2− 1)l d m−2 dxm−2 ( x2− 1)dx = ... = ±constant[∼ ×(x2− 1)]± constant ˆ 1 −1 dl+m dxl+m ( x2− 1)l(x2− 1)mdx = { 0 l̸= m ±constant´1 −1(2m) l( x2− 1)mdx l = m これは m が偶数のとき正、m が奇数のとき負となる。 x = 2t− 1 とおく。 x =−1 ↔ t = 0, x = 1 ↔ t = 1 ( x2− 1)= (x + 1) (x− 1) = −4t (t − 1) ˆ 1 −1 ( x2− 1)mdx = ˆ 1 0 2· 4mtm(1− t)mdx = 2· 4mB (m + 1, m + 1) = 2· 4mΓ (m + 1) Γ (m + 1) Γ (2m + 2) = 2· 4m (m!) 2 (2m + 1)! (pl, pl) = { 0 1 22m(m!)22· 4m (m!) 2×(2m!) (2m+1)! = 2 2m+1 √ 2k+1 2 pkが正規直交基底をなしている。(k = 0, 1, · · · , n) p0 = 1 p1 = 1 2× d dx ( x2− 1)= x p2 = 1 8× d2 dx2 ( x4− 2x2+ 1)=3 2x 2−1 2 p3 = 1 8× 6 d3 dx3 ( x6− 3x4+ 3x2− 1)= 5 2x 3−3 2x
区間を変えたり、重み関数(weight function)φ (x) > 0 = constant を変えたりして多項式の異なった内積ができる。 Chebyshev(チェビシェフ) の多項式も一例である。(これは応用上重要) 積分と極限 {fn(x)}n=1,2,···: 関数の列 fn(x)が f (x) に各点収束(pointwise convergent) するとは、x を任意に止めたとき、fn(x)が数列として f (x) に収束すること である。 言い換えると、x を止めたとき、n が十分大きければ(n ≥ N (ε, x) なら)、|fn(x)− f (x)| < ε が成り立つことである。 fn(x)が f (x) に一様収束(imiformly convergent) するとは、n が十分に大きければ (n ≥ N (ε))、すべての x に対し |fn(x)− f (x)| < εが成り立つことである。 定理 fn(x)が全て連続で、fn(x)が f (x) に一様収束するとき、f (x) は連続である。 証明 yが x に十分近ければ(|y − x| < δ (x))|f (y) − f (x)| < ε を示す。 nを十分大とすると、 |fn(x)− f (x)| < ε 3 |fn(y)− f (y)| < ε 3 がすべての x, y について成り立つ。 fnは x で連続|y − x| < δ = δ (x) とすると、 |fn(x)− fn(y)| < ε 3
|f (y) − f (x)| ≤ |f (y) − fn(y)| + |fn(y)− fn(x)| + |fn(x)− f (x)|
< ε 例 I = [0, 1], fn(x) = n √ xとする。 fn(0) = 0→ 0, x > 0 のとき fn(x)→ 1 となり、 f (x) = lim n→∞fn(x) = { 0 x = 0 1 x > 0 となり、各点収束だが連続でないことが分かる。 定理 I = [a, b]: 有限閉区間 fn(x): I 上連続関数、f (x) に一様収束 とすると、 Fn(x) = ˆ x a fn(x) dx は、 F (x) = ˆ x a f (x) dx に一様収束する。 言い換えると、 lim n→∞ ˆ fndx = ˆ (lim fn) dx のように lim と´ の順番を入れ替えても良いということである。 証明 Dn=|F (x) − Fn(x)| = ˆaxf dx− ˆ x a fndx = ˆax(f− fn) dx とおく。一様収束だったので、n を十分大きく取ると|f − fn| < ε ∴ Dn≤ ˆ x a εdx = ε (x− a) ≤ ε (b − a) これは x によらない。
系 fn(x): I = [a, b] 上定義された C1級関数の列、c∈ I とする。 fn(c)が収束、fn′ (x)は一様収束すると仮定する。 このとき fn(x)は f (x) に一様収束して、f は C1級、fn′ (x)は f′(x)に一様収束する。 ∵ fn′ (x) = gn(x)→ g (x) とおく。 Gn(x) = ˆ x a gn(x) dx→ G (x) = ˆ x a g (x) dx G′n(x) = fn′ (x)なので、Gn(c)− fn(c)は定数となり、 fn(x) = Gn(x) + (fn(c)− Gn(c)) → G (x) + e − G (c) より、f (x) = G (x)− G (c) + e 命題 fn(x) = n ∑ k=0 an(x− c) n とする。このとき{a0, a1,· · · } を数列として、 fn(c + r) = n ∑ k=0 anrn が収束すると仮定する (r̸= 0)。 このとき、0 < s <|r| となる s を一つ固定すると、x ∈ [c − s, c + s] に対し fn(x)は一様収束する。 例 ex←∑ x n n! より、0̸= r ∈ R に対し、∑rn!n は収束。すなわち、 fn(x) = n ∑ k=0 xk k! は|x| ≦ s < |r| で exに一様収束。 証明 ∑ anrnが収束 ⇒anrn→ 0 (n → ∞) ⇒ |an| ≤ constant × |r| n = A|r|−n |x − c| ≦ s < |r| ∞ ∑ n=N +1 an(x− c) 2 ≤ ∞ ∑ n=N +1 |an| |x − c| n ≤ ∑|an| sn ≤ A ∑ n=N +1 ( s |r| )n = A ( s |r| )N +1 × 1 1− s |r| 右辺は x によらない。
系 f (x)は C∞級(何回でも微分できる) と仮定する。 f(n)(c) = a nとおく。このとき f (x) のTaylor 展開は ∞ ∑ n=0 an(x− c) n fn(x) = n ∑ k=0 ak(x− c)k 仮定 f (x)に fn(x)が収束(ある r ̸= 0 に対し、f (r − c) = ∑∞ n=0anr n) このとき、fn(x)は|x − c| < s < |r| で f (x) に一様収束 系 f (x) =∑an(x− c) n なら、 F (x) = ˆ x c f (x) dx = ∞ ∑ n=0 an (n + 1)(x− c) n+1 例 1 1− x = ∞ ∑ n=0 xn − log (1 − x) = ˆ x 0 dx 1− x = ∞ ∑ n=0 xn+1 n + 1 例 1 1 + x2 = 1− x 2+ x4− x6+· · · arctan x = ˆ x 0 dx 1 + x2 = x− x3 3 + x5 5 − x7 7 +· · · 例 arcsin x = ˆ x 0 dx √ 1− x2 f (y) = √ 1 1− y = (1− y) −1 2 f(n)(y) = 1 2 · 3 2 · (2n− 1) 2 (1− y) −1 2−n 1 √ 1− y = ∑ (2n − 1) (2n − 3) · · · 1 2nn! y n=∑ (2n − 1)!! (2n)!! y n 1 √ 1− x2 = ∑ (2n − 1)!! (2n)!! x 2n arcsin x = ˆ x 0 dx √ 1− x2 = ∞ ∑ n=0 (2n− 1)!! 2n!! x2n+1 2n + 1
例 1 2arcsin 2x = ˆ x 0 arcsin x √ 1− x2dx = ∑ ˆ x 0 (2n− 1)!! 2n!! 1 2n + 1 x2n+1 √ 1− x2dx x = sin θとおくと、 ˆ x 0 x2n+1 √ 1− x2dx = ˆ θ 0 sin2n+1θdθ x = 1(θ = π2)とする。 ˆ π 2 0 sin2n+1θdθ = 1 2B ( 1 2, n + 1 ) = 1 2 Γ(12)n! Γ(n +32) = 1 2 Γ(12)n! ( n +12) (n−12)· · ·12Γ(12) = (2n)!! (2n + 1)!! これを最初の式に代入して、 π2 8 = 1 2arcsin 21 = ∞ ∑ n=0 1 (2n + 1)2 ∞ ∑ n=1 1 n2 = ∞ ∑ n=1 1 (2n)2 + ∞ ∑ n=1 1 (2n− 1)2 s = s 4+ π2 8 4 3s = π2 8 s = ∞ ∑ n=1 1 n2 = π2 6 この ∑ 1 ns = S (s) をRiemann の zeta 関数と呼ぶ。ちなみにこの S (2) =∑ 1 n2 = π2 6 を発見したのはEuler である。 定理 I, J: R の有限閉区間 (t, x)∈ I × J, f (t, x) が I × J 上連続とする。このとき、 F (t) = ˆ J f (t, x) dx は I 上連続。 ※ I× J = {(t, x)| t ∈ I, x ∈ J} ∵ I× J ⊂ R2: 有界閉集合
f (t, x)は I×J 上一様連続。すなわち、任意の ε > 0 に対してある δ > 0 があって、d ((t1, x1) , (t2, x2)) < δなら|f (t1, x1)− f (t2, x2)| < ε。 |F (t1)− F (t2)| ≦ ˆ J |(f (t1, x)− f (t2, x))| dx < ˆ J εdx = ε× J の長さ よって連続。 系 f (t, x)が I× J 上 C1級(特に∂f ∂t は連続) とする。このとき、 g (t) = ˆ J ∂f ∂tdx は連続で、 G (t) = ˆ J f dx は C1級。かつ G′(t) = g (t) ∵ I = [a, b] , J = [c, d] とする。 H (t) = ˆ t a g (t) dt = ˆ t a (ˆ d c ∂f ∂t (t, x) dx ) dt = ˆ 長方形 ∂f ∂t (t, x) dt = ˆ d c (ˆ t a ∂f ∂t (t, x) dt ) dx = ˆ d c f (t, x) dx = G (t) よって G (t) は一回微分可能で G′(t) = g (t) つまり、C1級であるとき、積分の微分は微分の積分に等しいということである。
曲線(curve)、曲面 (surface) とその長さ (length)、面積 (area) 曲線 ⊂ R3のパラメータ表示(parameter representation)
{x (t) , y (t) , z (t) |t ∈ [α, β]} で x, y, z は t の連続関数 空間内の運動(motion) の軌跡 (trajectony) 通常は x (t) , y (t) , z (t) は連続で微分可能と仮定 例 (1) 直線 x (t) = at + b y (t) = ct + d z (t) = et + f (2) 円 x (t) = r cos t y (t) = r sin t z (t) = 0
(3) 平面上の cycloid x (t) = r (t + cos t) y (t) = r sin t z (t) = 0 (4) 螺線 (helicoid) x (t) = r cos t y (t) = r sin t z (t) = at 曲線の長さ x, y, zが t について C1級、t について ∆t 経過したとき、 x (t)→ x (t) + x′(t) ∆t y (t)→ y (t) + y′(t) ∆t z (t)→ z (t) + z′(t) ∆t x (t)y (t) z (t) の変化量 (variatim) ≑ x ′(t) y′(t) z′(t) ∆t 長さ = √ x′(t)2+ y′(t)2+ z′(t)2∆t tが t0から t1まで動くと、曲線の長さは ˆ t1 t0 √ x′2+ y′2+ z′2dt となる。 命題 C: {(x (t) , y (t) , z (t)) |t ∈ [α, β]}, x, y, z は C1級 のとき、C の長さは ˆ β α √ x′2+ y′2+ z′2dt 例1 cycloid の長さ α ≦ t ≦ β, r = 1 とする。 x′= 1− sin t y′ = cos t √ x′2+ y′2=√2− 2 sin t t→ t − π2 = sとおいて、 √ x′2+ y′2 = √2 + 2 cos s = 2 coss 2 長さ = ˆ β+π 2 α+π 2 2 coss 2ds = 4 [ sins 2 ]β+π 2 α+π 2
例2 helicoid の長さ α ≦ t ≦ β, r = 1 とする。 x′=− sin t y′ = cos t z′ = a √ x′2+ y′2+ z′2=√1 + a2 長さ = (β− α)√1 + a2 点の速度 点の速度(velocity) を v (t) として √ x′2+ y′2+ z′2=|v (t)| = 点の速さ (speed) = v (t) 長さ = ˆ v (t) dt =速さの積分 同じ曲線でパラメータを変更することも可能 s = f (t)が t に関して狭義単調増加で t について C1級とする。t が s の関数 t = g (s) とすると、g は f の逆関数で、g は s の C1級関数。 g′(s) = dt ds = 1 ds dt = 1 f′ パラメータを s に変更して計算し直すと、 d dsx (t (s)) = dx dt dt ds √( d dsx (t (s)) )2 + ( d dsy (t (s)) )2 + ( d dsz (t (s)) )2 = √( dx dt )2 + ( dy dt )2 + ( dz dt )2 ×dt ds ˆ √( dx ds )2 + ( dy ds )2 + ( dz ds )2 ds = ˆ √( dx dt )2 + ( dy dt )2 + ( dz dt )2 dt dsds = ˆ √( dx dt )2 + ( dy dt )2 + ( dz dt )2 dt
標準的なパラメータは弧長パラメータ(arc length parameter) である。これは速さが常に 1 になるようにとる。
tを1 つのパラメータとすると s (t) = ˆ t a √ x′2+ y′2+ z′2dt ds dt = √( dx dt )2 + ( dy dt )2 + ( dz dt )2 = dx dt x (t) = x (t)y (t) z (t) とおく。 d dsx (t (x)) = dx dt dt ds dxds = dsdt dxdt = dx dt ds dt = dx dt dx dt = 1 s: 弧長パラメータに取ると、 dx ds = e (s)の長さ = 1
